§ 5.1 定积分概念与性质
一、定积分问题举例
二、定积分定义
三、定积分的性质
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一、定积分问题举例
?曲边梯形
设函数 y=f(x)在区间 [a,b]上非负、连续, 由直线 x=a,x=b、
y=0及曲线 y=f (x)所围成的图形称为曲边梯形,其中曲线弧称
为曲边,
1.曲边梯形的面积
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?观察与思考
在曲边梯形内摆满小的矩形,当小矩形的宽度减少时,
小矩形面积之和与曲边梯形面积之间的误差将如何变化?
怎样求曲边梯形的面积？
动画演示 下页
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?
=?
?=
n
i
ii xfA
10
)(lim ?
?
,
?求曲边梯形的面积
(1)分割, a=x0<x1< x2<???<xn?1< xn=b,?xi=xi?xi?1;
小曲边梯形的面积近似为 f(?i)?xi (xi?1<?i<xi); (2)近似代替,
(4)取极限, 设 ?=max{?x1,?x2,???,?xn},曲边梯形的面积为
(3)求和,曲边梯形的面积近似为 ;?
=?
?=
n
i
ii xfA
10
)(lim ?
?
,
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2.变速直线运动的路程
已知物体直线运动的速度 v=v(t)是时间 t 的连续函数,且
v(t)?0,计算物体在时间段 [T1,T2]内所经过的路程 S.
(1)分割, T1=t0<t1<t2< ???<tn?1<tn=T2,?ti=ti?ti?1;
(2)近似代替, 物体在时间段 [ti?1,ti]内所经过的路程近似为
?Si?v(?i)?ti ( ti?1<?i<ti );
物体在时间段 [T1,T2]内所经过的路程近似为(3)求和,
(4)取极限, 记 ?=max{?t1,?t2,???,?tn},物体所经过的路程为
?
=
??
n
i
ii tvS
1
)(? ;
?
=?
?=
n
i
ii tvS
10
)(lim ?
?
,
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二、定积分定义
?定积分的定义
?在小区间 [xi?1,xi]上任取一点 ?i (i=1,2,???,n),?
=
?n
i
ii xf
1
)(? ; 作和
?=max{?x1,?x2,???,?xn};记 ?xi=xi?xi?1 (i=1,2,???,n),
a=x0<x1<x2<???<xn?1<xn=b; ?在区间 [a,b]内插入分点,
设函数 f(x)在区间 [a,b]上有界,
?如果当 ??0时,上述和式的极限存在,且极限值与区间 [a,b]
的分法 和 ?i的取法无关,则称此极限为函数 f(x)在区间 [a,b]上
?ba dxxf )(,的定积分,记为
??
=?
?= n
i
ii
b
a xfdxxf 10 )(lim)( ??,
即
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?定积分各部分的名称
? ———— 积分 符号,
f(x) ——— 被积函数,
f(x)dx —— 被积表达式,
x ———— 积分变量,
a ———— 积分下限,
b ———— 积分上限,
[a,b]——— 积分区间,
?定积分的定义
??
=?
?= n
i
ii
b
a xfdxxf 10 )(lim)( ??,
二、定积分定义
?
=
?
n
i
ii xf
1
)(? ——— 积分和,
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?定积分的定义
??
=?
?= n
i
ii
b
a xfdxxf 10 )(lim)( ??,
二、定积分定义
根据定积分的定义,曲边梯形的面积为 ?= ba dxxfA )(,
变速直线运动的路程为 dttvS TT )(2
1?
=,
??? == bababa duufdttfdxxf )()()(,
说明：
定积分的值只与被积函数及积分区间有关,而与积分变
量的记法无关,即
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?函数的可积性
如果函数 f(x)在区间 [a,b]上的定积分存在,则称 f(x)在区
间 [a,b]上可积,
?定理 1
如果函数 f(x)在区间 [a,b]上连续,则函数 f(x)在区间 [a,b]
上可积,
?定理 2
如果函数 f(x)在区间 [a,b]上有界,且只有有限个间断点,
则函数 f(x)在区间 [a,b]上可积,
?定积分的定义
??
=?
?= n
i
ii
b
a xfdxxf 10 )(lim)( ??,
二、定积分定义
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?定积分的几何意义
当 f(x)?0时,f(x)在 [a,b]上 的定 积分表示由曲线 y=f(x)、直
线 x=a,x=b与 x轴所围成的曲边梯形的面积,
当 f(x)?0时,f(x)在 [a,b]上 的定 积分表示曲边梯形面积的
负值,
这是因为
???? ??=???=?=
=?=?
b
a
n
i
ii
n
i
ii
b
a dxxfxfxfdxxf )]([)]([lim)(lim)( 1010 ?? ??, ???? ??=???=?= =?=?
b
a
n
i
ii
n
i
ii
b
a dxxfxfxfdxxf )]([)]([lim)(lim)( 1010 ?? ??, ???? ??=??=?= =?=?
b
a
n
i
ii
n
i
ii
b
a dxxfxfxfdxxf )]([)]([lim)(lim)( 1010 ?? ??, ??? ??=???=?= =?=?
b
a
n
i
ii
n
i
ii
b
a dxxfxfxfdxxf )]([)]([lim)(lim)( 1010 ?? ??,
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一般地,f(x)在 [a,b]上 的定 积分表示介于 x轴、曲线 y=f(x)
及直线 x=a,x=b之间的各部分面积的代数和,
?定积分的几何意义
当 f(x)?0时,f(x)在 [a,b]上 的定 积分表示由曲线 y=f(x)、直
线 x=a,x=b与 x轴所围成的曲边梯形的面积,
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?利用定义计算定积分
解 把区间 [0,1]分成 n等份,分点为和小区间长度为
nix i = ( i = 1,2,? ? ?,n ? 1),nx i 1=? ( i = 1,2,? ? ?,n ),
取 nii =? ( i = 1,2,? ? ?,n ),作积分和
???
===
?=?=?
n
i
i
n
i
ii
n
i
i nn
ixxf
1
2
1
2
1
1)()( ?? )12)(11(
6
1
nn ??=,
31)12)(11(61lim)(lim
10
21
0 =??=?= ??=? ?? nnxfdxx n
n
i
ii??,
因为 n1=?,当 ? ? 0 时,n ? ?,所以
例 1 例 1 利用定义计算定积分 ? 1
0
2 dxx,
nix i = ( i = 1,2,? ? ?,n ? 1),nx i 1=? ( i = 1 2,? ? ?,n ),
???
===
?=?=
n
i
i
n
i
ii
n
i
i nn
ixxf
1
2
1
2
1
1)() ? )12)(1(
6 nn ??=, ?== ?=??
n
i
iii
n
i
i nn
ixxf
1
2
1
2
1
1)()( ?? )12)(11(
6
1
nn ??=, ?? == ==?
n
i
i
i
ii
n
i
i nn
ixxf
1
2
1
2
1
1)()( ?? )12)(11
6
1
nn ??,
因为 n1=?,当 ? ? 0 时,n ?,所以
3)12)(11(61lim)(lim
10
21
0 =??=?= ??=? ?? nnxfdxx n
n
i
ii??, 3
1)12)(11(
6
1lim)(lim
0
21
0 =??=?= ??=?? nnxfdxx n
n
i
ii??,
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?利用几何意义求定积分
解 函数 y=1?x在区间 [0,1]上的定积分是 以 y=1?x为曲边,
以区间 [0,1]为底的曲边梯形的面积,
因为以 y=1?x为曲边,以区间 [0,1]为底的曲边梯形是一个
直角三角形,其底边长及高均为 1,所以
例 2 例 2 用定积分的几何意义求 ? ?1
0 )1( dxx,
2
111
2
1)1(1
0 =??=?? dxx, 112
1)1(1
0 ??=?? dxx, 2
111
2
1)1(1
0 =??=?? dxx,
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( 1 ) 当 a = b 时,0)( =? ba dxxf ;
三、定积分的性质
?两点规定
( 2 ) 当 a > b 时,?? ?= abba dxxfdxxf )()(,
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? ?ba dxxgxf )]()([ ?
=?
??=
n
i
iii xgf
10
)]()([lim ??
?
??
=?=?
???=
n
i
ii
n
i
ii xgxf
1010
)(l i m)(l i m ??
?? ??
?= baba dxxgdxxf )()(,
这是因为
? ?ba dxxgxf )]()([ ?
=?
??=
n
i
iii xgf
10
)]()([lim ??
?
??
=?=?
???=
n
i
ii
n
i
ii xgxf
1010
)(lim)(lim ??
?? ??
?= baba dxxgdxxf )()(,
三、定积分的性质
性质 1 ??? ?=? bababa dxxgdxxfdxxgxf )()()]()([,
?性质 1
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三、定积分的性质
性质 1 ??? ?=? bababa dxxgdxxfdxxgxf )()()]()([,
?性质 1
?性质 2
性质 2 ?? = baba dxxfkdxxkf )()(,
>>>
?性质 3
性质 3 ??? ?= bccaba dxxfdxxfdxxf )()()(,
>>>
注,值得注意的是不论 a,b,c的相对位置如何上式总成立,
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三、定积分的性质
性质 1 ??? ?=? bababa dxxgdxxfdxxgxf )()()]()([,
?性质 1
?性质 2
性质 2 ?? = baba dxxfkdxxkf )()(,
?性质 3
?性质 4
性质 4 abdxdx baba ?== ?? 1,
性质 3 ??? ?= bccaba dxxfdxxfdxxf )()()(,
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? ?ba dxxf 0)( ( a < b ),
?推论 1 如果在区间 [a,b]上 f (x)?g(x),则
? ??ba ba dxxgdxxf )()( ( a < b ),
这是因为 g(x)?f(x)?0,从而
? ?? ??=? ba baba dxxfxgdxxfdxxg 0)]()([)()(,
? ??ba ba dxxgdxxf )()(, 所以
如果在区间 [a,b]上 f (x)?0,则?性质 5
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这是因为 ?|f(x)|?f(x)?|f(x)|,所以
? ?ba dxxf 0)( ( a < b ),
?推论 1 如果在区间 [a,b]上 f (x)?g(x),则
? ??ba ba dxxgdxxf )()( ( a < b ),
如果在区间 [a,b]上 f (x)?0,则?性质 5
? ??ba ba dxxfdxxf |)(||)(| ( a < b ), ?推论 2
?? ? ??? baba ba dxxfdxxfdxxf |)(|)(|)(|,
即 ? ??ba ba dxxfdxxf |)(||)(| |,
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上页 下页 铃结束返回首页性质 6证明
? ?ba dxxf 0)( ( a < b ),
?推论 1 如果在区间 [a,b]上 f (x)?g(x),则
? ??ba ba dxxgdxxf )()( ( a < b ),
如果在区间 [a,b]上 f (x)?0,则?性质 5
? ??ba ba dxxfdxxf |)(||)(| ( a < b ), ?推论 2
?性质 6设 M及 m分别是函数 f(x)在区间 [a,b]上的最大值及最
小值,则
? ???? ba abMdxxfabm )()()( ( a < b ),
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如果函数 f(x)在闭区间 [a,b]上连续,
则在积分区间 [a,b]上至少存在一个点 ?,使下式成立,
这是因为,由性质 6
?性质 7(定积分中值定理 )
? ?=ba abfdxxf ))(()( ?, —— 积分中值公式,
? ???? ba abMdxxfabm )()()(,
即 ? ??? ba Mdxxfabm )(1,
由介值定理,至少存在一点 ??[a,b],使
??= ba dxxfabf )(1)(?,
两端乘以 b?a即得积分中值公式,
结束