一、向量概念
二、向量的线性运算
三、空间直角坐标系
§ 7.1 向量及其运算
四、利用坐标作向量的线性运算
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五、向量的模、方向解、投影
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一、向量概念
既有大小,又有方向的量叫做向量,
?向量
有向线段的长度表示方向的大小,有向线段的方向表示
向量的方向,
?向量用一条有方向的线段 (称为有向线段 )表示,
?向量的表示法
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一、向量概念
既有大小,又有方向的量叫做向量,
?向量
?向量可用粗体字母,或加箭头的书写体字母表示,
?以 A为起点, B为终点的有向线段所表示的向量记作 AB.→
例如,a, r, v, F 或 ?a, ?r, ?v, ?F,
?向量用一条有方向的线段 (称为有向线段 )表示,
?向量的表示法
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与起点无关的向量,称为自由向量,
简称向量,
?自由向量
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如果向量 a和 b的大小相等,且方向相同,则说向量 a和 b是
相等的,记为 a=b.
相等的向量经过平移后可以完全重合,
?向量的相等
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?向量的模
向量的大小叫做向量的模,
向量 a, ?a, ?AB 的模分别记为 | a |, || ?a, || ?AB,
?单位向量
模等于 1的向量叫做单位向量,
?零向量
零向量的起点与终点重合,它的方向可以看作是任意的,
模等于 0 的向量叫做零向量,记作 0 或 ?0,
如果向量 a和 b的大小相等,且方向相同,则说向量 a和 b是
相等的,记为 a=b.
?向量的相等
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?向量的平行
两个非零向量如果它们的方向相同或相反,就称这两个
向量平行,
向量 a与 b平行,记作 a//b.
a//b//c
零向量认为是与任何向量都平行,
当两个平行向量的起点放在同一点时,它们的终点和公
共的起点在一条直线上,因此,两向量平行又称两向量共线,
?共线向量与共面向量
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?向量的平行
两个非零向量如果它们的方向相同或相反,就称这两个
向量平行,
向量 a与 b平行,记作 a//b.
零向量认为是与任何向量都平行,
?共线向量与共面向量
当两个平行向量的起点放在同一点时,它们的终点和公
共的起点在一条直线上,因此,两向量平行又称两向量共线,
设有 k(k?3)个向量,当把它们的起点放在同一点时,如果 k
个终点和公共起点在一个平面上,就称这 k个向量共面,
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二、向量的线性运算
设有两个向量 a与 b,平移向量,使 b的起点与 a的终点重合,
则从 a的起点到 b的终点的向量 c称为向量 a与 b的和,记作 a+b,
即 c=a+b.
1.向量的加法
c=a+b
三角形法则 平行四边形法则
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?向量的加法的运算规律
(1)交换律 a+b=b+a;
(2)结合律 (a+b)+c=a+(b+c).
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?向量的减法
向量 b与 a的差规定为
b-a=b+(-a),
?负向量
?三角不等式
|a+b|?|a|+|b|,
|a-b|?|a|+|b|,
等号在 b与 a同向或反向时成立,
与向量 a的模相同而方向相反
的向量叫做 a的负向量,记为 -a.
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当 ?=0时,|?a|=0,即 ?a为零向量,
向量 a与实数 ?的乘积记作 ?a,规定 ?a是一个向量,它的模
|?a|=|?||a|,它的方向当 ?>0时与 a相同,当 ?<0时与 a相反,
>>>
2.向量与数的乘法
当 ?=-1时,有 (-1)a=-a.当 ?=1时,有 1a=a;
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(1)结合律 ?(?a)=?(?a)=(??)a;
(2)分配律 (?+?)a=?a+?a;
?(a+b)=?a+?b.
?向量与数的乘积的运算规律
?向量的单位化
于是 a=|a|ea.
当 ?=0时,|?a|=0,即 ?a为零向量,
向量 a与实数 ?的乘积记作 ?a,规定 ?a是一个向量,它的模
|?a|=|?||a|,它的方向当 ?>0时与 a相同,当 ?<0时与 a相反,
2.向量与数的乘法
当 ?=-1时,有 (-1)a=-a.当 ?=1时,有 1a=a;
设 a?0,则向量 是与 a同方向的单位向量,记为 ea.
||a
a
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例 1
形对角线的交点,
例 1 在平行四边形 A B C D 中,设 a=?AB,b=?AD, 试用
a 和 b 表 示向量 ?MA, ?MB, ?MC, ?MD,其中 M 是平行四边
??? -===+ MAAMAC 22ba,
)(21 ba+-=
?
MA ;
)(21 ba+=-= ?? MAMC,
于是
因为 ?? ==+- MDBD 2ba,
所以 )(21 ab -=?MD ; )(21 ba -=-= ?? MDMB,
解 由于平行四边形的对角线互相平分,所以
?? -===+ MAAMAC 22ba,?? -===+ MAAMAC 22ba,
)(21 ba+=- ?? MAMC, )(21 ba +=- ?? MA,
)(21 ba +-=
?;
因为 ?? ==+- MDBD 2ba,
所以 )(21 ab -=?MD ; )(21 ba -=-= ?? MDMB, 所以 )(21 ab-=?MD ; )(21 ba-=-=? MD, 所以 )(21 a-=?MD ; )(21 ba-=?? MDMB, 所以 ; )(21 ba -=- ?MD,
下页
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设向量 a?0,那么,向量 b平行于 a的充分必要条件是, 存在
唯一的实数 ?,使 b=?a.>>>
?定理 1(向量平行的充要条件 )
定理证明
给定一个点 O及一个单位向量 i 就确定了一条数轴 Ox.
对于轴上任一点 P,必有唯一的实数 x,使 ?OP = x i,并 且
并且轴上的点 P与实数 x有一一对应的关系,
点 P?实数 x.
实数 x称为轴上点 P的坐标,
?数轴与点的坐标
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说明：
三、空间直角坐标系
?空间直角坐标系
y轴
z轴
原点
x轴
在空间取定一点 O和三个两两垂直的单位向量 i,j,k,就
确定了三条都以 O为原点的两两垂直的数轴,依次记为 x轴 (横
轴 ),y轴 (纵轴 ),z轴 (竖轴 ),统称为坐标轴, 它们构成一个空
间直角坐标系,称为 Oxyz坐标系,
(2)数轴的的正向通常符合
右手规则,
(1)通常把 x轴和 y轴配置在水
平面上,而 z轴则是铅垂线 ;
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在空间直角坐标系中,任意两个坐标轴可以确定一个平
面,这种 平面称为坐标面,
?坐标面
三个坐标面分别称为 xOy面,yOz面和 zOx面,
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在空间直角坐标系中,任意两个坐标轴可以确定一个平
面,这种 平面称为坐标面,
?坐标面
三个坐标面分别称为 xOy面,yOz面和 zOx面,
?卦限
坐标面把空间分成八个部分,每
一部分叫做卦限,分别用字母 I,II、
III,IV等表示,
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?向量的坐标分解式
??????? ++=++== OROQOPNMPNOPOMr,
以 OM为对角线, 三条坐标轴为棱作长方体,有
任给向量 r,对应有点 M,使 r=?OM,
设 ixOP =?,jyOQ =?,kzOR =?,
则 kjir zyxOM ++== ?,
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?????? ++=++== OROQOPNMPNOPOMr,
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?向量的坐标分解式
则 kjir zyxOM ++== ?,
?上式称为向量 r的坐标分解式,
? xi,yj,zk称为向量 r沿三个坐标轴方向的分向量,
点 M,向量 r与三个有序 x,y,z
之间有一一对应的关系
任给向量 r,存在点 M及 xi,yj,zk,使
?有序数 x,y,z称为向量 r的坐标,
记作 r=(x,y,z);
?有序数 x,y,z也称为点 M的坐标,
记为 M(x,y,z).
),,( zyxzyxOMM ?++==? ? kjir,
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?向量的坐标分解式
则 kjir zyxOM ++== ?,
?上式称为向量 r的坐标分解式,
? xi,yj,zk称为向量 r沿三个坐标轴方向的分向量,
任给向量 r,存在点 M及 xi,yj,zk,使
?有序数 x,y,z称为向量 r的坐标,
记作 r=(x,y,z);
?有序数 x,y,z也称为点 M的坐标,
记为 M(x,y,z).
?向量 称为点 M关于原点 O的向
径,
?=OMr
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坐标面上和坐标轴上的点,其坐标各有一定的特征,例如,
? 点 M在 yOz面上,则 x=0;
点 M在 zOx面上的点,y=0;
点 M在 xOy面上的点,z=0.
? 点 M在 x轴上,则 y=z=0;
点 M在 y轴上,有 z=x=0;
点 M在 z轴上的点,有 x=y=0.
? 点 M为原点,则 x=y=z=0.
?坐标轴上及坐标面上点的特征
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提示：
四、利用坐标作向量的线性运算
下页
a=axi+ayj+azk,b=bxi+byj+bzk,
a+b =(ax+bx)i+(ay+by)j+(az+bz)k,
a-b =(ax-bx)i+(ay-by)j+(az-bz)k,
?a =(?ax)i+(?ay)j+(?az)k.
设 a=(ax,ay,az),b=(bx,by,bz),则
?a=(?ax,?ay,?az),a?b=(ax?bx,ay?by,az?bz),
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四、利用坐标作向量的线性运算
例 2 求解以向量为未知元的线性方程组
??
?
=-
=-
byx
ayx
23
35,例 2
其中 a=(2,1,2),b=(-1,1,-2).
解 如同解二元一次线性方程组,可得
x=2a-3b,y=3a-5b.
以 a,b的坐标表示式代入,即得
x=2(2,1,2)-3(-1,1,-2)=(7,-1,10),
y=3(2,1,2)-5(-1,1,-2)=(11,-2,16).
设 a=(ax,ay,az),b=(bx,by,bz),则
?a=(?ax,?ay,?az),a?b=(ax?bx,ay?by,az?bz),
下页
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?利用坐标判断两个向量的平行
设 a=(ax,ay,az)?0,b=(bx,by,bz),因为
b//a ? b=?a,
即 b//a ?(bx,by,bz)=?(ax,ay,az ),
所以 b//a ?
下页z
z
y
y
x
x
a
b
a
b
a
b ==,
四、利用坐标作向量的线性运算
设 a=(ax,ay,az),b=(bx,by,bz),则
?a=(?ax,?ay,?az),a?b=(ax?bx,ay?by,az?bz),
平行四边形法则 三角形法则
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从而 )(1 1 ??? ++= OBOAOM ??
因此 )( ???? -=- OMOBOAOM ?,
解 由于 ??? -= OAOMAM,??? -= OMOBMB,
解
例 3 已知两点 A(x1,y1,z1)和 B(x2,y2,z2)以及实数 ??-1,
在 直 线 AB 上 求 一 点 M,使 ?? = MBAM ?,
) 1,1,1 ( 212121 ?????? ++++++= xxxxxx,
这就是点 M的坐标,
由于
解 由于 ??? -= OAOMAM,??? -= OMOBMB,
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五、向量的模、方向角、投影
1.向量的模与两点间的距离公式
设 向 量 r = ( x,y,z ),作 r=?OM,则
???? ++== OROQOPOMr,
按勾股定理可得
222 |||||||||| OROQOPOM ++==r,
由 ixOP =?,jyOQ =?,kzOR =?,
有 |OP|=|x|,|OQ|=|y|,|OR|=|z|,
于是得向量模的坐标表示式
222|| zyx ++=r,
下页
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1.向量的模与两点间的距离公式
设向量 r=(x,y,z),作,则 222|| zyx ++=r,
设有点 A(x1,y1,z1)和点 B(x2,y2,z2),则
??? -= OAOBAB
=(x2,y2,z2)-(x1,y1,z1)=(x2-x1,y2-y1,z2-z1),
于是点 A与点 B间的距离为
212212212 )()()(|||| zzyyxxABAB -+-+-== ?,
下页
五、向量的模、方向角、投影
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例 4 求证以 M1(4,3,1),M2 (7,1,2),M3 (5,2,3)三点为
顶点的三角形是一个等腰三角形,
1.向量的模与两点间的距离公式
设向量 r=(x,y,z),作,则 222|| zyx ++=r,
设有点 A(x1,y1,z1)和点 B(x2,y2,z2),则
212212212 )()()(|||| zzyyxxABAB -+-+-== ?,
所以 |M2M3|=|M1M3|,即 DM1M2M3为等腰三角形,
|M1M3|2 =6,=(5-4)2+(2-3)2+(3-1)2
=6,=(5-7)2+(2-1)2+(3-2)2|M2M3|2
=14,=(7-4)2+(1-3)2+(2-1)2|M1M2|2解 因为
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五、向量的模、方向角、投影
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解之得 914=z, 于 是,所求的点为 )914,0,0(M,
例 5 在 z轴上求与点 A(-4,1,7)和 B(3,5,-2)等距离的点,
1.向量的模与两点间的距离公式
设向量 r=(x,y,z),作,则 222|| zyx ++=r,
设有点 A(x1,y1,z1)和点 B(x2,y2,z2),则
212212212 )()()(|||| zzyyxxABAB -+-+-== ?,
即 (0+4)2+(0-1)2+(z-7)2
设所求的点为 M(0,0,z),解 依题意有 |MA|2=|MB|2,
=(3-0)2+(5-0)2+(-2-z)2.
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五、向量的模、方向角、投影
解之得 914=z, 于 是,所求的点为 )914,0,0(M,
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14)2(13|| 222 =-++=?AB,
例 6 已知两点 A(4,0,5)和 B(7,1,3),求与 方向相同的
单位向量 e.
?AB
解 因 为 )2,1,3()5,0,4()3,1,7( -=-=?AB,解 解 因 为 )2,1,3()5,0,4()3,1,7( -=-=AB,解 因 为 )2,1,3()5,0,4()3,1,-=-=?AB,
所 以 )2,1,3(
14
1
||
-== ?
?
AB
ABe,
下页
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2.方向角与方向余弦
?两个向量的夹角
下页
当把两个非零向量 a与 b的起点放到同一点时,两个向量
之间的不超过 ?的夹角称为向量 a与 b的夹角,记作 (a,^b)或
(b,^a).
如果向量 a与 b中有一个是零向量,规定它们的夹角可以
在 0与 ?之间任意取值,
类似地,可以规定向量与一轴的夹角或空间两轴的夹角,
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?向量的方向角和方向余弦
下页
非零向量 r与三条坐标轴的夹角 ?,?,?称为向量 r的方
向角,
cos?,cos?,cos? 称为向量 r的方
向余弦,
||c o s r
x=?,
||c o s r
y=?,
||c o s r
z=?,
设 r=(x,y,z),则
rerr == ||
1)c o s,c o s,( c o s ???, 显然
以向量 r的方向余弦为坐标的向量
就是与 r同方向的单位向量 er.
cos2?+cos2?+cos2?=1.
因此
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3
2 ?? =,
3
?? =,
4
3 ?? =,
2
1c o s -=?,
2
1c o s =?,
2
2c o s -=? ;
下页
解
rerr == ||
1)c o s,c o s,( c o s ???,
例 3 设已知两点 )2,2,2( A ) 和 B (1,3,0),计算向量 例 7
?AB 的模、方向余弦和方向角,
解 )2,1,1()20,23,21( --=---=?AB ;
2)2(1)1(|| 222 =-++-=?AB ;
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3.向量在轴上的投影
设点 O及单位向量 e确定 u轴,
任 给 向 量 r,作 r=?OM,
再过点 M作与 u轴垂直的平面交 u轴于点 M?,则向量
? ?MO 称为向量 r 在 u 轴上的分向量,
设 e?=??MO,则数 ? 称为向量 r 在 u 轴上的投影,记作
Prjur或 (r)u.
下页
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向量 a在直角坐标系 Oxyz中的坐标 ax,ay,az就是 a在三条
坐标轴上的投影,即 ax=Prjxa,ay=Prjya,az=Prjza.
?性质 3
(?a)u=?(a)u (即 Prju(?a)=?Prjua);
?性质 2
(a+b)u=(a)u+(b)u(即 Prju(a+b)=Prjua+Prjub);
?性质 1
? (a)u=|a|cos? (即 Prjua=|a|cos?),其中 ?为向量与 u轴的夹角 ;
?投影的性质
3.向量在轴上的投影
结束
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向量 a在直角坐标系 Oxyz中的坐标 ax,ay,az就是 a在三条
坐标轴上的投影,即 ax=Prjxa,ay=Prjya,az=Prjza.
?性质 3
(?a)u=?(a)u (即 Prju(?a)=?Prjua);
?性质 2
(a+b)u=(a)u+(b)u(即 Prju(a+b)=Prjua+Prjub);
?性质 1
? (a)u=|a|cos? (即 Prjua=|a|cos?),其中 ?为向量与 u轴的夹角 ;
?投影的性质
3.向量在轴上的投影
结束
二、向量的线性运算
三、空间直角坐标系
§ 7.1 向量及其运算
四、利用坐标作向量的线性运算
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五、向量的模、方向解、投影
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一、向量概念
既有大小,又有方向的量叫做向量,
?向量
有向线段的长度表示方向的大小,有向线段的方向表示
向量的方向,
?向量用一条有方向的线段 (称为有向线段 )表示,
?向量的表示法
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一、向量概念
既有大小,又有方向的量叫做向量,
?向量
?向量可用粗体字母,或加箭头的书写体字母表示,
?以 A为起点, B为终点的有向线段所表示的向量记作 AB.→
例如,a, r, v, F 或 ?a, ?r, ?v, ?F,
?向量用一条有方向的线段 (称为有向线段 )表示,
?向量的表示法
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与起点无关的向量,称为自由向量,
简称向量,
?自由向量
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如果向量 a和 b的大小相等,且方向相同,则说向量 a和 b是
相等的,记为 a=b.
相等的向量经过平移后可以完全重合,
?向量的相等
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?向量的模
向量的大小叫做向量的模,
向量 a, ?a, ?AB 的模分别记为 | a |, || ?a, || ?AB,
?单位向量
模等于 1的向量叫做单位向量,
?零向量
零向量的起点与终点重合,它的方向可以看作是任意的,
模等于 0 的向量叫做零向量,记作 0 或 ?0,
如果向量 a和 b的大小相等,且方向相同,则说向量 a和 b是
相等的,记为 a=b.
?向量的相等
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?向量的平行
两个非零向量如果它们的方向相同或相反,就称这两个
向量平行,
向量 a与 b平行,记作 a//b.
a//b//c
零向量认为是与任何向量都平行,
当两个平行向量的起点放在同一点时,它们的终点和公
共的起点在一条直线上,因此,两向量平行又称两向量共线,
?共线向量与共面向量
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?向量的平行
两个非零向量如果它们的方向相同或相反,就称这两个
向量平行,
向量 a与 b平行,记作 a//b.
零向量认为是与任何向量都平行,
?共线向量与共面向量
当两个平行向量的起点放在同一点时,它们的终点和公
共的起点在一条直线上,因此,两向量平行又称两向量共线,
设有 k(k?3)个向量,当把它们的起点放在同一点时,如果 k
个终点和公共起点在一个平面上,就称这 k个向量共面,
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二、向量的线性运算
设有两个向量 a与 b,平移向量,使 b的起点与 a的终点重合,
则从 a的起点到 b的终点的向量 c称为向量 a与 b的和,记作 a+b,
即 c=a+b.
1.向量的加法
c=a+b
三角形法则 平行四边形法则
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?向量的加法的运算规律
(1)交换律 a+b=b+a;
(2)结合律 (a+b)+c=a+(b+c).
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?向量的减法
向量 b与 a的差规定为
b-a=b+(-a),
?负向量
?三角不等式
|a+b|?|a|+|b|,
|a-b|?|a|+|b|,
等号在 b与 a同向或反向时成立,
与向量 a的模相同而方向相反
的向量叫做 a的负向量,记为 -a.
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当 ?=0时,|?a|=0,即 ?a为零向量,
向量 a与实数 ?的乘积记作 ?a,规定 ?a是一个向量,它的模
|?a|=|?||a|,它的方向当 ?>0时与 a相同,当 ?<0时与 a相反,
>>>
2.向量与数的乘法
当 ?=-1时,有 (-1)a=-a.当 ?=1时,有 1a=a;
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(1)结合律 ?(?a)=?(?a)=(??)a;
(2)分配律 (?+?)a=?a+?a;
?(a+b)=?a+?b.
?向量与数的乘积的运算规律
?向量的单位化
于是 a=|a|ea.
当 ?=0时,|?a|=0,即 ?a为零向量,
向量 a与实数 ?的乘积记作 ?a,规定 ?a是一个向量,它的模
|?a|=|?||a|,它的方向当 ?>0时与 a相同,当 ?<0时与 a相反,
2.向量与数的乘法
当 ?=-1时,有 (-1)a=-a.当 ?=1时,有 1a=a;
设 a?0,则向量 是与 a同方向的单位向量,记为 ea.
||a
a
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例 1
形对角线的交点,
例 1 在平行四边形 A B C D 中,设 a=?AB,b=?AD, 试用
a 和 b 表 示向量 ?MA, ?MB, ?MC, ?MD,其中 M 是平行四边
??? -===+ MAAMAC 22ba,
)(21 ba+-=
?
MA ;
)(21 ba+=-= ?? MAMC,
于是
因为 ?? ==+- MDBD 2ba,
所以 )(21 ab -=?MD ; )(21 ba -=-= ?? MDMB,
解 由于平行四边形的对角线互相平分,所以
?? -===+ MAAMAC 22ba,?? -===+ MAAMAC 22ba,
)(21 ba+=- ?? MAMC, )(21 ba +=- ?? MA,
)(21 ba +-=
?;
因为 ?? ==+- MDBD 2ba,
所以 )(21 ab -=?MD ; )(21 ba -=-= ?? MDMB, 所以 )(21 ab-=?MD ; )(21 ba-=-=? MD, 所以 )(21 a-=?MD ; )(21 ba-=?? MDMB, 所以 ; )(21 ba -=- ?MD,
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设向量 a?0,那么,向量 b平行于 a的充分必要条件是, 存在
唯一的实数 ?,使 b=?a.>>>
?定理 1(向量平行的充要条件 )
定理证明
给定一个点 O及一个单位向量 i 就确定了一条数轴 Ox.
对于轴上任一点 P,必有唯一的实数 x,使 ?OP = x i,并 且
并且轴上的点 P与实数 x有一一对应的关系,
点 P?实数 x.
实数 x称为轴上点 P的坐标,
?数轴与点的坐标
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说明：
三、空间直角坐标系
?空间直角坐标系
y轴
z轴
原点
x轴
在空间取定一点 O和三个两两垂直的单位向量 i,j,k,就
确定了三条都以 O为原点的两两垂直的数轴,依次记为 x轴 (横
轴 ),y轴 (纵轴 ),z轴 (竖轴 ),统称为坐标轴, 它们构成一个空
间直角坐标系,称为 Oxyz坐标系,
(2)数轴的的正向通常符合
右手规则,
(1)通常把 x轴和 y轴配置在水
平面上,而 z轴则是铅垂线 ;
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在空间直角坐标系中,任意两个坐标轴可以确定一个平
面,这种 平面称为坐标面,
?坐标面
三个坐标面分别称为 xOy面,yOz面和 zOx面,
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在空间直角坐标系中,任意两个坐标轴可以确定一个平
面,这种 平面称为坐标面,
?坐标面
三个坐标面分别称为 xOy面,yOz面和 zOx面,
?卦限
坐标面把空间分成八个部分,每
一部分叫做卦限,分别用字母 I,II、
III,IV等表示,
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?向量的坐标分解式
??????? ++=++== OROQOPNMPNOPOMr,
以 OM为对角线, 三条坐标轴为棱作长方体,有
任给向量 r,对应有点 M,使 r=?OM,
设 ixOP =?,jyOQ =?,kzOR =?,
则 kjir zyxOM ++== ?,
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?????? ++=++== OROQOPNMPNOPOMr,
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?向量的坐标分解式
则 kjir zyxOM ++== ?,
?上式称为向量 r的坐标分解式,
? xi,yj,zk称为向量 r沿三个坐标轴方向的分向量,
点 M,向量 r与三个有序 x,y,z
之间有一一对应的关系
任给向量 r,存在点 M及 xi,yj,zk,使
?有序数 x,y,z称为向量 r的坐标,
记作 r=(x,y,z);
?有序数 x,y,z也称为点 M的坐标,
记为 M(x,y,z).
),,( zyxzyxOMM ?++==? ? kjir,
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?向量的坐标分解式
则 kjir zyxOM ++== ?,
?上式称为向量 r的坐标分解式,
? xi,yj,zk称为向量 r沿三个坐标轴方向的分向量,
任给向量 r,存在点 M及 xi,yj,zk,使
?有序数 x,y,z称为向量 r的坐标,
记作 r=(x,y,z);
?有序数 x,y,z也称为点 M的坐标,
记为 M(x,y,z).
?向量 称为点 M关于原点 O的向
径,
?=OMr
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坐标面上和坐标轴上的点,其坐标各有一定的特征,例如,
? 点 M在 yOz面上,则 x=0;
点 M在 zOx面上的点,y=0;
点 M在 xOy面上的点,z=0.
? 点 M在 x轴上,则 y=z=0;
点 M在 y轴上,有 z=x=0;
点 M在 z轴上的点,有 x=y=0.
? 点 M为原点,则 x=y=z=0.
?坐标轴上及坐标面上点的特征
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提示：
四、利用坐标作向量的线性运算
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a=axi+ayj+azk,b=bxi+byj+bzk,
a+b =(ax+bx)i+(ay+by)j+(az+bz)k,
a-b =(ax-bx)i+(ay-by)j+(az-bz)k,
?a =(?ax)i+(?ay)j+(?az)k.
设 a=(ax,ay,az),b=(bx,by,bz),则
?a=(?ax,?ay,?az),a?b=(ax?bx,ay?by,az?bz),
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四、利用坐标作向量的线性运算
例 2 求解以向量为未知元的线性方程组
??
?
=-
=-
byx
ayx
23
35,例 2
其中 a=(2,1,2),b=(-1,1,-2).
解 如同解二元一次线性方程组,可得
x=2a-3b,y=3a-5b.
以 a,b的坐标表示式代入,即得
x=2(2,1,2)-3(-1,1,-2)=(7,-1,10),
y=3(2,1,2)-5(-1,1,-2)=(11,-2,16).
设 a=(ax,ay,az),b=(bx,by,bz),则
?a=(?ax,?ay,?az),a?b=(ax?bx,ay?by,az?bz),
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?利用坐标判断两个向量的平行
设 a=(ax,ay,az)?0,b=(bx,by,bz),因为
b//a ? b=?a,
即 b//a ?(bx,by,bz)=?(ax,ay,az ),
所以 b//a ?
下页z
z
y
y
x
x
a
b
a
b
a
b ==,
四、利用坐标作向量的线性运算
设 a=(ax,ay,az),b=(bx,by,bz),则
?a=(?ax,?ay,?az),a?b=(ax?bx,ay?by,az?bz),
平行四边形法则 三角形法则
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从而 )(1 1 ??? ++= OBOAOM ??
因此 )( ???? -=- OMOBOAOM ?,
解 由于 ??? -= OAOMAM,??? -= OMOBMB,
解
例 3 已知两点 A(x1,y1,z1)和 B(x2,y2,z2)以及实数 ??-1,
在 直 线 AB 上 求 一 点 M,使 ?? = MBAM ?,
) 1,1,1 ( 212121 ?????? ++++++= xxxxxx,
这就是点 M的坐标,
由于
解 由于 ??? -= OAOMAM,??? -= OMOBMB,
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五、向量的模、方向角、投影
1.向量的模与两点间的距离公式
设 向 量 r = ( x,y,z ),作 r=?OM,则
???? ++== OROQOPOMr,
按勾股定理可得
222 |||||||||| OROQOPOM ++==r,
由 ixOP =?,jyOQ =?,kzOR =?,
有 |OP|=|x|,|OQ|=|y|,|OR|=|z|,
于是得向量模的坐标表示式
222|| zyx ++=r,
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1.向量的模与两点间的距离公式
设向量 r=(x,y,z),作,则 222|| zyx ++=r,
设有点 A(x1,y1,z1)和点 B(x2,y2,z2),则
??? -= OAOBAB
=(x2,y2,z2)-(x1,y1,z1)=(x2-x1,y2-y1,z2-z1),
于是点 A与点 B间的距离为
212212212 )()()(|||| zzyyxxABAB -+-+-== ?,
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五、向量的模、方向角、投影
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例 4 求证以 M1(4,3,1),M2 (7,1,2),M3 (5,2,3)三点为
顶点的三角形是一个等腰三角形,
1.向量的模与两点间的距离公式
设向量 r=(x,y,z),作,则 222|| zyx ++=r,
设有点 A(x1,y1,z1)和点 B(x2,y2,z2),则
212212212 )()()(|||| zzyyxxABAB -+-+-== ?,
所以 |M2M3|=|M1M3|,即 DM1M2M3为等腰三角形,
|M1M3|2 =6,=(5-4)2+(2-3)2+(3-1)2
=6,=(5-7)2+(2-1)2+(3-2)2|M2M3|2
=14,=(7-4)2+(1-3)2+(2-1)2|M1M2|2解 因为
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五、向量的模、方向角、投影
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解之得 914=z, 于 是,所求的点为 )914,0,0(M,
例 5 在 z轴上求与点 A(-4,1,7)和 B(3,5,-2)等距离的点,
1.向量的模与两点间的距离公式
设向量 r=(x,y,z),作,则 222|| zyx ++=r,
设有点 A(x1,y1,z1)和点 B(x2,y2,z2),则
212212212 )()()(|||| zzyyxxABAB -+-+-== ?,
即 (0+4)2+(0-1)2+(z-7)2
设所求的点为 M(0,0,z),解 依题意有 |MA|2=|MB|2,
=(3-0)2+(5-0)2+(-2-z)2.
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五、向量的模、方向角、投影
解之得 914=z, 于 是,所求的点为 )914,0,0(M,
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14)2(13|| 222 =-++=?AB,
例 6 已知两点 A(4,0,5)和 B(7,1,3),求与 方向相同的
单位向量 e.
?AB
解 因 为 )2,1,3()5,0,4()3,1,7( -=-=?AB,解 解 因 为 )2,1,3()5,0,4()3,1,7( -=-=AB,解 因 为 )2,1,3()5,0,4()3,1,-=-=?AB,
所 以 )2,1,3(
14
1
||
-== ?
?
AB
ABe,
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2.方向角与方向余弦
?两个向量的夹角
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当把两个非零向量 a与 b的起点放到同一点时,两个向量
之间的不超过 ?的夹角称为向量 a与 b的夹角,记作 (a,^b)或
(b,^a).
如果向量 a与 b中有一个是零向量,规定它们的夹角可以
在 0与 ?之间任意取值,
类似地,可以规定向量与一轴的夹角或空间两轴的夹角,
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?向量的方向角和方向余弦
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非零向量 r与三条坐标轴的夹角 ?,?,?称为向量 r的方
向角,
cos?,cos?,cos? 称为向量 r的方
向余弦,
||c o s r
x=?,
||c o s r
y=?,
||c o s r
z=?,
设 r=(x,y,z),则
rerr == ||
1)c o s,c o s,( c o s ???, 显然
以向量 r的方向余弦为坐标的向量
就是与 r同方向的单位向量 er.
cos2?+cos2?+cos2?=1.
因此
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3
2 ?? =,
3
?? =,
4
3 ?? =,
2
1c o s -=?,
2
1c o s =?,
2
2c o s -=? ;
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解
rerr == ||
1)c o s,c o s,( c o s ???,
例 3 设已知两点 )2,2,2( A ) 和 B (1,3,0),计算向量 例 7
?AB 的模、方向余弦和方向角,
解 )2,1,1()20,23,21( --=---=?AB ;
2)2(1)1(|| 222 =-++-=?AB ;
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3.向量在轴上的投影
设点 O及单位向量 e确定 u轴,
任 给 向 量 r,作 r=?OM,
再过点 M作与 u轴垂直的平面交 u轴于点 M?,则向量
? ?MO 称为向量 r 在 u 轴上的分向量,
设 e?=??MO,则数 ? 称为向量 r 在 u 轴上的投影,记作
Prjur或 (r)u.
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向量 a在直角坐标系 Oxyz中的坐标 ax,ay,az就是 a在三条
坐标轴上的投影,即 ax=Prjxa,ay=Prjya,az=Prjza.
?性质 3
(?a)u=?(a)u (即 Prju(?a)=?Prjua);
?性质 2
(a+b)u=(a)u+(b)u(即 Prju(a+b)=Prjua+Prjub);
?性质 1
? (a)u=|a|cos? (即 Prjua=|a|cos?),其中 ?为向量与 u轴的夹角 ;
?投影的性质
3.向量在轴上的投影
结束
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向量 a在直角坐标系 Oxyz中的坐标 ax,ay,az就是 a在三条
坐标轴上的投影,即 ax=Prjxa,ay=Prjya,az=Prjza.
?性质 3
(?a)u=?(a)u (即 Prju(?a)=?Prjua);
?性质 2
(a+b)u=(a)u+(b)u(即 Prju(a+b)=Prjua+Prjub);
?性质 1
? (a)u=|a|cos? (即 Prjua=|a|cos?),其中 ?为向量与 u轴的夹角 ;
?投影的性质
3.向量在轴上的投影
结束
