?高阶导数的定义
?几个初等函数的 n 阶导数
?函数和差、积的 n 阶导数
§ 2.5 高阶导数
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我们把函数 y?f(x)的导数 y??f ?(x)的导数 (如果可导 )叫
做函数 y?f(x)的二阶导数 ? 记作
y ??,f ?? ( x ) 或 22dx yd ?
即 y ??? ( y ? ) ?? f ?? ( x ) ? [ f ? ( x ) ] ? 或 )(22 dxdydxddx yd ? ?
类似地 ? 二阶导数的导数叫做三阶导数 ? 三阶导数的
导数叫做四阶导数 ; 一般地 ? (n?1)阶导数的导数叫做 n阶
导数 ?分别记作
y???? y (4)????? y (n)或
3
3
dx
yd ?
4
4
dx
yd ? ? ? ? ?
n
n
dx
yd ?
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?高阶导数的定义
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例 1 y?ax?b? 求 y???
例 2 s?sinwt? 求 s???
y??a?解 y???0?
解 s??wcoswt? s????w 2sinwt?
y ??? ( y ? ) ?? f ?? ( x ) ? [ f ? ( x )] ? ? )(22 dxdydxddx yd ? ?
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证明 ? 因 为
22 2
1
22
22
xx
x
xx
xy
?
??
?
??? ?
所以 y 3y???1?0?
y ??? ( y ? ) ?? f ?? ( x ) ? [ f ? ( x )] ? ? )(22 dxdydxddx yd ? ?
2
2
2
2
22
22)1(2
xx
xx
xxxx
y
?
?
?????
???
)2()2(
)1(2
22
22
xxxx
xxx
??
?????
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)1(2
22
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xxxx
xxx
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?????
3
2
3
2
1
)2(
1
yxx ????? ?
证明
证明 ? 函数 22 xxy ?? 满足关系式 013 ????yy ? 例 3
证明 ? 因 为
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x
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1
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1
yxx ????? ?
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例 4 求函数 y?e x 的 n阶导数 ?
即 (ex)(n)?ex?一般地 ? 可得 y(n)?ex?
y??ex?解 y(4)?ex?y????ex?y???ex?
例 5 求函数 ln(1?x)的 n阶导数 ?
一般地 ? 可得
y(4)?(?1)(?2)(?3)(1?x)?4?
解 y?ln(1?x)?
y(n)?(?1)(?2)? ??(?n?1)(1?x)?n
n
n xn )1( )!1()1( 1 ???? ? ?
即 nnn xnx )1( )!1()1()]1[ l n ( 1)( ????? ? ?
y????(1?x)?2?y??(1?x)?1?
y????(?1)(?2)(1?x)?3?
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?几个初等函数的 n 阶导数
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例 6 求正弦函数和余弦函数的 n阶导数 ?
解 y?sin x?
一般地 ? 可得
)2 s in (c o s ????? xxy ?
)2 2s in ()2 2 s in ()2 c o s ( ???? ?????????? xxxy ?
)2 3s in ()2 2 2s in ()2 2c o s ( ???? ????????????? xxxy ?
)2 s in ()( ???? nxy n ? 即 )2 s in ()( s in )( ???? nxx n ?
用类似方法 ? 可得 )2 c o s ()( c o s )( ???? nxx n ?
)2 s in (c o s ????? xxy ?
)2 2s in ()2 2 s in ()2 c o s ( ???? ?????????? xxxy ? )2 2s in ()2 2 s in ()2 c o s ( ???? ?????????? xxxy ?
)2 3s in ()2 2 2s in ()2 2c o s ( ???? ????????????? xxxy ? )2 3s in ()2 2 2s in ()2 2c o s ( ???? ???????????? xxxy ?
)2 s i n ()( ???? nxy n ? 即 )2 s i n ()( s i n )( ???? nxx n ?
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例 7 求幂函数 y?xm(m是任意常数 )的 n阶导数公式 ?
而 (xn)(n?1)?0?
当 m?n时 ? 得到
即 (x m )(n) ?m(m?1)(m?2) ??? (m?n?1)xm?n ?
一般地 ? 可得
y??mxm?1?
y???m(m?1)xm?2?
y????m(m?1)(m?2)xm?3?
y(4)?m(m?1)(m?2)(m?3)xm?4?
y(n)?m(m?1)(m?2) ??? (m?n?1)xm?n ?
(xn)(n) ?m(m?1)(m?2) ??? 3 ? 2 ? 1?n! ?
解
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这一公式称为莱布尼茨公式 ?
?函数和差的 n 阶导数
?函数积的 n 阶导数
用数学归纳法可以证明
(u?v)(n)?u(n)?v(n) ?
(uv)??u?v?uv??
(uv)???u??v?2u?v??uv???
(uv)????u???v?3u??v??3u?v???uv??? ?
?
?
??
n
k
kknknn vuCuv
0
)()()()( ?
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?函数和差、积的 n 阶导数
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例 8 y?x 2e2x ? 求 y(20) ?
代入莱布尼茨公式 ? 得
(u)(k)?2ke2x (k?1? 2?????20) ?
v??2x? (v)(k)?0 (k?3? 4????? 20) ?v???2?
?220e2x(x2?20x?95) ?
解 设 u?e2x? v?x2? 则
结束
?220e2x?x2?20?219e2x?2x?190?218e2x?2
y(20)?(u?v)(20) ?u(20)?v?C20u(19)?v??C20u(18)?v??1 2
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我们把函数 y?f(x)的导数 y??f ?(x)的导数 (如果可导 )叫
做函数 y?f(x)的二阶导数 ? 记作
y ??,f ?? ( x ) 或 22dx yd ?
即 y ??? ( y ? ) ?? f ?? ( x ) ? [ f ? ( x ) ] ? 或 )(22 dxdydxddx yd ? ?
类似地 ? 二阶导数的导数叫做三阶导数 ? 三阶导数的
导数叫做四阶导数 ; 一般地 ? (n?1)阶导数的导数叫做 n阶
导数 ?分别记作
y???? y (4)????? y (n)或
3
3
dx
yd ?
4
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n
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例 1 y?ax?b? 求 y???
例 2 s?sinwt? 求 s???
y??a?解 y???0?
解 s??wcoswt? s????w 2sinwt?
y ??? ( y ? ) ?? f ?? ( x ) ? [ f ? ( x )] ? ? )(22 dxdydxddx yd ? ?
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证明 ? 因 为
22 2
1
22
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所以 y 3y???1?0?
y ??? ( y ? ) ?? f ?? ( x ) ? [ f ? ( x )] ? ? )(22 dxdydxddx yd ? ?
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证明 ? 函数 22 xxy ?? 满足关系式 013 ????yy ? 例 3
证明 ? 因 为
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例 4 求函数 y?e x 的 n阶导数 ?
即 (ex)(n)?ex?一般地 ? 可得 y(n)?ex?
y??ex?解 y(4)?ex?y????ex?y???ex?
例 5 求函数 ln(1?x)的 n阶导数 ?
一般地 ? 可得
y(4)?(?1)(?2)(?3)(1?x)?4?
解 y?ln(1?x)?
y(n)?(?1)(?2)? ??(?n?1)(1?x)?n
n
n xn )1( )!1()1( 1 ???? ? ?
即 nnn xnx )1( )!1()1()]1[ l n ( 1)( ????? ? ?
y????(1?x)?2?y??(1?x)?1?
y????(?1)(?2)(1?x)?3?
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例 6 求正弦函数和余弦函数的 n阶导数 ?
解 y?sin x?
一般地 ? 可得
)2 s in (c o s ????? xxy ?
)2 2s in ()2 2 s in ()2 c o s ( ???? ?????????? xxxy ?
)2 3s in ()2 2 2s in ()2 2c o s ( ???? ????????????? xxxy ?
)2 s in ()( ???? nxy n ? 即 )2 s in ()( s in )( ???? nxx n ?
用类似方法 ? 可得 )2 c o s ()( c o s )( ???? nxx n ?
)2 s in (c o s ????? xxy ?
)2 2s in ()2 2 s in ()2 c o s ( ???? ?????????? xxxy ? )2 2s in ()2 2 s in ()2 c o s ( ???? ?????????? xxxy ?
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)2 s i n ()( ???? nxy n ? 即 )2 s i n ()( s i n )( ???? nxx n ?
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例 7 求幂函数 y?xm(m是任意常数 )的 n阶导数公式 ?
而 (xn)(n?1)?0?
当 m?n时 ? 得到
即 (x m )(n) ?m(m?1)(m?2) ??? (m?n?1)xm?n ?
一般地 ? 可得
y??mxm?1?
y???m(m?1)xm?2?
y????m(m?1)(m?2)xm?3?
y(4)?m(m?1)(m?2)(m?3)xm?4?
y(n)?m(m?1)(m?2) ??? (m?n?1)xm?n ?
(xn)(n) ?m(m?1)(m?2) ??? 3 ? 2 ? 1?n! ?
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这一公式称为莱布尼茨公式 ?
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?函数积的 n 阶导数
用数学归纳法可以证明
(u?v)(n)?u(n)?v(n) ?
(uv)??u?v?uv??
(uv)???u??v?2u?v??uv???
(uv)????u???v?3u??v??3u?v???uv??? ?
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0
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例 8 y?x 2e2x ? 求 y(20) ?
代入莱布尼茨公式 ? 得
(u)(k)?2ke2x (k?1? 2?????20) ?
v??2x? (v)(k)?0 (k?3? 4????? 20) ?v???2?
?220e2x(x2?20x?95) ?
解 设 u?e2x? v?x2? 则
结束
?220e2x?x2?20?219e2x?2x?190?218e2x?2
y(20)?(u?v)(20) ?u(20)?v?C20u(19)?v??C20u(18)?v??1 2
