第三讲教学内容 页次 预习页次换面法的基本概念 P27-28 P36-40
P52-60
点的投影变换 P28-30
换面法的基本问题 P32-36
ox
a
b
b'
a'
c
d
d'
c'
g
ox
a
b
b'
a'
c
d
d'
c'
g
g'
题 34 已知 AB与 CD两直线交于 G，求作 c'd’。
应细实线太长太长 不符合点投影的注写
G
a'
b'
a
b O
X
k'
k
k
k'
a'
b'
a
b
OX
题 30 试在直线 AB上取一点 K，使 AK:KB=2:3
（不用第三投影作图）。
b0
ox
d’
已知等腰三角形 ABC
的底边在 MN上,长 24mm,
试完成其投影,
P
A
B
C
D
E
F
G
H Q
R
P
P'
a' b'
c' d' e' f'
g'
h'
a"b"
e"f"c"d"
g"
h"
c
P"
R
R'
R"
Q"
Q"
题 43 画全左视图，注全平面的另两个投影，并填写平面的空间位置
Q
主
Q1
Q2
P1
P2
R
S
一 换面法的基本概念
1 问题的提出
2 解决问题的基本思路
Q
主
Q
Q'
2 解决问题的基本思路
a'
b'
a
b
OX
求直线 AB的 实长和与 投影面的真实夹角
c'
b'
c d
X O
求直线 CD的实长和与投影面的真实夹角用例说明概念实长
V
H
X A
Ba'
b'
a
b
老投影体系
V/H
新投影面
V1
新投影体系
V1/H
X1
新轴老轴
a1'
b1'
新投影被替换的投影被保留的投影 被保留的投影面被替换的投影面求面的实形概念换面法定义及原则
Q
Q1'
设立新投影面的基本原则,
1 新投影面必须垂直于某一个基本 (或被保留的 )投影面,以构成新的投影体系,也就是每次只能置换一个投影面 。
2 新投影面的设立必须对空间几何元素处于有利于解题的位置,即一般与几何元素平行或垂直 。
用设立新投影面来得到几何元素的辅助 (新 )
投影的方法称为换面法 。
二 点的投影变换二 点的投影变换1 点的一次换面
(1) 变换 V面
O
ax
H
V
X
a'
a
A
x1
新轴被保留的投影
V1
新投影面新投影体系 V1/H
老轴新投影被替换的投影老投影体系 V/H
被保留的投影面被替换的投影面投影面展开及投影规律
a1'
aX1
(1)点的新投影与被保留投影的连线垂直于新轴。
（ 2）点的新投影到新轴的距离等于被替换的投影到老轴的距离。
a'
a
a'1
V
H
X ax
aX1VH
变换 H面
a'
a
a'1X
ax
aX1?
O
ax
V
X
a'
a
A
a1'
aX1
H
x1
(2) 变换 H面
a1V
H
A
a'
a
X
O
老轴
X1
新轴
H1
新投影面新投影被保留的投影新投影体系 V/H1
被 替换的投影投影面展开
a
a' X
1
X
a1
V
H
a1V
H
A
a'
a
X
O
点的两次换面
X1
2 点的两次换面
a2
V a'
H
A
a
V1
X1
a1'
X被替换的投影新投影被保留的投影老轴
H2
新投影面老投影体系 V1/H
新投影体系
V1/H2X2
新轴投影面展开
a2
a'
a
a1'
XVH
a2
V a'
H
A
a
V1
X1
a1'
X
X2
H2
六个基本问题三 换面法的六个基本问题问题 1将一般位置直线变换平行线
1 将一般位置直线变换为投影面的平行线功用,一次换面后可求出一般位置直线的实长及与基本投影面的真实夹角。
问题的关键,新投影轴必须平行于被保留的投影。
X VH
a'
b'
a
b
a1'
b1'?
问题
V
H
X A
Ba'
b'
a
b
V1
a1'
b1'
X1
怎样求一般位置直线与 V面的倾角？
变换 H面本例解
a1
b1
a
b
a'
b'X V
H
求直线 AB的实长和与 V面的倾角。
问题的关键：新轴 X1必须平行于被保留的投影。
问题怎样求一般位置直线与 W 面的倾角？
在 V/W两面投影体系中变换 V面平行线变换为垂直线
2 将投影面的平行线变换为投影面的垂直线功用,一次换面后可用于求点与直线,两直线间的距离等。 问题的关键：新轴要垂直于反映实长的那个投影。
X1
V
H
X A
Ba'
b'
a
b
H1
a1'
b1'?
a1 b1
XVH
a b
a'
b'
一般位置直线变换为垂直线
3 将一般位置直线变换为投影面的垂直线问题的关键：
应两次换面,第一次变换成投影面的 平行线,第二次变换成投影面的 垂直线 。
X VH
a'
b'
a
b
a1'
b1'? a2 b2
功用：同 1,2
一般位置平面变换为垂直面例 1
例 1
已知等腰三角形 ABC的底边为 AB，试用换面法求出等腰三角形 ABC
的正面投影。
a'
b'
X VH
c
a
b
b1'
c1'
a1'
c'
4一般位置平面变换为投影面的垂直面
e
e1′
4 将一般位置平面变换为投影面的垂直面功用：可求解平面与投影面的倾角,
点与平面的距离,两平行面间的距离等 。
图例问题的关键：在平面上作一条投影面 平行线,新轴 必须 垂直 与该平行线 反映实长的那个投影 。
水平投影 ad
垂直于新轴
B
a b
c H
A
X
C
a'
b'
c'
V
c1'
b1'
水 平线
D
d'
d
a1'(d1')?
本例展开图
X1
V1
B
a b
c H
A
X
C
a'
b'
c'
V
D
d'
d
a1'(d1')
c1'
b1'
X1
b1'
c1'?
c'
HX V
a'
b'
a
b
c
d'
d
a1'
问题怎样求一般位置平面与 V面,W面的倾角?
求? 在 V/H两面投影体系中变换 H面求? 在 V/W两面投影体系中变换 V面将垂直面变成平行面
5 将投影面的垂直面变成投影面的平行面功用,一次换面后可求解平面实形、形心、
两直线交角等问题的关键：
新投影轴必须平行于该平面的积聚性投影。
V
b'
a'
c'
H
V1
A
B
C
b a
a1'
c1'b1'
X1
c
展开图
a1'
a'
b'
c'
XVH
b
a
c
c1'
b1'
V
b'
a'
c'
H
V1
A
B Cb
a
a1'
c1'b1'
X1
c
一般位置平面变换成投平行面
6 将一般位置平面变换成投 影面的平行面问题的关键,应两次换面,第一次换面变成垂直面,第二次换面变成投影面的平行面 。
功用,同 5,6
举例
X2V1H
2
例 2 已知两相交管道的投影图如图所示,为了预制其连接弯头,
试求两管道间夹角的真实大小 。
XVH a'
b'
c'
a
b
c
c2
b2
a2
b1'
a1'
d'
d
c1'
d1'
四 解决一些实际问题的思路
1 求直线实长和与投影面的倾角将直线变换成投影面的平行线 。
2 求平面实形和形心将平面变换成投影面的平行面 。
3 求平面与投影面的倾角将平面变换成投影面的垂直面 。
4 求距离
（ 1） 点与直线之间
a 将直线变换成投影面垂直线 。
续
b 将点与直线组成的平面变换成投影面的平行面 。
（ 2） 点与平面之间将平面变换成投影面垂直面 。
（ 3） 两平行线之间将两直线变换成投影面垂直线 。
（ 4） 两平行平面之间将两平面变换成投影面垂直面 。
5 求夹角
（ 1） 两直线之间续将两直线组成的平面变换成投影面平行 面 。
（ 2） 两平面之间将两平面变换成投影面的垂直面,即应将两平面的交线变换成投影面的垂直线 。
五 举例例 3 已知直线 AB与?CDE平面平行，且相距 20mm，
求直线 AB的水平投影。
XVH
e d
cd'
e'
c'a'
b'
a1b
1 c
1
e1 d1
ba
Q X
V
H
a1
b1 c
1
d1
e1
f1 g
1
a'(h')
a b
cd
e f
gh
b'(c' f' g')
d'( f')
h1
例 4 试求物体上平面 Q的实形。
Q
Q'
G
H
A
B
C
D
E
F
a b
a'
b′
x1
H1 v
b1 a1
c′
d′
c1,d1
d c
例 5
正平线 AB
是正方形 ABCD
的边,C在 B的前上方,正方形对
V面的倾角
β=45o,补全正方形的两面投影,
6 将一般位置平面变换成投 影面的平行面问题的关键,应两次换面,第一次换面变成垂直面,第二次换面变成投影面的平行面功用,同 5,6
c2
a2
b2
第二次换面实形