§ 3.5 函数的极值与最大值最小值
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一、函数的极值及其求法
二、最大值最小值问题
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提问：
f(a)和 f(b)是极值吗？
?函数的极值
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一、函数的极值及其求法
设函数 f(x)在点 x0的某邻域 U(x0)内有定义 ? 如果对于任意
x?U(x0)有
f(x)?f(x0) (或 f(x)?f(x0))?
则称 f(x0)是函数 f(x)的一个极大值 (或极小值 )?
。
x1 x2 x3 x4 x5
函数的极大值与极小值统称为函数的极值 ?使函数取得
极值的点称为极值点 ?
观察与思考：
观察极值与切线的关系 ?
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设函数 f(x)在点 x0处可导 ? 且在 x0处取得极值 ?
那么 f ?(x0)?0?
?驻点
使导数 f ?(x)为零的点 (方程 f ?(x)?0的实根 )称为函数
f(x)的驻点 ?
?定理 1(必要条件 )
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讨论：
极值点是否一定是驻点？
驻点是否一定是极值点？
考察 x?0是否是函数 y?x3的
驻点 ? 是否 是函数的极值点 ?
x1 x2 x3 x4 x5
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设函数 f(x)在点 x0处可导 ? 且在 x0处取得极值 ?
那么 f ?(x0)?0?
?驻点
使导数 f ?(x)为零的点 (方程 f ?(x)?0的实根 )称为函数
f(x)的驻点 ?
?定理 1(必要条件 )
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观察与思考：
(1)观察曲线的升降与极值
之间的关系 ?
(2)观察曲线的凹凸性与极
值之间的关系 ?
x1 x2 x3 x4 x5
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设函数 f(x)在 x0处连续 ?且在 (a? x0)?(x0?b)内可导 ?
(1)如果在 (a? x0)内 f ?(x)?0? 在 (x0? b)内 f ?(x)?0? 那么函数 f(x)
在 x0处取得极大值 ?
(2)如果在 (a? x0)内 f ?(x)?0? 在 (x0? b)内 f ?(x)?0? 那么函数 f(x)
在 x0处取得极小值 ?
(3)如果在 (a? x0)及 (x0? b)内 f ?(x)的符号相同 ? 那么函数 f(x)
在 x0处没有极值 ?
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?定理 2(第一充分条件 )
x1 x2 x3 x4 x5
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?确定极值点和极值的步骤
(1)求出导数 f?(x)?
(2)求出 f(x)的全部驻点和不可导点 ?
(3)考察在每个驻点和不可导点的左右邻近 f?(x)的符号 ?
(4)确定出函数的所有极值点和极值 ?
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设函数 f(x)在 x0处连续 ?且在 (a? x0)?(x0?b)内可导 ?
(1)如果在 (a? x0)内 f ?(x)?0? 在 (x0? b)内 f ?(x)?0? 那么函数 f(x)
在 x0处取得极大值 ?
(2)如果在 (a? x0)内 f ?(x)?0? 在 (x0? b)内 f ?(x)?0? 那么函数 f(x)
在 x0处取得极小值 ?
(3)如果在 (a? x0)及 (x0? b)内 f ?(x)的符号相同 ? 那么函数 f(x)
在 x0处没有极值 ?
?定理 2(第一充分条件 )
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例 1 求函数 3 2)1()4()( ??? xxxf 的极值 ? 例 1
(1)f(x)在 (?????)内连续 ?除 x??1外处处可导 ?且解
3 13
)1(5)(
?
???
x
xxf ?
(3)列表判断
x??1为 f(x)的不可导点 ?得驻点 x?1?(2)令 f ?(x)?0?
343?
(????1) ?1 (?1?1) 1 (1???)
? 不可导 ? 0 ?
x
f ?(x)
f(x) ↗ 0 ↘ ↗3 43?
( 4 ) 极大值为 f ( ? 1) ? 0 ? 极小值为 3 43)1( ??f ?
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?定理 3(第二充分条件 )
设函数 f(x)在点 x0处具有二阶导数且 f?(x0)?0? f ??(x0)?0?
那么
(1)当 f ??(x0)?0时 ? 函数 f(x)在 x0处取得极大值 ?
(2)当 f ??(x0)?0时 ? 函数 f(x)在 x0处取得极小值 ?
应注意的问题：
如果 f ?(x0)?0?f ??(x0)?0? 则定理 3不能应用 ? 但不能由此
说明 f (x0)不是 f (x)的 极值。
讨论：
函数 f(x)?x4? g(x)?x3在点 x?0是否有极值？
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>>>
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例 2 求函数 f(x)?(x2?1)3?1的极值 ?
解 f ?(x)?6x(x2?1)2?
令 f ?(x)?0? 求得驻点 x1??1? x2?0? x3?1?
f ??(x)?6(x2?1)(5x2?1)?
因为 f ??(0)?6?0? 所以 f (x)在 x?0处取得极小值 ?
极小值为 f(0)?0?
因为 f ??(?1)?f??(1)?0? 所以用定理 3无法判别 ?
因为在 ?1的左右邻域内 f?(x)?0?
所以 f(x)在 ?1处没有极值 ?
同理 ? f(x)在 1处也没有极值 ?
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二、最大值最小值问题
观察与思考：
观察哪些点有可能成为函数的最大值或最小值点 ?
怎样求函数的最大值和最小值 ?
x1 x2 x3 x4 x5
M
m
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闭区间上的连续函数其最大值和最小值只可能在区间的
端点及区间内的极值点处取得 ?
函数在闭区间 [a? b]上的最大值一定是函数的所有极大值
和函数在区间端点的函数值中的最大者 ? 其最小值一定是函
数的所有极小值和函数在区间端点的函数值中的最小者 ?
?极值与最值的关系
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x1 x2 x3 x4 x5
M
m
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?最大值和最小值的求法
(1)求出函数 f(x)在 (a?b)内的驻点和不可导点 ?设这此点
为 x1? x2????? xn?
(2)计算函数值 f(a)? f(x1)????? f(xn)? f(b) ?
(3)判断,最大者是函数 f(x)在 [a?b]上的最大值 ?最小者是
函数 f(x)在 [a?b]上的最小值 ?
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x1 x2 x3 x4 x5
M
m
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例 3讨论函数 的极值。
解
32)2(1 ??? xy
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例 4 工厂 C与铁路线的垂直距离 AC为 20km?A点到 火车站
B的距离为 100km?欲修一条从工厂到铁路的公路 CD?已知铁
路与公路每公里运费之比为 3:5?为了使火车站 B与工厂 C间的
运费最省 ?问 D点应选在何处？
D
C
20km
A B100km
解
x
2400 xCD ??
下页
设 AD?x(km)?
y?5k?CD?3k?DB (k是某个正数 )?
即 )100(34005 2 xkxky ???? (0 ? x ? 100) ?
B与 C间的运费为 y?则
DB?100?x
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由 )34 0 05( 2 ???? xxky ? 0 ? 得 x ? 15 ?
其中以 y|x?15?380k为最小 ? 因此当 AD?15km时 ?运费最省 ?
下页
由于 y|x?0?400k? y|x?15?380k?
21 0 0 5
115 0 0| ??
? ky x ?
例 4 工厂 C与铁路线的垂直距离 AC为 20km?A点到 火车站
B的距离为 100km?欲修一条从工厂到铁路的公路 CD?已知铁
路与公路每公里运费之比为 3:5?为了使火车站 B与工厂 C间的
运费最省 ?问 D点应选在何处？
由 )34 0 05( 2 ???? xxky 0? 得 x?15 ?
y?5k?CD?3k?DB (k是某个正数 )?
即 )100(34005 2 xkxky ???? (0 ? x ? 100) ?
解 设 AD?x(km)? B与 C间的运费为 y?则
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?特殊情况下的最大值与最小值
如果 f(x)在一个区间 (有限或无限 ? 开或闭 )内可导且只有
一个驻点 x0?那么
当 f(x0)是极大值时 ?f(x0)就是 f(x)在该区间上的最大值 ?
当 f(x0)是极小值时 ?f(x0)就是 f(x)在该区间上的最小值 ?
下页说明
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解
结束
261 bhW ? )(61 22 bdb ?? ( 0 < b < d )? 261 bhW ? )(61 22 bdb ?? ( 0 < b < d ) ?
由 0)3(61 22 ???? bdW ? 得 函数 的 唯 一 驻 点 db 310 ? ? 由 0)3(61 22 ???? bdW ? 得 函数 的 唯 一 驻 点 db 310 ? ?
所以当 db 31? 时 ? 抗弯截面模量 W 最大 ? 这时 dh 32? ? 所以当 db 31? 时 ? 抗弯截面模量 W 最大 ? 这时 dh 32? ?
把 W表示成 b的函数,
函数在唯一驻点 b0处一定取得最大值 ?由 W ????b?0知 ?
例 5 把直径为 d的圆木锯成截面为矩形
的梁 ?问矩形截面的高 h和宽 b应如何选择才
261 bhW ?
能使梁的抗弯截面模量 W( )最大?
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一、函数的极值及其求法
二、最大值最小值问题
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提问：
f(a)和 f(b)是极值吗？
?函数的极值
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一、函数的极值及其求法
设函数 f(x)在点 x0的某邻域 U(x0)内有定义 ? 如果对于任意
x?U(x0)有
f(x)?f(x0) (或 f(x)?f(x0))?
则称 f(x0)是函数 f(x)的一个极大值 (或极小值 )?
。
x1 x2 x3 x4 x5
函数的极大值与极小值统称为函数的极值 ?使函数取得
极值的点称为极值点 ?
观察与思考：
观察极值与切线的关系 ?
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设函数 f(x)在点 x0处可导 ? 且在 x0处取得极值 ?
那么 f ?(x0)?0?
?驻点
使导数 f ?(x)为零的点 (方程 f ?(x)?0的实根 )称为函数
f(x)的驻点 ?
?定理 1(必要条件 )
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讨论：
极值点是否一定是驻点？
驻点是否一定是极值点？
考察 x?0是否是函数 y?x3的
驻点 ? 是否 是函数的极值点 ?
x1 x2 x3 x4 x5
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设函数 f(x)在点 x0处可导 ? 且在 x0处取得极值 ?
那么 f ?(x0)?0?
?驻点
使导数 f ?(x)为零的点 (方程 f ?(x)?0的实根 )称为函数
f(x)的驻点 ?
?定理 1(必要条件 )
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观察与思考：
(1)观察曲线的升降与极值
之间的关系 ?
(2)观察曲线的凹凸性与极
值之间的关系 ?
x1 x2 x3 x4 x5
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设函数 f(x)在 x0处连续 ?且在 (a? x0)?(x0?b)内可导 ?
(1)如果在 (a? x0)内 f ?(x)?0? 在 (x0? b)内 f ?(x)?0? 那么函数 f(x)
在 x0处取得极大值 ?
(2)如果在 (a? x0)内 f ?(x)?0? 在 (x0? b)内 f ?(x)?0? 那么函数 f(x)
在 x0处取得极小值 ?
(3)如果在 (a? x0)及 (x0? b)内 f ?(x)的符号相同 ? 那么函数 f(x)
在 x0处没有极值 ?
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?定理 2(第一充分条件 )
x1 x2 x3 x4 x5
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?确定极值点和极值的步骤
(1)求出导数 f?(x)?
(2)求出 f(x)的全部驻点和不可导点 ?
(3)考察在每个驻点和不可导点的左右邻近 f?(x)的符号 ?
(4)确定出函数的所有极值点和极值 ?
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设函数 f(x)在 x0处连续 ?且在 (a? x0)?(x0?b)内可导 ?
(1)如果在 (a? x0)内 f ?(x)?0? 在 (x0? b)内 f ?(x)?0? 那么函数 f(x)
在 x0处取得极大值 ?
(2)如果在 (a? x0)内 f ?(x)?0? 在 (x0? b)内 f ?(x)?0? 那么函数 f(x)
在 x0处取得极小值 ?
(3)如果在 (a? x0)及 (x0? b)内 f ?(x)的符号相同 ? 那么函数 f(x)
在 x0处没有极值 ?
?定理 2(第一充分条件 )
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例 1 求函数 3 2)1()4()( ??? xxxf 的极值 ? 例 1
(1)f(x)在 (?????)内连续 ?除 x??1外处处可导 ?且解
3 13
)1(5)(
?
???
x
xxf ?
(3)列表判断
x??1为 f(x)的不可导点 ?得驻点 x?1?(2)令 f ?(x)?0?
343?
(????1) ?1 (?1?1) 1 (1???)
? 不可导 ? 0 ?
x
f ?(x)
f(x) ↗ 0 ↘ ↗3 43?
( 4 ) 极大值为 f ( ? 1) ? 0 ? 极小值为 3 43)1( ??f ?
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?定理 3(第二充分条件 )
设函数 f(x)在点 x0处具有二阶导数且 f?(x0)?0? f ??(x0)?0?
那么
(1)当 f ??(x0)?0时 ? 函数 f(x)在 x0处取得极大值 ?
(2)当 f ??(x0)?0时 ? 函数 f(x)在 x0处取得极小值 ?
应注意的问题：
如果 f ?(x0)?0?f ??(x0)?0? 则定理 3不能应用 ? 但不能由此
说明 f (x0)不是 f (x)的 极值。
讨论：
函数 f(x)?x4? g(x)?x3在点 x?0是否有极值？
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例 2 求函数 f(x)?(x2?1)3?1的极值 ?
解 f ?(x)?6x(x2?1)2?
令 f ?(x)?0? 求得驻点 x1??1? x2?0? x3?1?
f ??(x)?6(x2?1)(5x2?1)?
因为 f ??(0)?6?0? 所以 f (x)在 x?0处取得极小值 ?
极小值为 f(0)?0?
因为 f ??(?1)?f??(1)?0? 所以用定理 3无法判别 ?
因为在 ?1的左右邻域内 f?(x)?0?
所以 f(x)在 ?1处没有极值 ?
同理 ? f(x)在 1处也没有极值 ?
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二、最大值最小值问题
观察与思考：
观察哪些点有可能成为函数的最大值或最小值点 ?
怎样求函数的最大值和最小值 ?
x1 x2 x3 x4 x5
M
m
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闭区间上的连续函数其最大值和最小值只可能在区间的
端点及区间内的极值点处取得 ?
函数在闭区间 [a? b]上的最大值一定是函数的所有极大值
和函数在区间端点的函数值中的最大者 ? 其最小值一定是函
数的所有极小值和函数在区间端点的函数值中的最小者 ?
?极值与最值的关系
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x1 x2 x3 x4 x5
M
m
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?最大值和最小值的求法
(1)求出函数 f(x)在 (a?b)内的驻点和不可导点 ?设这此点
为 x1? x2????? xn?
(2)计算函数值 f(a)? f(x1)????? f(xn)? f(b) ?
(3)判断,最大者是函数 f(x)在 [a?b]上的最大值 ?最小者是
函数 f(x)在 [a?b]上的最小值 ?
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x1 x2 x3 x4 x5
M
m
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例 3讨论函数 的极值。
解
32)2(1 ??? xy
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例 4 工厂 C与铁路线的垂直距离 AC为 20km?A点到 火车站
B的距离为 100km?欲修一条从工厂到铁路的公路 CD?已知铁
路与公路每公里运费之比为 3:5?为了使火车站 B与工厂 C间的
运费最省 ?问 D点应选在何处？
D
C
20km
A B100km
解
x
2400 xCD ??
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设 AD?x(km)?
y?5k?CD?3k?DB (k是某个正数 )?
即 )100(34005 2 xkxky ???? (0 ? x ? 100) ?
B与 C间的运费为 y?则
DB?100?x
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由 )34 0 05( 2 ???? xxky ? 0 ? 得 x ? 15 ?
其中以 y|x?15?380k为最小 ? 因此当 AD?15km时 ?运费最省 ?
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由于 y|x?0?400k? y|x?15?380k?
21 0 0 5
115 0 0| ??
? ky x ?
例 4 工厂 C与铁路线的垂直距离 AC为 20km?A点到 火车站
B的距离为 100km?欲修一条从工厂到铁路的公路 CD?已知铁
路与公路每公里运费之比为 3:5?为了使火车站 B与工厂 C间的
运费最省 ?问 D点应选在何处？
由 )34 0 05( 2 ???? xxky 0? 得 x?15 ?
y?5k?CD?3k?DB (k是某个正数 )?
即 )100(34005 2 xkxky ???? (0 ? x ? 100) ?
解 设 AD?x(km)? B与 C间的运费为 y?则
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?特殊情况下的最大值与最小值
如果 f(x)在一个区间 (有限或无限 ? 开或闭 )内可导且只有
一个驻点 x0?那么
当 f(x0)是极大值时 ?f(x0)就是 f(x)在该区间上的最大值 ?
当 f(x0)是极小值时 ?f(x0)就是 f(x)在该区间上的最小值 ?
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解
结束
261 bhW ? )(61 22 bdb ?? ( 0 < b < d )? 261 bhW ? )(61 22 bdb ?? ( 0 < b < d ) ?
由 0)3(61 22 ???? bdW ? 得 函数 的 唯 一 驻 点 db 310 ? ? 由 0)3(61 22 ???? bdW ? 得 函数 的 唯 一 驻 点 db 310 ? ?
所以当 db 31? 时 ? 抗弯截面模量 W 最大 ? 这时 dh 32? ? 所以当 db 31? 时 ? 抗弯截面模量 W 最大 ? 这时 dh 32? ?
把 W表示成 b的函数,
函数在唯一驻点 b0处一定取得最大值 ?由 W ????b?0知 ?
例 5 把直径为 d的圆木锯成截面为矩形
的梁 ?问矩形截面的高 h和宽 b应如何选择才
261 bhW ?
能使梁的抗弯截面模量 W( )最大?
