一、方向导数
二、梯度
§ 8.7 方向导数与梯度
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一、方向导数
下页
设函数 z?f(x,y)在点 P0(x0,y0)的某一邻域 U(P0)内有定义,
l是 xOy平面上以 P0(x0,y0)为始点的一条射线,与 l同方向的单
位向量为 el?(cos?,cos?)?
t
yxftytxf
t
),()c o s,c o s(lim 0000
0
???
??
??
提示 ?
||
)()(lim
0
0
0|| 0 PP
PfPf
PP
?
??
? 即极限
取 P(x0?tcos?,y0?tcos?)?U(P0),如果极限
?方向导数
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一、方向导数
下页
设函数 z?f(x,y)在点 P0(x0,y0)的某一邻域 U(P0)内有定义,
l是 xOy平面上以 P0(x0,y0)为始点的一条射线,与 l同方向的单
位向量为 el?(cos?,cos?)?
存在,则称此极限为函数 f(x,y)在点 P0沿方
向 l的方向导数,记为
),( 00 yxl
f
?
? ?
t
yxftytxf
t
),()c o s,c o s(lim 0000
0
???
??
??
取 P(x0?tcos?,y0?tcos?)?U(P0),如果极限
?方向导数
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一、方向导数
下页
设函数 z?f(x,y)在点 P0(x0,y0)的某一邻域 U(P0)内有定义,
l是 xOy平面上以 P0(x0,y0)为始点的一条射线,与 l同方向的单
位向量为 el?(cos?,cos?)?
),( 00 yxl
f
?
?
t
yxftytxf
t
),()c o s,c o s(lim 0000
0
????
??
?? ?
?方向导数
方向导数就是函数 f(x,y)在点 P0(x0,y0)
处沿方向 l的变化率 ?
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一、方向导数
设函数 z?f(x,y)在点 P0(x0,y0)的某一邻域 U(P0)内有定义,
l是 xOy平面上以 P0(x0,y0)为始点的一条射线,与 l同方向的单
位向量为 el?(cos?,cos?)?
),( 00 yxl
f
?
?
t
yxftytxf
t
),()c o s,c o s(lim 0000
0
????
??
?? ?
?方向导数
如果函数 z?f(x,y)在点 P0(x0,y0)可微分,那么函数在该点
沿任一方向 l (el?(cos?,cos?))的方向导数都存在,且有
?定理 (方向导数的计算 )
?? c o s),(c o s),( 0000
),( 00
yxfyxflf yx
yx
???? ?
下页
>>>
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沿 x 轴负向时,c o s ? ? ? 1,c o s ? ? 0,xflf ?????? ?
讨论 ?
函数 f(x,y)在点 P沿 x轴正向和负向,沿 y轴正向和负向的
方向导数如何?
提示 ?
下页
函数 f(x,y)在点 P0沿方向 l (el?(cos?,cos?))的方向导数 ?
?? c o s),(c o s),( 0000
),( 00
yxfyxflf yx
yx
???? ?
沿 x 轴正向时,c o s ? ? ?,c o s ? ? 0,xflf ????? ?
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例 1 求函数 z?xe2y在点 P(1,0)处沿从点 P到点 Q(2,?1)的方
向的方向导数 ?
解
所以所求方向导数为
下页
函数 f(x,y)在点 P0沿方向 l (el?(cos?,cos?))的方向导数 ?
?? c o s),(c o s),( 0000
),( 00
yxfyxflf yx
yx
???? ?
解 ? )1,1( ??PQ,与 l 同向的单位向量为 )21,21( ??le ?
因为函数可微分,且
1)0,1(2)0,1( ???? yexz,22 )0,1(2)0,1( ???? yxeyz,
2
2)
2
1(2
2
11
)0,1( ????????
?
l
z ?
解 ? )1,1( ??PQ,与 l 同向的单位向量为 )21,21( ??le ?
1)0,1(2)0,1( ???? yexz,22 )0,1(2)0,1( ???? yxeyz,1)0,1(2)0,1( ???? yexz,22 )0,2)0,1( ???? yxeyz,1)0,1(2)0,1( ???? yexz,2)0,1()0,1( ???? xeyz,)0,1(2)0,1( ???? yxz,22 )0,1(2)1( ???? yxe,10,1(2)0,1(?? yexz,22 )0,2)0,1( ???? yxeyz,
2
2)
2
1(2
2
11
)0,1( ????????
?
l
z ?
2
2)
2
1(2
2
11
)0,1( ????????
?
l
z ?
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对于三元函数 f(x,y,z)来说,它在空间一点 P0(x0,y0,z0)沿
el?(cos?,cos?,cos?)的方向导数为
如果函数 f(x,y,z)在点 (x0,y0,z0)可微分,则函数在该点沿
着方向 el?(cos?,cos?,cos?)的方向导数为
?
),,( 000 zyxl
f
?
?
t
zyxftztytxf
t
),,()c o s,c o s,c o s(lim 000000
0
?????
??
??? ?
),,( 000 zyxl
f
?
? ??? ) c os,,() c os,,() c os,,(
000000000 zyxfzyxfzyxf zyx ??? ?
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例 2 求 f(x,y,z)?xy?yz?zx在点 (1,1,2)沿方向 l的方向导数,
其中 l的方向角分别为 60?,45?,60??
解 与 l同向的单位向量为
)21,2 2,21()60c o s,45c o s,60( c o s ?????le ?
因为函数可微分,且
所以
)235(21212223213
)2,1,1(
??????????lf ? )235(2121222321
)2,,1(
?????????? lf ? )235(21212223213
)2,1,1(
????????? lf ?
fx(1,1,2)?(y?z)|(1,1,2)?3,
fy(1,1,2)?(x?z)|(1,1,2)?3,
fz(1,1,2)?(y?x)|(1,1,2)?2,
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二、梯度
?梯度的定义
下页
设函数 z?f(x,y)在平面区域 D内具有一阶连续偏导数,
则对于每一点 P0(x0,y0)?D,都可确定一个向量
fx(x0,y0)i?fy(x0,y0)j,
这向量称为函数 f(x,y)在点 P0(x0,y0)的梯度,记作 gradf(x0,y0),
即
gradf(x0,y0)?fx(x0,y0)i?fy(x0,y0)j?
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),( 00 yxl
f
?
? ?? cos),(cos),(
0000 yxfyxf yx ??,
二、梯度
?梯度的定义
下页
函数 z?f(x,y)在点 P0(x0,y0)的梯度 ?
gradf(x0,y0)?fx(x0,y0)i?fy(x0,y0)j?
?梯度与方向导数
如果函数 f(x,y)在点 P0(x0,y0)可微分,el?(cos?,cos?)是与
方向 l同方向的单位向量,则
),( 00 yxl
f
?
? ?? c os),(c os),(
0000 yxfyxf yx ??,
?gradf(x0,y0)?el
?|gradf(x0,y0)|?cos(gradf(x0,y0),^el)?
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二、梯度
?梯度的定义
下页
函数 z?f(x,y)在点 P0(x0,y0)的梯度 ?
gradf(x0,y0)?fx(x0,y0)i?fy(x0,y0)j?
?梯度与方向导数
),( 00 yxl
f
?
? ?? cos),(cos),(
0000 yxfyxf yx ??,
?|gradf(x0,y0)|?cos(gradf(x0,y0),^el)?
可以看出方向导数就是梯度在射线 l上的投影,当方向 l与
梯度的方向一致时,方向导数取得最大值 ? 所以沿梯度方向是
函数 f(x,y)在这点增长最快的方向 ?
如果函数 f(x,y)在点 P0(x0,y0)可微分,el?(cos?,cos?)是与
方向 l同方向的单位向量,则
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函数在一点的梯度是这样一个向量,它的方向与取得最
大方向导数的方向一致,而它的模为方向导数的最大值 ?
下页
二、梯度
?梯度的定义
函数 z?f(x,y)在点 P0(x0,y0)的梯度 ?
gradf(x0,y0)?fx(x0,y0)i?fy(x0,y0)j?
?梯度与方向导数
),( 00 yxl
f
?
? ?? cos),(cos),(
0000 yxfyxf yx ??,
?|gradf(x0,y0)|?cos(gradf(x0,y0),^el)?
如果函数 f(x,y)在点 P0(x0,y0)可微分,el?(cos?,cos?)是与
方向 l同方向的单位向量,则
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提示 ?
下页
?梯度与等值线的关系
对于二元函数 z?f(x,y),xOy面上的曲
线 f(x,y)?c称为函数 z?f(x,y)的等值线 ?
等值线 f(x,y)?c是曲面 z?f(x,y)被平面 z?c所截得的曲线
??
?
?
?
cz
yxfz ),(
在 xOy面上的投影 ?
若 fx,fy不同时为零,则等值线 f(x,y)?c
上任一点 P0(x0,y0)处的一个单位法向量为
)),(),,((
),(),(
1
0000
00
2
00
2 yxfyxfyxfyxf yx
yx ?
?n ?
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这表明梯度 gradf(x0,y0)的方向与等值线上这点的一个法线方
向相同,
nnfyxf ???),( 00g r a d ?
对于二元函数 z?f(x,y),xOy面上的曲
线 f(x,y)?c称为函数 z?f(x,y)的等值线 ?
若 fx,fy不同时为零,则等值线 f(x,y)?c
上任一点 P0(x0,y0)处的一个单位法向量为
)),(),,((
),(),(
1
0000
00
2
00
2 yxfyxfyxfyxf yx
yx ?
?n ?
?梯度与等值线的关系
而沿这个方向的方向导数等于 |gradf(x0,y0)|,于是
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nnfyxf ???),( 00g r a d ?
?梯度与等值线的关系
函数在一点的梯度方向与等值线
在这点的一个法线方向相同,它的指向
为从数值较低的等值线指向数值较高
的等值线,梯度的模就等于函数在
这个法线方向的方向导数 ?
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?三元函数的梯度
下页
设函数 f(x,y,z)在空间区域 G内具有一阶连续偏导数,函
数 f(x,y,z)在点 P(x,y,z)的梯度 gradf(x,y,z)定义为
grad f(x,y,z)?fx(x,y,z)i?fy(x,y,z)j?fz(x,y,z)k?
三元函数的梯度是这样一个向量,它的方向与取得最大
方向导数的方向一致,而它的模为方向导数的最大值 ?
函数 f(x,y,z)在点 P的梯度的方向与过点 P的等量面 f(x,y,
z)?c在这点的法线的一个方向相同,且从数值较低的等量面指
向数值较高的等量面,梯度的模等于函数在这个法线方向的
方向导数 ?
提示 ?
曲面 f(x,y,z)?c称为函数 u?f(x,y,z)的等量面 ?
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因为 222
)(
2
yx
x
x
f
?
??
?
?,
222 )(
2
yx
y
y
f
?
??
?
?,
下页
例 3 求 22 1 yx ?g r a d ?
解 这里 22 1),( yxyxf ?? ?
于是 grad f(1,?1,2)
例 4 设 f(x,y,z)?x2?y2?z2,求 grad f(1,?1,2)?
解 grad f?(fx,fy,fz) ?(2x,2y,2z),
?(2,?2,4)?
解 这里 22 1),( yxyxf ?? ?
因为 222
)(
2
yx
x
x
f
?
??
?
?,
222 )(
2
yx
y
y
f
?
???,
所以 22 1
yx ?
gr ad ji 222222
)(
2
)(
2
yx
y
yx
x
?
?
?
?? ? 所以 22 1
yx ?
gr ad ji 222222
)(
2
)(
2
yx
y
y
x
?
?
?
?? ?
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?数量场与向量场
如果对于空间区域 G内的任一点 M,都有一个确定的数量
f(M),则称在这空间区域 G内确定了一个数量场 ?
如果对于空间区域 G内的任一点 M,都有一个确定的向量
F(M),则称在这空间区域 G内确定了一个向量场 ?
下页
一个数量场可用一个数量函数 f(M)来确定 ?
一个向量场可用一个向量函数 F(M)来确定,而
F(M)?P(M)i?Q(M)j?R(M)k,
其中 P(M),Q(M),R(M)是点 M的数量函数 ?
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?势与势场
向量函数 gradf(M)确定了一个向量场 (梯度场 ),它是由数
量场 f(M)产生的 ? 通常称函数 f(M)为这个向量场的势,而这个
向量场又称为势场 ?
必须注意,任意一个向量场不一定是势场,因为它不一定
是某个数量函数的梯度场 ?
下页
?数量场与向量场
如果对于空间区域 G内的任一点 M,都有一个确定的数量
f(M),则称在这空间区域 G内确定了一个数量场 ?
如果对于空间区域 G内的任一点 M,都有一个确定的向量
F(M),则称在这空间区域 G内确定了一个向量场 ?
上页 下页 铃结束返回首页 结束
例 5 试求数量场 rm 所产生的梯度场,其中常数 m > 0,
222 zyxr ??? 为原点 O 与点 M ( x,y,z) 间的距离 ?
解 32)( rmxxrrmrmx ????????,
同理 3)( rmyrmy ????,3)( rmzrmz ???? ?
从而 )(2 kji rzryrxrmrm ????g r a d ?
记 kjie rzryrxr ???,它是 与
?
OM 同方向的单位向量,则
rr
m
r
m e
2??g r a d ?
解 32)( rmxxrrmrmx ????????,
从而 )(2 kji rzryrxmrm ????g r a d ?
记 kjie rzryrxr ???,它是 与
?
OM 同方向的单位向量,则
二、梯度
§ 8.7 方向导数与梯度
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一、方向导数
下页
设函数 z?f(x,y)在点 P0(x0,y0)的某一邻域 U(P0)内有定义,
l是 xOy平面上以 P0(x0,y0)为始点的一条射线,与 l同方向的单
位向量为 el?(cos?,cos?)?
t
yxftytxf
t
),()c o s,c o s(lim 0000
0
???
??
??
提示 ?
||
)()(lim
0
0
0|| 0 PP
PfPf
PP
?
??
? 即极限
取 P(x0?tcos?,y0?tcos?)?U(P0),如果极限
?方向导数
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一、方向导数
下页
设函数 z?f(x,y)在点 P0(x0,y0)的某一邻域 U(P0)内有定义,
l是 xOy平面上以 P0(x0,y0)为始点的一条射线,与 l同方向的单
位向量为 el?(cos?,cos?)?
存在,则称此极限为函数 f(x,y)在点 P0沿方
向 l的方向导数,记为
),( 00 yxl
f
?
? ?
t
yxftytxf
t
),()c o s,c o s(lim 0000
0
???
??
??
取 P(x0?tcos?,y0?tcos?)?U(P0),如果极限
?方向导数
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一、方向导数
下页
设函数 z?f(x,y)在点 P0(x0,y0)的某一邻域 U(P0)内有定义,
l是 xOy平面上以 P0(x0,y0)为始点的一条射线,与 l同方向的单
位向量为 el?(cos?,cos?)?
),( 00 yxl
f
?
?
t
yxftytxf
t
),()c o s,c o s(lim 0000
0
????
??
?? ?
?方向导数
方向导数就是函数 f(x,y)在点 P0(x0,y0)
处沿方向 l的变化率 ?
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一、方向导数
设函数 z?f(x,y)在点 P0(x0,y0)的某一邻域 U(P0)内有定义,
l是 xOy平面上以 P0(x0,y0)为始点的一条射线,与 l同方向的单
位向量为 el?(cos?,cos?)?
),( 00 yxl
f
?
?
t
yxftytxf
t
),()c o s,c o s(lim 0000
0
????
??
?? ?
?方向导数
如果函数 z?f(x,y)在点 P0(x0,y0)可微分,那么函数在该点
沿任一方向 l (el?(cos?,cos?))的方向导数都存在,且有
?定理 (方向导数的计算 )
?? c o s),(c o s),( 0000
),( 00
yxfyxflf yx
yx
???? ?
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>>>
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沿 x 轴负向时,c o s ? ? ? 1,c o s ? ? 0,xflf ?????? ?
讨论 ?
函数 f(x,y)在点 P沿 x轴正向和负向,沿 y轴正向和负向的
方向导数如何?
提示 ?
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函数 f(x,y)在点 P0沿方向 l (el?(cos?,cos?))的方向导数 ?
?? c o s),(c o s),( 0000
),( 00
yxfyxflf yx
yx
???? ?
沿 x 轴正向时,c o s ? ? ?,c o s ? ? 0,xflf ????? ?
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例 1 求函数 z?xe2y在点 P(1,0)处沿从点 P到点 Q(2,?1)的方
向的方向导数 ?
解
所以所求方向导数为
下页
函数 f(x,y)在点 P0沿方向 l (el?(cos?,cos?))的方向导数 ?
?? c o s),(c o s),( 0000
),( 00
yxfyxflf yx
yx
???? ?
解 ? )1,1( ??PQ,与 l 同向的单位向量为 )21,21( ??le ?
因为函数可微分,且
1)0,1(2)0,1( ???? yexz,22 )0,1(2)0,1( ???? yxeyz,
2
2)
2
1(2
2
11
)0,1( ????????
?
l
z ?
解 ? )1,1( ??PQ,与 l 同向的单位向量为 )21,21( ??le ?
1)0,1(2)0,1( ???? yexz,22 )0,1(2)0,1( ???? yxeyz,1)0,1(2)0,1( ???? yexz,22 )0,2)0,1( ???? yxeyz,1)0,1(2)0,1( ???? yexz,2)0,1()0,1( ???? xeyz,)0,1(2)0,1( ???? yxz,22 )0,1(2)1( ???? yxe,10,1(2)0,1(?? yexz,22 )0,2)0,1( ???? yxeyz,
2
2)
2
1(2
2
11
)0,1( ????????
?
l
z ?
2
2)
2
1(2
2
11
)0,1( ????????
?
l
z ?
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对于三元函数 f(x,y,z)来说,它在空间一点 P0(x0,y0,z0)沿
el?(cos?,cos?,cos?)的方向导数为
如果函数 f(x,y,z)在点 (x0,y0,z0)可微分,则函数在该点沿
着方向 el?(cos?,cos?,cos?)的方向导数为
?
),,( 000 zyxl
f
?
?
t
zyxftztytxf
t
),,()c o s,c o s,c o s(lim 000000
0
?????
??
??? ?
),,( 000 zyxl
f
?
? ??? ) c os,,() c os,,() c os,,(
000000000 zyxfzyxfzyxf zyx ??? ?
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例 2 求 f(x,y,z)?xy?yz?zx在点 (1,1,2)沿方向 l的方向导数,
其中 l的方向角分别为 60?,45?,60??
解 与 l同向的单位向量为
)21,2 2,21()60c o s,45c o s,60( c o s ?????le ?
因为函数可微分,且
所以
)235(21212223213
)2,1,1(
??????????lf ? )235(2121222321
)2,,1(
?????????? lf ? )235(21212223213
)2,1,1(
????????? lf ?
fx(1,1,2)?(y?z)|(1,1,2)?3,
fy(1,1,2)?(x?z)|(1,1,2)?3,
fz(1,1,2)?(y?x)|(1,1,2)?2,
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二、梯度
?梯度的定义
下页
设函数 z?f(x,y)在平面区域 D内具有一阶连续偏导数,
则对于每一点 P0(x0,y0)?D,都可确定一个向量
fx(x0,y0)i?fy(x0,y0)j,
这向量称为函数 f(x,y)在点 P0(x0,y0)的梯度,记作 gradf(x0,y0),
即
gradf(x0,y0)?fx(x0,y0)i?fy(x0,y0)j?
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),( 00 yxl
f
?
? ?? cos),(cos),(
0000 yxfyxf yx ??,
二、梯度
?梯度的定义
下页
函数 z?f(x,y)在点 P0(x0,y0)的梯度 ?
gradf(x0,y0)?fx(x0,y0)i?fy(x0,y0)j?
?梯度与方向导数
如果函数 f(x,y)在点 P0(x0,y0)可微分,el?(cos?,cos?)是与
方向 l同方向的单位向量,则
),( 00 yxl
f
?
? ?? c os),(c os),(
0000 yxfyxf yx ??,
?gradf(x0,y0)?el
?|gradf(x0,y0)|?cos(gradf(x0,y0),^el)?
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二、梯度
?梯度的定义
下页
函数 z?f(x,y)在点 P0(x0,y0)的梯度 ?
gradf(x0,y0)?fx(x0,y0)i?fy(x0,y0)j?
?梯度与方向导数
),( 00 yxl
f
?
? ?? cos),(cos),(
0000 yxfyxf yx ??,
?|gradf(x0,y0)|?cos(gradf(x0,y0),^el)?
可以看出方向导数就是梯度在射线 l上的投影,当方向 l与
梯度的方向一致时,方向导数取得最大值 ? 所以沿梯度方向是
函数 f(x,y)在这点增长最快的方向 ?
如果函数 f(x,y)在点 P0(x0,y0)可微分,el?(cos?,cos?)是与
方向 l同方向的单位向量,则
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函数在一点的梯度是这样一个向量,它的方向与取得最
大方向导数的方向一致,而它的模为方向导数的最大值 ?
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二、梯度
?梯度的定义
函数 z?f(x,y)在点 P0(x0,y0)的梯度 ?
gradf(x0,y0)?fx(x0,y0)i?fy(x0,y0)j?
?梯度与方向导数
),( 00 yxl
f
?
? ?? cos),(cos),(
0000 yxfyxf yx ??,
?|gradf(x0,y0)|?cos(gradf(x0,y0),^el)?
如果函数 f(x,y)在点 P0(x0,y0)可微分,el?(cos?,cos?)是与
方向 l同方向的单位向量,则
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提示 ?
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?梯度与等值线的关系
对于二元函数 z?f(x,y),xOy面上的曲
线 f(x,y)?c称为函数 z?f(x,y)的等值线 ?
等值线 f(x,y)?c是曲面 z?f(x,y)被平面 z?c所截得的曲线
??
?
?
?
cz
yxfz ),(
在 xOy面上的投影 ?
若 fx,fy不同时为零,则等值线 f(x,y)?c
上任一点 P0(x0,y0)处的一个单位法向量为
)),(),,((
),(),(
1
0000
00
2
00
2 yxfyxfyxfyxf yx
yx ?
?n ?
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这表明梯度 gradf(x0,y0)的方向与等值线上这点的一个法线方
向相同,
nnfyxf ???),( 00g r a d ?
对于二元函数 z?f(x,y),xOy面上的曲
线 f(x,y)?c称为函数 z?f(x,y)的等值线 ?
若 fx,fy不同时为零,则等值线 f(x,y)?c
上任一点 P0(x0,y0)处的一个单位法向量为
)),(),,((
),(),(
1
0000
00
2
00
2 yxfyxfyxfyxf yx
yx ?
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?梯度与等值线的关系
而沿这个方向的方向导数等于 |gradf(x0,y0)|,于是
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nnfyxf ???),( 00g r a d ?
?梯度与等值线的关系
函数在一点的梯度方向与等值线
在这点的一个法线方向相同,它的指向
为从数值较低的等值线指向数值较高
的等值线,梯度的模就等于函数在
这个法线方向的方向导数 ?
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?三元函数的梯度
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设函数 f(x,y,z)在空间区域 G内具有一阶连续偏导数,函
数 f(x,y,z)在点 P(x,y,z)的梯度 gradf(x,y,z)定义为
grad f(x,y,z)?fx(x,y,z)i?fy(x,y,z)j?fz(x,y,z)k?
三元函数的梯度是这样一个向量,它的方向与取得最大
方向导数的方向一致,而它的模为方向导数的最大值 ?
函数 f(x,y,z)在点 P的梯度的方向与过点 P的等量面 f(x,y,
z)?c在这点的法线的一个方向相同,且从数值较低的等量面指
向数值较高的等量面,梯度的模等于函数在这个法线方向的
方向导数 ?
提示 ?
曲面 f(x,y,z)?c称为函数 u?f(x,y,z)的等量面 ?
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因为 222
)(
2
yx
x
x
f
?
??
?
?,
222 )(
2
yx
y
y
f
?
??
?
?,
下页
例 3 求 22 1 yx ?g r a d ?
解 这里 22 1),( yxyxf ?? ?
于是 grad f(1,?1,2)
例 4 设 f(x,y,z)?x2?y2?z2,求 grad f(1,?1,2)?
解 grad f?(fx,fy,fz) ?(2x,2y,2z),
?(2,?2,4)?
解 这里 22 1),( yxyxf ?? ?
因为 222
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x
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所以 22 1
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gr ad ji 222222
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2
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?数量场与向量场
如果对于空间区域 G内的任一点 M,都有一个确定的数量
f(M),则称在这空间区域 G内确定了一个数量场 ?
如果对于空间区域 G内的任一点 M,都有一个确定的向量
F(M),则称在这空间区域 G内确定了一个向量场 ?
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一个数量场可用一个数量函数 f(M)来确定 ?
一个向量场可用一个向量函数 F(M)来确定,而
F(M)?P(M)i?Q(M)j?R(M)k,
其中 P(M),Q(M),R(M)是点 M的数量函数 ?
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?势与势场
向量函数 gradf(M)确定了一个向量场 (梯度场 ),它是由数
量场 f(M)产生的 ? 通常称函数 f(M)为这个向量场的势,而这个
向量场又称为势场 ?
必须注意,任意一个向量场不一定是势场,因为它不一定
是某个数量函数的梯度场 ?
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?数量场与向量场
如果对于空间区域 G内的任一点 M,都有一个确定的数量
f(M),则称在这空间区域 G内确定了一个数量场 ?
如果对于空间区域 G内的任一点 M,都有一个确定的向量
F(M),则称在这空间区域 G内确定了一个向量场 ?
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例 5 试求数量场 rm 所产生的梯度场,其中常数 m > 0,
222 zyxr ??? 为原点 O 与点 M ( x,y,z) 间的距离 ?
解 32)( rmxxrrmrmx ????????,
同理 3)( rmyrmy ????,3)( rmzrmz ???? ?
从而 )(2 kji rzryrxrmrm ????g r a d ?
记 kjie rzryrxr ???,它是 与
?
OM 同方向的单位向量,则
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解 32)( rmxxrrmrmx ????????,
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OM 同方向的单位向量,则
