一、曲面方程的概念
二、旋转曲面
三、柱面
§ 7,5 曲面及其方程
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四、二次曲面
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一、曲面方程的概念
在空间解析几何中,任何曲面都可以看作点的几何轨迹,
那么,方程 F(x,y,z)?0就叫做曲面 S的方程,而曲面 S就叫做方
程 F(x,y,z)?0的图形,
(1)曲面 S上任一点的坐标都满足方程
F(x,y,z)?0;
(2)不在曲面 S上的点的坐标都不满足
方程 F(x,y,z)?0,
?曲面方程的定义
如果曲面 S与三元方程
F(x,y,z)?0
有下述关系,
下页
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例 1 建立球心在点 M0(x0,y0,z0)、半径为 R的球面的方程,
解 设 M(x,y,z)是球面上的任一点,那么
|M0M|?R,
或 (x?x0)2?(y?y0)2?(z?z0)2?R2.
因为球面上的点的坐标一定满足上
述方程,而不在球面上的点的坐标都不
满足这个方程,所以上述方程就是所求
的球面的方程,
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即 Rzzyyxx ?????? 202020 )()()(,
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例 2 设有点 A(1,2,3)和 B(2,?1,4),求线段 AB的垂直平分
面的方程,
由题意知道,所求的平面就是与 A和 B等距离的点的几
何轨迹,
设 M(x,y,z)为所求平面上的任一点,则有
|AM|?|BM|,
等式两边平方,然后化简得
2x?6y?2z?7?0,
这就是所求的平面的方程,
下页
解
即 222222 )4()1()2()3()2()1( ??????????? zyxzyx,
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(1)已知一曲面作为点的几何轨迹时,建立这曲面的方程 ;
(2)已知坐标 x,y和 z间的一个方程时,研究这方程所表示
的曲面的形状,
?研究曲面的两个基本问题
通过配方,原方程可以改写成
(x?1)2?(y?2)2?z2?5.
一般地,三元二次方程
Ax2?Ay2?Az2?Dx?Ey?Fz?G?0
的图形就是一个球面,
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例 3 方程 x2?y2?z2?2x?4y?0表示怎样的曲面？
解
这是一个球面方程,球心在点 )0,2,1(0 ?M,半径为 5?R,
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二、旋转曲面
以一条平面曲线绕其平面上的一条直线旋转一周所成的
曲面叫做旋转曲面,这条定直线叫做旋转曲面的轴,
设 yOz平面上有一曲线 C,它的方程为 f(y,z)?0,曲线 C绕 z
轴旋转一周得到一个旋转曲面,
这就是所求旋转曲面的方程,
设 M(x,y,z)为曲面上任一点,它是
曲线 C上点 M1(0,y1,z1)绕 z 轴旋转而得
到的,因此有如下关系等式
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0),( 11 ?zyf,1zz ?,221 || yxy ??,0),( 11 ?zyf,1zz?,221|| yxy ??,0),( 11 ?zyf,1z ?,221 || yxy ??,
从而得 0),( 22 ??? zyxf,
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旋转曲面的方程为
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二、旋转曲面
以一条平面曲线绕其平面上的一条直线旋转一周所成的
曲面叫做旋转曲面,这条定直线叫做旋转曲面的轴,
设 yOz平面上有一曲线 C,它的方程为 f(y,z)?0,曲线 C绕 z
轴旋转一周得到一个旋转曲面,
提问,
曲线 f(y,z)?0绕 y轴旋转所成的旋
转曲面的方程是什么？
0),( 22 ??? zyxf,
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将方程 z ? y c o t ? 中的 y 改成 22 yx ??,得
例 4 试建立顶点在坐标原点 O,旋转轴为 z轴,半顶角为 ?
的圆锥面的方程,
解 在坐标面 yOz内,与 z轴夹角为 ?的直线的方程为
z?ycot?,
或 z2?a2(x2?y2),
这就是所求的圆锥面的方程,其中 a?cot?,
下页
曲线 f(y,z)?0绕 z 轴旋转所得到的旋转曲面 的方程为
0),( 22 ??? zyxf,
?c o t22 yxz ???,
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绕 x 轴和 z 轴旋转所在的旋转曲面的方程分别为解
双叶旋转双曲面 单叶旋转双曲面
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例 5 将 z Ox 坐标面上的双曲线 12222 ?? czax 分别绕 x 轴和 z
轴旋转一周,求所生成的旋转曲面的方程,
例 5
12
22
2
2 ???
c
zy
a
x,1
2
2
2
22
??? cza yx, 12
22
2
2 ???
c
zy
a
x,1
2
2
2
22
??? cza yx,
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三、柱面
在空间直角坐标系中,过 xOy面上的圆 x2?y2?R2作 平行
于 z轴的直线 l,则直线 l上的点都满足方程 x2?y2?R2,这说明直
线 l 一定在 x2?y2?R2表示的曲面上,
例 6 方程 x2?y2?R2表示怎样的曲面？
因此这个曲面可以看成是由平行
于 z轴的直线 l沿 xOy面上的圆 x2?y2?R2
移动而形成的,
这曲面叫做圆柱面,xOy面上的圆
x2?y2?R2叫做它的准线,这平行于 z轴的
直线 l叫做它的母线,
下页
解
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平行于定直线并沿定曲线 C移动的直线 L形成的轨迹叫做
柱面,定曲线 C叫做柱面的准线,动直线 L叫做柱面的母线,
?柱面
上面我们看到,不含 z的方程
x2?y2?R2在空间直角坐标系中表示
圆柱面,它的母线平行于 z轴,它的
准线是 xOy面上的圆 x2?y2?R2.
一般地,只含 x,y而缺 z的方程
F(x,y)?0,在空间直角坐标系中表
示母线平行于 z轴的柱面,其准线是
xOy面上的曲线 C:F(x,y)?0.
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方程 y2?2x表示母线平行于 z轴的柱面,它的准线是 xOy面
上的抛物线 y2?2x,该柱面叫做抛物柱面,
方程 x?y?0表示母线平行于 z轴的柱面,其准线是 xOy面的
直线 x?y?0,所以它是过 z轴的平面,
?柱面举例
下页
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在空间直角坐标系中,方程 G(x,z)?0和方程 H(y,z)?0分别
表示什么柱面？
方程 x?z?0表示什么柱面？
?讨论
方程 G(x,z)?0表示母线平行于 y轴的柱面,
方程 H(y,z)?0表示母线平行于 x轴的柱面,
方程 x?z?0表示母线平行于 y轴的柱面,其准线是 zOx面上
的直线 x?z?0,所以它是过 y轴的平面,
?提示
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四、二次曲面
1.椭圆锥面
由 方 程 22
2
2
2 z
b
y
a
x ?? 所 表示 的 曲 面 称 为 椭圆锥面,
?截痕
1)()( 2222 ?? btyatx,
倍即得椭圆锥面轴方向伸缩沿把圆锥面 abyza yx 22
22
??,
当 t?0时,截痕为平面 z?t上的椭圆
当 t?0时,截痕为一点 (0,0,0);
椭圆锥面与平面 z?t的截痕,
?椭圆锥面的形成
>>>研究曲面的截痕法
>>>研究曲面的伸缩变形法
>>>
下页动画
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倍轴方向伸缩再把旋转椭球面沿 aby,
2.椭球面
由 方程 12
2
2
2
2
2 ???
c
z
b
y
a
x 所 表示 的 曲 面 称 为 椭 球 面,
倍轴方向伸缩沿把球面 aczazyx 2222 ???,
得旋转椭球面
1222
22
??? cza yx,
得椭球面
1222
2
2
2 ???
c
z
b
y
a
x,
?椭球面的形成
下页
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3.单叶双曲面
由 方程 12
2
2
2
2
2 ???
c
z
b
y
a
x 所 表示 的 曲 面 称 为 单叶双曲面,
把 z O x 面上的双曲线 12
2
2
2 ??
c
z
a
x 绕 z 轴旋转,
?单叶双曲面的形成
得旋转单叶双曲面
1222
22
??? cza yx,
倍轴方向伸缩再把旋转单叶双曲面沿 aby,
得单叶双曲面
1222
2
2
2 ???
c
z
b
y
a
x,
下页
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由 方程 12
2
2
2
2
2 ???
c
z
b
y
a
x 所 表示 的 曲 面 称 为 双 叶双曲面,
4.双叶双曲面
?双叶双曲面的形成
把 z O x 面上的双曲线 12
2
2
2 ??
c
z
a
x 绕 x 轴旋转,
绕 x 轴旋转,
12
22
2
2 ???
c
yz
a
x,
倍轴方向伸缩再把旋转双叶双曲面沿 cby,
得双叶双曲面
1222
2
2
2 ???
c
z
b
y
a
x,
得旋转双叶双曲面
下页
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由 方程 zbyax ?? 2
2
2
2
所 表示 的 曲 面 称 为 椭圆抛物面,
5.椭圆抛物面
?椭圆抛物面的形成
把 z O x 面上的抛物 线 zax ?2
2
绕 z 轴旋转,
得旋转抛物面
za yx ??2
22
,
倍轴方向伸缩再把旋转抛物面沿 aby,
得椭圆抛物面
zbyax ?? 2
2
2
2
,
下页
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6.双曲抛物面
由 方程 zbyax ?? 2
2
2
2
所 表示 的 曲 面 称 为 双 曲 抛物面,
双曲抛物面与平面 x?t的截痕 l 为平面 x?t上的抛物线
?截痕
2
2
2
2
a
tz
b
y ???,
当 t 变化时,l 的形状不变,位置只作
平移,而 l 的项点的轨迹 L为平面 y?0
上的抛物线
2
2
a
xz?, >>>
结束动画
二、旋转曲面
三、柱面
§ 7,5 曲面及其方程
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四、二次曲面
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一、曲面方程的概念
在空间解析几何中,任何曲面都可以看作点的几何轨迹,
那么,方程 F(x,y,z)?0就叫做曲面 S的方程,而曲面 S就叫做方
程 F(x,y,z)?0的图形,
(1)曲面 S上任一点的坐标都满足方程
F(x,y,z)?0;
(2)不在曲面 S上的点的坐标都不满足
方程 F(x,y,z)?0,
?曲面方程的定义
如果曲面 S与三元方程
F(x,y,z)?0
有下述关系,
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例 1 建立球心在点 M0(x0,y0,z0)、半径为 R的球面的方程,
解 设 M(x,y,z)是球面上的任一点,那么
|M0M|?R,
或 (x?x0)2?(y?y0)2?(z?z0)2?R2.
因为球面上的点的坐标一定满足上
述方程,而不在球面上的点的坐标都不
满足这个方程,所以上述方程就是所求
的球面的方程,
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例 2 设有点 A(1,2,3)和 B(2,?1,4),求线段 AB的垂直平分
面的方程,
由题意知道,所求的平面就是与 A和 B等距离的点的几
何轨迹,
设 M(x,y,z)为所求平面上的任一点,则有
|AM|?|BM|,
等式两边平方,然后化简得
2x?6y?2z?7?0,
这就是所求的平面的方程,
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解
即 222222 )4()1()2()3()2()1( ??????????? zyxzyx,
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(1)已知一曲面作为点的几何轨迹时,建立这曲面的方程 ;
(2)已知坐标 x,y和 z间的一个方程时,研究这方程所表示
的曲面的形状,
?研究曲面的两个基本问题
通过配方,原方程可以改写成
(x?1)2?(y?2)2?z2?5.
一般地,三元二次方程
Ax2?Ay2?Az2?Dx?Ey?Fz?G?0
的图形就是一个球面,
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例 3 方程 x2?y2?z2?2x?4y?0表示怎样的曲面？
解
这是一个球面方程,球心在点 )0,2,1(0 ?M,半径为 5?R,
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二、旋转曲面
以一条平面曲线绕其平面上的一条直线旋转一周所成的
曲面叫做旋转曲面,这条定直线叫做旋转曲面的轴,
设 yOz平面上有一曲线 C,它的方程为 f(y,z)?0,曲线 C绕 z
轴旋转一周得到一个旋转曲面,
这就是所求旋转曲面的方程,
设 M(x,y,z)为曲面上任一点,它是
曲线 C上点 M1(0,y1,z1)绕 z 轴旋转而得
到的,因此有如下关系等式
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0),( 11 ?zyf,1zz ?,221 || yxy ??,0),( 11 ?zyf,1zz?,221|| yxy ??,0),( 11 ?zyf,1z ?,221 || yxy ??,
从而得 0),( 22 ??? zyxf,
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旋转曲面的方程为
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二、旋转曲面
以一条平面曲线绕其平面上的一条直线旋转一周所成的
曲面叫做旋转曲面,这条定直线叫做旋转曲面的轴,
设 yOz平面上有一曲线 C,它的方程为 f(y,z)?0,曲线 C绕 z
轴旋转一周得到一个旋转曲面,
提问,
曲线 f(y,z)?0绕 y轴旋转所成的旋
转曲面的方程是什么？
0),( 22 ??? zyxf,
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将方程 z ? y c o t ? 中的 y 改成 22 yx ??,得
例 4 试建立顶点在坐标原点 O,旋转轴为 z轴,半顶角为 ?
的圆锥面的方程,
解 在坐标面 yOz内,与 z轴夹角为 ?的直线的方程为
z?ycot?,
或 z2?a2(x2?y2),
这就是所求的圆锥面的方程,其中 a?cot?,
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曲线 f(y,z)?0绕 z 轴旋转所得到的旋转曲面 的方程为
0),( 22 ??? zyxf,
?c o t22 yxz ???,
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绕 x 轴和 z 轴旋转所在的旋转曲面的方程分别为解
双叶旋转双曲面 单叶旋转双曲面
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例 5 将 z Ox 坐标面上的双曲线 12222 ?? czax 分别绕 x 轴和 z
轴旋转一周,求所生成的旋转曲面的方程,
例 5
12
22
2
2 ???
c
zy
a
x,1
2
2
2
22
??? cza yx, 12
22
2
2 ???
c
zy
a
x,1
2
2
2
22
??? cza yx,
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三、柱面
在空间直角坐标系中,过 xOy面上的圆 x2?y2?R2作 平行
于 z轴的直线 l,则直线 l上的点都满足方程 x2?y2?R2,这说明直
线 l 一定在 x2?y2?R2表示的曲面上,
例 6 方程 x2?y2?R2表示怎样的曲面？
因此这个曲面可以看成是由平行
于 z轴的直线 l沿 xOy面上的圆 x2?y2?R2
移动而形成的,
这曲面叫做圆柱面,xOy面上的圆
x2?y2?R2叫做它的准线,这平行于 z轴的
直线 l叫做它的母线,
下页
解
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平行于定直线并沿定曲线 C移动的直线 L形成的轨迹叫做
柱面,定曲线 C叫做柱面的准线,动直线 L叫做柱面的母线,
?柱面
上面我们看到,不含 z的方程
x2?y2?R2在空间直角坐标系中表示
圆柱面,它的母线平行于 z轴,它的
准线是 xOy面上的圆 x2?y2?R2.
一般地,只含 x,y而缺 z的方程
F(x,y)?0,在空间直角坐标系中表
示母线平行于 z轴的柱面,其准线是
xOy面上的曲线 C:F(x,y)?0.
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方程 y2?2x表示母线平行于 z轴的柱面,它的准线是 xOy面
上的抛物线 y2?2x,该柱面叫做抛物柱面,
方程 x?y?0表示母线平行于 z轴的柱面,其准线是 xOy面的
直线 x?y?0,所以它是过 z轴的平面,
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在空间直角坐标系中,方程 G(x,z)?0和方程 H(y,z)?0分别
表示什么柱面？
方程 x?z?0表示什么柱面？
?讨论
方程 G(x,z)?0表示母线平行于 y轴的柱面,
方程 H(y,z)?0表示母线平行于 x轴的柱面,
方程 x?z?0表示母线平行于 y轴的柱面,其准线是 zOx面上
的直线 x?z?0,所以它是过 y轴的平面,
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四、二次曲面
1.椭圆锥面
由 方 程 22
2
2
2 z
b
y
a
x ?? 所 表示 的 曲 面 称 为 椭圆锥面,
?截痕
1)()( 2222 ?? btyatx,
倍即得椭圆锥面轴方向伸缩沿把圆锥面 abyza yx 22
22
??,
当 t?0时,截痕为平面 z?t上的椭圆
当 t?0时,截痕为一点 (0,0,0);
椭圆锥面与平面 z?t的截痕,
?椭圆锥面的形成
>>>研究曲面的截痕法
>>>研究曲面的伸缩变形法
>>>
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倍轴方向伸缩再把旋转椭球面沿 aby,
2.椭球面
由 方程 12
2
2
2
2
2 ???
c
z
b
y
a
x 所 表示 的 曲 面 称 为 椭 球 面,
倍轴方向伸缩沿把球面 aczazyx 2222 ???,
得旋转椭球面
1222
22
??? cza yx,
得椭球面
1222
2
2
2 ???
c
z
b
y
a
x,
?椭球面的形成
下页
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3.单叶双曲面
由 方程 12
2
2
2
2
2 ???
c
z
b
y
a
x 所 表示 的 曲 面 称 为 单叶双曲面,
把 z O x 面上的双曲线 12
2
2
2 ??
c
z
a
x 绕 z 轴旋转,
?单叶双曲面的形成
得旋转单叶双曲面
1222
22
??? cza yx,
倍轴方向伸缩再把旋转单叶双曲面沿 aby,
得单叶双曲面
1222
2
2
2 ???
c
z
b
y
a
x,
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由 方程 12
2
2
2
2
2 ???
c
z
b
y
a
x 所 表示 的 曲 面 称 为 双 叶双曲面,
4.双叶双曲面
?双叶双曲面的形成
把 z O x 面上的双曲线 12
2
2
2 ??
c
z
a
x 绕 x 轴旋转,
绕 x 轴旋转,
12
22
2
2 ???
c
yz
a
x,
倍轴方向伸缩再把旋转双叶双曲面沿 cby,
得双叶双曲面
1222
2
2
2 ???
c
z
b
y
a
x,
得旋转双叶双曲面
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由 方程 zbyax ?? 2
2
2
2
所 表示 的 曲 面 称 为 椭圆抛物面,
5.椭圆抛物面
?椭圆抛物面的形成
把 z O x 面上的抛物 线 zax ?2
2
绕 z 轴旋转,
得旋转抛物面
za yx ??2
22
,
倍轴方向伸缩再把旋转抛物面沿 aby,
得椭圆抛物面
zbyax ?? 2
2
2
2
,
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6.双曲抛物面
由 方程 zbyax ?? 2
2
2
2
所 表示 的 曲 面 称 为 双 曲 抛物面,
双曲抛物面与平面 x?t的截痕 l 为平面 x?t上的抛物线
?截痕
2
2
2
2
a
tz
b
y ???,
当 t 变化时,l 的形状不变,位置只作
平移,而 l 的项点的轨迹 L为平面 y?0
上的抛物线
2
2
a
xz?, >>>
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