二, 函数的极限的性质
一, 函数极限的定义
§ 1.3 函数的极限
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一、函数极限的定义
如果当 x无限地接近于 x0时 ? 函数 f(x)的值无限地接近
于常数 A?则常数 A就叫做函数 f(x)当 x?x0时的极限 ? 记作
?函数极限的的通俗定义
0
lim xx ? f ( x ) ? A 或 f ( x ) ? A ( 当 x ? 0x ) ?
下页
1.自变量趋于有限值时函数的极限
分析,
当 x?x0时 ? f(x)?A?
?当 |x-x0|?0时 ? |f(x)-A|?0?
?当 |x-x0|小于某一正数 d后 ? |f(x)-A|能小于给定的正数 e ?
?任给 e ?0? 存在 d ?0? 使 当 |x-x0|?d 时 ? 有 |f(x)-A|?e?
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设函数 f(x)在点 x0的某一去心邻域内有定义 ? 如果存
在常数 A? 对于任意给定的正数 e? 总存在正数 d? 使得当 x
满足不等式 0<|x-x0|?d 时 ? 对应的函数值 f(x)都满足不等式
|f(x)-A|?e ?
那么常数 A就叫做函数 f(x)当 x?x0时的极限 ? 记为
?函数极限的精确定义
0
lim xx ? f ( x ) ? A 或 f ( x ) ? A ( 当 x ? 0x ) ?
?定义的简记形式
??e >0??d >0? 当 0<|x-x0|<d? 有 |f(x)-A|<e ?
0
limxx ? f( x )? A 或 f( x )? A ( x? x 0 )。
下页
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A
y=f(x)
x0
?函数极限的几何意义
当 0?|x-x0|?d 时 ? |f(x)-A|?e,
?e >0:
?d >0:
A-e
A+e
x0-d x0+d
下页
??e>0??d>0? 当 0<|x-x0|<d? 有 |f(x)-A|<e ?
0
limxx ? f( x )? A 或 f( x )? A ( x? x 0 )。
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所以 ccxx ??
0
lim ?
例 1 ? 证明 cc
xx ?? 0lim
?
例 1
证明 因为 ?e>0? ?d>0? 当 0?|x-x0|?d 时 ? 都有
|f(x)-A|?|c-c|?0?e ?
??e>0??d>0? 当 0<|x-x0|<d? 有 |f(x)-A|<e ?
0
limxx ? f( x )? A 或 f( x )? A ( x? x 0 )。
下页
分析,
|f(x)-A|?|c-c|?0.
?e>0? ?d>0? 当 0?|x-x0|?d 时 ? 都有 |f(x)-A|?e ?
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分析 ?
|f(x)-A|?|x-x0|?e?
当 0?|x-x0|?d 时 ? 有?d ?e?因为 ?e ?0?证明
只要 |x-x0|?e ?要使 |f(x)-A|?e??e >0?
例 2
例 2 ? 证明 0
0
lim xxxx ?? ?
|f(x)-A|?|x-x0|?
所以 0
0
lim xxxx ?? ?
下页
??e>0??d>0? 当 0<|x-x0|<d? 有 |f(x)-A|<e ?
0
limxx ? f( x )? A 或 f( x )? A ( x? x 0 )。
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分析 ?
|f(x)-A|?|(2x-1)-1|?2|x-1|?
例 3
例 3 ? 证明 1)12(lim 1 ?-? xx ?
因为 ?e?0?
所以 1)12(lim 1 ?-? xx ?
证明
|f(x)-A|?|(2x-1)-1|?2|x-1|?e ?
下页
??e>0??d>0? 当 0<|x-x0|<d? 有 |f(x)-A|<e ?
0
limxx ? f( x )? A 或 f( x )? A ( x? x 0 )。
?e >0?
当 0?|x-1|?d 时 ? 有?d?e /2?
只要 |x-1|<e /2?要使 |f(x)-A|<e?
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分析 ?
注意函数在 x?1是没有定义的 ? 但这与函数在该点是
否有极限并无关系 ?
证明 因为 ?e >0? ?d?e? 当 0?|x-1|?d 时 ? 有
例 4 例 4 ? 证明 2
11lim
2
1 ?-
-
? x
x
x ?
所以 211lim 21 ?--? xxx ?
f ( x ) - A | |211| 2 ---? xx ? | x - 1| ? e ?
下页
分析
当 x ? 1 时 ? | f ( x ) - A | |21 1| 2 ---? xx ? | x - 1| ?
?e >0? 只要 |x-1|?e ?要使 |f(x)-A|<e?
??e>0??d>0? 当 0<|x-x0|<d? 有 |f(x)-A|<e ?
0
limxx ? f( x )? A 或 f( x )? A ( x? x 0 )。
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注,
?单侧极限
下页
若当 x?x0-时 ? f(x)无限接近于某常数 A? 则常数 A叫
做函数 f(x)当 x?x0时的左极限 ? 记为
Axfxx ?-? )(lim
0
或 f(x0-)?A,
x?x0-表示 x从 x0的左侧 (即小于 x0)趋于 x0,
x?x0+表示 x从 x0的右侧 (即大于 x0)趋于 x0,
??e>0??d>0? 当 0<|x-x0|<d? 有 |f(x)-A|<e ?
0
limxx ? f( x )? A 或 f( x )? A ( x? x 0 )。
??e ?0??d?0? 当 x0-d?x?x0? 有 |f(x)-A|<e ?
Axfxx ?-? )(lim
0
?精确定义
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?单侧极限
若当 x?x0-时 ? f(x)无限接近于某常数 A? 则常数 A叫
做函数 f(x)当 x?x0时的左极限 ? 记为
Axfxx ?-? )(lim
0
或 f(x0-)?A,
??e>0??d>0? 当 0<|x-x0|<d? 有 |f(x)-A|<e ?
0
limxx ? f( x )? A 或 f( x )? A ( x? x 0 )。
??e ?0??d?0? 当 x0-d?x?x0? 有 |f(x)-A|<e ?
Axfxx ?-? )(lim
0
类似地可定义右极限,
?结论
Axf
xx
?
?
)(l i m
0
? Axf
xx
?-
?
)(l i m
0
且 Axf
xx
?+
?
)(lim
0
?
?精确定义
下页
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这是因为
例 5 函数
当 x?0时的极限不存在 ?
??
?
?
?
?+
?
?-
?
0 1
0 0
0 1
)(
xx
x
xx
xf
Axfxx ?? )(l i m
0
? Axf
xx
?-
?
)(l i m
0
且 Axf
xx
?+
?
)(lim
0
?
1)1(l i m)(l i m 00 -?-?
-- ??
xxf xx ?
1)1(l i m)(l i m 00 ?+?
++ ??
xxf xx ?
)(lim)(lim 00 xfxf xx
+- ??
? ?
下页
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??xlim f ( x )? A ?
-??x lim f ( x ) ? A 和 +??x lim f ( x ) ? A ?
类似地可定义
如果当 |x|无限增大时 ? f(x)无限接近于某一常数 A? 则
常数 A叫做函数 f(x)当 x??时的极限 ? 记为
下页
2.自变量趋于无穷大时函数的极限
??e?0??X?0?当 |x|?X时 ? 有 |f(x)-A|?e ?
??xlim f ( x )? A ?
?精确定义
结论 ? ??xlim f ( x ) ? A ? -??x lim f ( x ) ? A 且 +??x lim f ( x ) ? A ?
?结论
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??e?0??X?0?当 |x|?X时 ? 有 |f(x)-A|?e ?
??xlim f ( x )? A ?
?极限的定义的几何意义
?e?0:
?X?0:
当 |x|>X时 ? 有 |f(x)-A|<e:
如果
??x
lim f ( x ) ? c ? 则直线 y ? c 称为函数 y ? f ( x ) 的图形的
水平渐近线 ?
?水平渐近线
下页
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分析 ?
例 6 ? 证明 01lim ??? xx ?
例 6
证明
||
1|01||)(|
xxAxf ?-?- ? e ?
所以 01lim ??? xx ?
||
1|01||)(|
xxAxf ?-?- ?
??e?0??X?0?当 |x|?X时 ? 有 |f(x)-A|?e ?
??xlim f ( x )? A ?
? e ? 0 ? 要使 | f ( x ) - A |? e ? 只要 e1|| ?x ?
因为 ? e ? 0 ? ? 01 ?? eX ? 当 |x |? X 时 ? 有
? e ? 0 ? 要使 |f ( x )- A |? e ? 只要 e1|| ?x ?
因为 ? e ? 0 ? ? 0X ? 当 |x |? X 时 ? 有 因为 ? e ? 0 ? ? 01 ?? eX ? 当 | x |? X 时 ? 有
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二、函数极限的性质
?定理 1(函数极限的唯一性 )
?定理 2(函数极限的局部有界性 )
如果 f(x)?A(x?x0)? 那么 f(x)在 x0的某一去心邻域内
有界 ?
?定理 3(函数极限的局部保号性 )
如果 f(x)?A(x?x0)? 而且 A?0(或 A?0)? 那么在 x0的某
一去心邻域内 ? 有 f(x)?0(或 f(x)?0)?
如果当 x?x0时 f(x)的极限存 ? 那么这极限是唯一的 ?
如果在 x0的某一去心邻域内 f(x)?0(或 f(x)?0)? 而且
f(x)?A(x?x0)? 那么 A?0(或 A?0)?
?推论
>>>
>>>
>>>
下页
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?定理 4(函数极限与数列极限的关系 )
如果当 x?x0时 f(x)的极限存在 ? {xn}为 f(x)的定义域内
任一收敛于 x0的数列 ? 且满足 xn ?x0(n?N+)? 那么相应的函
数值数列 {f(xn)}必收敛 ? 且
)(lim)(lim
0
xfxf xxnn ??? ? ?
>>>
结束
一, 函数极限的定义
§ 1.3 函数的极限
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一、函数极限的定义
如果当 x无限地接近于 x0时 ? 函数 f(x)的值无限地接近
于常数 A?则常数 A就叫做函数 f(x)当 x?x0时的极限 ? 记作
?函数极限的的通俗定义
0
lim xx ? f ( x ) ? A 或 f ( x ) ? A ( 当 x ? 0x ) ?
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1.自变量趋于有限值时函数的极限
分析,
当 x?x0时 ? f(x)?A?
?当 |x-x0|?0时 ? |f(x)-A|?0?
?当 |x-x0|小于某一正数 d后 ? |f(x)-A|能小于给定的正数 e ?
?任给 e ?0? 存在 d ?0? 使 当 |x-x0|?d 时 ? 有 |f(x)-A|?e?
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设函数 f(x)在点 x0的某一去心邻域内有定义 ? 如果存
在常数 A? 对于任意给定的正数 e? 总存在正数 d? 使得当 x
满足不等式 0<|x-x0|?d 时 ? 对应的函数值 f(x)都满足不等式
|f(x)-A|?e ?
那么常数 A就叫做函数 f(x)当 x?x0时的极限 ? 记为
?函数极限的精确定义
0
lim xx ? f ( x ) ? A 或 f ( x ) ? A ( 当 x ? 0x ) ?
?定义的简记形式
??e >0??d >0? 当 0<|x-x0|<d? 有 |f(x)-A|<e ?
0
limxx ? f( x )? A 或 f( x )? A ( x? x 0 )。
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A
y=f(x)
x0
?函数极限的几何意义
当 0?|x-x0|?d 时 ? |f(x)-A|?e,
?e >0:
?d >0:
A-e
A+e
x0-d x0+d
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??e>0??d>0? 当 0<|x-x0|<d? 有 |f(x)-A|<e ?
0
limxx ? f( x )? A 或 f( x )? A ( x? x 0 )。
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所以 ccxx ??
0
lim ?
例 1 ? 证明 cc
xx ?? 0lim
?
例 1
证明 因为 ?e>0? ?d>0? 当 0?|x-x0|?d 时 ? 都有
|f(x)-A|?|c-c|?0?e ?
??e>0??d>0? 当 0<|x-x0|<d? 有 |f(x)-A|<e ?
0
limxx ? f( x )? A 或 f( x )? A ( x? x 0 )。
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分析,
|f(x)-A|?|c-c|?0.
?e>0? ?d>0? 当 0?|x-x0|?d 时 ? 都有 |f(x)-A|?e ?
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分析 ?
|f(x)-A|?|x-x0|?e?
当 0?|x-x0|?d 时 ? 有?d ?e?因为 ?e ?0?证明
只要 |x-x0|?e ?要使 |f(x)-A|?e??e >0?
例 2
例 2 ? 证明 0
0
lim xxxx ?? ?
|f(x)-A|?|x-x0|?
所以 0
0
lim xxxx ?? ?
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??e>0??d>0? 当 0<|x-x0|<d? 有 |f(x)-A|<e ?
0
limxx ? f( x )? A 或 f( x )? A ( x? x 0 )。
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分析 ?
|f(x)-A|?|(2x-1)-1|?2|x-1|?
例 3
例 3 ? 证明 1)12(lim 1 ?-? xx ?
因为 ?e?0?
所以 1)12(lim 1 ?-? xx ?
证明
|f(x)-A|?|(2x-1)-1|?2|x-1|?e ?
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??e>0??d>0? 当 0<|x-x0|<d? 有 |f(x)-A|<e ?
0
limxx ? f( x )? A 或 f( x )? A ( x? x 0 )。
?e >0?
当 0?|x-1|?d 时 ? 有?d?e /2?
只要 |x-1|<e /2?要使 |f(x)-A|<e?
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分析 ?
注意函数在 x?1是没有定义的 ? 但这与函数在该点是
否有极限并无关系 ?
证明 因为 ?e >0? ?d?e? 当 0?|x-1|?d 时 ? 有
例 4 例 4 ? 证明 2
11lim
2
1 ?-
-
? x
x
x ?
所以 211lim 21 ?--? xxx ?
f ( x ) - A | |211| 2 ---? xx ? | x - 1| ? e ?
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分析
当 x ? 1 时 ? | f ( x ) - A | |21 1| 2 ---? xx ? | x - 1| ?
?e >0? 只要 |x-1|?e ?要使 |f(x)-A|<e?
??e>0??d>0? 当 0<|x-x0|<d? 有 |f(x)-A|<e ?
0
limxx ? f( x )? A 或 f( x )? A ( x? x 0 )。
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注,
?单侧极限
下页
若当 x?x0-时 ? f(x)无限接近于某常数 A? 则常数 A叫
做函数 f(x)当 x?x0时的左极限 ? 记为
Axfxx ?-? )(lim
0
或 f(x0-)?A,
x?x0-表示 x从 x0的左侧 (即小于 x0)趋于 x0,
x?x0+表示 x从 x0的右侧 (即大于 x0)趋于 x0,
??e>0??d>0? 当 0<|x-x0|<d? 有 |f(x)-A|<e ?
0
limxx ? f( x )? A 或 f( x )? A ( x? x 0 )。
??e ?0??d?0? 当 x0-d?x?x0? 有 |f(x)-A|<e ?
Axfxx ?-? )(lim
0
?精确定义
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?单侧极限
若当 x?x0-时 ? f(x)无限接近于某常数 A? 则常数 A叫
做函数 f(x)当 x?x0时的左极限 ? 记为
Axfxx ?-? )(lim
0
或 f(x0-)?A,
??e>0??d>0? 当 0<|x-x0|<d? 有 |f(x)-A|<e ?
0
limxx ? f( x )? A 或 f( x )? A ( x? x 0 )。
??e ?0??d?0? 当 x0-d?x?x0? 有 |f(x)-A|<e ?
Axfxx ?-? )(lim
0
类似地可定义右极限,
?结论
Axf
xx
?
?
)(l i m
0
? Axf
xx
?-
?
)(l i m
0
且 Axf
xx
?+
?
)(lim
0
?
?精确定义
下页
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这是因为
例 5 函数
当 x?0时的极限不存在 ?
??
?
?
?
?+
?
?-
?
0 1
0 0
0 1
)(
xx
x
xx
xf
Axfxx ?? )(l i m
0
? Axf
xx
?-
?
)(l i m
0
且 Axf
xx
?+
?
)(lim
0
?
1)1(l i m)(l i m 00 -?-?
-- ??
xxf xx ?
1)1(l i m)(l i m 00 ?+?
++ ??
xxf xx ?
)(lim)(lim 00 xfxf xx
+- ??
? ?
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??xlim f ( x )? A ?
-??x lim f ( x ) ? A 和 +??x lim f ( x ) ? A ?
类似地可定义
如果当 |x|无限增大时 ? f(x)无限接近于某一常数 A? 则
常数 A叫做函数 f(x)当 x??时的极限 ? 记为
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2.自变量趋于无穷大时函数的极限
??e?0??X?0?当 |x|?X时 ? 有 |f(x)-A|?e ?
??xlim f ( x )? A ?
?精确定义
结论 ? ??xlim f ( x ) ? A ? -??x lim f ( x ) ? A 且 +??x lim f ( x ) ? A ?
?结论
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??e?0??X?0?当 |x|?X时 ? 有 |f(x)-A|?e ?
??xlim f ( x )? A ?
?极限的定义的几何意义
?e?0:
?X?0:
当 |x|>X时 ? 有 |f(x)-A|<e:
如果
??x
lim f ( x ) ? c ? 则直线 y ? c 称为函数 y ? f ( x ) 的图形的
水平渐近线 ?
?水平渐近线
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分析 ?
例 6 ? 证明 01lim ??? xx ?
例 6
证明
||
1|01||)(|
xxAxf ?-?- ? e ?
所以 01lim ??? xx ?
||
1|01||)(|
xxAxf ?-?- ?
??e?0??X?0?当 |x|?X时 ? 有 |f(x)-A|?e ?
??xlim f ( x )? A ?
? e ? 0 ? 要使 | f ( x ) - A |? e ? 只要 e1|| ?x ?
因为 ? e ? 0 ? ? 01 ?? eX ? 当 |x |? X 时 ? 有
? e ? 0 ? 要使 |f ( x )- A |? e ? 只要 e1|| ?x ?
因为 ? e ? 0 ? ? 0X ? 当 |x |? X 时 ? 有 因为 ? e ? 0 ? ? 01 ?? eX ? 当 | x |? X 时 ? 有
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二、函数极限的性质
?定理 1(函数极限的唯一性 )
?定理 2(函数极限的局部有界性 )
如果 f(x)?A(x?x0)? 那么 f(x)在 x0的某一去心邻域内
有界 ?
?定理 3(函数极限的局部保号性 )
如果 f(x)?A(x?x0)? 而且 A?0(或 A?0)? 那么在 x0的某
一去心邻域内 ? 有 f(x)?0(或 f(x)?0)?
如果当 x?x0时 f(x)的极限存 ? 那么这极限是唯一的 ?
如果在 x0的某一去心邻域内 f(x)?0(或 f(x)?0)? 而且
f(x)?A(x?x0)? 那么 A?0(或 A?0)?
?推论
>>>
>>>
>>>
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?定理 4(函数极限与数列极限的关系 )
如果当 x?x0时 f(x)的极限存在 ? {xn}为 f(x)的定义域内
任一收敛于 x0的数列 ? 且满足 xn ?x0(n?N+)? 那么相应的函
数值数列 {f(xn)}必收敛 ? 且
)(lim)(lim
0
xfxf xxnn ??? ? ?
>>>
结束
