一、准则 I及第一个重要极限
二、准则 II及第二个重要极限
§ 1.6 极限存在准则 两个重要极限
上页 下页 铃结束返回首页
上页 下页 铃结束返回首页
一、准则 I及第一个重要极限
如果数列 {xn},{yn}及 {zn}满足下列条件 ?
(1)yn?xn?zn(n=1? 2? 3???? )?
?准则 I
?准则 I?
如果函数 f(x),g(x)及 h(x)满足下列条件 ?
(1) g(x)?f(x)?h(x)?
(2)lim g(x)=A? lim h(x)=A?
那么 lim f(x)存在 ? 且 lim f(x)=A?
( 2 ) ay nn =??l i m ? az nn =??l i m ?
下页
那么数列 { x n } 的极限存在 ? 且 ax nn =??l i m ? >>>
上页 下页 铃结束返回首页
?第一个重要极限
显然 BC? AB ?AD?
(
因此 sin x? x ? tan x ?
D
B
1
O C A
x
1s inlim
0
=
? x
x
x
?
简要证明 参看附图 ? 设圆心角 ?AOB=x
( 2 0 ??? x )?
从而 1s i nc o s ?? x xx ( 此不等式当 x ? 0 时也成立 ) ?
因为 1c o slim 0 =? xx ?
根据准则 I ?? 1s i nl i m 0 =? x xx ?
下页
上页 下页 铃结束返回首页
注,
这是因为 ? 令 u=a(x)? 则 u?0? 于是
在极限 )( )(s i nl i m x xa a 中 ? 只 要 a ( x ) 是无穷小 ? 就 有
1)( )(s inlim =x xa a ?
)(
)(s i nl i m
x
x
a
a 1s i nl i m
0
==
? u
u
u
?
下页
?第一个重要极限
1s inlim
0
=
? x
x
x
?
上页 下页 铃结束返回首页
20
c o s1lim
x
x
x
?
?
=
2
2
02
2
0
)
2
(
2
s in
lim
2
12s in2
lim
x
x
x
x
xx ??
=
1s i nl i m
0
=
? x
x
x ? 1)(
)(s i nlim =
x
x
a
a ( a ( x ) ? 0 ) ?
例 1
例 1 ? 求 x xx ta nlim 0? ?
解 ? x xx ta nlim0? xx xx c o s1s inlim 0 ?= ? 1c o s1lims inlim 00 =?= ?? xx x xx ?
解
解 ? x xx t a nlim 0? xx xx c o s1s inlim 0 ?= ? 1c o s1lims inlim 00 =?= ?? xx x xx ? 解 ? x xx t a nlim 0? xx xx c o s1s inlim 0 ?= 1c o s1lims inlim 00 =?= ?? xx x xx ? 解 ? xxtanlim0 xxx cos1sinlim0 ?= 1cos1limsinlim 00 =?= ?? xxx xx ?
解
例 2
例 2 ? 求 20 c o s1lim x xx ?? ?
首页
2
1
1
2
1
2
2
s in
lim
2
1
2
2
0
=?=??
?
?
??
?
?
=
? x
x
x
?
2
1
1
2
1
2
2
s in
lim
2
1
2
2
0
=?=??
?
?
??
?
?
=
? x
x
x
?
20
c o s1lim
x
x
x
?
?
=
2
2
02
2
0
)
2
(
2
s in
lim
2
12s in2
lim
x
x
x
x
xx ?
=
20
c o s1lim
x
x
x
?
?
=
2
2
2
2
0
)
2
(
2
s in
lim
2
12s in2
lim
x
x
x
x
xx ??
=
上页 下页 铃结束返回首页
二、准则 II及第二个重要极限
注,
如果 xn?xn+1? n?N+?就称数列 {xn}是单调增加的 ?
如果 xn?xn+1? n?N+?就称数列 {xn}是单调减少的 ?
单调增加和单调减少数列统称为单调数列 ?
下页
?准则 II
单调有界数列必有极限 ?
提问,
收敛的数列是否一定有界？
有界的数列是否一定收敛？
上页 下页 铃结束返回首页
M
二、准则 II及第二个重要极限
?准则 II
单调有界数列必有极限 ?
?准则 II的几何解释
x1 x5x4x3x2 xn
A
以单调增加数列为例 ? 数列 的点只可能向右一个方向移
动 ? 或者无限向右移动 ? 或者无限趋近于某一定点 A? 而对有界
数列只可能后者情况发生 ?
上页 下页 铃结束返回首页
根据准则 II? 数列 {xn}必有极限 ? 此极限用 e来表示 ? 即
?第二个重要极限
e是个无理数 ? 它的值是
e=2? 718281828459045????
en nn =+?? )11(lim ?
下页
二、准则 II及第二个重要极限
?准则 II
单调有界数列必有极限 ?
可以证明 (2)xn?3?(1)xn?xn+1? n?N+? >>>>>> 设
nn nx )11( += ?
上页 下页 铃结束返回首页 下页
?第二个重要极限
二、准则 II及第二个重要极限
?准则 II
单调有界数列必有极限 ?
ex xx =+?? )11(lim ?
我们还可以证明
这就是第二个重要极限 ?
根据准则 II? 数列 {xn}必有极限 ? 此极限用 e来表示 ? 即
en nn =+?? )11(lim ?
可以证明 (2)xn?3?(1)xn?xn+1? n?N+? 设
nn nx )11( += ?
上页 下页 铃结束返回首页
?第二个重要极限
二、准则 II及第二个重要极限
?准则 II
单调有界数列必有极限 ?
ex xx =+?? )11(lim ?
注,
在极限 )(1)](1l i m [ xx aa+ 中 ? 只 要 a ( x ) 是无穷小 ? 就 有
ex x =+ )(1)](1lim [ aa ? >>>
上页 下页 铃结束返回首页
解
ex x
x
=+
??
)11(l i m ? ex x =+ )(
1
)](1l i m [ aa ( a ( x ) ? 0) ?
例 3
例 3 ? 求 xx x )11(lim ??? ?
令 t=?x? 则 x ??时 ? t ??? 于是
x
x x
)11(lim ?
??
t
t t
?
??
+= )11(lim
e
t
tt
1
)11(
1lim =
+
=
??
?
x x
)11(lim ?
??
t
t t
?
??
+ )11(lim
e
t
tt
1
)11(
1lim =
+
=
??
? x
x x
)11(lim ?
?? t t??
+= )11(lim
e
t
tt
1
)11(
1lim =
+??
? x
x x
)11(lim ?
??
t
t t
?
??
+ )11(lim
e
t
tt
1
)1(
1lim
+
=
??
?
或 )1()11(lim)11(lim ??
???? ?
+=? x
x
x
x xx
11])11(lim[ ???
?? =?+= ex
x
x ?
或 )1()11(lim)11(lim ??
???? ?
+=? x
x
x
x x
11])11(lim[ ???
?? =?+= ex
x
x ?
结束