一、位置函数与速度函数之间的联系
二、积分上限的函数及其导数
三、牛顿 ??莱布尼茨公式
§ 5.2 微积分基本公式
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设物体从某定点开始作直线运动,在 t时刻物体所经过的
路程为 S(t),速度为 v?v(t)?S?(t)(v(t)?0),则在时间间隔 [T1,T2]内
物体所经过的路程 S可表示为
一、位置函数与速度函数之间的联系
上式表明,速度函数 v(t)在区间 [T1,T2]上的定积分等于 v(t)
的原函数 S(t)在区间 [T1,T2]上的增量,
这个特殊问题中得出的关系是否具有普遍意义呢？
)()( 12 TSTS ? 及 dttvTT )(2
1?
,
即 )()()( 122
1
TSTSdttvTT ???,
即
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二、积分上限的函数及其导数
?积分上限的函数
设函数 f(x)在区间 [a,b]上连续,x?[a,b],我们称
dxxfxa )(?,或 dttfxa )(?
为积分上限的函数,
?定理 1(积分上限函数的导数 )
如果函数 f ( x ) 在区间 [ a,b ] 上连续,则函数 dxxfx xa )()( ???
在 [a,b]上可导,并且
)( )()()( bxaxfdttfdxdx xa ????? ? ?,
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提示：
例 1 设 f(x)在 [0,??)内连续且 f(x)>0.证明函数
?
??
x
x
dttf
dtttf
xF
0
0
)(
)(
)(
在 (0,??)内为单调增加函数,
证明 因为
2
0
0 0
))((
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?
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x
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按假设,当 0?t?x时 f (t)>0,(x?t)f (t)>0,所以
0)(0 ?? dttfx,0)()(0 ??? dttftxx,0)(0 ?? dttfx,0)()(0 ??? dttftxx,
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例 1 设 f(x)在 [0,??)内连续且 f(x)>0.证明函数
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在 (0,??)内为单调增加函数,
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按假设,当 0?t?x时 f (t)>0,(x?t)f (t)>0,所以
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从而 F?(x)>0(x>0),因此 F(x)在 (0,??)内为单调增加函数,
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提示：
例 7 求 2
1
c o s
0
2
lim x
dtex t
x
? ?
?
,
例 2
解 这是一个零比零型未定式,由罗必达法则
2
c o s
1
02
1
c o s
0
22
limlim x
dte
x
dte x t
x
x
t
x
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?
?
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?
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xe x
x 2
1
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?
,
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设 ? ??? x t dtex 1 2)(,则 ? ??? x t dtex c o s1 2)( c o s,
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dx
duu
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dx
dx
d 22 c o ss in)s in()()( c o s ?? ??????????, xu exxe
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d 22 c o ss in)s in()()( c o s ?? ?????????, xu exxe
dx
duu
du
dx
dx
d 2c o ss in)s in()()( c o s ?? ??????????, u exxe
dx
duu
duxdx
d 22 c o sin)s in(()( c o s ?? ??????????,
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定理的重要意义：
一方面肯定了连续函数的原函数是存在的,另一方面初
步地揭示了积分学中的定积分与原函数之间的联系,
就是 f(x)在 [a,b]上的一个原函数,
如果函数 f ( x ) 在区间 [ a,b ] 上连续,则函数 dxxfx xa )()( ???
?定理 2
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三、牛顿 ??莱布尼茨公式
若 F(x)是连续函数 f(x)在区间 [a,b]上的一个原函数,则
)()()( aFbFdxxfba ???,
定理 3(牛顿 ??莱布尼茨公式 )
)()()( aFbFdxxfba ???,
证明 设 dttfx xa )()( ???,则 也 是 f ( x ) 的 原 函数,
证明
因为 F(x)和 ?(x)都是 f(x)的原函数,所以存在常数 C,使
F(x)??(x)?C.
由 F(a)??(a)?C及 ?(a)?0,得 C?F(a),F(x)??(x)?F(a).
由 F(b)??(b)?F(a),得 ?(b)?F(b)?F(a),即
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牛顿 ??莱布尼茨公式进一步揭示了定积分与被积函数的
原函数或不定积分之间的联系,
三、牛顿 ??莱布尼茨公式
若 F(x)是连续函数 f(x)在区间 [a,b]上的一个原函数,则
)()()( aFbFdxxfba ???,
定理 3(牛顿 ??莱布尼茨公式 )
为了方便起见,可把 F ( b ) ? F ( a ) 记成 baxF )]([,于是
)()()]([)( aFbFxFdxxf baba ????,
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若 F ( x ) 是 f ( x ) 的 原 函数,则 )()()]([)( aFbFxFdxxf baba ????,
解
解
例 3
例 1 计算 ?10 2 dxx,
3
10
3
11
3
1]
3
1[ 331
03
1
0
2 ??????? xdxx,
例 4 例 2 计算
2
3
1 1 x
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31
2
3
1 ][arc ta n1 ?? ??? xx
dx )1arc ta n(3arc ta n ???
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3
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12
3
1 ][ a r c ta n1 ?? ??? xx
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解 这是求由曲线 y?sin x,直线 x?0,x??及 x轴所围成的曲
边梯形的的面积,
若 F ( x ) 是 f ( x ) 的 原 函数,则 )()()]([)( aFbFxFdxxf baba ????,
解
例 5
例 3 计算 ??? 12 1 dxx,
解 2ln2ln1ln|]|[ln1 1212 ????? ????? xdxx, 解 2ln2ln1ln|]|[ln1 1212 ????? ????? xdxx, 解 2ln2ln1ln|][ ln1 1212 ??????? xdxx,
例 6 计算正弦曲线 y?sin x在 [0,?]上与 x轴所围成的平面
图形的面积,
2)1()1(]c o s[s in 00 ????????? ? ?? xxd xA, 2)1()1(]c o s[s in 0 ???????? ?? xxdxA, 2)1()1(]c o s[s in0 ?????? ?? xx d xA,
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例 7 汽车以每小时 36km速度行驶,到某处需要减速停车,
设汽车以等加速度 a??5m/s2刹车, 问从开始刹车到停车,汽车
走了多少距离？
t?2(s).
当汽车停止时,有
v(t)?v0?at?10?5t.
刹车后 t 时刻汽车的速度为
v(t)?10?5t?0,
汽车刹车时的初速度为解
m / s10m / s3 6 0 01 0 0 036k m /h360 ????v,
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提示,首先要计算从开始刹车到停车所需的时间 T,然后计算
速度 v(t)在时间区间 [0,T]上的定积分,
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例 7 汽车以每小时 36km速度行驶,到某处需要减速停车,
设汽车以等加速度 a??5m/s2刹车, 问从开始刹车到停车,汽车
走了多少距离？
于是从开始刹车到停车汽车所走过的距离为
t?2(s).
当汽车停止时,有
v(t)?v0?at?10?5t.
刹车后 t 时刻汽车的速度为
v(t)?10?5t?0,
汽车刹车时的初速度为解
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结束
二、积分上限的函数及其导数
三、牛顿 ??莱布尼茨公式
§ 5.2 微积分基本公式
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设物体从某定点开始作直线运动,在 t时刻物体所经过的
路程为 S(t),速度为 v?v(t)?S?(t)(v(t)?0),则在时间间隔 [T1,T2]内
物体所经过的路程 S可表示为
一、位置函数与速度函数之间的联系
上式表明,速度函数 v(t)在区间 [T1,T2]上的定积分等于 v(t)
的原函数 S(t)在区间 [T1,T2]上的增量,
这个特殊问题中得出的关系是否具有普遍意义呢？
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即 )()()( 122
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二、积分上限的函数及其导数
?积分上限的函数
设函数 f(x)在区间 [a,b]上连续,x?[a,b],我们称
dxxfxa )(?,或 dttfxa )(?
为积分上限的函数,
?定理 1(积分上限函数的导数 )
如果函数 f ( x ) 在区间 [ a,b ] 上连续,则函数 dxxfx xa )()( ???
在 [a,b]上可导,并且
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提示：
例 1 设 f(x)在 [0,??)内连续且 f(x)>0.证明函数
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例 1 设 f(x)在 [0,??)内连续且 f(x)>0.证明函数
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从而 F?(x)>0(x>0),因此 F(x)在 (0,??)内为单调增加函数,
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例 7 求 2
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一方面肯定了连续函数的原函数是存在的,另一方面初
步地揭示了积分学中的定积分与原函数之间的联系,
就是 f(x)在 [a,b]上的一个原函数,
如果函数 f ( x ) 在区间 [ a,b ] 上连续,则函数 dxxfx xa )()( ???
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三、牛顿 ??莱布尼茨公式
若 F(x)是连续函数 f(x)在区间 [a,b]上的一个原函数,则
)()()( aFbFdxxfba ???,
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)()()( aFbFdxxfba ???,
证明 设 dttfx xa )()( ???,则 也 是 f ( x ) 的 原 函数,
证明
因为 F(x)和 ?(x)都是 f(x)的原函数,所以存在常数 C,使
F(x)??(x)?C.
由 F(a)??(a)?C及 ?(a)?0,得 C?F(a),F(x)??(x)?F(a).
由 F(b)??(b)?F(a),得 ?(b)?F(b)?F(a),即
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牛顿 ??莱布尼茨公式进一步揭示了定积分与被积函数的
原函数或不定积分之间的联系,
三、牛顿 ??莱布尼茨公式
若 F(x)是连续函数 f(x)在区间 [a,b]上的一个原函数,则
)()()( aFbFdxxfba ???,
定理 3(牛顿 ??莱布尼茨公式 )
为了方便起见,可把 F ( b ) ? F ( a ) 记成 baxF )]([,于是
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若 F ( x ) 是 f ( x ) 的 原 函数,则 )()()]([)( aFbFxFdxxf baba ????,
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例 3
例 1 计算 ?10 2 dxx,
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解 这是求由曲线 y?sin x,直线 x?0,x??及 x轴所围成的曲
边梯形的的面积,
若 F ( x ) 是 f ( x ) 的 原 函数,则 )()()]([)( aFbFxFdxxf baba ????,
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例 5
例 3 计算 ??? 12 1 dxx,
解 2ln2ln1ln|]|[ln1 1212 ????? ????? xdxx, 解 2ln2ln1ln|]|[ln1 1212 ????? ????? xdxx, 解 2ln2ln1ln|][ ln1 1212 ??????? xdxx,
例 6 计算正弦曲线 y?sin x在 [0,?]上与 x轴所围成的平面
图形的面积,
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例 7 汽车以每小时 36km速度行驶,到某处需要减速停车,
设汽车以等加速度 a??5m/s2刹车, 问从开始刹车到停车,汽车
走了多少距离？
t?2(s).
当汽车停止时,有
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刹车后 t 时刻汽车的速度为
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汽车刹车时的初速度为解
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提示,首先要计算从开始刹车到停车所需的时间 T,然后计算
速度 v(t)在时间区间 [0,T]上的定积分,
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设汽车以等加速度 a??5m/s2刹车, 问从开始刹车到停车,汽车
走了多少距离？
于是从开始刹车到停车汽车所走过的距离为
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当汽车停止时,有
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刹车后 t 时刻汽车的速度为
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结束
