一、无穷限的反常积分
二、无界函数的反常积分
§ 5.4 反常积分
上页 下页 铃结束返回首页
上页 下页 铃结束返回首页
dxxfdxxf ba
ba
)(lim)( ??
???
?? ? ?
一、无穷限的 反常 积分
?无穷限的反常积分的定义
在反常积分的定义式中,如果极限是存在的,则称此反常
积分收敛,否则 称此反常积分发散 ?
连续函数 f(x)在区间 [a,??)上的反常积分定义为
下页
类似地,连续函数 f(x)在区间 (??,b]上和在区间 (??,??)
的反常积分定义为
dxxfdxxfdxxf b
baa
)(lim)(lim)( 00 ???
??????
??
?? ?? ?
dxxfdxxf ba
a
b )(lim)( ??
?????
? ?
上页 下页 铃结束返回首页 下页
dxxfdxxf ba
ba
)(lim)( ??
???
?? ? ?
一、无穷限的 反常 积分
?无穷限的反常积分的定义
连续函数 f(x)在区间 [a,??)上的反常积分定义为
?反常积分的计算
如果 F(x)是 f(x)的原函数,则有
)()(lim)]([)( aFxFxFdxxf xaa ??? ???????? ?
b
ab
b
aba xFdxxfdxxf )]([lim)(lim)( ??????
?? ?? ??
)()(lim)()(lim aFxFaFbF
xb
????
??????
?
可采用如下简记形式：
b
ab
b
aba xFdxxfdxxf )]([lim)(lim)( ??????
?? ?? ??
)()(lim()(lim aFxFaFbF
xb
????
??????
?
上页 下页 铃结束返回首页
dxxfdxxf ba
ba
)(lim)( ??
???
?? ? ?
一、无穷限的 反常 积分
?无穷限的反常积分的定义
连续函数 f(x)在区间 [a,??)上的反常积分定义为
?反常积分的计算
如果 F(x)是 f(x)的原函数,则有
)()(lim)]([)( aFxFxFdxxf
xaa
???
???
????? ?
类似地,有
)(lim)()]([)( xFbFxFdxxf
x
bb
???????
????,
)(lim)(lim)]([)( xFxFxFdxxf
xx ??????
??
??
??
?? ???? ?
下页
上页 下页 铃结束返回首页
解
例 1 计算反常积分 dxx 21 1?? ???? ? 例 1
下页
)(lim)(lim)]([)( xFxFxFdxxf xx ???????? ?????? ???? ?
??? ???? )2 (2 ?
解 ???????? ??? ][ a r c ta n1 1 2 xdxx
xx
xx
a r c ta nlima r c ta nlim
??????
??
解 ?? ?????? ??? ][ a r c t a n1 1 2 xx
上页 下页 铃结束返回首页
???? ????
0]
11[ dte
ptep
ptpt
解 ???????? ? ??? ??? 000 ]1[][ ptptpt td epdttedtte
提示：
例 2 计算反常积分 dtte pt????0 ( p 是常数,且 p > 0 ) ? 例 2
下页
)()(lim)]([)( aFxFxFdxxf xaa ??? ???????? ?
???? ???
02 ]
11[ ptpt e
ptep
222
11]11[lim
ppeptep
ptpt
t
????? ??
???
?
解
222
11]11[lim
ppeptep
ptpt
t
????? ??
???
?
01limlimlim ???
??????
?
??? pttptt
pt
t pee
tte ? 01limlimlim ???
??????
?
??? pttptt
pt
t pee
tte ? 01limlimlim ???
??????
?
??? pttptt
pt
t pee
tte ?
解 ???????? ? ??? ??? 000 ]1[][ ptptpt t d epdttete 解 ??????? ? ?? ??? 000 ]1[][ ptptpt t d epdttedtte
上页 下页 铃结束返回首页
解
例 3 讨论反常积分 dxx pa 1? ?? ( a > 0 ) 的敛散性 ?
例 3
解 当 p ? 1 时,????? ?????? ?? ][ ln11 aapa xdxxdxx ? 解 当 p ? 1 时,????? ?????? ][ ln11 aapa xdxxdxx ?
当 p <1 时,????? ?????? 1 ]1 1[1 appa xpdxx ? 当 p <1 时,???? ?????? 1 ]1 1[1 appa xpdxx ?
当 p >1 时,1]1 1[1 1 1 ???? ??????? paxpdxx pappa ?
当 p?1时,此反常积分发散 ?
解 当 p?1 时,????? ?????? ?? ][ln11 aaa xdxxdxx ? 解 当 p?1 时,????? ?????? ?? ][ln11 aapa xdxxdxx ?
当 p <1 时,????? ?????? 1 ]1 1[1 appa xpx ? 当 p<1 时,????? ?????? 1 ]1 1[1 appa xpdxx ?
当 p >1 时,1]1 1[1 1 1 ??? ??????? paxpdxx pappa ? 当 p >1 时,1]1[1 1 1 ???? ??????? paxpx pappa ? 当 p>1 时,1]1[1 1 1 ??? ??????? paxpdxx pappa ?
因此,当 p >1 时,此反常积分收敛,其值为 11 ??pa p ?
首页
)()(lim)]([)( aFxFxFdxxf xaa ??? ???????? ?
上页 下页 铃结束返回首页
二、无界函数的 反常 积分
注：
如果函数 f(x)在点 x0的任一邻域内都无界,那么点 x0称为
函数 f(x)的 瑕点 (也称为无界间断点 )?
无界函数的反常积分又称为 瑕积分 ?
?无界函数反常积分的定义
设函数 f(x)在区间 (a,b]上连续,点 a为 f(x)的瑕点 ? 函数 f(x)
在 (a,b]上的反常积分定义为
?? ??? btatba dxxfdxxf )(lim)( ?
下页
在反常积分的定义式中,如果极限是存在的,则称此反常
积分收敛 ?否则 称此反常积分发散 ?
上页 下页 铃结束返回首页
函数 f(x)在 [a,c)?(c,b]上 (c为瑕点 )的反常积分定义为
二、无界函数的 反常 积分
类似地,函数 f(x)在 [a,b)上 (b为瑕点 )的反常积分定义为
dxxfdxxf tabtba )(lim)( ?? ??? ?
??? ?? ?? ?? btcttactba dxxfdxxfdxxf )(lim)(lim)( ?
下页
?无界函数反常积分的定义
设函数 f(x)在区间 (a,b]上连续,点 a为 f(x)的瑕点 ? 函数 f(x)
在 (a,b]上的反常积分定义为
?? ??? btatba dxxfdxxf )(lim)( ?
上页 下页 铃结束返回首页
二、无界函数的 反常 积分
?无界函数反常积分的定义
设函数 f(x)在区间 (a,b]上连续,点 a为 f(x)的瑕点 ? 函数 f(x)
在 (a,b]上的反常积分定义为
?? ??? btatba dxxfdxxf )(lim)( ?
?反常积分的计算
如果 F(x)为 f(x)的原函数,
b
tat
b
tat
b
a xFdxxfdxxf )]([lim)(lim)( ?? ?? ?? ??
)(lim)()(lim)( xFbFtFbF
axat ?? ??
???? ?
)(lim)()]([)( xFbFxFdxxf
ax
b
a
b
a ?????? ?
可采用简记形式 ?
b
tat
b
tat
b
a xFdxxfdxxf )]([lim)(lim)( ? ?? ?? ??
)(lim)()(lim)( xFbFtFbF
axat ?? ??
???? ?
则 f(x)在 (a,b]上的反常积分为
下页
上页 下页 铃结束返回首页
)(lim)()]([)( xFbFxFdxxf
ax
b
a
b
a ?????? ?
二、无界函数的 反常 积分
?无界函数反常积分的定义
设函数 f(x)在区间 (a,b]上连续,点 a为 f(x)的瑕点 ? 函数 f(x)
在 (a,b]上的反常积分定义为
?? ??? btatba dxxfdxxf )(lim)( ?
?反常积分的计算
如果 F(x)为 f(x)的原函数,则 f(x)在 (a,b]上的反常积分为
提问：
f(x)在 [a,b)上和在 [a,c)?(c,b]上的反常积分如何计算？
如何判断反常积分的敛散性？
下页
上页 下页 铃结束返回首页
解 因为 ???
??? 22
1lim
xaax
,
所以点 a为被积函数的瑕点 ?
解
例 4 计算 反常 积分 dx
xa
a
220
1
??
?
例 4
下页
aa
a
xdx
xa
0 0 22 ][ a r c s in
1 ?
??
20a r c s inlim
????
?? a
x
ax
?
aa
a
xdx
xa
0 0 22 ][ a r c s in
1 ?
??
20arcsinlim
????
?? a
x
ax
?
当 a 为 瑕 点 时,)(lim)()]([)( xFbFxFdxxf axbaba ?????? ?
当 b 为 瑕 点 时,)()(lim)]([)( aFxFxFdxxf bxbaba ??? ??? ?
上页 下页 铃结束返回首页
由于 ????????
?????
1)1(lim]1[1
0
0
1
0
1 2 xxdxx x,
解
例 5
例 5 讨论反常积分 ??1 1 21 dxx 的收敛性 ?
解 在区间 [ ? 1,1] 上 x ? 0 为 函数 21x 的 瑕 点 ?
即反常积分 ??0 1 21 dxx 发散,所以反常积分 ??1 1 21 dxx 发散 ? 即反常积分 ??0 1 21 dxx 发散,所以反常积分 ??1 1 21 dxx 发散 ?
下页
当 c (a?c?b)为瑕点时,
)](lim)([)]()(lim[)()()( xFbFaFxFdxxfdxxfdxxf
cxcx
b
c
c
a
b
a ?? ?? ?????? ??? ?
由于 ????????
?????
1)1(lim]1[1
0
0
1
0
1 2 xdxx x,由于 ??????? ????? 1)
1(lim][1
0
0
1
0
1 2 xxdxx x,由于 ??????? ????? 1)
1(lim]1[1
0
0
1
0
1 2 xxdxx x,
上页 下页 铃结束返回首页
当 q ? 1 时,qbaqba q abqaxqax dx ?? ???????? 1 1 )(1 1])(1 1[)( ?
当 q ? 1 时,??????? ?? baqba q axqax dx 1 ])(1 1[)( ?
解
例 6
例 6 讨论反常积分 ? ?ba qax dx )( 的敛散性 ?
解 当 q ? 1 时,???????? ?? bababa q axaxdxax dx )][ ln ()( ?
因此,当 q <1 时,此反常积分收敛,其值为 qabq ??? 1)(1 1 ?
当 q?1时,此反常积分发散 ?
解 当 时,???????? ?? bababa q axaxdxax dx )][ ln ()( ? 解 当 q?1 时,????????? baaba q axaadx )][ln()( ? 解 当 q ? 1 时,???????? babba q axaxdxax dx )][ ln ()( ? 解 当 q ? 1 时,??????? ?? bababa q axxdxax dx )]ln ()( ?
当 q? 1 时,??????? ?? baqba q axqax dx 1 ])(1 1[)( ? 当 q ? 1 时,?????? ?? baqba axqax dx 1 ])(1 1[)( ? 当 q ? 1 时,?????? ?? baqba q axqax dx 1)(1 1[)( ?
当 q?1 时,qbaqba q abqaxqax dx ?? ???????? 1 1 )(1])(1 1[)( ? 当 q ? 1 时,qbaqba abqaxqax dx ?? ???????? 1 1 )(1])(1 1[)( ? 当 q ? 1 时,qbaqba q abqaxqax dx ?? ??????? 1 1 )(1 1])(1 1[)( ?
结束