一、连续函数的和、积及商的连续性
二、反函数与复合函数的连续性
三、初等函数的连续性
§ 1.9 连续函数的运算与初等函数的连续性
上页 下页 铃结束返回首页
上页 下页 铃结束返回首页
一、连续函数的和、积及商的连续性
?定理 1
设函数 f(x)和 g(x)在点 x0连续 ? 则函数
在点 x0也连续 ?
f ( x ) ? g ( x ) ? f ( x ) ?g ( x ) ? )( )( xg xf ( 当 0)( 0 ?xg 时 )
例 1 因为 sin x和 cos x都在区间 (-?? +?)内连续 ?
所以 tan x和 cot x在它们的定义域内是连续的 ?
三角函数 sin x,cos x,sec x,csc x,tan x,cot x 在
其有定义的区间内都是连续的 ?
首页
>>>
上页 下页 铃结束返回首页
二、反函数与复合函数的连续性
?定理 2
如果函数 f(x)在区间 Ix上单调增加 (或减少 )且连续 ? 那
么它的反函数 x?f -1(y)在区间 Iy?{y|y?f(x)? x?Ix}上也是单
调增加 (或减少 )且连续的 ?
所以它的反函数 y?arcsin x 在区间 [-1? 1]上也是连续的 ?
下页
例 2 例 2 ? 由于 y ? s i n x 在区间 ]
2,2[ ??- 上单调 增加 且连续 ?
同样 ? y?arccos x 在区间 [-1? 1]上是连续的 ?
y?arctan x 在区间 (-?? +?)内是连续的 ?
y?arccot x 在区间 (-?? +?)内是连续的 ?
上页 下页 铃结束返回首页
反三角函数 arcsin x,arccos x,arctan x,arccot x在
它们的定义域内都是连续的 ?
下页
二、反函数与复合函数的连续性
?定理 2
如果函数 f(x)在区间 Ix上单调增加 (或减少 )且连续 ? 那
么它的反函数 x?f -1(y)在区间 Iy?{y|y?f(x)? x?Ix}上也是单
调增加 (或减少 )且连续的 ?
所以它的反函数 y?arcsin x 在区间 [-1? 1]上也是连续的 ?
例 2 例 2 ? 由于 y ? s i n x 在区间 ]
2,2[ ??- 上单调 增加 且连续 ?
上页 下页 铃结束返回首页
注,
(1)把定理中的 x?x0换成 x???可得类似的定理 ?
( 2 ) 定理 的 结 论 也 可 写 成 )](lim[)]([lim
00
xgfxgf xxxx ?? ? ?
提示,
9
3lim
23 -
-
? x
x
x 6
1? ? 函数 uy ? 在点
6
1?u 连续 ?
?定理 3
例 3 例 3 ? 求
9
3lim
23 -
-
? x
x
x ?
解 ? 93lim 23 --? xxx 93lim 23 --? ? xxx 61? ? 解
下页
设函数 y?f[g(x)]由函数 y?f(u)与函数 u?g(x)复合而成 ?
gfDxU ?
? ?)(
0 ? 若 0)lim
0
uxg
xx
??
?
? 而 函数 y ? f ( u ) 在 0u 连续 ? 则
)()(lim)][lim 0
00
ufufxgf uuxx ??? ?? ?
解 ? 93lim 23 --? xxx 9lim 3? ? xx 61? ? 解 ? 93lim 23 --? xxx 93lim 2--? ? xxx 61? ?
9
3
2 -
-?
x
xy 是由 uy ? 与
9
3
2 -
-?
x
xu 复合而成的 ?
>>>
上页 下页 铃结束返回首页
设函数 y?f[g(x)]由函数 y?f(u)与函数 u?g(x)复合而成 ?
U(x0)?Df o g? 若函数 u?g(x) 在点 x0 连续 ? 函数 y?f(u)在点
u0?g(x0)连续 ? 则复合函数 y?f[j(x)]在点 x0也连续 ?
下页
?定理 4
?定理 3
设函数 y?f[g(x)]由函数 y?f(u)与函数 u?g(x)复合而成 ?
gfDxU ?
? ?)(
0 ? 若 0)lim
0
uxg
xx
??
?
? 而 函数 y ? f ( u ) 在 0u 连续 ? 则
)()(lim)][lim 0
00
ufufxgf uuxx ??? ?? ?
上页 下页 铃结束返回首页
sin u 当 -?<u<+?时是连续的 ?
例 4
例 4 ? 讨论函数 xy 1s i n? 的连续性 ?
解 ? 函数 xy 1s i n? 是由 y ? s i n u 及 xu 1? 复合而成的 ?
x
1 当 - ? < x <0 和 0< x < + ? 时是连续的 ?
首页
解
内是连续的 ?
根据定理 4 ? 函数 x1s i n 在无限区间 ( - ? ? 0 ) 和 (0 ? + ? )
上页 下页 铃结束返回首页
三、初等函数的连续性
?结论
基本初等函数在它们的定义域内都是连续的 ?
一切初等函数在其定义区间内都是连续的 ?
注,
所谓定义区间 ? 就是包含在定义域内的区间 ?
下页
上页 下页 铃结束返回首页
例 8 ? 求 x xax )1(lo glim 0 +? ?
例 6
例 5 例 7 ? 求
x
x
x
11lim 2
0
-+
?
?
解 ? xx
x
11lim 2
0
-+
? )11(
)11)(11(lim
2
22
0 ++
++-+?
? xx
xx
x
02011lim 2
0
??++?
? x
x
x
?
解 ? x xa
x
)1(lo glim
0
+
?
xa
x
x
1
0
)1(lo glim +?
? a
ea ln 1log ?? ?
解
解
解 ? xx
x
11l i m 2
0
-+
? )11(
)11)(11(lim
2
22
0 ++
++-+?
? xx
xx
x
02011lim 2
0
??++?
? x
x
x
?
解 ? x xa
x
)1(lo glim
0
+
?
xa
x
x
1
0
)1(lo glim +?
? a
ea ln 1log ? ? 解 ? x xa
x
)1(lo glim
0
+
?
xa
x
x
1
0
)1(lo glim +?
? a
ea ln 1log ?? ?
下页
?利用连续性求极限举例
上页 下页 铃结束返回首页
例 7
例 9 ? 求 xa xx 1lim 0 -? ?
令 a x-1?t?解
x
a x
x
1lim
0
-
?
? att
at
ln)1(lo glim
0
?+
?
? xa x
x
1lim
0?
? att
at
ln)1(lo glim
0
?+
?
? xa x
x
1lim
0
-
?
? att
at
ln)1(lolim
0
?+
?
?
则 x?log a(1+t)? x?0时 t?0? 于是
结束
?利用连续性求极限举例
例题 >>>
二、反函数与复合函数的连续性
三、初等函数的连续性
§ 1.9 连续函数的运算与初等函数的连续性
上页 下页 铃结束返回首页
上页 下页 铃结束返回首页
一、连续函数的和、积及商的连续性
?定理 1
设函数 f(x)和 g(x)在点 x0连续 ? 则函数
在点 x0也连续 ?
f ( x ) ? g ( x ) ? f ( x ) ?g ( x ) ? )( )( xg xf ( 当 0)( 0 ?xg 时 )
例 1 因为 sin x和 cos x都在区间 (-?? +?)内连续 ?
所以 tan x和 cot x在它们的定义域内是连续的 ?
三角函数 sin x,cos x,sec x,csc x,tan x,cot x 在
其有定义的区间内都是连续的 ?
首页
>>>
上页 下页 铃结束返回首页
二、反函数与复合函数的连续性
?定理 2
如果函数 f(x)在区间 Ix上单调增加 (或减少 )且连续 ? 那
么它的反函数 x?f -1(y)在区间 Iy?{y|y?f(x)? x?Ix}上也是单
调增加 (或减少 )且连续的 ?
所以它的反函数 y?arcsin x 在区间 [-1? 1]上也是连续的 ?
下页
例 2 例 2 ? 由于 y ? s i n x 在区间 ]
2,2[ ??- 上单调 增加 且连续 ?
同样 ? y?arccos x 在区间 [-1? 1]上是连续的 ?
y?arctan x 在区间 (-?? +?)内是连续的 ?
y?arccot x 在区间 (-?? +?)内是连续的 ?
上页 下页 铃结束返回首页
反三角函数 arcsin x,arccos x,arctan x,arccot x在
它们的定义域内都是连续的 ?
下页
二、反函数与复合函数的连续性
?定理 2
如果函数 f(x)在区间 Ix上单调增加 (或减少 )且连续 ? 那
么它的反函数 x?f -1(y)在区间 Iy?{y|y?f(x)? x?Ix}上也是单
调增加 (或减少 )且连续的 ?
所以它的反函数 y?arcsin x 在区间 [-1? 1]上也是连续的 ?
例 2 例 2 ? 由于 y ? s i n x 在区间 ]
2,2[ ??- 上单调 增加 且连续 ?
上页 下页 铃结束返回首页
注,
(1)把定理中的 x?x0换成 x???可得类似的定理 ?
( 2 ) 定理 的 结 论 也 可 写 成 )](lim[)]([lim
00
xgfxgf xxxx ?? ? ?
提示,
9
3lim
23 -
-
? x
x
x 6
1? ? 函数 uy ? 在点
6
1?u 连续 ?
?定理 3
例 3 例 3 ? 求
9
3lim
23 -
-
? x
x
x ?
解 ? 93lim 23 --? xxx 93lim 23 --? ? xxx 61? ? 解
下页
设函数 y?f[g(x)]由函数 y?f(u)与函数 u?g(x)复合而成 ?
gfDxU ?
? ?)(
0 ? 若 0)lim
0
uxg
xx
??
?
? 而 函数 y ? f ( u ) 在 0u 连续 ? 则
)()(lim)][lim 0
00
ufufxgf uuxx ??? ?? ?
解 ? 93lim 23 --? xxx 9lim 3? ? xx 61? ? 解 ? 93lim 23 --? xxx 93lim 2--? ? xxx 61? ?
9
3
2 -
-?
x
xy 是由 uy ? 与
9
3
2 -
-?
x
xu 复合而成的 ?
>>>
上页 下页 铃结束返回首页
设函数 y?f[g(x)]由函数 y?f(u)与函数 u?g(x)复合而成 ?
U(x0)?Df o g? 若函数 u?g(x) 在点 x0 连续 ? 函数 y?f(u)在点
u0?g(x0)连续 ? 则复合函数 y?f[j(x)]在点 x0也连续 ?
下页
?定理 4
?定理 3
设函数 y?f[g(x)]由函数 y?f(u)与函数 u?g(x)复合而成 ?
gfDxU ?
? ?)(
0 ? 若 0)lim
0
uxg
xx
??
?
? 而 函数 y ? f ( u ) 在 0u 连续 ? 则
)()(lim)][lim 0
00
ufufxgf uuxx ??? ?? ?
上页 下页 铃结束返回首页
sin u 当 -?<u<+?时是连续的 ?
例 4
例 4 ? 讨论函数 xy 1s i n? 的连续性 ?
解 ? 函数 xy 1s i n? 是由 y ? s i n u 及 xu 1? 复合而成的 ?
x
1 当 - ? < x <0 和 0< x < + ? 时是连续的 ?
首页
解
内是连续的 ?
根据定理 4 ? 函数 x1s i n 在无限区间 ( - ? ? 0 ) 和 (0 ? + ? )
上页 下页 铃结束返回首页
三、初等函数的连续性
?结论
基本初等函数在它们的定义域内都是连续的 ?
一切初等函数在其定义区间内都是连续的 ?
注,
所谓定义区间 ? 就是包含在定义域内的区间 ?
下页
上页 下页 铃结束返回首页
例 8 ? 求 x xax )1(lo glim 0 +? ?
例 6
例 5 例 7 ? 求
x
x
x
11lim 2
0
-+
?
?
解 ? xx
x
11lim 2
0
-+
? )11(
)11)(11(lim
2
22
0 ++
++-+?
? xx
xx
x
02011lim 2
0
??++?
? x
x
x
?
解 ? x xa
x
)1(lo glim
0
+
?
xa
x
x
1
0
)1(lo glim +?
? a
ea ln 1log ?? ?
解
解
解 ? xx
x
11l i m 2
0
-+
? )11(
)11)(11(lim
2
22
0 ++
++-+?
? xx
xx
x
02011lim 2
0
??++?
? x
x
x
?
解 ? x xa
x
)1(lo glim
0
+
?
xa
x
x
1
0
)1(lo glim +?
? a
ea ln 1log ? ? 解 ? x xa
x
)1(lo glim
0
+
?
xa
x
x
1
0
)1(lo glim +?
? a
ea ln 1log ?? ?
下页
?利用连续性求极限举例
上页 下页 铃结束返回首页
例 7
例 9 ? 求 xa xx 1lim 0 -? ?
令 a x-1?t?解
x
a x
x
1lim
0
-
?
? att
at
ln)1(lo glim
0
?+
?
? xa x
x
1lim
0?
? att
at
ln)1(lo glim
0
?+
?
? xa x
x
1lim
0
-
?
? att
at
ln)1(lolim
0
?+
?
?
则 x?log a(1+t)? x?0时 t?0? 于是
结束
?利用连续性求极限举例
例题 >>>
