§ 4.4 有理函数的积分
一、有理函数的积分
二、可化为有理函数的积分举例
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一、有理函数的积分
?有理函数的形式
当 n<m时,称这有理函数是真分式 ; 而当 n?m时,称这有理函数
是假分式,
有理函数是指由两个多项式的商所表示的函数,即具有
如下形式的函数,
假分式总可以化成一个多项式与一个真分式之和的形式,
例如
mm
mm
nn
nn
bxbxbxb
axaxaxa
xQ
xP
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xxx,
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提示：
?? ???= dxxdxx 2536 = 6 ln |x ? 3| ? 5 ln |x ? 2| ? C,
求真分式的不定积分时,如果分母可因式分解,则先因式
分解,然后化成部分分式再积分,
解
例 1例 1 求 ?
??
? dx
xx
x
65
3
2,
解 ? ?? ? dxxx x 65 32 ? ?? ?= dxxx x )3)(2( 3 ? ???= dxxx )2536( 解 ? ?? ? dxxx x 65 32 ? ?? ?= dxxx x )3)(2( 3 ? ???= dxx )2536( 解 ? ?? ? dxxx x 65 32 ? ?? ?= dxxx x )3)(2( 3 ? ???= dxxx )2536(
?分母可因式分解的真分式的不定积分
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?? ??= dxdxx 2536 = 6 ln |x ? 3| ? 5 |x ? 2| ? C,
A?B=1,?2A?3B=3,
)3)(2(
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xx
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B
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)3)(2(
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23)3)(2(
3
??
????=
???=??
?
xx
BAxBAB
x
A
xx
x,
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提示：
解
例 2
例 3 求 ? ? dxxx 2)1( 1,
解 ?? ????=? dxxxxdxxx ])1( 1111[)1( 1 22 解 ?? ????=? dxxxxdxxx ])1( 1111[)1( 1 22
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求真分式的不定积分时,如果分母可因式分解,则先因式
分解,然后化成部分分式再积分,
?分母可因式分解的真分式的不定积分
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xx,
??? ????= dxxdxxdxx 2)1( 1111 Cxxx ?????= 11|1|ln||ln, ??? ????= dxdxxdxx 2)1( 1111 Cxxx ?????= 11|1|ln||ln,
222 )1(
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1
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1
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? xxxxx
xx
xx 22 )1(
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x
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1
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????=???
???=
xxxxxx
xx,
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提示：
解
例 3
例 2 求 ? ?? ? dxxx x 32 22,
解 ? ?? ? dxxx x 32 22 dxxxxx x )321332 2221( 22 ????? ?= ?
dxxxdxxx x ?? ????? ?= 321332 2221 22
?? ?? ???? ??= 222
2
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xx
xxd
Cxxx ?????= 2 1a r c t a n23)32l n (21 2,
解 ? ?? ? dxxx x 32 22 dxxxxx x )321332 2221( 22 ????? ?= ?
?分母是二次质因式的真分式的不定积分
首页
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二、可化为有理函数的积分举例
三角函数有理式是指由三角函数和常数经过有限次四则
运算所构成的函数,
?用于三角函数有理式积分的变量代换
?三角函数有理式的积分
设 2ta n xu =,则 有
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222 1
2
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t a n1
2
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提示：
解
令 2ta n xu =,则 21 2s i n uux ?=,2211c o s uux ??=,
例 4
例 4 求 ? ?? dxxx x )c o s1(s i n s i n1,
解 令 2ta n xu =,则
ux a r c t a n2=,duudx 21 2?=,
?? ??
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Cuuuduuu ???=??= ? |)|ln22(21)12(21 2
ux a r c t a n2=,duudx 21 2?=,
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s i n1
Cuuuduuu ???=??= ? |)|ln22(21)12(21 2
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解
令 2ta n xu =,则 21 2s i n uux ?=,2211c o s uux ??=,
例 4
例 4 求 ? ?? dxxx x )c o s1(s i n s i n1,
解 令 2ta n xu =,则
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Cxxx ???= |2ta n|ln212ta n2ta n41 2,
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说明：
并非所有的三角函数有理式的积分都要通过上述代换化
为有理函数的积分, 因为这种代换不一定是最简捷的代换,
请看如下积分,
令 2ta n xu =,则 21 2s i n uux ?=,2211c o s uux ??=,
?? ??=??=? Cxxdxdxxx )s in1ln ()s in1(s in1 1s in1 c o s, ?? ??=??=? Cxxdxdxxx )s in1ln ()s in1(s in1 1s in1 c o s, ?? ??=??=? Cxxdxdxxx )s in1ln)s in1(s in1 1s in1 c o s,
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无理函数的积分一般采用第二类换元法把根号消去,
解
?简单无理函数的积分
例 5 例 5 求 ? ? dx
x
x 1,
解 设 ux =? 1,即 12 ?= ux,则
duuuuduu udxxx ??? ?=??=? 12211 2 22
Cuuduu ??=??= ? )a r c ta n(2)1 11(2 2
Cxx ????= )1a r c ta n1(2,
解 设 ux =? 1,即 12 ?= ux,则
duu uu d uu uxx ??? ?=??=? 12211 2 22 duu uu dudxxx ??? ?=?=? 12211 2 2
Cuuduu ??=??= ? )a r c ta n(2)1 11(2 2
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duuuduuuxdx ??? ? ??=??=?? 1 11331 121 223
解
无理函数的积分一般采用第二类换元法把根号消去,
?简单无理函数的积分
例 6
例 6 求 ? ?? 3 21 xdx,
Cuuuduuu ????=???= ? |)1|ln2(3)1 11(3 2
Cxxx ???????= |21|ln23)2(23 333 2,
uuuduuu ????=???= ? |)1|ln2(3)1 11(3 2
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ux =?3 2设,即 x=u
3?2,则
duuuduuuxdx ??? ? ??=??=?? 1 11331 11 223 duuuuuxdx ??? ? ??=??=?? 1 11331 121 223
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解
无理函数的积分一般采用第二类换元法把根号消去,
?简单无理函数的积分
例 7
例 7 求 ? ? xxdx )1( 3,
设 x=t6,于是 dx=6t5dt,从而
dtttdttttxxdx ??? ?=?=? 223253 16)1( 6)1(
Cttdtt ??=??= ? )a r c ta n(6)1 11(6 2
Cxx ??= )a r c ta n(6 66,
dttttxxdx ??? =?=? 3253 6)1( 6)1( dtttdttttxxdx ?? ?=?? 223253 16)1( 6)1(
Cttdtt ??=??= ? )a r c ta n(6)1 11(6 2
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解
无理函数的积分一般采用第二类换元法把根号消去,
?简单无理函数的积分
例 8 例 8 求 ? ? dx
x
x
x
11,
解 设 tx x =?1,即 112 ?= tx,于是 解 设 tx x =?1,即 112 ?= tx,于是 解 设 txx=?1,即 112tx,于是
dtt tdtt tttdxx xx ??? ??=????=? 12)1( 2)1(11 2 2222
Ctttdtt ?????=???= ? |11|ln2)111(2 2
Cxx xxx x ??? ?????= 11ln12,
dtt tdtt tttdxx xx ??? ??=????=? 12)1( 2)1(11 2 222 dtt tdtt tttdxxx ??? ??=????=? 12)1( 2)1(11 2 2222
Ctttdtt ?????=???= ? |11|ln2)111(2 2
结束