一、数列极限的定义
二、收敛数列的性质
§ 1.2 数列的极限
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一、数列极限的定义
?引例
如何用渐近的方法求圆的面积 S？
用圆内接正多边形的面积近似圆的面积 S.
下页
A123
A1表示圆内接正 6边形面积,
A2表示圆内接正 12边形面积,
A3表示圆内接正 24边形面积,
An表示圆内接正 6?2n-1边形面积,
??????,
??????.
显然 n越大,An越接近于 S.
因此,需要考虑当 n??时,An的变化趋势,
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?数列
如果按照某一法则,对每一 n?N?,对应着一个确定的
实数 xn,则得到一个序列
x1,x2,x3,???,xn,???,
这一序列叫做数列,记为 {xn},其中第 n项 xn叫做数列的一
般项,
下页
数列举例,
2,4,8,???,2n,???;
{ n21 } ? 21,41,81,? ? ?,n21,? ? ? ;
1,-1,1,???,(-1)n?1,???.
2
1,
3
2,
4
3,? ? ?,
1?n
n ?????;
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x1 x5x4 x3 x2xn
数列 {xn}可以看作数轴上的一个动点,它依次取数轴
上的点 x1,x2,x3,???,xn,???.
?数列的几何意义
?数列
如果按照某一法则,对每一 n?N?,对应着一个确定的
实数 xn,则得到一个序列
x1,x2,x3,???,xn,???,
这一序列叫做数列,记为 {xn},其中第 n项 xn叫做数列的一
般项,
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数列 {xn}可以看作自变量为正整数 n的函数 ?
xn=f(n),n?N?.
?数列与函数
?数列
如果按照某一法则,对每一 n?N?,对应着一个确定的
实数 xn,则得到一个序列
x1,x2,x3,???,xn,???,
这一序列叫做数列,记为 {xn},其中第 n项 xn叫做数列的一
般项,
下页
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例如
当 n无限增大时,如果数列 {xn}的一般项 xn无限接近
于常数 a,则常数 a称为数列 {xn}的极限,或称数列 {xn}收
敛 a,记为
ax nn =??lim,
下页
?数列极限的通俗定义
11lim =??? nnn,
021lim =?? nn,
1)1(lim 1 =-? -?? nn nn,?
11lim =??? nnn,
021lim =?? nn,
1)1(lim 1=-? -?? nn nn,?
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当 n无限增大时,xn无限接近于 a,
?当 n无限增大时,|xn-a|无限接近于 0,
?当 n无限增大时,|xn-a|可以任意小,?要多小就能有多小,
?当 n增大到一定程度以后,|xn-a|能小于事先给定的任意
小的正数,
?分析
因此,?如果 n 增大到一定程度以后,|xn-a|能小于事先
给定的任意小的正数,?则当 n无限增大时,xn无限接近于常
数 a.
当 n无限增大时,如果数列 {xn}的一般项 xn无限接近
于常数 a,则数列 {xn}收敛 a.
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>>>
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?数列 极限的精确定义
设 {xn}为一数列,如果存在常数 a,对于任意给定的正
数 e,总存在正整数 N,使得当 n>N 时,不等式
|xn-a |<e
都成立,则称常数 a是数列 {xn}的极限,或者称数列 {xn}收
敛于 a,记为
如果不存在这样的常数 a,就说数列 {xn}没有极限,
ax nn =??l i m 或 x n ? a ( n ? ? ),
下页
或 说 数列 { x n } 是发散的,习惯上也说 nn x??l i m 不存在,
??e?0,?N?N?,当 n?N时,有 |xn-a|?e,
ax nn =??lim
?极限定义的简记形式
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aa-e a?e( )
?数列极限的几何意义
ax nn =??lim
??e?0,?N?N?,当 n?N时,有 |xn-a|?e,
下页
?存在 N?N?,当 n<N时,点 xn一般落在邻域 (a-e,a?e)外 ?
?当 n>N时,点 xn全都落在邻域 (a-e,a?e)内 ?
? 任意给定 a的 e邻域 (a-e,a?e),
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分析,
例 1 例 1, 证明 1)1(lim 1 =-? -
?? n
n n
n
,
证明
| x n - 1| = e?=--? - nnn n 1|1)1(| 1,
所以 1)1(lim 1 =-? -?? nn nn,
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证明 ? 因为 ? e ? 0,? ]1[ e=N ? N ?,当 n ? N 时,有 证明 ? 因为 ? e ? 0,? ]1[ e=N ? N ?,当 n ? N 时,有 证明 ? 因为 ? e ? 0,? ]1[ e=N ? N ?,当 n ? N 时 有
ax nn =??lim
??e?0,?N?N?,当 n?N时,有 |xn-a|?e,
对于 ? e? >0,?要使 | x n - 1| ? e?,只要 e?n1,即 e1?n,
| x n - 1| = nnn
n 1
|1)1(|
1
=--?
-
,
对于 ? e? >0,?要使 | x n - 1| ? e?,只要 e?n1,即 e1?n,
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因为 ? e ? 0,?? ]11[ -= eN ? N ?,当 n ? N 时,有
例 2
例 2, 证明 0)1( )1(lim 2 =?-?? n nn,
分析,
| x n - 0 |= e????=-?- 11)1( 1|0)1( )1(| 22 nnn n,
所以 0)1( )1(lim 2 =?-?? n nn,
证明
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ax nn =??lim
??e?0,?N?N?,当 n?N时,有 |xn-a|?e,
| x n - 0| |0)1( )1(| 2 -?-= n
n
1
1
)1(
1
2 ???= nn,
对于 ? e ? 0,要使 | x n - 0| ? e?,只要 e?? 11n,即 11 -? en, 对于 ? e ? 0,要使 | x n - 0| ? e?,只要 e?? 11n,即 11 -? en,
因为 ? e ? 0,? ? ]11[ -= eN ? N ?,当 n ? N 时,有 因为 ? e ? 0,? ? ]11[ -= eN ? N ?,当 ? N 时,有
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分析,
例 3 设 |q|<1,证明等比数列
1,q,q2,???,qn-1,???
的极限是 0.
对于 ?e?0,要使
|xn-0|=|qn-1-0|=|q|n-1<e,
只要 n>log|q|e ?1就可以了,
所以 0lim 1 =-?? nn q,
|qn-1-0|=|q|n-1<e,
当 n?N时,有因为 ?e?0,证明
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?N=[ log|q|e ?1]?N?,
ax nn =??lim
??e?0,?N?N?,当 n?N时,有 |xn-a|?e,
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对于某一正数 e 0,如果存在正整数 N,使得当 n?N时,
有 |xn-a|?e 0,是否有 xn?a (n??).
?讨论
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ax nn =??lim
??e?0,?N?N?,当 n?N时,有 |xn-a|?e,
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二、收敛数列的性质
?定理 1(极限的唯一性 )
如果数列 {xn}收敛,那么它的极限唯一,
证明 ? 假设同时有 ax nn =??lim 及 bx nn =??l i m,? 且 a < b,
按极限的定义,对于 2 ab -=e >0,存在充分大的 正整数 N,
使当 n>N时,同时有
| x n - a |< 2 ab -=e ?及 | x n - b |< 2 ab -=e,
因此同时有
2
abx
n
?? 及
2
abx
n
??,
这是不可能的, 所以只能有 a=b.
证明
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注 ?
如果 ?M?0,使对 ?n?N?,有 |xn|?M,则称数列 {xn}是有
界的 ;?如果这样的正数 M不存在,?就说数列 {xn}是无界的,
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二、收敛数列的性质
?定理 1(极限的唯一性 )
如果数列 {xn}收敛,那么它的极限唯一,
?定理 2(收敛数列的有界性 )
如果数列 {xn}收敛,那么数列 {xn}一定有界, >>>
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1.如果数列 {xn}收敛,那么数列 {xn}一定有界, 发散
的数列是否一定无界? 有界的数列是否收敛?
2.数列 1,-1,1,-1,???,(-1)N?1,??? 的有界性与收敛
如何？
?讨论
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二、收敛数列的性质
?定理 1(极限的唯一性 )
如果数列 {xn}收敛,那么它的极限唯一,
?定理 2(收敛数列的有界性 )
如果数列 {xn}收敛,那么数列 {xn}一定有界,
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二、收敛数列的性质
?定理 1(极限的唯一性 )
如果数列 {xn}收敛,那么它的极限唯一,
?定理 2(收敛数列的有界性 )
如果数列 {xn}收敛,那么数列 {xn}一定有界,
?定理 3(收敛数列的保号性 )
如果数列 {xn}收敛于 a,且 a?0(或 a?0),那么存在正整
数 N,当 n?N时,有 xn?0(或 xn?0).
?推论
如果数列 {xn}从某项起有 xn?0(或 xn?0),且数列 {xn}收
敛于 a,那么 a?0(或 a?0).
>>>
>>>
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注,
在数列 {xn}中任意抽取无限多项并保持这些项在原
数列中的先后次序,这样得到的一个数列称为原数列 {xn}
的子数列,
?定理 4(收敛数列与其子数列间的关系 )
如果数列 {xn}收敛于 a,那么它的任一子数列也收敛,
且极限也是 a.
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例如,数列 {xn}? 1,-1,1,-1,? ? ?,(-1)n?1? ? ?的一个子
数列为 {x2n}?-1,-1,-1,???,(-1)2n?1? ??.
>>>
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1.数列的子数列如果发散,???原数列是否发散???
2.数列的两个子数列收敛,??但其极限不同,???原数列
的收敛性如何???
3.发散的数列的子数列都发散吗？
4.如何判断数列 1,-1,1,-1,???,(-1)N?1,???是发散
的？
结束
?定理 4(收敛数列与其子数列间的关系 )
如果数列 {xn}收敛于 a,那么它的任一子数列也收敛,
且极限也是 a.
?讨论
二、收敛数列的性质
§ 1.2 数列的极限
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一、数列极限的定义
?引例
如何用渐近的方法求圆的面积 S？
用圆内接正多边形的面积近似圆的面积 S.
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A123
A1表示圆内接正 6边形面积,
A2表示圆内接正 12边形面积,
A3表示圆内接正 24边形面积,
An表示圆内接正 6?2n-1边形面积,
??????,
??????.
显然 n越大,An越接近于 S.
因此,需要考虑当 n??时,An的变化趋势,
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?数列
如果按照某一法则,对每一 n?N?,对应着一个确定的
实数 xn,则得到一个序列
x1,x2,x3,???,xn,???,
这一序列叫做数列,记为 {xn},其中第 n项 xn叫做数列的一
般项,
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数列举例,
2,4,8,???,2n,???;
{ n21 } ? 21,41,81,? ? ?,n21,? ? ? ;
1,-1,1,???,(-1)n?1,???.
2
1,
3
2,
4
3,? ? ?,
1?n
n ?????;
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x1 x5x4 x3 x2xn
数列 {xn}可以看作数轴上的一个动点,它依次取数轴
上的点 x1,x2,x3,???,xn,???.
?数列的几何意义
?数列
如果按照某一法则,对每一 n?N?,对应着一个确定的
实数 xn,则得到一个序列
x1,x2,x3,???,xn,???,
这一序列叫做数列,记为 {xn},其中第 n项 xn叫做数列的一
般项,
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数列 {xn}可以看作自变量为正整数 n的函数 ?
xn=f(n),n?N?.
?数列与函数
?数列
如果按照某一法则,对每一 n?N?,对应着一个确定的
实数 xn,则得到一个序列
x1,x2,x3,???,xn,???,
这一序列叫做数列,记为 {xn},其中第 n项 xn叫做数列的一
般项,
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例如
当 n无限增大时,如果数列 {xn}的一般项 xn无限接近
于常数 a,则常数 a称为数列 {xn}的极限,或称数列 {xn}收
敛 a,记为
ax nn =??lim,
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?数列极限的通俗定义
11lim =??? nnn,
021lim =?? nn,
1)1(lim 1 =-? -?? nn nn,?
11lim =??? nnn,
021lim =?? nn,
1)1(lim 1=-? -?? nn nn,?
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当 n无限增大时,xn无限接近于 a,
?当 n无限增大时,|xn-a|无限接近于 0,
?当 n无限增大时,|xn-a|可以任意小,?要多小就能有多小,
?当 n增大到一定程度以后,|xn-a|能小于事先给定的任意
小的正数,
?分析
因此,?如果 n 增大到一定程度以后,|xn-a|能小于事先
给定的任意小的正数,?则当 n无限增大时,xn无限接近于常
数 a.
当 n无限增大时,如果数列 {xn}的一般项 xn无限接近
于常数 a,则数列 {xn}收敛 a.
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?数列 极限的精确定义
设 {xn}为一数列,如果存在常数 a,对于任意给定的正
数 e,总存在正整数 N,使得当 n>N 时,不等式
|xn-a |<e
都成立,则称常数 a是数列 {xn}的极限,或者称数列 {xn}收
敛于 a,记为
如果不存在这样的常数 a,就说数列 {xn}没有极限,
ax nn =??l i m 或 x n ? a ( n ? ? ),
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或 说 数列 { x n } 是发散的,习惯上也说 nn x??l i m 不存在,
??e?0,?N?N?,当 n?N时,有 |xn-a|?e,
ax nn =??lim
?极限定义的简记形式
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aa-e a?e( )
?数列极限的几何意义
ax nn =??lim
??e?0,?N?N?,当 n?N时,有 |xn-a|?e,
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?存在 N?N?,当 n<N时,点 xn一般落在邻域 (a-e,a?e)外 ?
?当 n>N时,点 xn全都落在邻域 (a-e,a?e)内 ?
? 任意给定 a的 e邻域 (a-e,a?e),
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分析,
例 1 例 1, 证明 1)1(lim 1 =-? -
?? n
n n
n
,
证明
| x n - 1| = e?=--? - nnn n 1|1)1(| 1,
所以 1)1(lim 1 =-? -?? nn nn,
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证明 ? 因为 ? e ? 0,? ]1[ e=N ? N ?,当 n ? N 时,有 证明 ? 因为 ? e ? 0,? ]1[ e=N ? N ?,当 n ? N 时,有 证明 ? 因为 ? e ? 0,? ]1[ e=N ? N ?,当 n ? N 时 有
ax nn =??lim
??e?0,?N?N?,当 n?N时,有 |xn-a|?e,
对于 ? e? >0,?要使 | x n - 1| ? e?,只要 e?n1,即 e1?n,
| x n - 1| = nnn
n 1
|1)1(|
1
=--?
-
,
对于 ? e? >0,?要使 | x n - 1| ? e?,只要 e?n1,即 e1?n,
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因为 ? e ? 0,?? ]11[ -= eN ? N ?,当 n ? N 时,有
例 2
例 2, 证明 0)1( )1(lim 2 =?-?? n nn,
分析,
| x n - 0 |= e????=-?- 11)1( 1|0)1( )1(| 22 nnn n,
所以 0)1( )1(lim 2 =?-?? n nn,
证明
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ax nn =??lim
??e?0,?N?N?,当 n?N时,有 |xn-a|?e,
| x n - 0| |0)1( )1(| 2 -?-= n
n
1
1
)1(
1
2 ???= nn,
对于 ? e ? 0,要使 | x n - 0| ? e?,只要 e?? 11n,即 11 -? en, 对于 ? e ? 0,要使 | x n - 0| ? e?,只要 e?? 11n,即 11 -? en,
因为 ? e ? 0,? ? ]11[ -= eN ? N ?,当 n ? N 时,有 因为 ? e ? 0,? ? ]11[ -= eN ? N ?,当 ? N 时,有
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分析,
例 3 设 |q|<1,证明等比数列
1,q,q2,???,qn-1,???
的极限是 0.
对于 ?e?0,要使
|xn-0|=|qn-1-0|=|q|n-1<e,
只要 n>log|q|e ?1就可以了,
所以 0lim 1 =-?? nn q,
|qn-1-0|=|q|n-1<e,
当 n?N时,有因为 ?e?0,证明
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?N=[ log|q|e ?1]?N?,
ax nn =??lim
??e?0,?N?N?,当 n?N时,有 |xn-a|?e,
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对于某一正数 e 0,如果存在正整数 N,使得当 n?N时,
有 |xn-a|?e 0,是否有 xn?a (n??).
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ax nn =??lim
??e?0,?N?N?,当 n?N时,有 |xn-a|?e,
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二、收敛数列的性质
?定理 1(极限的唯一性 )
如果数列 {xn}收敛,那么它的极限唯一,
证明 ? 假设同时有 ax nn =??lim 及 bx nn =??l i m,? 且 a < b,
按极限的定义,对于 2 ab -=e >0,存在充分大的 正整数 N,
使当 n>N时,同时有
| x n - a |< 2 ab -=e ?及 | x n - b |< 2 ab -=e,
因此同时有
2
abx
n
?? 及
2
abx
n
??,
这是不可能的, 所以只能有 a=b.
证明
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如果 ?M?0,使对 ?n?N?,有 |xn|?M,则称数列 {xn}是有
界的 ;?如果这样的正数 M不存在,?就说数列 {xn}是无界的,
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二、收敛数列的性质
?定理 1(极限的唯一性 )
如果数列 {xn}收敛,那么它的极限唯一,
?定理 2(收敛数列的有界性 )
如果数列 {xn}收敛,那么数列 {xn}一定有界, >>>
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1.如果数列 {xn}收敛,那么数列 {xn}一定有界, 发散
的数列是否一定无界? 有界的数列是否收敛?
2.数列 1,-1,1,-1,???,(-1)N?1,??? 的有界性与收敛
如何？
?讨论
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二、收敛数列的性质
?定理 1(极限的唯一性 )
如果数列 {xn}收敛,那么它的极限唯一,
?定理 2(收敛数列的有界性 )
如果数列 {xn}收敛,那么数列 {xn}一定有界,
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二、收敛数列的性质
?定理 1(极限的唯一性 )
如果数列 {xn}收敛,那么它的极限唯一,
?定理 2(收敛数列的有界性 )
如果数列 {xn}收敛,那么数列 {xn}一定有界,
?定理 3(收敛数列的保号性 )
如果数列 {xn}收敛于 a,且 a?0(或 a?0),那么存在正整
数 N,当 n?N时,有 xn?0(或 xn?0).
?推论
如果数列 {xn}从某项起有 xn?0(或 xn?0),且数列 {xn}收
敛于 a,那么 a?0(或 a?0).
>>>
>>>
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注,
在数列 {xn}中任意抽取无限多项并保持这些项在原
数列中的先后次序,这样得到的一个数列称为原数列 {xn}
的子数列,
?定理 4(收敛数列与其子数列间的关系 )
如果数列 {xn}收敛于 a,那么它的任一子数列也收敛,
且极限也是 a.
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例如,数列 {xn}? 1,-1,1,-1,? ? ?,(-1)n?1? ? ?的一个子
数列为 {x2n}?-1,-1,-1,???,(-1)2n?1? ??.
>>>
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1.数列的子数列如果发散,???原数列是否发散???
2.数列的两个子数列收敛,??但其极限不同,???原数列
的收敛性如何???
3.发散的数列的子数列都发散吗？
4.如何判断数列 1,-1,1,-1,???,(-1)N?1,???是发散
的？
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?定理 4(收敛数列与其子数列间的关系 )
如果数列 {xn}收敛于 a,那么它的任一子数列也收敛,
且极限也是 a.
?讨论
