§ 4.3 分部积分法
?分部积分公式
设函数 u?u(x)及 v?v(x)具有连续导数,那么,
(uv)??u?v?uv?,
移项得 uv??(uv)??u?v.
对这个等式两边求不定积分,得
?分部积分过程
这两个公式称为分部积分公式,
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?? ???? v dxuuvdxvu,? 或 ?? ?? v d uuvud v,?? ???? v dxuuvdxvu,? 或 ?? ?? v d uuvud v,
??????????? ???? vdxuuvvduuvudvdxvu, ??????????? ???? vdxuuvvduuvudvdxvu, ?????????? ???? v d xuuvd uuvudvdxvu, ?????????? ???? v d xuuvv duvudvdxvu,
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例 1
?x sin x?cos x?C,
例 2
例 3
?x2ex?2xex?2ex?C
?ex(x2?2x?2 )?C.
??????????? ???? v d xuuvv d uuvudvdxvu,
分部积分过程：
例 1 ? ?? ??? x d xxxxxdx d xx s ins ins inc os 例 1 ? ?? ?? x d xxx d xx s ins inc os 例 1 ? ?? ??? xdxxxxdxdxx sininsincos 例 1 ? ?? ??? x d xxxxxdx d xx s ins ins ic os
例 2 Cexedxexexdedxxe xxxxxx ?????? ???, 例 2 Cexedxexexdedxxe xxxxxx ?????? ???, 例 2 Cexedxexexdedxxe xxxxx ???? ??, 例 2 Cexedxexexdedxxe xxxxxx ????? ???, 例 2 Cexedxxex d edxxe xxxxx ????? ???,
例 3 ??? ??? 2222 dxeexdexdxex xxxx
?? ???? xxxx x d eexdxxeex 22 22 ???? dxexeex xxx 222
例 3 ??? ??? 2222 dxeexdexdxex xxxx 例 3 ??? ??? 2222 dxexdexdxex xxxx 例 3 ??? ?? 2222 dxeexdexdxex xxxx
?? ???? xxxx x d eexdxxeex 22 22 ???? dxexeex xxx 222
?? ???? xxxx x d eexdxxeex 22 22 ???? dxexeex xxx 222
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例 4
例 5
??????????? ???? v d xuuvv d uuvudvdxvu,
分部积分过程：
例 4 ??? ???? dxxxxxxdxxdxx 121ln21ln21ln 222 ?
Cxxxx dxxx ????? ? 222 41ln2121ln21,
例 4 ??? ???? dxxxxxx dxx dx 121ln21ln21ln 222 ? 例 4 ??? ???? dxxxxxxdx 121ln21ln21ln 222 ? 例 4 ??? ???? dxxxxxx dxdxx 121ln21ln21ln 22
Cxxxx dxxx ????? ? 222 41ln2121ln21,
例 5 ?? ?? xxdxxx d x a r c c o sa r c c o sa r c c o s
dx
x
xxx ?
?
?? 2
1
1a r c c o s
)1()1(21a r c c o s 22
1
2 xdxxx ???? ? ?
Cxxx ???? 21a r c c o s,
例 ??? xxdxxx d x a r c c o sa r c o sr c c o s 例 5 ?? ? xdxx d x a r c c oa r c c o sa r c c o s
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例 6
??????????? ???? v d xuuvv d uuvudvdxvu,
分部积分过程：
例 6 ?? ? 2a r c t a n21a r c t a n x dxx dxx
? ???? dxxxxx 222 1 121a r c ta n21
? ???? dxxxx )1 11(21a r c ta n21 22
Cxxxx ???? a r c t a n2121a r c t a n21 2,
例 6 ?? ? 2a r c t a21a r c t n x dxx dxx
? ???? dxxxxx 222 1 121a r c ta n21
? ???? xxx 1 11(21a r c ta n21 22
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解 因为
例 7 例 7 求 x d xe x s in?,
??? ??? xdexex d ex d xe xxxx s ins ins ins in
?? ???? xxxx x d exex d xexe c o ss inc o ss in
???? xdexexe xxx c osc oss i n
???? xdexexe xxx c osc oss i n
???? x d xexexe xxx s i nc o ss i n,
所以 Cxxex d xe xx ???? )c o s( s i n21s i n,
??? ??? xdexex d ex d xe xxxx s ins ins ins in ??? ??? xdexex d ex d xe xxxx s ins ins ins in
?? ???? xxxx x d exex d xexe c o ss inc o ss in
??????????? ???? v d xuuvv d uuvudvdxvu,
分部积分过程：
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??????????? ???? v d xuuvv d uuvudvdxvu,
分部积分过程：
解 因为
例 8 例 8 求 ? x d x3s e c,
??? ??? xxdxd xxxd x tans ecs ecs ecs ec 23
??? x d xxxx 2t a ns e ct a ns e c
? ??? dxxxxx )1( s e cs e ct a ns e c 2
?? ??? x d xx d xxx s e cs e ct a ns e c 3
????? x d xxxxx 3s e c|t a ns e c|lnt a ns e c,
所以 ? x d x3s e c Cxxxx ???? |)ta ns e c|lnta n( s e c21,
??? ??? xxdx d xx x t a ns e cs e cs es e c 23 ??? ?? xxdd xxx d x t a ns e cs e cs e cs e c 23
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于是 ?? ])32()([)1(2 1 11222 ?? ????? nnn Inax xnaI,?
解
当 n?1时,?用分部积分法,有
例 9
例 9 求 ? ?? nn ax dxI )( 22,其中 n 为正整数,?
dxax xnax xax dx nnn ?? ?????? ?? )()1(2)()( 22 2122122
dxax aaxnax x nnn ? ??????? ?? ])()( 1[)1(2)( 22 2122122,?
解 Caxaax dxI ???? ? a r c ta n1221 ?
即 ))(1(2)( 211221 nnnn IaInax xI ????? ???,?
即
dxax xnax xax dx nnn ?? ?????? ?? )()1(2)()( 22 2122122 dxax xax xax dx nnn ?? ?????? ?? )()1(2)()( 22 212122
dxax aaxnax x nnn ? ??????? ?? ])()( 1[)1(2)( 22 2122122,?
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解法一 于是
解法二
例 10 例 10 求 dxe x?,
令 x?t2,则 dx?2tdt.??
dxe x? CxeCtedtte xtt ??????? ? )1(2)1(22,
xdexxdedxe xxx ??? ?? 2)( 2
xdeexdex xxx ?? ??? 222
CxeCeex xxx ?????? )1(222,?
dxe x? CxeCtedtte xtt ??????? ? )1(2)1(22, dxe x? CxeCtedt xtt ??????? ? )1(2)1(22, dxe x? CxeCtedtte xtt ??????? ? )1(2)1(22,
xdexxdedxe xxx ??? ?? 2)( 2 dexxdedxe xxx ??? ?? 2)( 2
xdeexdex xxx ?? ??? 222
CxeCeex xxx ?????? )1(222,?
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注：
在后者中 u(x)不是以 v(x)为中间变量的复合函数,故用分
部积分法,
在前者中 f[?(x)]是以 ?(x)为中间变量的复合函数,故用换
元积分法,
第一步都是凑微分
?第一换积分元法与分部积分法的比较
)( )( )()]([)()]([ ??????? ??? duufuxxdxfdxxxf ????? 令,
)()()()()()()()( ???????? ??? xduxvxvxuxdvxudxxvxu,
)( )( )()]([)()]([ ??????? ??? duufuxxdxfdxxxf ????? 令,
)()()()()()()()( ???????? ??? xduxvxvxuxdvxudxxvxu,
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第一步都是凑微分
?第一换积分元法与分部积分法的比较
)( )( )()]([)()]([ ??????? ??? duufuxxdxfdxxxf ????? 令,
)()()()()()()()( ???????? ??? xduxvxvxuxdvxudxxvxu,
)( )( )()]([)()]([ ??????? ??? duufuxxdxfdxxxf ????? 令,
)()()()()()()()( ???????? ??? xduxvxvxuxdvxudxxvxu,
2 222 ?????? ??? duedxedxxe uxx,?
2222 ??????? ??? dxeexdexdxex xxxx, ?
提问：
下列积分已经过凑微分,下一步该用什么方法？
2 222 ?????? ??? duedxedxxe uxx,?
2222 ??????? ??? dxeexdexdxex xxxx, ?
2 222 ?????? ??? duedxedxxe uxx,?
2222 ??????? ??? dxeexdexdxex xxxx, ?
提示：
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?可用分部积分法的积分小结
(1)被积函数为幂函数与三角函数或指数函数的积,
(2)被积函数为幂函数与对数函数或反三角函数的积,
(3)被积函数为指数函数与三角函数的积,
? x d xx c o s,? ? dxxe x,? dxex x? 2 ?
? x d xx ln,? x d xa r c c o s,? x d xx a r c t a n ?
x d xe x s i n?,? x d x3s e c,
结束
?分部积分公式
设函数 u?u(x)及 v?v(x)具有连续导数,那么,
(uv)??u?v?uv?,
移项得 uv??(uv)??u?v.
对这个等式两边求不定积分,得
?分部积分过程
这两个公式称为分部积分公式,
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?? ???? v dxuuvdxvu,? 或 ?? ?? v d uuvud v,?? ???? v dxuuvdxvu,? 或 ?? ?? v d uuvud v,
??????????? ???? vdxuuvvduuvudvdxvu, ??????????? ???? vdxuuvvduuvudvdxvu, ?????????? ???? v d xuuvd uuvudvdxvu, ?????????? ???? v d xuuvv duvudvdxvu,
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例 1
?x sin x?cos x?C,
例 2
例 3
?x2ex?2xex?2ex?C
?ex(x2?2x?2 )?C.
??????????? ???? v d xuuvv d uuvudvdxvu,
分部积分过程：
例 1 ? ?? ??? x d xxxxxdx d xx s ins ins inc os 例 1 ? ?? ?? x d xxx d xx s ins inc os 例 1 ? ?? ??? xdxxxxdxdxx sininsincos 例 1 ? ?? ??? x d xxxxxdx d xx s ins ins ic os
例 2 Cexedxexexdedxxe xxxxxx ?????? ???, 例 2 Cexedxexexdedxxe xxxxxx ?????? ???, 例 2 Cexedxexexdedxxe xxxxx ???? ??, 例 2 Cexedxexexdedxxe xxxxxx ????? ???, 例 2 Cexedxxex d edxxe xxxxx ????? ???,
例 3 ??? ??? 2222 dxeexdexdxex xxxx
?? ???? xxxx x d eexdxxeex 22 22 ???? dxexeex xxx 222
例 3 ??? ??? 2222 dxeexdexdxex xxxx 例 3 ??? ??? 2222 dxexdexdxex xxxx 例 3 ??? ?? 2222 dxeexdexdxex xxxx
?? ???? xxxx x d eexdxxeex 22 22 ???? dxexeex xxx 222
?? ???? xxxx x d eexdxxeex 22 22 ???? dxexeex xxx 222
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例 4
例 5
??????????? ???? v d xuuvv d uuvudvdxvu,
分部积分过程：
例 4 ??? ???? dxxxxxxdxxdxx 121ln21ln21ln 222 ?
Cxxxx dxxx ????? ? 222 41ln2121ln21,
例 4 ??? ???? dxxxxxx dxx dx 121ln21ln21ln 222 ? 例 4 ??? ???? dxxxxxxdx 121ln21ln21ln 222 ? 例 4 ??? ???? dxxxxxx dxdxx 121ln21ln21ln 22
Cxxxx dxxx ????? ? 222 41ln2121ln21,
例 5 ?? ?? xxdxxx d x a r c c o sa r c c o sa r c c o s
dx
x
xxx ?
?
?? 2
1
1a r c c o s
)1()1(21a r c c o s 22
1
2 xdxxx ???? ? ?
Cxxx ???? 21a r c c o s,
例 ??? xxdxxx d x a r c c o sa r c o sr c c o s 例 5 ?? ? xdxx d x a r c c oa r c c o sa r c c o s
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例 6
??????????? ???? v d xuuvv d uuvudvdxvu,
分部积分过程：
例 6 ?? ? 2a r c t a n21a r c t a n x dxx dxx
? ???? dxxxxx 222 1 121a r c ta n21
? ???? dxxxx )1 11(21a r c ta n21 22
Cxxxx ???? a r c t a n2121a r c t a n21 2,
例 6 ?? ? 2a r c t a21a r c t n x dxx dxx
? ???? dxxxxx 222 1 121a r c ta n21
? ???? xxx 1 11(21a r c ta n21 22
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解 因为
例 7 例 7 求 x d xe x s in?,
??? ??? xdexex d ex d xe xxxx s ins ins ins in
?? ???? xxxx x d exex d xexe c o ss inc o ss in
???? xdexexe xxx c osc oss i n
???? xdexexe xxx c osc oss i n
???? x d xexexe xxx s i nc o ss i n,
所以 Cxxex d xe xx ???? )c o s( s i n21s i n,
??? ??? xdexex d ex d xe xxxx s ins ins ins in ??? ??? xdexex d ex d xe xxxx s ins ins ins in
?? ???? xxxx x d exex d xexe c o ss inc o ss in
??????????? ???? v d xuuvv d uuvudvdxvu,
分部积分过程：
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??????????? ???? v d xuuvv d uuvudvdxvu,
分部积分过程：
解 因为
例 8 例 8 求 ? x d x3s e c,
??? ??? xxdxd xxxd x tans ecs ecs ecs ec 23
??? x d xxxx 2t a ns e ct a ns e c
? ??? dxxxxx )1( s e cs e ct a ns e c 2
?? ??? x d xx d xxx s e cs e ct a ns e c 3
????? x d xxxxx 3s e c|t a ns e c|lnt a ns e c,
所以 ? x d x3s e c Cxxxx ???? |)ta ns e c|lnta n( s e c21,
??? ??? xxdx d xx x t a ns e cs e cs es e c 23 ??? ?? xxdd xxx d x t a ns e cs e cs e cs e c 23
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于是 ?? ])32()([)1(2 1 11222 ?? ????? nnn Inax xnaI,?
解
当 n?1时,?用分部积分法,有
例 9
例 9 求 ? ?? nn ax dxI )( 22,其中 n 为正整数,?
dxax xnax xax dx nnn ?? ?????? ?? )()1(2)()( 22 2122122
dxax aaxnax x nnn ? ??????? ?? ])()( 1[)1(2)( 22 2122122,?
解 Caxaax dxI ???? ? a r c ta n1221 ?
即 ))(1(2)( 211221 nnnn IaInax xI ????? ???,?
即
dxax xnax xax dx nnn ?? ?????? ?? )()1(2)()( 22 2122122 dxax xax xax dx nnn ?? ?????? ?? )()1(2)()( 22 212122
dxax aaxnax x nnn ? ??????? ?? ])()( 1[)1(2)( 22 2122122,?
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解法一 于是
解法二
例 10 例 10 求 dxe x?,
令 x?t2,则 dx?2tdt.??
dxe x? CxeCtedtte xtt ??????? ? )1(2)1(22,
xdexxdedxe xxx ??? ?? 2)( 2
xdeexdex xxx ?? ??? 222
CxeCeex xxx ?????? )1(222,?
dxe x? CxeCtedtte xtt ??????? ? )1(2)1(22, dxe x? CxeCtedt xtt ??????? ? )1(2)1(22, dxe x? CxeCtedtte xtt ??????? ? )1(2)1(22,
xdexxdedxe xxx ??? ?? 2)( 2 dexxdedxe xxx ??? ?? 2)( 2
xdeexdex xxx ?? ??? 222
CxeCeex xxx ?????? )1(222,?
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注：
在后者中 u(x)不是以 v(x)为中间变量的复合函数,故用分
部积分法,
在前者中 f[?(x)]是以 ?(x)为中间变量的复合函数,故用换
元积分法,
第一步都是凑微分
?第一换积分元法与分部积分法的比较
)( )( )()]([)()]([ ??????? ??? duufuxxdxfdxxxf ????? 令,
)()()()()()()()( ???????? ??? xduxvxvxuxdvxudxxvxu,
)( )( )()]([)()]([ ??????? ??? duufuxxdxfdxxxf ????? 令,
)()()()()()()()( ???????? ??? xduxvxvxuxdvxudxxvxu,
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第一步都是凑微分
?第一换积分元法与分部积分法的比较
)( )( )()]([)()]([ ??????? ??? duufuxxdxfdxxxf ????? 令,
)()()()()()()()( ???????? ??? xduxvxvxuxdvxudxxvxu,
)( )( )()]([)()]([ ??????? ??? duufuxxdxfdxxxf ????? 令,
)()()()()()()()( ???????? ??? xduxvxvxuxdvxudxxvxu,
2 222 ?????? ??? duedxedxxe uxx,?
2222 ??????? ??? dxeexdexdxex xxxx, ?
提问：
下列积分已经过凑微分,下一步该用什么方法？
2 222 ?????? ??? duedxedxxe uxx,?
2222 ??????? ??? dxeexdexdxex xxxx, ?
2 222 ?????? ??? duedxedxxe uxx,?
2222 ??????? ??? dxeexdexdxex xxxx, ?
提示：
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?可用分部积分法的积分小结
(1)被积函数为幂函数与三角函数或指数函数的积,
(2)被积函数为幂函数与对数函数或反三角函数的积,
(3)被积函数为指数函数与三角函数的积,
? x d xx c o s,? ? dxxe x,? dxex x? 2 ?
? x d xx ln,? x d xa r c c o s,? x d xx a r c t a n ?
x d xe x s i n?,? x d x3s e c,
结束
