一、有界性与最大值最小值定理
二、零点定理与介值定理
§ 1.10 闭区间上连续函数的性质
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一、有界性与最大值最小值定理
?最大值与最小值
对于在区间 I上有定义的函数 f(x)? 如果有 x0?I? 使得对于
任一 x?I都有
f(x)?f(x0) (f(x)?f(x0))?
则称 f(x0)是函数 f(x)在区间 I上的最大值 (最小值 )?
最大值与最小值举例,
函数 f(x)=1+sinx在区间
[0?2p]上有最大值 2 和最小
值 0 ?
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函数 y=sgn x 在区间 (-??+?)
内有最大值 1和最小值 -1? 但在开
区间 (0?+?)内 ? 它的最大值和最小
值都是 1?
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最大值与最小值举例,
一、有界性与最大值最小值定理
?最大值与最小值
对于在区间 I上有定义的函数 f(x)? 如果有 x0?I? 使得对于
任一 x?I都有
f(x)?f(x0) (f(x)?f(x0))?
则称 f(x0)是函数 f(x)在区间 I上的最大值 (最小值 )?
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并非任何函数都有最大值和
最小值 ?
例如, 函数 f(x)=x在开区间
(a?b)内既无最大值又无最小值 ?
应注意的问题,
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一、有界性与最大值最小值定理
?最大值与最小值
对于在区间 I上有定义的函数 f(x)? 如果有 x0?I? 使得对于
任一 x?I都有
f(x)?f(x0) (f(x)?f(x0))?
则称 f(x0)是函数 f(x)在区间 I上的最大值 (最小值 )?
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说明,
?定理 1(最大值和最小值定理 )
在闭区间上连续的函数在该区间上一定能取得它的最大
值和最小值 ?
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又至少有一点 x2?[a?b]? 使 f(x2)是 f(x)在 [a?b]上的最小值 ?
至少有一点 x1?[a?b]? 使 f(x1)是 f(x)在 [a?b]上的最大值 ?
定理说明 ? 如果函数 f(x)在闭区间 [a?b]上连续 ?那么
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应注意的问题,
如果函数仅在开区间内连续 ? 或函数在闭区间上有间断
点 ? 那么函数在该区间上就不一定有最大值或最小值 ?
例如 ? 函数 f(x)=x在开区间 (a?b)
内既无最大值又无最小值 ?
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?定理 1(最大值和最小值定理 )
在闭区间上连续的函数在该区间上一定能取得它的最大
值和最小值 ?
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又如 ? 如下 函数在闭区间 [0?2]
内既无最大值又无最小值 ?
??
?
?
?
??+-
=
??+-
==
21 3
1 1
10 1
)(
xx
x
xx
xfy ?
应注意的问题,
如果函数仅在开区间内连续 ? 或函数在闭区间上有间断
点 ? 那么函数在该区间上就不一定有最大值或最小值 ?
?定理 1(最大值和最小值定理 )
在闭区间上连续的函数在该区间上一定能取得它的最大
值和最小值 ?
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?定理 2(有界性定理 )
在闭区间上连续的函数一定在该区间上有界 ?
证明 设函数 f(x)在闭区间 [a?b]上连续 ?
根据定理 1? 存在 f(x)在区间 [a? b]上的最大值 M和最小值
m? 使任一 x?[a?b]满足
m?f(x)?M?
上式表明 ? f(x)在 [a?b]上有上界 M和下界 m? 因此函数 f(x)在
[a?b]上有界 ?
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?定理 1(最大值和最小值定理 )
在闭区间上连续的函数在该区间上一定能取得它的最大
值和最小值 ?
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二、零点定理与介值定理
注,
如果 x0使 f(x0)=0? 则 x0称为函数 f(x)的零点 ?
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?定理 3(零点定理 )
设函数 f(x)在闭区间 [a?b]上连续 ?且 f(a)与 f(b)异号 ?那么
在开区间 (a?b)内至少一点 x?使 f(x)=0?
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例 1 证明方程 x3-4x2+1=0在区间 (0?1)内至少有一个根 ?
证明 设 f(x)=x3-4x2+1?则 f(x)在闭区间 [0?1]上连续 ?
并且 f(0)=1>0? f(1)=-2<0?
根据零点定理 ? 在 (0? 1)内至少有一点 x? 使得 f(x)=0?
即 x3-4x2+1=0 ?
这说明方程 x3-4x2+1=0在区间 (0?1)内至少有一个根是 x?
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二、零点定理与介值定理
?定理 3(零点定理 )
设函数 f(x)在闭区间 [a?b]上连续 ?且 f(a)与 f(b)异号 ?那么
在开区间 (a?b)内至少一点 x?使 f(x)=0?
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?定理 4(介值定理 )
设函数 f(x)在闭区间 [a?b]上连续 ?且 f(a)?f(b)?那么 ? 对于
f(a)与 f(b)之间的任意一个数 C?在开区间 (a?b)内至少有一点 x?
使得 f(x)=C?>>>
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二、零点定理与介值定理
?定理 3(零点定理 )
设函数 f(x)在闭区间 [a?b]上连续 ?且 f(a)与 f(b)异号 ?那么
在开区间 (a?b)内至少一点 x?使 f(x)=0?
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二、零点定理与介值定理
?定理 3(零点定理 )
设函数 f(x)在闭区间 [a?b]上连续 ?且 f(a)与 f(b)异号 ?那么
在开区间 (a?b)内至少一点 x?使 f(x)=0?
?推论
在闭区间上连续的函数必取得介于最大值 M与最小值 m
之间的任何值 ?>>>
?定理 4(介值定理 )
设函数 f(x)在闭区间 [a?b]上连续 ?且 f(a)?f(b)?那么 ? 对于
f(a)与 f(b)之间的任意一个数 C?在开区间 (a?b)内至少有一点 x?
使得 f(x)=C?
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二、零点定理与介值定理
§ 1.10 闭区间上连续函数的性质
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一、有界性与最大值最小值定理
?最大值与最小值
对于在区间 I上有定义的函数 f(x)? 如果有 x0?I? 使得对于
任一 x?I都有
f(x)?f(x0) (f(x)?f(x0))?
则称 f(x0)是函数 f(x)在区间 I上的最大值 (最小值 )?
最大值与最小值举例,
函数 f(x)=1+sinx在区间
[0?2p]上有最大值 2 和最小
值 0 ?
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函数 y=sgn x 在区间 (-??+?)
内有最大值 1和最小值 -1? 但在开
区间 (0?+?)内 ? 它的最大值和最小
值都是 1?
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最大值与最小值举例,
一、有界性与最大值最小值定理
?最大值与最小值
对于在区间 I上有定义的函数 f(x)? 如果有 x0?I? 使得对于
任一 x?I都有
f(x)?f(x0) (f(x)?f(x0))?
则称 f(x0)是函数 f(x)在区间 I上的最大值 (最小值 )?
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并非任何函数都有最大值和
最小值 ?
例如, 函数 f(x)=x在开区间
(a?b)内既无最大值又无最小值 ?
应注意的问题,
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一、有界性与最大值最小值定理
?最大值与最小值
对于在区间 I上有定义的函数 f(x)? 如果有 x0?I? 使得对于
任一 x?I都有
f(x)?f(x0) (f(x)?f(x0))?
则称 f(x0)是函数 f(x)在区间 I上的最大值 (最小值 )?
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说明,
?定理 1(最大值和最小值定理 )
在闭区间上连续的函数在该区间上一定能取得它的最大
值和最小值 ?
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又至少有一点 x2?[a?b]? 使 f(x2)是 f(x)在 [a?b]上的最小值 ?
至少有一点 x1?[a?b]? 使 f(x1)是 f(x)在 [a?b]上的最大值 ?
定理说明 ? 如果函数 f(x)在闭区间 [a?b]上连续 ?那么
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应注意的问题,
如果函数仅在开区间内连续 ? 或函数在闭区间上有间断
点 ? 那么函数在该区间上就不一定有最大值或最小值 ?
例如 ? 函数 f(x)=x在开区间 (a?b)
内既无最大值又无最小值 ?
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?定理 1(最大值和最小值定理 )
在闭区间上连续的函数在该区间上一定能取得它的最大
值和最小值 ?
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又如 ? 如下 函数在闭区间 [0?2]
内既无最大值又无最小值 ?
??
?
?
?
??+-
=
??+-
==
21 3
1 1
10 1
)(
xx
x
xx
xfy ?
应注意的问题,
如果函数仅在开区间内连续 ? 或函数在闭区间上有间断
点 ? 那么函数在该区间上就不一定有最大值或最小值 ?
?定理 1(最大值和最小值定理 )
在闭区间上连续的函数在该区间上一定能取得它的最大
值和最小值 ?
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?定理 2(有界性定理 )
在闭区间上连续的函数一定在该区间上有界 ?
证明 设函数 f(x)在闭区间 [a?b]上连续 ?
根据定理 1? 存在 f(x)在区间 [a? b]上的最大值 M和最小值
m? 使任一 x?[a?b]满足
m?f(x)?M?
上式表明 ? f(x)在 [a?b]上有上界 M和下界 m? 因此函数 f(x)在
[a?b]上有界 ?
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?定理 1(最大值和最小值定理 )
在闭区间上连续的函数在该区间上一定能取得它的最大
值和最小值 ?
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二、零点定理与介值定理
注,
如果 x0使 f(x0)=0? 则 x0称为函数 f(x)的零点 ?
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?定理 3(零点定理 )
设函数 f(x)在闭区间 [a?b]上连续 ?且 f(a)与 f(b)异号 ?那么
在开区间 (a?b)内至少一点 x?使 f(x)=0?
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例 1 证明方程 x3-4x2+1=0在区间 (0?1)内至少有一个根 ?
证明 设 f(x)=x3-4x2+1?则 f(x)在闭区间 [0?1]上连续 ?
并且 f(0)=1>0? f(1)=-2<0?
根据零点定理 ? 在 (0? 1)内至少有一点 x? 使得 f(x)=0?
即 x3-4x2+1=0 ?
这说明方程 x3-4x2+1=0在区间 (0?1)内至少有一个根是 x?
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二、零点定理与介值定理
?定理 3(零点定理 )
设函数 f(x)在闭区间 [a?b]上连续 ?且 f(a)与 f(b)异号 ?那么
在开区间 (a?b)内至少一点 x?使 f(x)=0?
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?定理 4(介值定理 )
设函数 f(x)在闭区间 [a?b]上连续 ?且 f(a)?f(b)?那么 ? 对于
f(a)与 f(b)之间的任意一个数 C?在开区间 (a?b)内至少有一点 x?
使得 f(x)=C?>>>
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二、零点定理与介值定理
?定理 3(零点定理 )
设函数 f(x)在闭区间 [a?b]上连续 ?且 f(a)与 f(b)异号 ?那么
在开区间 (a?b)内至少一点 x?使 f(x)=0?
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二、零点定理与介值定理
?定理 3(零点定理 )
设函数 f(x)在闭区间 [a?b]上连续 ?且 f(a)与 f(b)异号 ?那么
在开区间 (a?b)内至少一点 x?使 f(x)=0?
?推论
在闭区间上连续的函数必取得介于最大值 M与最小值 m
之间的任何值 ?>>>
?定理 4(介值定理 )
设函数 f(x)在闭区间 [a?b]上连续 ?且 f(a)?f(b)?那么 ? 对于
f(a)与 f(b)之间的任意一个数 C?在开区间 (a?b)内至少有一点 x?
使得 f(x)=C?
结束
