§ 3.4 函数的单调性与曲线的 凹凸性
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一、函数单调性的判定法
二、曲线的 凹凸性 与拐点
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一、函数单调性的判定法
函数 y?f(x)的图象有时上升,有时下降, 如何判断函
数的图象在什么范围内是上升的,在什么范围内是下降
的呢？
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f ?(x)?0 f ?(x)?0
?观察结果
函数单调增加时导数大于零,函数单调减少时导数
小于零,
?观察与思考
函数的单调性与导数的符号有什么关系？
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?定理 1(函数单调性的判定法 )
设函数 f(x)在 [a,b]上连续,在 (a,b)内可导,
(1)如果在 (a,b)内 f ?(x)>0,则 f(x)在 [a,b]上单调增加 ?
(2)如果在 (a,b)内 f ?(x)<0,则 f(x)在 [a,b]上单调减少,
由拉格朗日中值公式,有
f(x2)?f(x1)?f ?(x)(x2?x1) (x1<x<x2).
因为 f ?(x)>0,x2?x1>0,所以
f(x2)?f(x1)?f ?(x)(x2?x1)>0,
即 f(x1)<f(x2),
这就证明了函数 f(x)在 (a,b)内单调增加,
证明 只证 (1),在 (a,b)内任取两点 x1,x2(x1<x2),
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说明：
判定法中的开区间可换成其他各种区间,
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?定理 1(函数单调性的判定法 )
设函数 f(x)在 [a,b]上连续,在 (a,b)内可导,
(1)如果在 (a,b)内 f ?(x)>0,则 f(x)在 [a,b]上单调增加 ?
(2)如果在 (a,b)内 f ?(x)<0,则 f(x)在 [a,b]上单调减少,
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例 1 判定函数 y?x?sin x 在 [0,2p]上的单调性,
解 因为在 (0,2p)内
y??1?cos x >0,
所以函数 y?x?sin x 在 [0,2p]上的单调增加,
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?定理 1(函数单调性的判定法 )
设函数 f(x)在 [a,b]上连续,在 (a,b)内可导,
(1)如果在 (a,b)内 f ?(x)>0,则 f(x)在 [a,b]上单调增加 ?
(2)如果在 (a,b)内 f ?(x)<0,则 f(x)在 [a,b]上单调减少,
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?定理 1(函数单调性的判定法 )
设函数 f(x)在 [a,b]上连续,在 (a,b)内可导,
(1)如果在 (a,b)内 f ?(x)>0,则 f(x)在 [a,b]上单调增加 ?
(2)如果在 (a,b)内 f ?(x)<0,则 f(x)在 [a,b]上单调减少,
因为在 (??,0)内 y?<0,所以函数 y?ex?x?1在 (??,0]上
单调减少 ?
因为在 (0,??)内 y?>0,所以函数 y?ex?x?1在 [0,??)上
单调增加,
解 函数 y?ex?x?1的定义域为 (??,?).
y??ex?1.
例 2 讨论函数 y?ex ?x?1的单调性,
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解 函数的定义域为 (??,??).
所以函数在 [0,??)上单调增加,因为 x>0时,y?>0,
所以函数在 (??,0] 上单调减少 ?因为 x<0时,y?<0,
例 3 例 3, 讨论函数 3 2xy ? 的单调性,
33 2 xy ?? ( x ? 0),函数在 x ? 0 处不可导,
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1.设函数 y?f(x)在 [a,b]上连续,在 (a,b)内可导,x1,x2
是 f ?(x)的两个相邻的零点,问 f(x)在 [x1,x2]上是否单调？
2,如何把区间 [a,b]划分成一些小区间,使函数 f(x)
在每个小区间上都是单调的？
?讨论
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(1)确定函数的定义域 ?
(2)求出导数 f ?(x)?
(3)求出 f ?(x)全部零点和不可导点 ?
(4)判断或列表判断 ?
(5)综合结论,
?确定函数单调区间的步骤
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x
f ?(x)
f (x)
例 4 确定函数 f(x)?2x3?9x2?12x?3的单调区间,
解 这个函数的定义域为 (??,??).
f ?(x)?6x2?18x?12?6(x?1)(x?2),
导数为零的点为 x1?1,x2?2.
列表分析 ?
函数 f(x)在区间 (??,1]和 [2,??)内
单调增加,在区间 [1,2]上单调减少,
(??,1) (1,2) (2,??)
↗ ↘ ↗
＋ － ＋
y?2x3?9x2?12x?3
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说明：
一般地,如果 f ?(x)在某区间内
的有限个点处为零,在其余各点处
均为正 (或负 )时,那么 f(x)在该区间
上仍旧是单调增加 (或减少 )的,
例 5 讨论函数 y?x3的单调性,
解 函数的定义域为 (??,??).
y??3x2,
显然 当 x?0时,y??0? 当 x?0时,y?>0.
因此函数 y?x3在区间 (??,0]及 [0,??)内都是单调增
加的, 从而函数在整个定义域 (??,??)内是单调增加的,
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)1(111)( 22 ????? xxxxxxf,
证明 ? 令 )13(2)( xxxf ???,则
因为当 x?1时,f ?(x)?0,所以 f(x)在 [1,??)上 f(x)单调
增加,
例 6, 证明 ? 当 x ? 1 时,xx 132 ??,
例 6
证明
0)13(2 ??? xx,
也就是 xx 132 ?? ( x ? 1),
因此当 x?1时,f(x)?f(1)?0,即
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二、曲线的 凹凸性 与拐点
函数曲线除了有升有降之外,还有不同的弯曲方向,
如何根据函数本身判断函数曲线的弯曲方向呢？
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?曲 线 的 凹凸性 定义
设 f(x)在区间 I上连续,如果对 I上任意两点 x1,x2,恒有
那么称 f(x)在 I上的图形是凹的 ?
那么称 f(x)在 I上的图形是凸的,
如果恒有
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2
)()()
2(
2121 xfxfxxf ???,
2
)()()
2(
2121 xfxfxxf ???,
?观察与思考
观察切线斜率的变化与曲线凹
凸性的关系,
动画演示
>>>
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解 ? xy 1??,21xy ????,
?定理 2(曲线凹凸性的判定法 )
设 f(x)在 [a,b]上连续,在 (a,b)内具有二阶导数,
若在 (a,b)内 f ??(x)>0,则 f(x)在 [a,b]上的图形是凹的 ?
若在 (a,b)内 f ??(x)<0,则 f(x)在 [a,b]上的图形是凸的,
定理证明
例 7 判断曲线 y?ln x 的凹凸性,
因为在函数 y?ln x 的定义域 (0,??)内,y???0,
所以曲线 y?ln x是凸的,
解
解 ? x1??,21xy ????,
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例 8 判断曲线 y?x3的凹凸性,
解 y??3x 2,y???6x.
由 y???0,得 x?0.
因为当 x?0时,y???0,所以曲线在 (??,0]内是凸的 ?
因为当 x?0时,y???0,所以曲线在 [0,??)内是凹的,
设 f(x)在 [a,b]上连续,在 (a,b)内具有二阶导数,
若在 (a,b)内 f ??(x)>0,则 f(x)在 [a,b]上的图形是凹的 ?
若在 (a,b)内 f ??(x)<0,则 f(x)在 [a,b]上的图形是凸的,
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?定理 2(曲线凹凸性的判定法 )
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?拐点
连续曲线 y?f(x)上凹弧与凸弧的分界点称为该曲线的
拐点,
拐点
?讨论
如何确定曲线 y?f(x)的拐点？
如果 (x0,f(x0))是拐点且 f ??(x0)?0存在,问 f ??(x0)?？
如何找可能的拐点？
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?提示
如果在 x0的左右两侧 f ??(x)异号,则 (x0,f(x0))是拐点,
在 拐点 (x0,f(x0))处 f ??(x0)?0或 f ??(x0)不存在,
只有 f ??(x0)等于零或不存在,(x0,f(x0))才可能是拐点,
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?拐点
连续曲线 y?f(x)上凹弧与凸弧的分界点称为该曲线的
拐点,
?讨论
如何确定曲线 y?f(x)的拐点？
如果 (x0,f(x0))是拐点且 f ??(x0)存在,问 f ??(x0)?？
如何找可能的拐点？
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例 9 求曲线 y?2x3?3x2?2x?14的拐点,
解 y?6x2?6x?12,
?只有 f ??(x0)等于零或不存在,(x0,f(x0))才可能是拐点,
?如果在 x0的左右两侧 f??(x)异号,则 (x0,f(x0))是拐点,
)21(12612 ?????? xxy,
令 y ??? 0,得 21??x,
因为当 21??x 时,y ??? 0 ? 当 21??x 时,y ??? 0,因为当 21??x 时,y ??? 0 ? 当 21??x 时,y ??? 0,
所以点 ( 21?,2120 ) 是曲线的拐点,
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例 10 求曲线 y?3x4?4x3?1的拐点及凹, 凸的区间,
解 (1)函数 y?3x4?4x3?1的定义域为 (??,??)?
(4)列表判断 ?
在区间 (??,0]和 [2/3,??)上曲线是凹的 ? 在区间 [0,2/3]上
曲线是凸的,点 (0,1)和 (2/3,11/27)是曲线的拐点,
(??,0) 0 (0,2/3) 2/3 (2/3,??)
＋ － ＋
∪ ∩ ∪
0 0
1 11/27
( 3 ) 解方程 y ??? 0,得 01 ?x,322 ?x ?
( 2 ) 23 1212 xxy ???,)32(362436 2 ?????? xxxxy ?
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( 2 ) 23 1212 xxy ???,)32(362436 2 ?????? xxxxy ?
( 3 ) 解方程 y ??? 0,得 01 ?x,322 ?x ?
f ??(x)
f (x)
x
?只有 f ??(x0)等于零或不存在,(x0,f(x0))才可能是拐点,
?如果在 x0的左右两侧 f??(x)异号,则 (x0,f(x0))是拐点,
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3 2 3
1
xy ??,3 2 9
2
xxy ???? ?
?讨论
曲线 y?x4是否有拐点？
?提示 y??4x 3,y???12x 2.
当 x?0时,y??>0,在区间 (??,??)内曲线是凹的,
因此曲线无拐点,
例 6, 求曲线 3 xy ? 的拐点, 例 11
解
二阶导数无零点 ? 当 x?0时,二阶导数不存在,
因为当 x?0时,y???0?当 x?0时,y???0,
所以 点 (0,0)曲线的拐点,
结束
3 2 3
1
xy ??,3 2 9
2
xxy ?? ?
?只有 f ??(x0)等于零或不存在,(x0,f(x0))才可能是拐点,
?如果在 x0的左右两侧 f??(x)异号,则 (x0,f(x0))是拐点,
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一、函数单调性的判定法
二、曲线的 凹凸性 与拐点
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一、函数单调性的判定法
函数 y?f(x)的图象有时上升,有时下降, 如何判断函
数的图象在什么范围内是上升的,在什么范围内是下降
的呢？
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f ?(x)?0 f ?(x)?0
?观察结果
函数单调增加时导数大于零,函数单调减少时导数
小于零,
?观察与思考
函数的单调性与导数的符号有什么关系？
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?定理 1(函数单调性的判定法 )
设函数 f(x)在 [a,b]上连续,在 (a,b)内可导,
(1)如果在 (a,b)内 f ?(x)>0,则 f(x)在 [a,b]上单调增加 ?
(2)如果在 (a,b)内 f ?(x)<0,则 f(x)在 [a,b]上单调减少,
由拉格朗日中值公式,有
f(x2)?f(x1)?f ?(x)(x2?x1) (x1<x<x2).
因为 f ?(x)>0,x2?x1>0,所以
f(x2)?f(x1)?f ?(x)(x2?x1)>0,
即 f(x1)<f(x2),
这就证明了函数 f(x)在 (a,b)内单调增加,
证明 只证 (1),在 (a,b)内任取两点 x1,x2(x1<x2),
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说明：
判定法中的开区间可换成其他各种区间,
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?定理 1(函数单调性的判定法 )
设函数 f(x)在 [a,b]上连续,在 (a,b)内可导,
(1)如果在 (a,b)内 f ?(x)>0,则 f(x)在 [a,b]上单调增加 ?
(2)如果在 (a,b)内 f ?(x)<0,则 f(x)在 [a,b]上单调减少,
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例 1 判定函数 y?x?sin x 在 [0,2p]上的单调性,
解 因为在 (0,2p)内
y??1?cos x >0,
所以函数 y?x?sin x 在 [0,2p]上的单调增加,
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?定理 1(函数单调性的判定法 )
设函数 f(x)在 [a,b]上连续,在 (a,b)内可导,
(1)如果在 (a,b)内 f ?(x)>0,则 f(x)在 [a,b]上单调增加 ?
(2)如果在 (a,b)内 f ?(x)<0,则 f(x)在 [a,b]上单调减少,
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?定理 1(函数单调性的判定法 )
设函数 f(x)在 [a,b]上连续,在 (a,b)内可导,
(1)如果在 (a,b)内 f ?(x)>0,则 f(x)在 [a,b]上单调增加 ?
(2)如果在 (a,b)内 f ?(x)<0,则 f(x)在 [a,b]上单调减少,
因为在 (??,0)内 y?<0,所以函数 y?ex?x?1在 (??,0]上
单调减少 ?
因为在 (0,??)内 y?>0,所以函数 y?ex?x?1在 [0,??)上
单调增加,
解 函数 y?ex?x?1的定义域为 (??,?).
y??ex?1.
例 2 讨论函数 y?ex ?x?1的单调性,
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解 函数的定义域为 (??,??).
所以函数在 [0,??)上单调增加,因为 x>0时,y?>0,
所以函数在 (??,0] 上单调减少 ?因为 x<0时,y?<0,
例 3 例 3, 讨论函数 3 2xy ? 的单调性,
33 2 xy ?? ( x ? 0),函数在 x ? 0 处不可导,
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1.设函数 y?f(x)在 [a,b]上连续,在 (a,b)内可导,x1,x2
是 f ?(x)的两个相邻的零点,问 f(x)在 [x1,x2]上是否单调？
2,如何把区间 [a,b]划分成一些小区间,使函数 f(x)
在每个小区间上都是单调的？
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(1)确定函数的定义域 ?
(2)求出导数 f ?(x)?
(3)求出 f ?(x)全部零点和不可导点 ?
(4)判断或列表判断 ?
(5)综合结论,
?确定函数单调区间的步骤
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x
f ?(x)
f (x)
例 4 确定函数 f(x)?2x3?9x2?12x?3的单调区间,
解 这个函数的定义域为 (??,??).
f ?(x)?6x2?18x?12?6(x?1)(x?2),
导数为零的点为 x1?1,x2?2.
列表分析 ?
函数 f(x)在区间 (??,1]和 [2,??)内
单调增加,在区间 [1,2]上单调减少,
(??,1) (1,2) (2,??)
↗ ↘ ↗
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y?2x3?9x2?12x?3
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一般地,如果 f ?(x)在某区间内
的有限个点处为零,在其余各点处
均为正 (或负 )时,那么 f(x)在该区间
上仍旧是单调增加 (或减少 )的,
例 5 讨论函数 y?x3的单调性,
解 函数的定义域为 (??,??).
y??3x2,
显然 当 x?0时,y??0? 当 x?0时,y?>0.
因此函数 y?x3在区间 (??,0]及 [0,??)内都是单调增
加的, 从而函数在整个定义域 (??,??)内是单调增加的,
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)1(111)( 22 ????? xxxxxxf,
证明 ? 令 )13(2)( xxxf ???,则
因为当 x?1时,f ?(x)?0,所以 f(x)在 [1,??)上 f(x)单调
增加,
例 6, 证明 ? 当 x ? 1 时,xx 132 ??,
例 6
证明
0)13(2 ??? xx,
也就是 xx 132 ?? ( x ? 1),
因此当 x?1时,f(x)?f(1)?0,即
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二、曲线的 凹凸性 与拐点
函数曲线除了有升有降之外,还有不同的弯曲方向,
如何根据函数本身判断函数曲线的弯曲方向呢？
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?曲 线 的 凹凸性 定义
设 f(x)在区间 I上连续,如果对 I上任意两点 x1,x2,恒有
那么称 f(x)在 I上的图形是凹的 ?
那么称 f(x)在 I上的图形是凸的,
如果恒有
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2
)()()
2(
2121 xfxfxxf ???,
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)()()
2(
2121 xfxfxxf ???,
?观察与思考
观察切线斜率的变化与曲线凹
凸性的关系,
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解 ? xy 1??,21xy ????,
?定理 2(曲线凹凸性的判定法 )
设 f(x)在 [a,b]上连续,在 (a,b)内具有二阶导数,
若在 (a,b)内 f ??(x)>0,则 f(x)在 [a,b]上的图形是凹的 ?
若在 (a,b)内 f ??(x)<0,则 f(x)在 [a,b]上的图形是凸的,
定理证明
例 7 判断曲线 y?ln x 的凹凸性,
因为在函数 y?ln x 的定义域 (0,??)内,y???0,
所以曲线 y?ln x是凸的,
解
解 ? x1??,21xy ????,
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例 8 判断曲线 y?x3的凹凸性,
解 y??3x 2,y???6x.
由 y???0,得 x?0.
因为当 x?0时,y???0,所以曲线在 (??,0]内是凸的 ?
因为当 x?0时,y???0,所以曲线在 [0,??)内是凹的,
设 f(x)在 [a,b]上连续,在 (a,b)内具有二阶导数,
若在 (a,b)内 f ??(x)>0,则 f(x)在 [a,b]上的图形是凹的 ?
若在 (a,b)内 f ??(x)<0,则 f(x)在 [a,b]上的图形是凸的,
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?定理 2(曲线凹凸性的判定法 )
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?拐点
连续曲线 y?f(x)上凹弧与凸弧的分界点称为该曲线的
拐点,
拐点
?讨论
如何确定曲线 y?f(x)的拐点？
如果 (x0,f(x0))是拐点且 f ??(x0)?0存在,问 f ??(x0)?？
如何找可能的拐点？
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?提示
如果在 x0的左右两侧 f ??(x)异号,则 (x0,f(x0))是拐点,
在 拐点 (x0,f(x0))处 f ??(x0)?0或 f ??(x0)不存在,
只有 f ??(x0)等于零或不存在,(x0,f(x0))才可能是拐点,
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?拐点
连续曲线 y?f(x)上凹弧与凸弧的分界点称为该曲线的
拐点,
?讨论
如何确定曲线 y?f(x)的拐点？
如果 (x0,f(x0))是拐点且 f ??(x0)存在,问 f ??(x0)?？
如何找可能的拐点？
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例 9 求曲线 y?2x3?3x2?2x?14的拐点,
解 y?6x2?6x?12,
?只有 f ??(x0)等于零或不存在,(x0,f(x0))才可能是拐点,
?如果在 x0的左右两侧 f??(x)异号,则 (x0,f(x0))是拐点,
)21(12612 ?????? xxy,
令 y ??? 0,得 21??x,
因为当 21??x 时,y ??? 0 ? 当 21??x 时,y ??? 0,因为当 21??x 时,y ??? 0 ? 当 21??x 时,y ??? 0,
所以点 ( 21?,2120 ) 是曲线的拐点,
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例 10 求曲线 y?3x4?4x3?1的拐点及凹, 凸的区间,
解 (1)函数 y?3x4?4x3?1的定义域为 (??,??)?
(4)列表判断 ?
在区间 (??,0]和 [2/3,??)上曲线是凹的 ? 在区间 [0,2/3]上
曲线是凸的,点 (0,1)和 (2/3,11/27)是曲线的拐点,
(??,0) 0 (0,2/3) 2/3 (2/3,??)
＋ － ＋
∪ ∩ ∪
0 0
1 11/27
( 3 ) 解方程 y ??? 0,得 01 ?x,322 ?x ?
( 2 ) 23 1212 xxy ???,)32(362436 2 ?????? xxxxy ?
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( 2 ) 23 1212 xxy ???,)32(362436 2 ?????? xxxxy ?
( 3 ) 解方程 y ??? 0,得 01 ?x,322 ?x ?
f ??(x)
f (x)
x
?只有 f ??(x0)等于零或不存在,(x0,f(x0))才可能是拐点,
?如果在 x0的左右两侧 f??(x)异号,则 (x0,f(x0))是拐点,
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xy ??,3 2 9
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xxy ???? ?
?讨论
曲线 y?x4是否有拐点？
?提示 y??4x 3,y???12x 2.
当 x?0时,y??>0,在区间 (??,??)内曲线是凹的,
因此曲线无拐点,
例 6, 求曲线 3 xy ? 的拐点, 例 11
解
二阶导数无零点 ? 当 x?0时,二阶导数不存在,
因为当 x?0时,y???0?当 x?0时,y???0,
所以 点 (0,0)曲线的拐点,
结束
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xxy ?? ?
?只有 f ??(x0)等于零或不存在,(x0,f(x0))才可能是拐点,
?如果在 x0的左右两侧 f??(x)异号,则 (x0,f(x0))是拐点,
