一、函数的连续性
二、函数的间断点
§ 1.8 函数的连续性与间断点
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一、函数的连续性
?变量的增量
设函数 y?f(x)在点 x0的某一个邻域 U(x0)内有定义 ?
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称 Dy?f(x0+Dx)-f(x0)函数 y的增量为 ?
在邻域 U(x0)内 ? 若自变量 x从初值 x0变到终值 x1?
则称 Dx?x1-x0为自变量 x的增量 ?
Dx
Dy
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?函数的连续性定义
提示,
下页
0lim 0 ?D?D yx ? 0)]()([lim 0
0
?-? xfxfxx ? )()(lim 0
0
xfxfxx ?? ?
设 x?x0+Dx?则当 Dx?0时 ?x?x0?因此
设函数 y?f(x) 在点 x0的某一个邻域内有定义 ? 如果
那么就称函数 y?f(x) 在点 x0处连续 ?
0lim 0 ?D?D yx ? 或 )()(lim 0
0
xfxfxx ?? ? 0l i m 0 ?D?D yx ? 或 )()(lim 0
0
xfxfxx ?? ?
Dy?f(x0+Dx)-f(x0)?
0l i m 0 ?D?D yx 0)]()([lim 0
0
?-? xfxfxx ? )()(lim 0
0
xfxfxx ?? ? 0lim 0 ?D?D yx ? 0)])([lim 0
0
?-? xfxfxx ? )()(lim 0
0
xfxfxx ?? ?
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讨论,
如何用 e-d 语言叙述函数的连续性定义？
??e >0??d >0? 当 |x-x0|<d? 有 |f(x)-f(x0)|<e ?
提示,
? )()(lim 0
0
xfxfxx ?? ?
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?函数的连续性定义
设函数 y?f(x) 在点 x0的某一个邻域内有定义 ? 如果
那么就称函数 y?f(x) 在点 x0处连续 ?
0lim 0 ?D?D yx ? 或 )()(lim 0
0
xfxfxx ?? ? 0l i m 0 ?D?D yx ? 或 )()(lim 0
0
xfxfxx ?? ?
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?左连续与右连续
?结论
函数 y?f(x)在点 x0处连续 ?函数 y?f(x)在点 x0处左连续
且右连续 ?
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如果 )()(lim 0
0
xfxf
xx
?-
?
? 则称 y ? f ( x ) 在点 0x 处左连续 ?
如果 )()(lim 0
0
xfxf
xx
?+
?
? 则称 y ? f ( x ) 在点 0x 处右连续 ?
?函数的连续性定义
设函数 y?f(x) 在点 x0的某一个邻域内有定义 ? 如果
那么就称函数 y?f(x) 在点 x0处连续 ?
0lim 0 ?D?D yx ? 或 )()(lim 0
0
xfxfxx ?? ? 0l i m 0 ?D?D yx ? 或 )()(lim 0
0
xfxfxx ?? ?
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注,
?连续函数
在区间上每一点都连续的函数 ? 叫做在该区间上的
连续函数 ? 或者说函数在该区间上连续 ?
?连续函数举例
1?多项式函数 P(x)在区间 (-?? +?)内是连续的 ?
这是因为 ? 函数 P(x)在 (-?? +?)内任意一点 x0处有定
义 ? 并且
)()(lim 0
0
xPxPxx ?? ?
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如果区间包括端点 ? 那么函数在右端点连续是指左连续 ?
在左端点连续是指右连续 ?
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2? 函数 y?sin x 在区间 (-?? +?)内是连续的 ?
这是因为 ? 函数 y?sin x在 (-?? +?)内任意一点 x处有
定义 ? 并且
]s i n)[ s i n (limlim 00 xxxy xx -D+?D ?D?D
0)2c o s (2s i n2lim 0 ?D+D? ?D xxxx ?
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?连续函数
在区间上每一点都连续的函数 ? 叫做在该区间上的
连续函数 ? 或者说函数在该区间上连续 ?
?连续函数举例
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二、函数的间断点
?间断点的定义
设函数 f(x)在点 x0的某去心邻域内有定义 ? 在此前提
下 ? 如果函数 f(x)有下列三种情形之一 ?
(1)在 x0没有定义 ?
则函数 f(x)在点 x0不连续 ? 而点 x0称为函数 f(x)的不连续点
或间断点 ?
(2)虽然在 x0有定义 ? 但 f(x)不存在 ?
0
limxx?
(3)虽然在 x0有定义且 f(x)存在 ? 但 f(x)?f(x0)?
0
limxx?
0
limxx?
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?间断点举例
例 1
例 1 ? 正切函数 y ? ta n x 在 2 ??x 处没有定义 ?
所以点 2 ??x 是函数 ta n x 的间断点 ?
因为 ??
?
x
x
t a nlim
2
? ?
故称 2 ??x 为函数 ta n x 的无穷间断点 ?
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例 2 ? 函数 xy 1s i n? 在点 x ? 0 没有定义 ?
例 2
当 x?0时 ? 函数值在 -1与 +1之间变动无限多次 ?
所以点 x?0是函数的间断点 ?
所以点 x?0称为函数的振荡间断点 ?
下页
?间断点举例
xy
1sin?
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所以点 x?1是函数的间断点 ?
如果补充定义 ? 令 x?1时 y?2? 则所给
函数在 x?1成为连续 ? 所以 x?1称为
该函数的可去间断点 ?
例 3
例 3 ? 函数 112 --? xxy 在 x ? 1 没有定义 ?
因为 11l i m 21 --? xxx 2)1(l i m 1 ?+? ? xx ?
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?间断点举例
1
12
-
-?
x
xy
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所以 x?1是函数 f(x)的间断点 ?
如果改变函数 f(x)在 x?1处的定义 ? 令 f(1)?1? 则函数在
x?1成为连续 ? 所以 x?1也称为此函数的可去间断点 ?
例 4 例 4 ? 设函数
??
?
?
?
?
?
?? 1
2
1
1
)( x
xx
xfy ?
因为 1lim)(lim 11 ?? ?? xxf xx ? 21)1( ?f ?
)1()(lim 1 fxfx ?? ?
2
1)1( ?f ?
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?间断点举例
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因函数 f(x)的图形在 x?0处产生跳跃现象 ? 我们称 x?0
为函数 f(x)的跳跃间断点 ?
例 5 例 5 ? 设函数
??
?
?
?
?+
?
?-
?
0 1
0 0
0 1
)(
xx
x
xx
xf ?
所以极限 )(l i m 0 xfx ? 不存在 ? x ? 0 是函数 f ( x ) 的间断点 ? 所以极限 )(l i m 0 xfx ? 不存在 ? x ? 0 是函数 f ( x ) 的间断点 ?
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?间断点举例
因为 1)1(lim)(lim 00 -?-? -- ?? xxf xx ?
1)1(lim)(lim 00 ?+? ++ ?? xxf xx ?
)(lim)(lim 00 xfxf xx ++ ?? ? ?
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通常把间断点分成两类 ?
设 x0是函数 f(x)的间断点 ? 如果左极限 f(x0-)及右极限
f(x0+)都存在 ? 那么 x0称为函数 f(x)的第一类间断点 ?
不属于第一类间断点的间断点 ? 称为第二类间断点 ?
在第一类间断点中 ? 左、右极限相等者称为可去间
断点 ?不相等者称为跳跃间断点 ?
无穷间断点和振荡间断点显然是第二间断点 ?
?间断点的类型
结束