一、一个方程的情形
二、方程组的情形
§ 8.5 隐函数的求导法则
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一、一个方程的情形
?隐函数存在定理 1
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设函数 F(x? y)在点 P(x0? y0)的某一邻域内具有连续偏导数 ?
F(x0? y0)?0? Fy(x0? y0)?0? 则方程 F(x? y)?0在点 (x0? y0)的某一邻
域内恒能唯一确定一个连续且具有连续导数的函数 y?f(x)? 它
满足条件 y0?f(x0)?并有
y
x
F
F
dx
dy ?? ?
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例 1 验证方程 x2?y2?1?0在点 (0? 1)的某一邻域内能唯一确
定一个有连续导数, 当 x?0时 y?1的隐函数 y?f(x)? 并求这函数
的一阶与二阶导数在 x?0的值 ?
解 设 F(x? y)?x2?y2?1?
Fx?2x? Fy?2y? F(0? 1)?0? Fy(0? 1)?2?0?
隐函数存在定理 1:
则
设函数 F(x? y)在点 P(x0? y0)的某一邻域内具有连续偏导
数 ? F(x0? y0)?0? Fy(x0? y0)?0? 则方程 F(x? y)?0在点 (x0? y0)的某
一邻域内恒能唯一确定一个连续且具有连续导数的函数
y?f(x)?它满足条件 y0?f(x0)?
由隐函数存在定理 ? 方程 x2?y2?1?0在点 (0? 1)的某一邻域内能
唯一确定一个有连续导数, 当 x?0时 y?1的隐函数 y?f(x)?
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解 设 F(x? y)?x2?y2?1?
Fx?2x? Fy?2y? F(0? 1)?0? Fy(0? 1)?2?0?
则
由隐函数存在定理 ? 方程 x2?y2?1?0在点 (0? 1)的某一邻域内能
唯一确定一个有连续导数, 当 x?0时 y?1的隐函数 y?f(x)?
提示,
由方程 F(x?y)?0确定的隐函数 y?f(x)的导数为
y
x
F
F
dx
dy ?? ?
y
x
F
F
dx
dy
y
x ???? ? 0
0
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y
x
F
F
dx
dy
y
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?
?xdx
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y
x
F
F
dx
dy
y
x ??? ? 0
0
?
?xdx
dy ?
例 1 验证方程 x2?y2?1?0在点 (0? 1)的某一邻域内能唯一确
定一个有连续导数, 当 x?0时 y?1的隐函数 y?f(x)? 并求这函数
的一阶与二阶导数在 x?0的值 ?
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解 设 F(x? y)?x2?y2?1?
Fx?2x? Fy?2y? F(0? 1)?0? Fy(0? 1)?2?0?
则
由隐函数存在定理 ? 方程 x2?y2?1?0在点 (0? 1)的某一邻域内能
唯一确定一个有连续导数, 当 x?0时 y?1的隐函数 y?f(x)?
y
x
F
F
dx
dy
y
x ???? ? 0
0
?
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2 1
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dx
yd ?????? ? 1
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2
2
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2 1
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2
2
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y
x
F
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y
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y
x
F
F
dx
dy
y
x ??? ? 0
0
?
?xdx
dy ?
例 1 验证方程 x2?y2?1?0在点 (0? 1)的某一邻域内能唯一确
定一个有连续导数, 当 x?0时 y?1的隐函数 y?f(x)? 并求这函数
的一阶与二阶导数在 x?0的值 ?
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?隐函数存在定理 2
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设函数 F(x? y? z)在点 P(x0? y0? z0)的某一邻域内具有连续的
偏导数 ? 且 F(x0? y0? z0)?0? Fz(x0? y0? z0)?0 ? 则方程 F(x? y? z)?0在
点 (x0? y0? z0)的某一邻域内恒能唯一确定一个连续且具有连续
偏导数的函数 z?f(x?y)?它满足条件 z0?f(x0?y0)?并有
z
x
F
F
x
z ??
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z
y
F
F
y
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设 F(x? y? z)?x2?y2?z2?4z? 解 则 Fx?2x? Fy?2z?4?
首页
z
x
z
x
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F
x
z
z
x
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x
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由方程 F(x?y?z)?0确定的隐函数 z?f(x?y)的偏导数为
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例 2 设 04222 ???? zzyx ? 求 22x z?? ?
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二、方程组的情形
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在一定条件下方程组 F(x? y? u? v)?0? G(x? y? u? v)?0能确定
一对二元函数 u?u(x?y)?v?v(x?y)?
例如 ? 方程 xu?yv?0和 yu?xv?1可以确定两个二元函数
事实上 ?
能否根据原方程组求 u?u(x? y)? v?v(x? y)的偏导数？
22 yx
yu
?? ? 22 yx
xv
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2222 yx
x
yx
y
y
xv
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x
yx
y
y
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xu?yv ?0 ? uyxv? ? 1??? uyxxyu ? 22 yx yu ?? ? xu?yv ?0 ? uyxv? ? 1??? uyxxyu ? 22 yx yu ?? ? xu ? yv ? 0 ? uyxv ? ? 1??? uyxxyu ? 22 yx yu ?? ? xu ? yv ? 0 ? uyxv ? ? 1?? yxxyu ? 22 yx yu ?? ?
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设方程组 F(x? y? u? v)?0? G(x? y? u? v)?0确定一对具有连续
偏导数的二元函数 u?u(x?y)?v?v(x?y)?则
二、方程组的情形
在一定条件下方程组 F(x? y? u? v)?0? G(x? y? u? v)?0能确定
一对二元函数 u?u(x?y)?v?v(x?y)?
偏导数
x
u
?
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x
v
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? 可 由方程组
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v
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x
u
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x
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F
x
u
FF
vux
vux
确定 ?
偏导数
y
u
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y
v
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? 可 由方程组
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,0
y
v
G
y
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GG
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F
y
u
FF
vuy
vuy
确定 ?
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解
当 x2?y2?0时 ? 解之得
两个方程两边分别对 x
求偏导 ? 得方程组
两个方程两边分别对 y求
偏导 ? 得方程组
当 x2?y2?0时 ? 解之得
结束
例 3 设 xu ? yv ? 0 ? yu ? xv ? 1 ? 求 xu?? ? xv?? ? yu?? 和 yv?? ?
?
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例 3另解