§ 4.1 不定积分的概念与性质
一、原函数与不定积分的概念
二、基本积分表
三、不定积分的性质
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一、原函数与不定积分的概念
?原函数的 概念
如果在区间 I上,可导函数 F(x)的导函数为 f(x),即对
任一 x?I,都有
F?(x)?f(x)或 dF(x)?f(x)dx,
那么函数 F(x)就称为 f(x)(或 f(x)dx)在区间 I上的原函数,
?原函数举例
所以 sin x是 cos x的原函数,因为 (sin x)??cos x,
提问：
因为
x
x
2
1)( ??,所以 x 是
x2
1 的原函数, 因为
x
x
2
1)( ??,所以 x 是
x2
1 的原函数,
c o s x 和
x2
1 还有其它原函数吗？
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?原函数存在定理
如果函数 f(x)在区间 I上连续,那么在区间 I上存在可
导函数 F(x),使对任一 x?I 都有
F?(x)?f(x).
简单地说就是, 连续函数一定有原函数,
两点说明：
1,如果函数 f(x)在区间 I上有原函数 F(x),那么 f(x)就有
无限多个原函数,F(x)?C都是 f(x)的原函数,其中 C是任意
常数,
2.函数 f(x)的任意两个原函数之间只差一个常数,
即如果 ?(x)和 F(x)都是 f(x)的原函数,则
?(x)?F(x)?C (C为某个常数 ).
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不定积分中各部分的名称：
? ------ 称为积分号,
f(x) ------ 称为被积函数,
f(x)dx ------ 称为被积表达式,
x ------ 称为积分变量,
?不定积分的概念
在区间 I上,函数 f(x)的带有任意常数项的原函数称为
f(x)(或 f(x)dx )在区间 I上的不定积分,记作
? dxxf )(,
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根据定义,如果 F(x)是 f(x)在区间 I上的一个原函数,那么
F(x)?C就是 f(x)的不定积分,即
在区间 I上,函数 f(x)的带有任意常数项的原函数称为
f(x)(或 f(x)dx )在区间 I上的不定积分,记作
?不定积分的概念
? dxxf )(,
? ?? CxFdxxf )()(,
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例 1 因为 sin x 是 cos x 的原函数,所以
如果 F(x)是 f(x)的一个原函数,则
? ?? CxFdxxf )()(,
Cxx d x ??? s i nc o s,
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因为 x 是 x2 1 的原函数,所以
Cxdxx ??? 2 1,
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解：当 x >0 时,( l n x ) ? x1?,
例 2, 求函数 xxf 1)( ? 的不定积分, 例 2
合并上面两式,得到
解
如果 F(x)是 f(x)的一个原函数,则
? ?? CxFdxxf )()(,
Cxdxx ??? ln 1 ( x > 0 ) ?
当 x <0 时,[ l n ( ? x )] ? xx 1)1(1 ?????,
Cxdxx ???? )l n ( 1 ( x < 0 ),
Cxdxx ??? ||ln 1 ( x ? 0),
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例 3 设曲线通过点 (1,2),且其上任一点处的切线斜率
等于这点横坐标的两倍,求此曲线的方程,
解 设所求的曲线方程为 y?f(x),则曲线上任一点 (x,y)
处的切线斜率为
y??f ?(x)?2x,
即 f(x)是 2x 的一个原函数,
故必有某个常数 C使 f(x)?x2?C,即曲线方程为 y?x2?C.
因所求曲线通过点 (1,2),故
2?1?C,C?1.
于是所求曲线方程为 y?x2?1.
因为
? ?? Cxx dx 22,
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函数 f(x)的积分曲线也有无限
多, 函数 f(x)的不定积分表示 f(x)的
一簇积分曲线, 而 f(x)正是积分曲
线的斜率,
?积分曲线
函数 f(x)的原函数的图形称为 f(x)的积分曲线,
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2x的 积分曲线
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?微分与积分的关系
从不定积分的定义可知
又由于 F(x)是 F ?(x)的原函数,所以
由此可见,如果不计任意常数,则微分运算与求不定
积分的运算是互逆的,
? ? )(])([ xfdxxfdxd,或 ? ? dxxfdxxfd )(])([ ? ? ? )(])([ xfdxxfdxd,或 ? ? dxxfdxxfd )(])([ ?
? ??? CxFdxxF )()(,或记作 ? ?? CxFxdF )()(, ? ??? CxFdxxF )()(,或记作 ? ?? CxFxdF )()(,
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二、基本积分表
(1) Ckxkdx ??? (k 是常数 ),
(2 ) Cxdxx ??? ?? 111 ?? ?,
(3) Cxdxx ??? ||ln1,
(4) Cedxe xx ???,
(5) Caadxa xx ??? ln,
( 6 ) Cxxd x ??? s inc o s,
( 7 ) Cxxdx ???? c oss in,
( 8 ) Cxxdx ??? t a ns e c 2,
( 9 ) Cxxd x ???? c o tc s c 2,
( 1 0 ) Cxdxx ???? a r c ta n1 1 2,
( 1 1 ) Cxdxx ???? a r c s in1 1 2,
( 1 2 ) Cxx d xx ??? s e ct a ns e c,
( 1 3 ) Cxdxx ???? c s cc otc s c,
( 1 4 ) Cxdxx ??? c h s h,
( 1 5 ) Cxdxx ??? s h c h,
( 1 ) Ckxk ??? ( k 是常数 ),
( 2 ) Cxdxx ??? ?? 111 ?? ?,
( 3 ) Cxdxx ??? ||ln1,
( 4 ) Cedxe xx ???,
( 5 ) Caadxa xx ??? ln,
( 6 ) Cxx d x ??? s inc o s,
( 7 ) Cxx dx ??? c oss in,
( 8 ) Cxxdx ??? ta ns e c 2,
9 ) Cxx d ???? c o tc s c 2,
( 1 0 ) Cxdxx ???? a r c ta1 1 2,
( 1 1 ) Cxdxx ???? a r c s in1 1 2,
( 1 2 ) Cxx d xx ??? s e ct a ns e c,
( 1 3 ) Cxdxx ???? c s cc otc s c,
( 1 4 ) Cxdxx ??? c s h,
( 1 5 ) Cxdxx ??? s h c h,
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例 5 ?? ? dxxdxxx 2
5
2 Cx ?
?
? ?12
5
125
1 Cx ?? 27
7
2, 例 5
例 4
例 6
例 4 ?? ?? dxxdxx 331 CxCx ??????? ?? 213 21131,
Cxx ?? 372,
例 6 ??
?
? dxx
xx
dx 34
3
Cx ?
??
?
??
1
3
4
1
3
4
Cx ???
?
3
1
3 C
x
???
3
3,
例 4 ?? ?? dxxdxx 331 CxCx ??????? ?? 213 21131, 例 4 ? ?? xdxx 331 CxCx ??????? ?? 213 2 1131, 例 4 ?? ?? dxxdxx 331 CxCx ??????? ?? 23 2 1131,
例 5 ?? ? dxxdxxx 2
5
2 Cx ?
?
?125
125
1 Cx ?? 27
7
2, 例 5 ?? ? dxxdxxx 252 Cx ?
?
? ? 12
5
125
1 Cx ?? 27
7
2, 例 5 ?? ? dxxdxxx 252 Cx ?
?
? ? 12
5
125
1 Cx ?? 27
7
2,
例 6 ??
?
? dxx
x
dx 34
3
Cx ?
??
?
??
1
3
4
1
3
4
Cx ???
?
3
1
3 C
x
???
3
3, 例 6
??
?
? dx
xx
3
4
Cx ?
??
?
??
1
3
4
1
3
4
Cx ???
?
3
1
3 C
x
???
3
3, 例 6
??
?
? x
x
dx 34
3
Cx ?
??
?
??
1
3
4
1
3
4
Cx ???
?
3
1
3 C
x
???
3
3, 例 6
?
?
? dxx
xx
dx 34
3
x ?
??
?
??
1
3
4
1
3
4
Cx ???
?
3
1
3 ??
3
,
( 2 ) Cxdxx ??? ?? 111 ?? ?,
首页积分表
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三、不定积分的性质
这是因为,
?f(x)?g(x).
??? ??? dxxgdxxfdxxgxf )()()]()([,
])([])([])()([ ?????? ???? dxxgdxxfdxxgdxxf ? f ( x ) ? g ( x ),])([])([])()([ ?????? ???? dxxgdxxfdxxgdxxf ? f ( x ) ? g ( x ),
?性质 1
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三、不定积分的性质
??? ??? dxxgdxxfdxxgxf )()()]()([,
?? ? dxxfkdxxkf )()( ( k 是常数,k ? 0),
?性质 1
?性质 2
???? ????? dxxdxxdxxxdxxx 212521252 5)5()5(
?? ?????? Cxxdxxdxx 2
3
2
7
2
1
2
5
3
25
7
25,
例 7
例 8
???? ????? xdxxdxxxdxxx 212521252 5)5()5( ???? ????? dxxdxxdxxxdxxx 212521252 5)5()5(
?? ?????? Cxxdxxdxx 2
3
2
7
2
1
2
5
3
25
7
25,
例 8 dxxxxdxx xxxdxxx )133(133)1( 22
23
2
3
????????? ???
Cxxxxdxxdxxdxdxx ????????? ???? 1||ln33211133 22,
例 8 dxxxxdxx xxxdxxx )133(13)1( 22
23
2
3
???????? ??? 例 8 dxxxxdxxxxdxxx )133(133)1( 22232
3
????????? ???
Cxxxxdxxdxxdxdxx ????????? ???? 1||ln33211133 22,
下页积分表
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例 11 dxxxdxxx xxdxxx xx )11 1()1( )1()1(1 22
2
2
2 ?
???
???
?
?? ???
例 10
三、不定积分的性质
??? ??? dxxgdxxfdxxgxf )()()]()([,
?? ? dxxfkdxxkf )()( ( k 是常数,k ? 0),
?性质 1
?性质 2
例 9 例 9 ??? ??? x d xdxedxxe xx c o s3)c o s3( Cxe x ??? s in3,
例 10 CeCeedxedxe xx
x
xxx ?
??????? 2ln1
2
)2ln(
)2()2(2,
例 11
Cxxdxxdxx ?????? ?? ||lna r c ta n11 1 2,
例 9 ??? ??? x d xdxedxxe xx c o s3)c o s3( Cxx ??? s in3, 例 9 ??? ??? x d xdxedxxe xx c o s3)c o s3( Cxe x ??? s in3,
例 10 CeCeedxedxe xx
x
xxx ?
??????? 2ln1
2
)2ln (
)2()2(2, 例 10 CeC
e
edxedxe xxxxxx ?
????? 2ln1
2
)2ln (
)2(), 例 10 CeC
edxedxe
xxxxxx ????
?? 2ln)ln ( )2(2(2,
Cxxdxx ?????? ?? ||lna r c ta n11 1 2,
下页积分表
例 11 dxxxdxx xxdxxx xx )11 1()1( )()1(1 22
2
2
2 ?
??
??
?
?? ??? 例 11 dx
xxdxxx
xxdx
xx
xx 1
1
1(
)1(
)1(
)1(
1
22
2
2
2 ?
???
???
?
?? ???
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例 12 dxxxxdxxxdxxx ??? ? ????? ???? 2
22
2
4
2
4
1
1)1)(1(
1
11
1
例 12
? ??? ???????? dxxdxdxxdxxx 2222 1 1)1 11(
Cxxx ???? a r c ta n31 3,
例 13 例 1 3 ???? ???? dxxdxdxxdxx 222 s ec)1(s ectan ?tan x?x?C.
例 1 2 dxxxxdxxxdxx ??? ? ???? ???? 2
22
2
4
2 1
1)1)((
1
11
1 例 1 2 dxx
xxdx
x
xdx
x
x ???
?
????
?
???
? 2
22
2
4
2
4
1
1)1)(1(
1
1
1
? ??? ???????? dxxdxdxxdxxx 2222 1 1)1 11(
例 1 3 ???? ???? dxx d xdxxx 222 s e c)1( s e ct a n 例 1 3 ???? ??? dxx d xdxxdxx 222 s e c)1( s e ct a n
例 14 ??? ???? dxxdxxdxx )c os1(212c os1 2s in 2 例 14
例 15
Cxx ??? )s in(21,
例 15 Cxdx
x
dxxx ???? ?? c o t4
s in
14
2
c o s
2
s in
1
222,
例 14 ??? ???? dxxdxxx )c os1(212c os12s in 2 例 14 ??? ???? dxxdxxdxx )c1(212c os1 2s in 2
例 Cxdx
x
dxxx ???? ?? c o t4
s in
14
2
c o s
2
s in
1
222, 例 15 Cdxxdxxx ??? ?? c o4s in
14
2
c o s
2
s in
1
222,
结束积分表