§ 8.1 多元函数的基本概念
一、平面点集 n维空间
二、多元函数概念
三、多元函数的极限
四、多元函数的连续性
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提示：
一、平面点集 n维空间
下页
1.平面点集
坐标平面上具有某种性质 P的点的集合 ?称为平面点集 ?
记作
E?{(x?y)| (x?y)具有性质 P}?
集合 R2?R?R?{(x?y)|x?y?R}表示坐标平面 ?
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一、平面点集 n维空间
下页
1.平面点集
坐标平面上具有某种性质 P的点的集合 ?称为平面点集 ?
记作
E?{(x?y)| (x?y)具有性质 P}?
例如 ? 平面上以原点为中心, r为半径的圆内所有点的集
合是
C?{(x?y)| x2?y2<r2}?或 C?{P| |OP|?r}?
其中 P表示坐标为 (x?y)的点 ?|OP|表示点 P到原点 O的距离 ?
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注：
设 P0(x0? y0)是 xOy平面上的一个点 ? ?是某一正数 ? 点 P0的 ?
邻域记为 U(P0??)?它是如下点集 ?
?邻域
}|| |{),( 00 ?? ?? PPPPU ?
或 } )()( |),{(),( 20200 ?? ????? yyxxyxPU ?
点 P 0 的去心 ? 邻域 ? 记作 ),( 0 ?PU ? ? 即
}||0 |{),( 00 ?? ??? PPPPU? ?
如果不需要强调邻域的半径 ??则用 U(P0)表示点 P0的某个
邻域 ?点 P0的某个去心邻域记作 )(
0PU
?
下页
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任意一点 P?R2与任意一个点集 E?R2之间必有以下三种
关系中的一种 ?
?点与点集之间的关系
?内点 ? 如果存在点 P的某一邻域 U(P)?
使得 U(P)?E?则称 P为 E的内点 ?
?外点 ? 如果存在点 P的某个邻域 U(P)?
使得 U(P)?E???则称 P为 E的外点 ?
?边界点 ? 如果点 P的任一邻域内既有属
于 E的点 ? 也有不属于 E的点 ? 则称 P点为
E的边点 ?
?
?
? 边界点
内点
外点
提问 ? E的内点, 外点, 边界点是否都必属于 E？
E的边界点的全体 ?称为 E的边界 ?记作 ?E?
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?聚点
如果对于任意给定的 ? ? 0 ? 点 P 的去心邻域 ),( ?PU ? 内总
有 E中的点 ?则称 P是 E的聚点 ?
点集 E的聚点 P本身 ?可以属于 E?也可能不属于 E?
例如 ?设平面点集
E?{(x?y)|1?x2?y2?2}?
满足 1?x2?y2?2的一切点 (x?y)都是 E的内点 ?
满足 x2?y2?1的一切点 (x?y)都是 E的边界点 ?它们都不属于 E?
满足 x2?y2?2的一切点 (x?y)也是 E的边界点 ?它们都属于 E?
点集 E以及它的界边 ?E上的一切点都是 E的聚点 ?
下页
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?开集
如果点集 E的点都是内点 ?则称 E为开集 ?
下页
?闭集
如果点集的余集 Ec为开集 ?则称 E为闭集 ?
举例 ?
点集 E?{(x?y)|1<x2?y2<2}是开集也是开区域 ?
点集 E?{(x?y)|1?x2?y2?2}是闭集也是闭区域 ?
点集 E?{(x?y)|1?x2?y2?2}既非开集 ?也非闭集 ?
?区域 (或开区域 )
连通的开集称为区域或开区域 ?
?闭区域
开区域连同它的边界一起所构成的点集称为闭区域 ?
>>>连通性
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?有界集
对于平面点集 E?如果存在某一正数 r?使得
E?U(O?r)?
其中 O是坐标原点 ?则称 E为有界点集 ?
?无界集
一个集合如果不是有界集 ?就称这集合为无界集 ?
点集 {(x?y)| x?y?1}是无界闭区域 ?
点集 {(x?y)| x?y?1}是无界开区域 ?
举例 ?
点集 {(x?y)|1?x2?y2?4}是有界闭区域 ?
下页
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我们把 n元有序实数组 (x1? x2? ? ? ? ? xn)的全体所构成的集
合记为 Rn?即
Rn?R?R?????R?{(x1?x2????? xn)| xi?R?i?1? 2?????n}?
2.n维空间
x?(x1?x2????? xn)称为 Rn中的一个点或一个 n维向量 ?
xi称为点 x的第 i个坐标或 n维向量 x的第 i个分量 ?
0?(0? 0????? 0)称为 Rn中的原点或 n维零向量 ?
下页
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我们把 n元有序实数组 (x1? x2? ? ? ? ? xn)的全体所构成的集
合记为 Rn?即
Rn?R?R?????R?{(x1?x2????? xn)| xi?R?i?1? 2?????n}?
?线性运算
设 x?(x1? x2? ? ? ? ? xn)? y?(y1? y2? ? ? ? ? yn)为 Rn中任意两个元
素 ???R?规定
x?y?(x1?y1?x2?y2?????xn?yn)?
?x?(?x1??x2??????xn)?
这样定义了线性运算的集合 Rn称为 n维空间 ?
2.n维空间
下页
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注：
Rn中点 x?(x1?x2????? xn)和点 y?(y1?y2????? yn)间的距离 ?
记作 ?(x?y)?规定
?两点间的距离
2222211 )( )()(),( nn yxyxyx ??????????yx? ?
Rn中元素 x?(x1?x2?????xn)与零元 0之间的距离 ?(x?0)记作
||x||? 即
在 R1,R2,R3中 ? 通常将 ||x||记作 |x|?
22221 |||| nxxx ??????x ?
),()( )()(|||| 2222211 yxyx ????????????? nn yxyxyx ?
显然
下页
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设 x?(x1?x2?????xn)?a?(a1?a2????? an)?Rn?如果
||x?a||?0?
则称变元 x在 Rn中趋于固定元 a?记作 x?a?
显然 ?
x?a? x1?a1?x2?a2?????xn?an?
?Rn中变元的极限
?平面点集中各种概念的推广
平面点集的一系列概念 ? 可以方便地引入到 n(n?3)维空间
中来 ?例如 ?
设 a?Rn??是某一正数 ?则 n维空间内的点集
U(a??)?{x| x?Rn??(x? a)??}
就定义为 Rn中点 a的 ?邻域 ?
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注：
二、多元函数概念
下页举例
?二元函数的定义
设 D是 R2的一个非空子集 ?称映射 f? D?R为定义在 D上
的二元函数 ?通常记为
z?f(x?y)? (x?y)?D (或 z?f(P)?P?D)
其中 D称为该函数的定义域 ?x?y称为自变量 ?z称为因变量 ?
?函数值 ? 与自变量 x,y的一对值 (x? y)相对应的因变量 z的值称
为 f 在点 (x?y)处的函数值 ?记作 f(x?y)?即 z?f(x?y)?
?值域 ? f(D)?{z| z?f(x?y)? (x?y)?D}?
函数也可以用其它符号 ?如 z?z(x?y)?z?g(x?y)等 ?
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把上述定义中的平面点集 D换成 n维空间 Rn内的点集 D?
映射 f?D?R就称为定义在 D上的 n元函数 ?通常记为
u?f(x1?x2????? xn)?(x1?x2????? xn)?D?
或 u?f(x)?x?(x1?x2????? xn)?D?
或 u?f(P)?P(x1? x2?????xn)?D?
二、多元函数概念
?二元函数的定义
设 D是 R2的一个非空子集 ?称映射 f? D?R为定义在 D上
的二元函数 ?通常记为
z?f(x?y)? (x?y)?D (或 z?f(P)?P?D)
其中 D称为该函数的定义域 ?x?y称为自变量 ?z称为因变量 ?
?n元函数
下页
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在一般地讨论用算式表达的多元函数 u?f(x)时 ?以使这个
算式有意义的变元 x的值所组成的点集为这个多元函数的自
然定义域 ?对这类函数 ?它的定义域不再特别标出 ?
?多元函数的定义域
函数 z?ln(x?y)的定义域为
{(x?y)|x?y>0}?
函数 z?arcsin(x2?y2)的定义域为
{(x?y)|x2?y2?1}?
举例 ?
下页
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222222 yxazyxaz ??????? 和 ? z?ax?by?c
?二元函数的图形
点集 {(x? y? z)|z?f(x? y)? (x? y)?D}称为
二元函数 z?f(x?y)的图形 ?
二元函数的图形是一张曲面 ?
z?ax?by?c表示一张平面 ?
举例 ?
方程 x2?y2?z2?a2确定两个二元函数
分别表示上半球面和下半球面 ? 其定义域
均为 D?{(x? y)|x2?y2?a2}?
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三、多元函数的极限
?二重极限的定义
下页
设二元函数 f(P)?f(x?y)的定义域为 D? P0(x0? y0)是 D的聚点 ?
如果存在常数 A? 对于任意给定的正数 e总存在正数 ?? 使得当
),(),( 0 ?PUDyxP ??? 时 ? 都有
|f(P)?A|?|f(x? y)?A|?e
成立 ?则称常数 A为函数 f(x?y)当 (x?y)?(x0?y0)时的极限 ?记为
Ayxf
yxyx
?
?
),(lim
),(),( 00
? 或 f ( x ? y ) ? A ( ( x ? y ) ? ( x 0 ? y 0 )) ?
APf
PP
?
?
)(lim
0
或 f ( P ) ? A ( P ? P 0 ) ?
也记作
注 ? 上述定义的极限也称为二重极限 ?
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二重极限概念可以推广到多元函数的极限 ?
三、多元函数的极限
?二重极限的定义
设二元函数 f(P)?f(x?y)的定义域为 D? P0(x0? y0)是 D的聚点 ?
如果存在常数 A? 对于任意给定的正数 e总存在正数 ?? 使得当
),(),( 0 ?PUDyxP ??? 时 ? 都有
|f(P)?A|?|f(x? y)?A|?e
成立 ?则称常数 A为函数 f(x?y)当 (x?y)?(x0?y0)时的极限 ?记为
Ayxf
yxyx
?
?
),(lim
),(),( 00
? 或 f ( x ? y ) ? A ( ( x ? y ) ? ( x 0 ? y 0 )) ?
APf
PP
?
?
)(lim
0
或 f ( P ) ? A ( P ? P 0 ) ?
也记作
下页
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证明 因为
下页
例 1 例 4 设
22
22 1s i n)(),(
yxyxyxf ??? ? 求证 0),(lim )0,0(),( ?? yxfyx ?
22
22
22 |01s i n)(||0),(| yx
yxyxyxf ??????? ?
可见 ? e > 0 ? 取 e? ? ? 则当
?????? 22 )0()0(0 yx ?
即 ),(),( ?OUDyxP ??? 时 ? 总有
|f(x?y)?0|?e?
所 以 0),(lim
)0,0(),(
?
?
yxf
yx
?
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?必须注意
(1)二重极限存在 ? 是指 P以任何方式趋于 P0时 ? 函数都无
限接近于 A?
(2)如果当 P以两种不同方式趋于 P0时 ? 函数趋于不同的值 ?
则函数的极限不存在 ?
提示
?讨论
下页
函数
??
?
?
?
??
??
??
0 0
0
),(
22
22
22
yx
yx
yx
xy
yxf 在点 (0 ? 0) 有无极限？
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?多元函数的极限运算法则
与一元函数的情况类似 ?
解
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例 2 例 5 求
x
xy
yx
)s in (lim
)2,0(),( ?
?
yxyxyxxy
yxyx
??
??
)s in (lim)s in (lim
)2,0(),()2,0(),(
221lim)s in (lim
)2,0(),()2,0(),(
?????
??
yxy xy
yxyx
?
yxy xyxxy
yxyx
??
??
)s in (lim)s in (lim
)2,0(),()2,0(),(
221lim)sin(lim
)2,0(),()2,0(),(
?????
??
yxyxy
yxyx
?
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),(),(lim 00
),(),( 00
yxfyxf
yxyx
?
?
?
四、多元函数的连续性
?二元函数连续性定义
二元函数的连续性概念可相应地推广到 n元函数 f(P)上去 ?
下页
设二元函数 f(P)?f (x?y)的定义域为 D?P0(x0? y0)为 D的聚
点 ?且 P0?D? 如果
则称函数 f (x?y)在点 P0(x0?y0)连续 ?
如果函数 f (x?y)在 D的每一点都连续 ? 那么就称函数 f (x?y)
在 D上连续 ?或者称 f (x?y)是 D上的连续函数 ?
不连续的情形,无定义 不存在
存在, 但不为
)()( 0Mf? )(? )(lim 0 MfMM ?
)(? )(lim 0 MfMM ?
)( 0Mf
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所以 f(x?y)?sin x在点 P0(x0?y0)连续 ?
由 P0的任意性知 ? sin x作为 x?y的二元函数在 R2上连续 ?
例 3 设 f(x,y)?sin x?证明 f(x?y)是 R2上的连续函数 ?
证 对于任意的 P0(x0?y0)?R2?因为
类似的讨论可知 ? 一元基本初等函数看成二元函数或二
元以上的多元函数时 ?它们在各自的定义域内都是连续的 ?
),(s i ns i nlim),(lim 000
),(),(),(),( 0000
yxfxxyxf
yxyxyxyx
???
??
?
例 3 下页
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有
洞
曲
面
缝
设函数 f(x? y)的定义域为 D? P0(x0? y0)
是 D的聚点 ? 如果函数 f(x? y)在点 P0不连
续 ?则称 P0为函数 f(x?y)的间断点 ?
?函数的间断点
间断点可能是孤立点也可能是曲线
上的点 ?
函数
??
?
?
?
??
??
??
0 0
0
),(
22
22
22
yx
yx
yx
xy
yxf 的 间 断 点 为 O (0 ? 0) ?
函数 11s i n 22 ??? yxz 的 间 断 点 为 曲 线 x 2 ? y 2 ? 1 上 的 点 ?
间断点举例 ?
下页
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提示 ?
多元连续函数的和, 差, 积仍为连续函数 ? 连续函数的
商在分母不为零处仍连续 ? 多元连续函数的复合函数也是连
续函数 ?
一切多元初等函数在其定义区域内是连续的 ?
?多元初等函数的连续性
多元初等函数是指可用一个式子所表示的多元函数 ? 这
个式子是由常数及具有不同自变量的一元基本初等函数经过
有限次的四则运算和复合运算而得到的 ?
提示
定义区域是指包含在定义域内的区域或闭区域 ?
下页
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?根据连续性求极限
如果 f(P)是初等函数 ?且 P0是 f(P)的定义域的内点 ?则
)()(lim 0
0
PfPf
PP
?
?
?
例 7 求 xy yx
yx
?
? )2,1(),(
lim ? 例 4
解 函数 xy yxyxf ??),( 是初等函数 ? 它的定义域为 解
因为 P0(1? 2)为 D的内点 ?所以
D?{(x?y)|x?0?y?0}?
2
3)2,1(),(lim
)2,1(),(
??
?
fyxf
yx
? 23)2,1(),(lim
)2,1(),(
??
?
fyxf
yx
?
下页
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?根据连续性求极限
如果 f(P)是初等函数 ?且 P0是 f(P)的定义域的内点 ?则
)()(lim 0
0
PfPf
PP
?
?
?
例 8 求 xyxy
yx
11lim
)0,0(),(
??
?
? 例 5
解
)11(
)11)(11(lim11lim
)0,0(),()0,0(),( ??
???????
?? xyxy
xyxy
xy
xy
yxyx
2
1
11
1lim
)0,0(),(
????
? xyyx
?
)11(
)11)(11(lim11lim
)0,0(),()0,0(),( ??
???????
?? xyxy
xyxy
xy
xy
yxyx
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注 ?
?性质 1(有界性与最大值最小值定理 )
在有界闭区域 D上的多元连续函数 ? 必定在 D上有界 ? 且
能取得它的最大值和最小值 ?
?多元连续函数的性质
根据性质 1? 若 f(P)在有界闭区域 D上连续 ? 则必定存在常
数 M?0?使得对一切 P?D?有 |f(P)|?M? 且存在 P1,P2?D? 使得
f(P1)?max{f(P)|P?D}? f(P2)?min{f(P)|P?D}?
?性质 2(介值定理 )
在有界闭区域 D上的多元连续函数必取得介于最大值和
最小值之间的任何值 ?
结束
一、平面点集 n维空间
二、多元函数概念
三、多元函数的极限
四、多元函数的连续性
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提示：
一、平面点集 n维空间
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1.平面点集
坐标平面上具有某种性质 P的点的集合 ?称为平面点集 ?
记作
E?{(x?y)| (x?y)具有性质 P}?
集合 R2?R?R?{(x?y)|x?y?R}表示坐标平面 ?
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一、平面点集 n维空间
下页
1.平面点集
坐标平面上具有某种性质 P的点的集合 ?称为平面点集 ?
记作
E?{(x?y)| (x?y)具有性质 P}?
例如 ? 平面上以原点为中心, r为半径的圆内所有点的集
合是
C?{(x?y)| x2?y2<r2}?或 C?{P| |OP|?r}?
其中 P表示坐标为 (x?y)的点 ?|OP|表示点 P到原点 O的距离 ?
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注：
设 P0(x0? y0)是 xOy平面上的一个点 ? ?是某一正数 ? 点 P0的 ?
邻域记为 U(P0??)?它是如下点集 ?
?邻域
}|| |{),( 00 ?? ?? PPPPU ?
或 } )()( |),{(),( 20200 ?? ????? yyxxyxPU ?
点 P 0 的去心 ? 邻域 ? 记作 ),( 0 ?PU ? ? 即
}||0 |{),( 00 ?? ??? PPPPU? ?
如果不需要强调邻域的半径 ??则用 U(P0)表示点 P0的某个
邻域 ?点 P0的某个去心邻域记作 )(
0PU
?
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任意一点 P?R2与任意一个点集 E?R2之间必有以下三种
关系中的一种 ?
?点与点集之间的关系
?内点 ? 如果存在点 P的某一邻域 U(P)?
使得 U(P)?E?则称 P为 E的内点 ?
?外点 ? 如果存在点 P的某个邻域 U(P)?
使得 U(P)?E???则称 P为 E的外点 ?
?边界点 ? 如果点 P的任一邻域内既有属
于 E的点 ? 也有不属于 E的点 ? 则称 P点为
E的边点 ?
?
?
? 边界点
内点
外点
提问 ? E的内点, 外点, 边界点是否都必属于 E？
E的边界点的全体 ?称为 E的边界 ?记作 ?E?
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?聚点
如果对于任意给定的 ? ? 0 ? 点 P 的去心邻域 ),( ?PU ? 内总
有 E中的点 ?则称 P是 E的聚点 ?
点集 E的聚点 P本身 ?可以属于 E?也可能不属于 E?
例如 ?设平面点集
E?{(x?y)|1?x2?y2?2}?
满足 1?x2?y2?2的一切点 (x?y)都是 E的内点 ?
满足 x2?y2?1的一切点 (x?y)都是 E的边界点 ?它们都不属于 E?
满足 x2?y2?2的一切点 (x?y)也是 E的边界点 ?它们都属于 E?
点集 E以及它的界边 ?E上的一切点都是 E的聚点 ?
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?开集
如果点集 E的点都是内点 ?则称 E为开集 ?
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?闭集
如果点集的余集 Ec为开集 ?则称 E为闭集 ?
举例 ?
点集 E?{(x?y)|1<x2?y2<2}是开集也是开区域 ?
点集 E?{(x?y)|1?x2?y2?2}是闭集也是闭区域 ?
点集 E?{(x?y)|1?x2?y2?2}既非开集 ?也非闭集 ?
?区域 (或开区域 )
连通的开集称为区域或开区域 ?
?闭区域
开区域连同它的边界一起所构成的点集称为闭区域 ?
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?有界集
对于平面点集 E?如果存在某一正数 r?使得
E?U(O?r)?
其中 O是坐标原点 ?则称 E为有界点集 ?
?无界集
一个集合如果不是有界集 ?就称这集合为无界集 ?
点集 {(x?y)| x?y?1}是无界闭区域 ?
点集 {(x?y)| x?y?1}是无界开区域 ?
举例 ?
点集 {(x?y)|1?x2?y2?4}是有界闭区域 ?
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我们把 n元有序实数组 (x1? x2? ? ? ? ? xn)的全体所构成的集
合记为 Rn?即
Rn?R?R?????R?{(x1?x2????? xn)| xi?R?i?1? 2?????n}?
2.n维空间
x?(x1?x2????? xn)称为 Rn中的一个点或一个 n维向量 ?
xi称为点 x的第 i个坐标或 n维向量 x的第 i个分量 ?
0?(0? 0????? 0)称为 Rn中的原点或 n维零向量 ?
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我们把 n元有序实数组 (x1? x2? ? ? ? ? xn)的全体所构成的集
合记为 Rn?即
Rn?R?R?????R?{(x1?x2????? xn)| xi?R?i?1? 2?????n}?
?线性运算
设 x?(x1? x2? ? ? ? ? xn)? y?(y1? y2? ? ? ? ? yn)为 Rn中任意两个元
素 ???R?规定
x?y?(x1?y1?x2?y2?????xn?yn)?
?x?(?x1??x2??????xn)?
这样定义了线性运算的集合 Rn称为 n维空间 ?
2.n维空间
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注：
Rn中点 x?(x1?x2????? xn)和点 y?(y1?y2????? yn)间的距离 ?
记作 ?(x?y)?规定
?两点间的距离
2222211 )( )()(),( nn yxyxyx ??????????yx? ?
Rn中元素 x?(x1?x2?????xn)与零元 0之间的距离 ?(x?0)记作
||x||? 即
在 R1,R2,R3中 ? 通常将 ||x||记作 |x|?
22221 |||| nxxx ??????x ?
),()( )()(|||| 2222211 yxyx ????????????? nn yxyxyx ?
显然
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设 x?(x1?x2?????xn)?a?(a1?a2????? an)?Rn?如果
||x?a||?0?
则称变元 x在 Rn中趋于固定元 a?记作 x?a?
显然 ?
x?a? x1?a1?x2?a2?????xn?an?
?Rn中变元的极限
?平面点集中各种概念的推广
平面点集的一系列概念 ? 可以方便地引入到 n(n?3)维空间
中来 ?例如 ?
设 a?Rn??是某一正数 ?则 n维空间内的点集
U(a??)?{x| x?Rn??(x? a)??}
就定义为 Rn中点 a的 ?邻域 ?
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注：
二、多元函数概念
下页举例
?二元函数的定义
设 D是 R2的一个非空子集 ?称映射 f? D?R为定义在 D上
的二元函数 ?通常记为
z?f(x?y)? (x?y)?D (或 z?f(P)?P?D)
其中 D称为该函数的定义域 ?x?y称为自变量 ?z称为因变量 ?
?函数值 ? 与自变量 x,y的一对值 (x? y)相对应的因变量 z的值称
为 f 在点 (x?y)处的函数值 ?记作 f(x?y)?即 z?f(x?y)?
?值域 ? f(D)?{z| z?f(x?y)? (x?y)?D}?
函数也可以用其它符号 ?如 z?z(x?y)?z?g(x?y)等 ?
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把上述定义中的平面点集 D换成 n维空间 Rn内的点集 D?
映射 f?D?R就称为定义在 D上的 n元函数 ?通常记为
u?f(x1?x2????? xn)?(x1?x2????? xn)?D?
或 u?f(x)?x?(x1?x2????? xn)?D?
或 u?f(P)?P(x1? x2?????xn)?D?
二、多元函数概念
?二元函数的定义
设 D是 R2的一个非空子集 ?称映射 f? D?R为定义在 D上
的二元函数 ?通常记为
z?f(x?y)? (x?y)?D (或 z?f(P)?P?D)
其中 D称为该函数的定义域 ?x?y称为自变量 ?z称为因变量 ?
?n元函数
下页
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在一般地讨论用算式表达的多元函数 u?f(x)时 ?以使这个
算式有意义的变元 x的值所组成的点集为这个多元函数的自
然定义域 ?对这类函数 ?它的定义域不再特别标出 ?
?多元函数的定义域
函数 z?ln(x?y)的定义域为
{(x?y)|x?y>0}?
函数 z?arcsin(x2?y2)的定义域为
{(x?y)|x2?y2?1}?
举例 ?
下页
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222222 yxazyxaz ??????? 和 ? z?ax?by?c
?二元函数的图形
点集 {(x? y? z)|z?f(x? y)? (x? y)?D}称为
二元函数 z?f(x?y)的图形 ?
二元函数的图形是一张曲面 ?
z?ax?by?c表示一张平面 ?
举例 ?
方程 x2?y2?z2?a2确定两个二元函数
分别表示上半球面和下半球面 ? 其定义域
均为 D?{(x? y)|x2?y2?a2}?
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三、多元函数的极限
?二重极限的定义
下页
设二元函数 f(P)?f(x?y)的定义域为 D? P0(x0? y0)是 D的聚点 ?
如果存在常数 A? 对于任意给定的正数 e总存在正数 ?? 使得当
),(),( 0 ?PUDyxP ??? 时 ? 都有
|f(P)?A|?|f(x? y)?A|?e
成立 ?则称常数 A为函数 f(x?y)当 (x?y)?(x0?y0)时的极限 ?记为
Ayxf
yxyx
?
?
),(lim
),(),( 00
? 或 f ( x ? y ) ? A ( ( x ? y ) ? ( x 0 ? y 0 )) ?
APf
PP
?
?
)(lim
0
或 f ( P ) ? A ( P ? P 0 ) ?
也记作
注 ? 上述定义的极限也称为二重极限 ?
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二重极限概念可以推广到多元函数的极限 ?
三、多元函数的极限
?二重极限的定义
设二元函数 f(P)?f(x?y)的定义域为 D? P0(x0? y0)是 D的聚点 ?
如果存在常数 A? 对于任意给定的正数 e总存在正数 ?? 使得当
),(),( 0 ?PUDyxP ??? 时 ? 都有
|f(P)?A|?|f(x? y)?A|?e
成立 ?则称常数 A为函数 f(x?y)当 (x?y)?(x0?y0)时的极限 ?记为
Ayxf
yxyx
?
?
),(lim
),(),( 00
? 或 f ( x ? y ) ? A ( ( x ? y ) ? ( x 0 ? y 0 )) ?
APf
PP
?
?
)(lim
0
或 f ( P ) ? A ( P ? P 0 ) ?
也记作
下页
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证明 因为
下页
例 1 例 4 设
22
22 1s i n)(),(
yxyxyxf ??? ? 求证 0),(lim )0,0(),( ?? yxfyx ?
22
22
22 |01s i n)(||0),(| yx
yxyxyxf ??????? ?
可见 ? e > 0 ? 取 e? ? ? 则当
?????? 22 )0()0(0 yx ?
即 ),(),( ?OUDyxP ??? 时 ? 总有
|f(x?y)?0|?e?
所 以 0),(lim
)0,0(),(
?
?
yxf
yx
?
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?必须注意
(1)二重极限存在 ? 是指 P以任何方式趋于 P0时 ? 函数都无
限接近于 A?
(2)如果当 P以两种不同方式趋于 P0时 ? 函数趋于不同的值 ?
则函数的极限不存在 ?
提示
?讨论
下页
函数
??
?
?
?
??
??
??
0 0
0
),(
22
22
22
yx
yx
yx
xy
yxf 在点 (0 ? 0) 有无极限？
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?多元函数的极限运算法则
与一元函数的情况类似 ?
解
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例 2 例 5 求
x
xy
yx
)s in (lim
)2,0(),( ?
?
yxyxyxxy
yxyx
??
??
)s in (lim)s in (lim
)2,0(),()2,0(),(
221lim)s in (lim
)2,0(),()2,0(),(
?????
??
yxy xy
yxyx
?
yxy xyxxy
yxyx
??
??
)s in (lim)s in (lim
)2,0(),()2,0(),(
221lim)sin(lim
)2,0(),()2,0(),(
?????
??
yxyxy
yxyx
?
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),(),(lim 00
),(),( 00
yxfyxf
yxyx
?
?
?
四、多元函数的连续性
?二元函数连续性定义
二元函数的连续性概念可相应地推广到 n元函数 f(P)上去 ?
下页
设二元函数 f(P)?f (x?y)的定义域为 D?P0(x0? y0)为 D的聚
点 ?且 P0?D? 如果
则称函数 f (x?y)在点 P0(x0?y0)连续 ?
如果函数 f (x?y)在 D的每一点都连续 ? 那么就称函数 f (x?y)
在 D上连续 ?或者称 f (x?y)是 D上的连续函数 ?
不连续的情形,无定义 不存在
存在, 但不为
)()( 0Mf? )(? )(lim 0 MfMM ?
)(? )(lim 0 MfMM ?
)( 0Mf
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所以 f(x?y)?sin x在点 P0(x0?y0)连续 ?
由 P0的任意性知 ? sin x作为 x?y的二元函数在 R2上连续 ?
例 3 设 f(x,y)?sin x?证明 f(x?y)是 R2上的连续函数 ?
证 对于任意的 P0(x0?y0)?R2?因为
类似的讨论可知 ? 一元基本初等函数看成二元函数或二
元以上的多元函数时 ?它们在各自的定义域内都是连续的 ?
),(s i ns i nlim),(lim 000
),(),(),(),( 0000
yxfxxyxf
yxyxyxyx
???
??
?
例 3 下页
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有
洞
曲
面
缝
设函数 f(x? y)的定义域为 D? P0(x0? y0)
是 D的聚点 ? 如果函数 f(x? y)在点 P0不连
续 ?则称 P0为函数 f(x?y)的间断点 ?
?函数的间断点
间断点可能是孤立点也可能是曲线
上的点 ?
函数
??
?
?
?
??
??
??
0 0
0
),(
22
22
22
yx
yx
yx
xy
yxf 的 间 断 点 为 O (0 ? 0) ?
函数 11s i n 22 ??? yxz 的 间 断 点 为 曲 线 x 2 ? y 2 ? 1 上 的 点 ?
间断点举例 ?
下页
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提示 ?
多元连续函数的和, 差, 积仍为连续函数 ? 连续函数的
商在分母不为零处仍连续 ? 多元连续函数的复合函数也是连
续函数 ?
一切多元初等函数在其定义区域内是连续的 ?
?多元初等函数的连续性
多元初等函数是指可用一个式子所表示的多元函数 ? 这
个式子是由常数及具有不同自变量的一元基本初等函数经过
有限次的四则运算和复合运算而得到的 ?
提示
定义区域是指包含在定义域内的区域或闭区域 ?
下页
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?根据连续性求极限
如果 f(P)是初等函数 ?且 P0是 f(P)的定义域的内点 ?则
)()(lim 0
0
PfPf
PP
?
?
?
例 7 求 xy yx
yx
?
? )2,1(),(
lim ? 例 4
解 函数 xy yxyxf ??),( 是初等函数 ? 它的定义域为 解
因为 P0(1? 2)为 D的内点 ?所以
D?{(x?y)|x?0?y?0}?
2
3)2,1(),(lim
)2,1(),(
??
?
fyxf
yx
? 23)2,1(),(lim
)2,1(),(
??
?
fyxf
yx
?
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?根据连续性求极限
如果 f(P)是初等函数 ?且 P0是 f(P)的定义域的内点 ?则
)()(lim 0
0
PfPf
PP
?
?
?
例 8 求 xyxy
yx
11lim
)0,0(),(
??
?
? 例 5
解
)11(
)11)(11(lim11lim
)0,0(),()0,0(),( ??
???????
?? xyxy
xyxy
xy
xy
yxyx
2
1
11
1lim
)0,0(),(
????
? xyyx
?
)11(
)11)(11(lim11lim
)0,0(),()0,0(),( ??
???????
?? xyxy
xyxy
xy
xy
yxyx
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注 ?
?性质 1(有界性与最大值最小值定理 )
在有界闭区域 D上的多元连续函数 ? 必定在 D上有界 ? 且
能取得它的最大值和最小值 ?
?多元连续函数的性质
根据性质 1? 若 f(P)在有界闭区域 D上连续 ? 则必定存在常
数 M?0?使得对一切 P?D?有 |f(P)|?M? 且存在 P1,P2?D? 使得
f(P1)?max{f(P)|P?D}? f(P2)?min{f(P)|P?D}?
?性质 2(介值定理 )
在有界闭区域 D上的多元连续函数必取得介于最大值和
最小值之间的任何值 ?
结束
