一、弧微分
二、曲率及其计算公式
三、曲率圆与曲率半径
§ 3.7 曲率
曲线的弯曲线程度
与哪些因素有关 ? 怎样
度量曲线的弯曲程度？
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一、弧微分
?曲线的基点与正向
设函数 f(x)在区间 (a? b)内具有连续导数 ? 在曲线 y?f(x)
上取固定点 M0(x0? y0)作为度量弧长的基点 ? 并规定依 x 增
大的方向作为曲线的正向 ?
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s>0s<0
?有向弧段 的值MM0
(
对曲线上任一点 M(x? y)? 规定有向弧段的值 s (简称
弧 )如下 ? s 的绝对值等于这弧段的长度 ? 当有向弧段 MM0
(
的方向与曲线的正向一致时 s>0? 相反时 s<0?
显然 ? 弧 s 是 x 的单调增加函数 ? s?s(x)?
下页
一、弧微分
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?弧微分公式
设 x? x?Dx为 (a? b)内两个邻近的点 ? 它们在曲线 y?f(x)
上的对应点为 M? N? 并设对应于 x的增量 Dx? 弧 s 的增量
为 Ds? 因为当 Dx?0时 ? Ds ~ MN? 又 Dx与 Ds同号 ? 所以
由此得弧微分公式 ?
2
0
22
00
)(1lim|| )()(limlim xyx yxxsdxds
xxx D
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二、曲率及其计算公式
提示：
可以用单位弧段上切线转过的角度的大小来表达弧
段的平均弯曲程度 ?
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观察与思考：
观察曲线的弯曲线程度与哪些因素有关 ? 怎样衡量
曲线的弯曲程度？
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记 sK
s D
D?
?D
?
0
l i m ? 称 K 为曲线 C 在点 M 处的曲率 ?
记 sK DD? ? ? 称 K 为 弧段 MN 的平均曲 率 ?
平均曲率：
曲率：
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?曲率
设曲线 C是光滑的 ? 曲线上
点 M对应于弧 s? 在点 M处切线的
倾角为 ?? 曲线上另外一点 N对
应于弧 s?Ds? 在点 N处切线的倾
角为 ??D??
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曲率：
?曲率的计算公式
在 0lim ?D s sDD ? ? dsd ? 存在的条件下 ? dsdK ?? ?
记 sK
s D
D?
?D
?
0
l i m ? 称 K 为曲线 C 在点 M 处的曲率 ?
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设曲线 C的方程为 y?f(x)? 且 f(x)具有二阶导数 ?
因为 tan ??y?? 所以
sec 2?d??y??dx?
在 0lim ?D s sDD ? ? dsd ? 存在的条件下 ? dsdK ?? ?
又知 ds ? 21 y ?? dx ? 从而得曲率的计算公式
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y
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?曲率的计算公式
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y
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例 1 计算等边双曲线 xy?1在点 (1? 1)处的曲率 ?
曲率的计算公式：
曲线在点 (1? 1)处的曲率为因此 y?|x?1??1? y??|x?1?2?
解 ? 由 xy 1? ? 得
2
1
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2
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例 2 抛物线 y?ax2?bx?c上哪一点处的曲率最大？
解 由 y?ax2?bx?c? 得
y??2ax?b? y???2a?
代入曲率公式 ? 得
显然 ? 当 2ax?b?0时曲率最大 ?
因此 ? 抛物线在顶点处的曲率最大 ? 此处 K?|2a|?
232 ])2(1[
|2|
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曲率最大时 ? x ? ? ab2 ? 对应的点为抛物线的顶点 ?
下页
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y
y
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???? ? ? 曲率的计算公式：
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讨论：
3?半径为 R的圆上任一点的曲率是什么？
1?直线 y?ax?b上任一点的曲率是什么？
2?若曲线的参数方程为 x?j(t)? y?y(t)? 那么曲率如何
计算？
提示：
1? 设直线方程为 y?ax?b? 则 y??a? y??? 0?于是 K?0?
3? 圆的参数方程为 x?R cos t? y?R sin t ?
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三、曲率圆与曲率半径
上述 圆叫做曲线在点 M
处的曲率圆 ? 其圆心叫做曲
率中心 ? 其半径 r叫做曲率半
径 ?
?曲率与曲率半径关系
?曲率圆与曲率半径
设曲线在点 M处的曲率为 K(K?0)?
在曲线 凹的一侧作一个与曲线相切于 M且半径为
r?K?1的圆 ?
r ? K1 ? K ? r1 ?
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曲率圆
曲率半径
曲率中心
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例 3 设工件表面的截线为抛物线 y?0?4x2? 现在要用
砂轮磨削其内表面 ? 问用直径多大的砂轮才比较合适？
解 砂轮的半径不应大于抛物线顶点处的曲率半径 ?
抛物线顶点处的曲率半径为
r?K?1?1?25?
因此,选用砂轮的半径不得超过 1?25单位长 ? 即直径
不得超过 2?50单位长 ?
y??0?8x? y???0?8?
y?|x?0?0? y??|x?0?0?8?
把它们代入曲率公式 ? 得
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结束
二、曲率及其计算公式
三、曲率圆与曲率半径
§ 3.7 曲率
曲线的弯曲线程度
与哪些因素有关 ? 怎样
度量曲线的弯曲程度？
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一、弧微分
?曲线的基点与正向
设函数 f(x)在区间 (a? b)内具有连续导数 ? 在曲线 y?f(x)
上取固定点 M0(x0? y0)作为度量弧长的基点 ? 并规定依 x 增
大的方向作为曲线的正向 ?
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s>0s<0
?有向弧段 的值MM0
(
对曲线上任一点 M(x? y)? 规定有向弧段的值 s (简称
弧 )如下 ? s 的绝对值等于这弧段的长度 ? 当有向弧段 MM0
(
的方向与曲线的正向一致时 s>0? 相反时 s<0?
显然 ? 弧 s 是 x 的单调增加函数 ? s?s(x)?
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一、弧微分
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?弧微分公式
设 x? x?Dx为 (a? b)内两个邻近的点 ? 它们在曲线 y?f(x)
上的对应点为 M? N? 并设对应于 x的增量 Dx? 弧 s 的增量
为 Ds? 因为当 Dx?0时 ? Ds ~ MN? 又 Dx与 Ds同号 ? 所以
由此得弧微分公式 ?
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二、曲率及其计算公式
提示：
可以用单位弧段上切线转过的角度的大小来表达弧
段的平均弯曲程度 ?
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观察与思考：
观察曲线的弯曲线程度与哪些因素有关 ? 怎样衡量
曲线的弯曲程度？
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记 sK
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l i m ? 称 K 为曲线 C 在点 M 处的曲率 ?
记 sK DD? ? ? 称 K 为 弧段 MN 的平均曲 率 ?
平均曲率：
曲率：
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?曲率
设曲线 C是光滑的 ? 曲线上
点 M对应于弧 s? 在点 M处切线的
倾角为 ?? 曲线上另外一点 N对
应于弧 s?Ds? 在点 N处切线的倾
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曲率：
?曲率的计算公式
在 0lim ?D s sDD ? ? dsd ? 存在的条件下 ? dsdK ?? ?
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l i m ? 称 K 为曲线 C 在点 M 处的曲率 ?
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设曲线 C的方程为 y?f(x)? 且 f(x)具有二阶导数 ?
因为 tan ??y?? 所以
sec 2?d??y??dx?
在 0lim ?D s sDD ? ? dsd ? 存在的条件下 ? dsdK ?? ?
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?曲率的计算公式
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例 1 计算等边双曲线 xy?1在点 (1? 1)处的曲率 ?
曲率的计算公式：
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解 ? 由 xy 1? ? 得
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例 2 抛物线 y?ax2?bx?c上哪一点处的曲率最大？
解 由 y?ax2?bx?c? 得
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代入曲率公式 ? 得
显然 ? 当 2ax?b?0时曲率最大 ?
因此 ? 抛物线在顶点处的曲率最大 ? 此处 K?|2a|?
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曲率最大时 ? x ? ? ab2 ? 对应的点为抛物线的顶点 ?
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3?半径为 R的圆上任一点的曲率是什么？
1?直线 y?ax?b上任一点的曲率是什么？
2?若曲线的参数方程为 x?j(t)? y?y(t)? 那么曲率如何
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提示：
1? 设直线方程为 y?ax?b? 则 y??a? y??? 0?于是 K?0?
3? 圆的参数方程为 x?R cos t? y?R sin t ?
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三、曲率圆与曲率半径
上述 圆叫做曲线在点 M
处的曲率圆 ? 其圆心叫做曲
率中心 ? 其半径 r叫做曲率半
径 ?
?曲率与曲率半径关系
?曲率圆与曲率半径
设曲线在点 M处的曲率为 K(K?0)?
在曲线 凹的一侧作一个与曲线相切于 M且半径为
r?K?1的圆 ?
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曲率圆
曲率半径
曲率中心
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例 3 设工件表面的截线为抛物线 y?0?4x2? 现在要用
砂轮磨削其内表面 ? 问用直径多大的砂轮才比较合适？
解 砂轮的半径不应大于抛物线顶点处的曲率半径 ?
抛物线顶点处的曲率半径为
r?K?1?1?25?
因此,选用砂轮的半径不得超过 1?25单位长 ? 即直径
不得超过 2?50单位长 ?
y??0?8x? y???0?8?
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把它们代入曲率公式 ? 得
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