二、反函数的求导法则
三、复合函数的求导法则
一、函数的和、差、积、商的求导法则
§ 2.2 函数的求导法则
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四、基本求导法则与导数公式
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一、函数的和、差、积、商的求导法则
?定理 1
如果函数 u?u(x)及 v?v(x)在点 x具有导数 ?那么它们的和、
差、积、商 (除分母为零的点外 )都在点 x具有导数 ?并且
])( )([ ?xv xu )( )()()()( 2 xv xvxuxvxu ???? ?
下页
[u(x)?v(x)]??u?(x)?v?(x)?
[u(x)?v(x)]??u?(x)?v(x)+u(x)?v?(x)?
>>>
>>>
>>>
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?求导法则的推广
(u?v?w)??u??v??w??
(uvw)??u?vw+uv?w+uvw??
?特殊情况
(Cu)??Cu??
例 1 y?2x 3?5x 2+3x?7?求 y?
?6x 2?10x+3??2·3x 2?5·2x+3
?2(x 3)??5(x 2)?+3(x)?
?(2x 3)??(5x 2)?+(3x)??(7)?解 y??(2x 3?5x 2+3x?7)?
( u ? v ) ?? u ?? v ?? ( uv ) ?? u ? v + uv ?? 2)( v vuvuvu ????? ? 求导法则 ?
下页
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xxxxxf sin43)2 (sin)cos4()()( 23 ?????+??? ?解
例 2 例 2 ?
2 s i nc os4)( 3 ??+? xxxf ? 求 f ? ( x ) 及 )2 ( ?f ? ?
443)2 ( 2 ??? ??f ?
下页
例 3 y?ex (sin x+cos x)? 求 y??
?2excos x?
解 y??(ex)?(sin x+cos x)+e x (sin x+cos x)?
? e x(sin x+cos x)+e x(cos x ?sin x)
( u ? v ) ?? u ?? v ?? ( uv ) ?? u ? v + uv ?? 2)( v vuvuvu ????? ? 求导法则 ?
xxxxxf s i n43)2 ( s i n)c o s4()()( 23 ?????+??? ?xxxxf s in43)2 ( s in)c o s4()()( 23 ?????+??? ? ?
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( u ? v ) ?? u ?? v ?? ( uv ) ?? u ? v + uv ?? 2)( v vuvuvu ????? ? 求导法则 ?
用类似方法 ?还可求得 ?
(cot x)???csc2x? (csc x)???csc x cot x ?
例 4 y?sec x?求 y??
解
x
xx
xxy 2c o s
)( c o s1c o s)1()
c o s
1()( s e c ??????????
x
x
2cos
sin? ?sec x tan x ?
x
xx
xxy 2c o s
)( c o s1c o s)1()
c o s
1()( s e c ??????????
x
x
2c o s
s in? ? s e c x ta n x ?
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二、反函数的求导法则
?定理 2
如果函数 x?f(y)在某区间 Iy内单调、可导且 f?(y)?0?那么
它的反函数 y?f?1(x)在对应区间 Ix?f(Iy)内也可导 ?并且
)(
1])([ 1
yf
xf
?
??? 或
dy
dxdx
dy 1? ?
)(
11limlim])([
00
1
yf
y
xx
yxf
yx ?
?
?
???
???
????
? ?
)(
11limlim])([
00
1
yf
y
xx
yxf
yx ?
?
?
?????
????
? ?
)(
11limlim])([
00
1
yf
y
x
yxf
yx ?
?
?
??
???
????
? ?
简要证明 由于 x?f(y)可导 (从而连续 )? 所以 x?f(y)的反函数
y?f?1(x)连续 ? 当 ?x?0时 ??y?0?所以
详细证明 下页
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例 6 求 (arctan x)?及 (arccot x)??
解 因为 y?arctan x是 x?tan y的反函数 ? 所以
222 1
1
t a n1
1
s e c
1
)( t a n
1)( a r c t a n
xyyyx +?+????? ? 222 1
1
tan1
1
sec
1
)(tan
1)(arct n
xyyyx ++????? ? 222 1
1
ta n1
1
s e c
1
( ta n
1)( r c t n
xyyx +?+????? ? 222 tan1
1
sec
1
)(tan
1)( rc tan
xyyyx ?+????? ?
类似地有 ? 21 1)c o ta r c( xx +??? ?
例 5 求 (arcsin x)?及 (arccos x)??
解 因为 y?arcsin x是 x?sin y的反函数 ? 所以
22 1
1
s in1
1
c o s
1
)( s in
1)( a r c s in
xyyyx ???????
? ?
22 1
1
sin1
1
cos
1
)(sin
1)(arcsin
xyyyx ???????
? ?
21
1
s in1
1
c o s
1
)( s in
1)( a r c s in
xyyyx ???????
? ?
22 1
1
s in1
1
c o)( s in
1)( a r c s in
xyyx ?????
? ?
类似地有 ? 21 1)( a r c c o s xx ???? ?
)(
1])([ 1
yfxf ???? ?
反函数的求导法则,
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x
u
u
y
x
y
dx
dy
xx ?
??
?
??
?
??
???? 00
limlim
三、复合函数的求导法则
?定理 3
如果 u?g(x)在点 x可导 ?函数 y?f(u)在点 u?g(x)可导 ?则复合
函数 y?f[g(x)]在点 x可导 ?且其导数为
)()( xgufdxdy ???? 或 dxdududydxdy ?? ?
简要证明
)()(limlim
00
xgufxuuy
xu
?????????
????
?
则 ?u?0? 此时有
假定 u?j(x)在 x的某邻域内不等于常数 ?
x
u
u
y
x
y
dx
dy
xx ?
??
?
??
?
??
???? 00
limlim
)()(limlim
00
xgufxuuy
xu
?????????
????
?
详细证明 下页
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解
)()( xgufdxdy ???? 或 dxdududydxdy ?? ? 复合函数的求导法则,
例 10 21 2s in xxy +? ? 求 dxdy ? 例 7
解 函数 21 2s i n xxy +? 是由 y ? s i n u ? 21 2 xxu +? 复合而成的 ?
因此 222 222 22 1 2c o s)1( )1(2)1( )2()1(2c o s xxx xx xxudxdududydxdy +?+ ??+ ?+???? ? 因此 222 222 22 1 2c o s)1( )1(2)1( )2()1(2c o s xxx xx xxudxdududydxdy +?+ ??+ ?+???? ? 因此 222 222 22 1 2c o s)1( )1(2)1( )2()1(2c o s xxx xx xxudxdududydxdy +?+?+ ?+???? ?
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解
)()( xgufdxdy ???? 或 dxdududydxdy ?? ? 复合函数的求导法则,
解 ? )( s ins in1)s in( ln ????? xxxdxdy xxx c o tc o ss in1 ??? ?
例 9 例 12, 3 221 xy ?? ? 求
dx
dy ?
解 ? )21()21(31])21[( 23
2
23
1
2 ???????? ? xxx
dx
dy
3 22 )21(3
4
x
x
?
?? ?
解
例 11, ln s in x ? 求 dxdy ? 例 8
解 ? )( s ins in1)s i( ln ????? xxxdxdy xxx c o tc o ss in1 ??? ? 解 ? )( s ins in1)s in( ln ???? xxxdxdy xxx c o tc o ss in1 ??? ? 解 ? )(s ins in1)s i(ln ????? xxxdxdy xx c o tc o ss in1 ??? ?
解 ? )21()21(31])21[( 23
2
23
1
2 ???????? xxx
dx
dy
3 22 )21(3
4
x
x
?
?? ? 解 ? )21()1(
3
1])21[( 2322312 ??????? ?xx
dx
dy
3 22 )21(3
4
x
x
?
?? ?
复合函数的求导法则可以推广到多个中间变量的情形 ?
例如 ?设 y?f(u)?u?j(v)?v??(x)?则
dx
dv
dv
du
du
dy
dx
du
du
dy
dx
dy ????? ?
dx
dv
dv
du
du
dy
dx
du
du
dy
dx
dy ????? ?
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例 13, y ? ln c o s ( e x ) ? 求 dxdy ?
例 10
解 ? ])[ c o s ()c o s (1])c o s ([ ln ????? xxx eeedxdy
)t a n ()()]s i n ([)c o s (1 xxxxx eeeee ??????? ?
xex x
1c o s1 1s i n
2 ???? ?
)()( xgufdxdy ???? 或 dxdududydxdy ?? ? 复合函数的求导法则,
例 14, xey 1s i n? ? 求 dxdy ?
例 11
解
解 解 ? )1(1c o s)1( s in)( 1s i n1s i n1s i n ?????????
xxexeedx
dy xxx
解 ? ])[ c o s ()c o s (1])c o s ([ ln ????? xxx eeedxdy
)t a n ()()]s in ([)c o s (1 xxxxx eeeee ??????? ?
解 ? )1(1c o s)1( s in)( 1s i ns i n1s i n ????????? xxexeedxdy xx 解 ? )1(1c s)1( s in)( 1s i n1s i n1s i n ???????? xxexedxdy xxx
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四、基本求导法则与导数公式
?基本初等函数的导数公式
(1) (C)??0?
(2) (xm)??mxm?1?
(3) (sin x)??cos x?
(4) (cos x)???sin x?
(5) (tan x)??sec2x?
(6) (cot x)???csc2x?
(7) (sec x)??sec x?tan x?
(8) (csc x)???csc x?cot x?
(9) (a x)??a x ln a?
(10) (e x)??ex?
( 1 1 ) axxa ln1)( l o g ?? ?
( 1 2 ) xx 1)( l n ?? ?
( 1 3 ) 21 1)( a r c s i n xx ??? ?
( 1 4 ) 21 1)( a r c c o s xx ???? ?
( 1 5 ) 21 1)( a r c ta n xx +?? ?
( 1 6 ) 21 1)c o ta r c( xx +??? ?
下页
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?函数的和, 差, 积, 商的求导法则
?复合函数的求导法则
?反函数求导法
四、基本求导法则与导数公式
dx
du
du
dy
dx
dy ?? 或 y ? ( x ) ? f ? ( u ) ?g ? ( x ) ? 其 中 y ? f ( u ) ? u ? g ( x ) ?
)0)(( )(1])([ 1 ?????? yfyfxf ?
( 4 ) 2)( v vuvuvu ????? ( v ? 0) ?
(1) (u ? v)??u?? v??
(2) (Cu)??Cu?(C是常数 ) ?
(3) (uv)??u?v+u v??
下页
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即 (sh x)??ch x?
类似地 ?有
(ch x)??sh x?
例 12 求双曲正弦 sh x与双曲余弦 ch x的导数 ?
解 ? 因 为 )(21s h xx eex ??? ? 所 以
xeeeex xxxx c h )(21)(21)s h ( ?+????? ?? ?
解
xeeeex xxxx c h )(21)(21)s h ( +????? ?? ? xeeex xxx ch )(21)(2)sh ( ?+????? ?? ?
例 13 求双曲正切 th x的导数 ?
解 ? 因 为 xxx c h s h t h ? ? 所 以
x
xxx
2
22
ch
shch)(th ???
x2ch
1? ?
解
x
xxx
2
22
ch
shch)( th ???
x2ch
1? ?
x
xxx
2
22 shch)(th ??
x2ch
1? ?
下页
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例 14 求反双曲正弦 arsh x的导数 ?
解 ? 因 为 )1l n (a r s h 2xxx ++? ? 所 以 解
222 1
1)
11(1
1)arsh (
xx
x
xxx +?++?++?? ?
类 似 地 可 得 11)a r c h ( 2 ??? xx ? 21 1)a r t h ( xx ??? ?
结束
222 1
1)
11(1
1)a r s h (
xx
x
xx +?++?++?? ? 222 1
1)1(
1
1)ars h (
xx
x
xxx +?+?++?? ?
例 15 y?sin nx?sinn x (n为常数 )?求 y??
?n sinn?1x?sin(n+1)x?
?ncos nx?sinn x+n sinn?1x?cos x
?(sin x)??n?sinn?1x+sin nx?sinn x?ncos nx
+sin nx?(sinn x)??(sin nx)?sinn x解 y?
三、复合函数的求导法则
一、函数的和、差、积、商的求导法则
§ 2.2 函数的求导法则
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四、基本求导法则与导数公式
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一、函数的和、差、积、商的求导法则
?定理 1
如果函数 u?u(x)及 v?v(x)在点 x具有导数 ?那么它们的和、
差、积、商 (除分母为零的点外 )都在点 x具有导数 ?并且
])( )([ ?xv xu )( )()()()( 2 xv xvxuxvxu ???? ?
下页
[u(x)?v(x)]??u?(x)?v?(x)?
[u(x)?v(x)]??u?(x)?v(x)+u(x)?v?(x)?
>>>
>>>
>>>
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?求导法则的推广
(u?v?w)??u??v??w??
(uvw)??u?vw+uv?w+uvw??
?特殊情况
(Cu)??Cu??
例 1 y?2x 3?5x 2+3x?7?求 y?
?6x 2?10x+3??2·3x 2?5·2x+3
?2(x 3)??5(x 2)?+3(x)?
?(2x 3)??(5x 2)?+(3x)??(7)?解 y??(2x 3?5x 2+3x?7)?
( u ? v ) ?? u ?? v ?? ( uv ) ?? u ? v + uv ?? 2)( v vuvuvu ????? ? 求导法则 ?
下页
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xxxxxf sin43)2 (sin)cos4()()( 23 ?????+??? ?解
例 2 例 2 ?
2 s i nc os4)( 3 ??+? xxxf ? 求 f ? ( x ) 及 )2 ( ?f ? ?
443)2 ( 2 ??? ??f ?
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例 3 y?ex (sin x+cos x)? 求 y??
?2excos x?
解 y??(ex)?(sin x+cos x)+e x (sin x+cos x)?
? e x(sin x+cos x)+e x(cos x ?sin x)
( u ? v ) ?? u ?? v ?? ( uv ) ?? u ? v + uv ?? 2)( v vuvuvu ????? ? 求导法则 ?
xxxxxf s i n43)2 ( s i n)c o s4()()( 23 ?????+??? ?xxxxf s in43)2 ( s in)c o s4()()( 23 ?????+??? ? ?
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( u ? v ) ?? u ?? v ?? ( uv ) ?? u ? v + uv ?? 2)( v vuvuvu ????? ? 求导法则 ?
用类似方法 ?还可求得 ?
(cot x)???csc2x? (csc x)???csc x cot x ?
例 4 y?sec x?求 y??
解
x
xx
xxy 2c o s
)( c o s1c o s)1()
c o s
1()( s e c ??????????
x
x
2cos
sin? ?sec x tan x ?
x
xx
xxy 2c o s
)( c o s1c o s)1()
c o s
1()( s e c ??????????
x
x
2c o s
s in? ? s e c x ta n x ?
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二、反函数的求导法则
?定理 2
如果函数 x?f(y)在某区间 Iy内单调、可导且 f?(y)?0?那么
它的反函数 y?f?1(x)在对应区间 Ix?f(Iy)内也可导 ?并且
)(
1])([ 1
yf
xf
?
??? 或
dy
dxdx
dy 1? ?
)(
11limlim])([
00
1
yf
y
xx
yxf
yx ?
?
?
???
???
????
? ?
)(
11limlim])([
00
1
yf
y
xx
yxf
yx ?
?
?
?????
????
? ?
)(
11limlim])([
00
1
yf
y
x
yxf
yx ?
?
?
??
???
????
? ?
简要证明 由于 x?f(y)可导 (从而连续 )? 所以 x?f(y)的反函数
y?f?1(x)连续 ? 当 ?x?0时 ??y?0?所以
详细证明 下页
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例 6 求 (arctan x)?及 (arccot x)??
解 因为 y?arctan x是 x?tan y的反函数 ? 所以
222 1
1
t a n1
1
s e c
1
)( t a n
1)( a r c t a n
xyyyx +?+????? ? 222 1
1
tan1
1
sec
1
)(tan
1)(arct n
xyyyx ++????? ? 222 1
1
ta n1
1
s e c
1
( ta n
1)( r c t n
xyyx +?+????? ? 222 tan1
1
sec
1
)(tan
1)( rc tan
xyyyx ?+????? ?
类似地有 ? 21 1)c o ta r c( xx +??? ?
例 5 求 (arcsin x)?及 (arccos x)??
解 因为 y?arcsin x是 x?sin y的反函数 ? 所以
22 1
1
s in1
1
c o s
1
)( s in
1)( a r c s in
xyyyx ???????
? ?
22 1
1
sin1
1
cos
1
)(sin
1)(arcsin
xyyyx ???????
? ?
21
1
s in1
1
c o s
1
)( s in
1)( a r c s in
xyyyx ???????
? ?
22 1
1
s in1
1
c o)( s in
1)( a r c s in
xyyx ?????
? ?
类似地有 ? 21 1)( a r c c o s xx ???? ?
)(
1])([ 1
yfxf ???? ?
反函数的求导法则,
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x
u
u
y
x
y
dx
dy
xx ?
??
?
??
?
??
???? 00
limlim
三、复合函数的求导法则
?定理 3
如果 u?g(x)在点 x可导 ?函数 y?f(u)在点 u?g(x)可导 ?则复合
函数 y?f[g(x)]在点 x可导 ?且其导数为
)()( xgufdxdy ???? 或 dxdududydxdy ?? ?
简要证明
)()(limlim
00
xgufxuuy
xu
?????????
????
?
则 ?u?0? 此时有
假定 u?j(x)在 x的某邻域内不等于常数 ?
x
u
u
y
x
y
dx
dy
xx ?
??
?
??
?
??
???? 00
limlim
)()(limlim
00
xgufxuuy
xu
?????????
????
?
详细证明 下页
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解
)()( xgufdxdy ???? 或 dxdududydxdy ?? ? 复合函数的求导法则,
例 10 21 2s in xxy +? ? 求 dxdy ? 例 7
解 函数 21 2s i n xxy +? 是由 y ? s i n u ? 21 2 xxu +? 复合而成的 ?
因此 222 222 22 1 2c o s)1( )1(2)1( )2()1(2c o s xxx xx xxudxdududydxdy +?+ ??+ ?+???? ? 因此 222 222 22 1 2c o s)1( )1(2)1( )2()1(2c o s xxx xx xxudxdududydxdy +?+ ??+ ?+???? ? 因此 222 222 22 1 2c o s)1( )1(2)1( )2()1(2c o s xxx xx xxudxdududydxdy +?+?+ ?+???? ?
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解
)()( xgufdxdy ???? 或 dxdududydxdy ?? ? 复合函数的求导法则,
解 ? )( s ins in1)s in( ln ????? xxxdxdy xxx c o tc o ss in1 ??? ?
例 9 例 12, 3 221 xy ?? ? 求
dx
dy ?
解 ? )21()21(31])21[( 23
2
23
1
2 ???????? ? xxx
dx
dy
3 22 )21(3
4
x
x
?
?? ?
解
例 11, ln s in x ? 求 dxdy ? 例 8
解 ? )( s ins in1)s i( ln ????? xxxdxdy xxx c o tc o ss in1 ??? ? 解 ? )( s ins in1)s in( ln ???? xxxdxdy xxx c o tc o ss in1 ??? ? 解 ? )(s ins in1)s i(ln ????? xxxdxdy xx c o tc o ss in1 ??? ?
解 ? )21()21(31])21[( 23
2
23
1
2 ???????? xxx
dx
dy
3 22 )21(3
4
x
x
?
?? ? 解 ? )21()1(
3
1])21[( 2322312 ??????? ?xx
dx
dy
3 22 )21(3
4
x
x
?
?? ?
复合函数的求导法则可以推广到多个中间变量的情形 ?
例如 ?设 y?f(u)?u?j(v)?v??(x)?则
dx
dv
dv
du
du
dy
dx
du
du
dy
dx
dy ????? ?
dx
dv
dv
du
du
dy
dx
du
du
dy
dx
dy ????? ?
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例 13, y ? ln c o s ( e x ) ? 求 dxdy ?
例 10
解 ? ])[ c o s ()c o s (1])c o s ([ ln ????? xxx eeedxdy
)t a n ()()]s i n ([)c o s (1 xxxxx eeeee ??????? ?
xex x
1c o s1 1s i n
2 ???? ?
)()( xgufdxdy ???? 或 dxdududydxdy ?? ? 复合函数的求导法则,
例 14, xey 1s i n? ? 求 dxdy ?
例 11
解
解 解 ? )1(1c o s)1( s in)( 1s i n1s i n1s i n ?????????
xxexeedx
dy xxx
解 ? ])[ c o s ()c o s (1])c o s ([ ln ????? xxx eeedxdy
)t a n ()()]s in ([)c o s (1 xxxxx eeeee ??????? ?
解 ? )1(1c o s)1( s in)( 1s i ns i n1s i n ????????? xxexeedxdy xx 解 ? )1(1c s)1( s in)( 1s i n1s i n1s i n ???????? xxexedxdy xxx
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四、基本求导法则与导数公式
?基本初等函数的导数公式
(1) (C)??0?
(2) (xm)??mxm?1?
(3) (sin x)??cos x?
(4) (cos x)???sin x?
(5) (tan x)??sec2x?
(6) (cot x)???csc2x?
(7) (sec x)??sec x?tan x?
(8) (csc x)???csc x?cot x?
(9) (a x)??a x ln a?
(10) (e x)??ex?
( 1 1 ) axxa ln1)( l o g ?? ?
( 1 2 ) xx 1)( l n ?? ?
( 1 3 ) 21 1)( a r c s i n xx ??? ?
( 1 4 ) 21 1)( a r c c o s xx ???? ?
( 1 5 ) 21 1)( a r c ta n xx +?? ?
( 1 6 ) 21 1)c o ta r c( xx +??? ?
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?函数的和, 差, 积, 商的求导法则
?复合函数的求导法则
?反函数求导法
四、基本求导法则与导数公式
dx
du
du
dy
dx
dy ?? 或 y ? ( x ) ? f ? ( u ) ?g ? ( x ) ? 其 中 y ? f ( u ) ? u ? g ( x ) ?
)0)(( )(1])([ 1 ?????? yfyfxf ?
( 4 ) 2)( v vuvuvu ????? ( v ? 0) ?
(1) (u ? v)??u?? v??
(2) (Cu)??Cu?(C是常数 ) ?
(3) (uv)??u?v+u v??
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即 (sh x)??ch x?
类似地 ?有
(ch x)??sh x?
例 12 求双曲正弦 sh x与双曲余弦 ch x的导数 ?
解 ? 因 为 )(21s h xx eex ??? ? 所 以
xeeeex xxxx c h )(21)(21)s h ( ?+????? ?? ?
解
xeeeex xxxx c h )(21)(21)s h ( +????? ?? ? xeeex xxx ch )(21)(2)sh ( ?+????? ?? ?
例 13 求双曲正切 th x的导数 ?
解 ? 因 为 xxx c h s h t h ? ? 所 以
x
xxx
2
22
ch
shch)(th ???
x2ch
1? ?
解
x
xxx
2
22
ch
shch)( th ???
x2ch
1? ?
x
xxx
2
22 shch)(th ??
x2ch
1? ?
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例 14 求反双曲正弦 arsh x的导数 ?
解 ? 因 为 )1l n (a r s h 2xxx ++? ? 所 以 解
222 1
1)
11(1
1)arsh (
xx
x
xxx +?++?++?? ?
类 似 地 可 得 11)a r c h ( 2 ??? xx ? 21 1)a r t h ( xx ??? ?
结束
222 1
1)
11(1
1)a r s h (
xx
x
xx +?++?++?? ? 222 1
1)1(
1
1)ars h (
xx
x
xxx +?+?++?? ?
例 15 y?sin nx?sinn x (n为常数 )?求 y??
?n sinn?1x?sin(n+1)x?
?ncos nx?sinn x+n sinn?1x?cos x
?(sin x)??n?sinn?1x+sin nx?sinn x?ncos nx
+sin nx?(sinn x)??(sin nx)?sinn x解 y?
