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2Y
Y 2
俯左前前
1Y
Y1
教学内容 教材页次 预习页次直线的投影 P13--16 P27--36
直线上取点两直线的相对位置 P16--20
平面的投影 P20--25
平面上取点、线 P25-27
第二讲一 直线的投影
1 直线投影的基本特性 一般情况下,直线的投影仍然为直线，特殊情况为一个点。
直线投影的基本作图方法：求出两端点的投影，将同面投影相连。
2 各种不同位置直线的投影按直线与投影面的相对位置可分为三种情况：
垂直、平行和相交。
讲垂线
(1)投影面的垂直线凡垂直于某一投影面,同时平行于另两个投影面的直线统称为投影面的垂直线。其中：
垂直于正投影面（ V面）的称为 正垂线 ；
垂直于水平投影面（ H面）的称为 铅垂线 ；
垂直于侧投影面（ W面）的称为 侧垂线 ；
例
a
b
a"b"a'(b')
OX
Z
YH
YW
a'(b')
a
b
a"b"
投影面垂直线的 投影特征 为,a 直线在与其所垂直的投影面上的投影积聚为一点。 该积聚投影与相应投影轴间的距离即为该直线与相应投影面间的距离 。
特征 2
V
H
W
X
A
B
Y
V
H
W
X
A
B
Y
OX
Z
YH
YW
a'(b')
a
b
a"b"
a
b
a"b"a'(b')
b 直线的其余两个投影均垂直于相应的投影轴且反映该直线的实长。
C
D
平行线
(2) 投影面的平行线凡平行于某一投影面，同时倾斜于另两个投影面的直线统称为投影面的平行线。其中：
平行于正投影面（ V面）的称为 正平线 ；
平行于水平投影面（ H面）的称为 水平线 ；
平行于侧投影面（ W面）的称为 侧平线 。
举正平线例
a b
a"
b"
a'
b'
规定,与 H面的夹角为?,与 V面的夹角为?,与
W 面的夹角为?。,?,?均? 900 ； 任意两角之和等于 900。
Z
OX
YH
YW
a'
b'
a"
b"
a b
A
B
V
H
W
X
A
B
Y
特征 1
Z
投影面平行线的 投影特征 为,a 直线在与其所平行的投影面上的投影反映该直线的实长，同时还反映该直线与另两个投影面之间的真实倾角。
特征 2
a"
b"
a b
a'
b'
Z
OX
YH
YW
a'
b'
a"
b"
a b
A
B
V
H
W
X
A
B
Y
Z
b 直线的其余两个投影均分别平行于相应的投影轴,该两投影与相应投影轴之间的距离即为该直线与相应投影面之间的距离。
思考
a"
b"
a b
a'
b'
Z
OX
YH
YW
a'
b'
a"
b"
a b
A
B
V
H
W
X
A
B
C
D
Y
Z
思考：
1 投影面的垂直线与投影面的平行线有何区别？
2 投影面的垂直线与各投影面间的夹角为多少？
一般位置直线
（ 3）一般位置直线凡同时倾斜 （ 即既不平行,也不垂直 ）
于三 个投影面的直线称为一般位置直线 。
举例
OX
Z
YH
YW
V
H
W
X
A
BC a
a' a"
b
b' b"
c
c' c"
c'
a'
c"
a"
ca
一般位置直线的 投影特征 为,
a 三个投影与投影轴既不平行也不垂直。
b 任一投影均不反映该直线的实长，且小于实长。
特征 3Y
Z
c 任一投影与投影轴的夹角均不反映空间直线与任何投影面的真实夹角。
a
a' a"
b
b' b"
c
c' c"
c"
a"
OX
Z
YH
YW
c'
a'
ca
直线上的点
V
H
W
X
A
BC
Y
Z
V W
H
A
B
K
a'
b'
k'
m'
Ma
k
b m
m"
b"
a"
k"
m' m"
m
a'
b'
a"
a
b
b"X O Y
W
YH
Z
k' k"
k
二 直线上的点 直线上点的两个重要特性：
（ 1） 从属性 直线上的点，其各个投 影必在该直线的同面投影上。
定比性
V W
H
A
B
K
a'
b'
k'
m'
Ma
k
b m
m"
b"
a"
k"
（ 2） 定比性直线上的点分割线段成定比，其各个投影亦分成相同的比例 。
举例
a'
b'
a"
a
b
b"X O Y
W
YH
Z
k' k"
k
nbk
ka
bk
ka
kb
ak
KB
AK 1?
d"
e"
k"
k0 d0
YW
YH
Z
e'
e
k'
d'
d OX
例 已知直线 DE的正面投影和水平投影及线上 K点的正面投影 k',试求出 K 点的水平投影。
解,方法一 先求出直线的侧面投影，再根据直线上的点的投影特征求出 k。
方法二使用定比性。
e'
e
k'
d'
d OX
直线和直线的相对位置
k k
有三种情况平行相交交叉（既不平行，也不相交）
三 直线和直线的相对位置
A
B
C
D
E
F
两平行线平行
1 两直线平行 投影特征：其同面投影必相互平行根据投影特征可在投影图上图示或判定两空间直线的平行情况，能帮助我们图示和理解物体的投影。
a'
b' d'
c'
d
c
b
a
OX
d'
H
V
A
DB
C
c'
b'
a'
b
a c
d
举例例 求作如图所示物体的三视图
A
B
C
D
E
F
主应运用直线上的点和两直线平行的投影特性来作图续举例
a' b'
c' d'
e'f'
a
b
d
c
e
f
a" b"
c" d"
e"f"
A
B
C
D
E
F
主两直线相交
2 两直线相交 两直线相交的投影特征是,其同面投影必定相交,且 交点的连线垂直于相应的投影轴 。
V
c' k'
b'
C
D
d'
a'
OX
H
A
B
c
da
b
K?
a'
OX
b'
c'
d'
b
a d
c
k'
k
举例
(1) 画出第三面投影，按两直线相交的投影特征进行判定。
解：
(2) 使用定比分割原理。
(不相交）k0
k'
例 已知直线 AB和 CD的两面投影，试判定两直线是否相交。
d'
OX
a
b
d
c
a'
b'c'
k
c0k0=c'k'
dk0=d'k'
c0
两直线相交的特殊情况两直线垂直相交的特殊情况,
（ 1）两直线都平行于某一投影面，则两直线在该投影面上的投影的夹角反映直角。
（ 2）两直线都不平行于某投影面，则两直线在该投影面上的投影不反映直角。
（ 3）两直线中有一条直线平行于某一投影面时，
则两直线在该投影面上的投影互成直角。
直角投影定理,两直线垂直相交时，只要其中一直线平行于某一投影面,则两直线在该投影面上的投影互成直角。
直角投影定理图示直角投影定理的图示 c' b'
d'
a'
b
da
c OX
直角投影定理举例
C
D
A
B
c
da
b
H
e
e
e'
e'
c'
c'
例 已知直线 AB的两面投影和 C点的水平投影,试过
C点作一条直线 CE垂直于 AB,求直线 CE的两面投影。
c
b
a
b'
a'
OX
两直线交叉
3 两直线交叉投影特征,其同面投影不会同时平行，其同面可能相交，但交点的连线不垂直于相应的投影轴。
3'(4')
4
3
d'
c' 1' b'
a' 2'
1(2)
c
da
b
OX
举例
A
BC
D
c
da
b
Ⅰ
Ⅱ
H
例 不用第三面投影试判定直线 AB和 CD是平行还是交叉 。
OX
a'
b'
a
b
d
c
c'
d'
交叉再举例例 试判定两直线是（ 1）相交 （ 2）垂直相交
（ 3）交叉 。
a'
b'c'
d'
a b
c d
OX
相交四 平面的投影
1 平面的表示法
x oa'
b'
c'
a
b
c
b'
a'
c'
a b
c
ox
用投影来表示平面图形不在同一直线上的三点
b'
ox
a'
a
b
c
c?
两平行直线一直线和线外一点续平面的投影
a'
b'
c'
a
b
c
ox
c'
a'
b'
a
b
c
ox
两相交直线 任意的平 面图形各种不同位置平面的投影特征
2 各种不同位置平面的投影特征按平面相对与投影面的位置有三种情况垂直平行倾斜
（ 1）投影面的垂直面凡垂直于一个投影面,而与另两个投影面倾斜的平面统称为投影面的垂直面 。 其中：
垂直于正投影面 （ V面 ） 的称为正垂面；
垂直于水平投影面 （ H面 ） 的称为铅垂面；
垂直于侧投影面 （ W面 ） 的称为侧垂面 。
正垂面例
Q'
YH
Z
OX YW
规定,与 H,V,W面的夹角分别为?,?,?,
,?,?均为?900,任两者之和等于 900。
投影特征
V
H
W
X Q
Q
Q"
YH
Z
OX YW
投影面垂直面的 投影特征 为：
a 平面在与其 所垂直的投影面上的投影积聚为一直线,该直线与两投影轴的夹角分别反映该平面与相应投影面的真实夹角 。
b 平面的另两个投影均为小于实形的类似形 。
平行面
V
H
W
X Q
Y
2投影面的平行面凡 平行与某一个投影面,同时垂直于另两个投影面 的平面统称为投影面的平行面 。
其中：
平行于正投影面 （ V面 ） 的称为正平面；
平行于水平投影面 （ H面 ） 的称为水平面；
平行于侧投影面 （ W面 ） 的称为侧平面 。
平行面举例
Q"
Q
V
H
W
X
Y
Q
O
X
Z
YH
YW
Q'
O
X
Z
YH
YW
投影面平行面的 投影特征 为：
a 平面在所平行的的投影面上的投影反映该平面的实形 。
b 平面的另两个投影均积聚成一直线,且分别平行于相应的投影轴 。
思考
V
H
W
X
Y
思考：
投影面的平行面与投影面的垂直面有何区别？
一般位置平面
3 一般位置平面凡同时倾斜 （ 即既不平行,也不垂直 ）
于三个投影面的平面称为一般位置平面 。
举例
a'
c' b' b"
a"
c"
c
a b
OX
Z
YH
YW
a'
c' b'
a
c
b
b"c"
a"
一般位置平面的投影特征为,
a 三个投影均不反映该平面的真实大小。 b 三个投影均没有积聚性。 c 三个投影均为小于实形的类似形。
平面上的直线
V
H
W
X
A
BC
Y
1 直线在平面上的条件
(1)过平面上的两个 已知点；
A
S
L
N
M
B
K
五 平面上的直线
(2)过平面上的一个已知点,且平行于该平面上任一已知直线 。
举例
B
A
b
a
c
C
H
例 （ 1） 已知三角形 ABC 的两面投影及该平面上的直线 MN的正面投影,求作 MN的水平投影。
M NE F
e
f
m
n
n’m’
a'
b' c'
OX
b c
a
m' n'
续上例
（ 2） 试在三角形 ABC上 任 作一条直线。
B
A
b
a
c
CM NE F
e
f
m
n
e ' f 'n’
a'
b'
c'
OX
b c
a
f
e
m n
1'
2'
2
m'
n'
1
投影面上的平行线
C
H
V A
B
ab
c
O
X
a'
X
b'
c'
a
b c
O
既具有平面上直线的投影特征，又具有投影面平行线投影特征的直线，称为面上的投影面平行线。
2 平面上的投影面平行线例,(1) 试在三角形 ABC上作一条水平线。
D
d
续上例
a'
X
b'
c'
a
b c
O
d'
d
f'e'
e f
30
mm
D
C
H
V A
B
ab
c
OX
d
（ 2)试在三角形 ABC上 作一条与正投影面距离为
30mm的正 平线 。
平面上的点
3 点在平面上的条件,必须经过平面上的任意一条直线。
六 平面上的点例 已知三角 ABC上 K点的水平投影,试求其正面投影。
举例
a'
b'
c'
c
a
b
OX
c
b
a
B
C
k
A
K
E
F
e
f
k
e
f
k'
f'
e'
例 试画出物体的主、俯、左视图 。
A
B
C
X1
b'
Z2
Y1 Y2
a'
Z2
c”
读上图
Q1
P1
P2
R
S
启动 WIN 95 或 WIN 98 后，将光盘放入光驱后，即可按操作指令来阅读六个知识点。阅读完退出后：
双击我的电脑图标? 单击 E 盘图标? 右键单击高亮的 E 盘图标? 单击打开? 单击工程制图习题解析图标? 右键单击高亮的工程制图习题解析图标? 双击 ACD See32 图标 （即左下角图标）? 在 A CDS e e32 环境中，选择所要阅读的有关内容主左俯
2Y
Y 2
俯左前前
1Y
Y1
教学内容 教材页次 预习页次直线的投影 P13--16 P27--36
直线上取点两直线的相对位置 P16--20
平面的投影 P20--25
平面上取点、线 P25-27
第二讲一 直线的投影
1 直线投影的基本特性 一般情况下,直线的投影仍然为直线，特殊情况为一个点。
直线投影的基本作图方法：求出两端点的投影，将同面投影相连。
2 各种不同位置直线的投影按直线与投影面的相对位置可分为三种情况：
垂直、平行和相交。
讲垂线
(1)投影面的垂直线凡垂直于某一投影面,同时平行于另两个投影面的直线统称为投影面的垂直线。其中：
垂直于正投影面（ V面）的称为 正垂线 ；
垂直于水平投影面（ H面）的称为 铅垂线 ；
垂直于侧投影面（ W面）的称为 侧垂线 ；
例
a
b
a"b"a'(b')
OX
Z
YH
YW
a'(b')
a
b
a"b"
投影面垂直线的 投影特征 为,a 直线在与其所垂直的投影面上的投影积聚为一点。 该积聚投影与相应投影轴间的距离即为该直线与相应投影面间的距离 。
特征 2
V
H
W
X
A
B
Y
V
H
W
X
A
B
Y
OX
Z
YH
YW
a'(b')
a
b
a"b"
a
b
a"b"a'(b')
b 直线的其余两个投影均垂直于相应的投影轴且反映该直线的实长。
C
D
平行线
(2) 投影面的平行线凡平行于某一投影面，同时倾斜于另两个投影面的直线统称为投影面的平行线。其中：
平行于正投影面（ V面）的称为 正平线 ；
平行于水平投影面（ H面）的称为 水平线 ；
平行于侧投影面（ W面）的称为 侧平线 。
举正平线例
a b
a"
b"
a'
b'
规定,与 H面的夹角为?,与 V面的夹角为?,与
W 面的夹角为?。,?,?均? 900 ； 任意两角之和等于 900。
Z
OX
YH
YW
a'
b'
a"
b"
a b
A
B
V
H
W
X
A
B
Y
特征 1
Z
投影面平行线的 投影特征 为,a 直线在与其所平行的投影面上的投影反映该直线的实长，同时还反映该直线与另两个投影面之间的真实倾角。
特征 2
a"
b"
a b
a'
b'
Z
OX
YH
YW
a'
b'
a"
b"
a b
A
B
V
H
W
X
A
B
Y
Z
b 直线的其余两个投影均分别平行于相应的投影轴,该两投影与相应投影轴之间的距离即为该直线与相应投影面之间的距离。
思考
a"
b"
a b
a'
b'
Z
OX
YH
YW
a'
b'
a"
b"
a b
A
B
V
H
W
X
A
B
C
D
Y
Z
思考：
1 投影面的垂直线与投影面的平行线有何区别？
2 投影面的垂直线与各投影面间的夹角为多少？
一般位置直线
（ 3）一般位置直线凡同时倾斜 （ 即既不平行,也不垂直 ）
于三 个投影面的直线称为一般位置直线 。
举例
OX
Z
YH
YW
V
H
W
X
A
BC a
a' a"
b
b' b"
c
c' c"
c'
a'
c"
a"
ca
一般位置直线的 投影特征 为,
a 三个投影与投影轴既不平行也不垂直。
b 任一投影均不反映该直线的实长，且小于实长。
特征 3Y
Z
c 任一投影与投影轴的夹角均不反映空间直线与任何投影面的真实夹角。
a
a' a"
b
b' b"
c
c' c"
c"
a"
OX
Z
YH
YW
c'
a'
ca
直线上的点
V
H
W
X
A
BC
Y
Z
V W
H
A
B
K
a'
b'
k'
m'
Ma
k
b m
m"
b"
a"
k"
m' m"
m
a'
b'
a"
a
b
b"X O Y
W
YH
Z
k' k"
k
二 直线上的点 直线上点的两个重要特性：
（ 1） 从属性 直线上的点，其各个投 影必在该直线的同面投影上。
定比性
V W
H
A
B
K
a'
b'
k'
m'
Ma
k
b m
m"
b"
a"
k"
（ 2） 定比性直线上的点分割线段成定比，其各个投影亦分成相同的比例 。
举例
a'
b'
a"
a
b
b"X O Y
W
YH
Z
k' k"
k
nbk
ka
bk
ka
kb
ak
KB
AK 1?
d"
e"
k"
k0 d0
YW
YH
Z
e'
e
k'
d'
d OX
例 已知直线 DE的正面投影和水平投影及线上 K点的正面投影 k',试求出 K 点的水平投影。
解,方法一 先求出直线的侧面投影，再根据直线上的点的投影特征求出 k。
方法二使用定比性。
e'
e
k'
d'
d OX
直线和直线的相对位置
k k
有三种情况平行相交交叉（既不平行，也不相交）
三 直线和直线的相对位置
A
B
C
D
E
F
两平行线平行
1 两直线平行 投影特征：其同面投影必相互平行根据投影特征可在投影图上图示或判定两空间直线的平行情况，能帮助我们图示和理解物体的投影。
a'
b' d'
c'
d
c
b
a
OX
d'
H
V
A
DB
C
c'
b'
a'
b
a c
d
举例例 求作如图所示物体的三视图
A
B
C
D
E
F
主应运用直线上的点和两直线平行的投影特性来作图续举例
a' b'
c' d'
e'f'
a
b
d
c
e
f
a" b"
c" d"
e"f"
A
B
C
D
E
F
主两直线相交
2 两直线相交 两直线相交的投影特征是,其同面投影必定相交,且 交点的连线垂直于相应的投影轴 。
V
c' k'
b'
C
D
d'
a'
OX
H
A
B
c
da
b
K?
a'
OX
b'
c'
d'
b
a d
c
k'
k
举例
(1) 画出第三面投影，按两直线相交的投影特征进行判定。
解：
(2) 使用定比分割原理。
(不相交）k0
k'
例 已知直线 AB和 CD的两面投影，试判定两直线是否相交。
d'
OX
a
b
d
c
a'
b'c'
k
c0k0=c'k'
dk0=d'k'
c0
两直线相交的特殊情况两直线垂直相交的特殊情况,
（ 1）两直线都平行于某一投影面，则两直线在该投影面上的投影的夹角反映直角。
（ 2）两直线都不平行于某投影面，则两直线在该投影面上的投影不反映直角。
（ 3）两直线中有一条直线平行于某一投影面时，
则两直线在该投影面上的投影互成直角。
直角投影定理,两直线垂直相交时，只要其中一直线平行于某一投影面,则两直线在该投影面上的投影互成直角。
直角投影定理图示直角投影定理的图示 c' b'
d'
a'
b
da
c OX
直角投影定理举例
C
D
A
B
c
da
b
H
e
e
e'
e'
c'
c'
例 已知直线 AB的两面投影和 C点的水平投影,试过
C点作一条直线 CE垂直于 AB,求直线 CE的两面投影。
c
b
a
b'
a'
OX
两直线交叉
3 两直线交叉投影特征,其同面投影不会同时平行，其同面可能相交，但交点的连线不垂直于相应的投影轴。
3'(4')
4
3
d'
c' 1' b'
a' 2'
1(2)
c
da
b
OX
举例
A
BC
D
c
da
b
Ⅰ
Ⅱ
H
例 不用第三面投影试判定直线 AB和 CD是平行还是交叉 。
OX
a'
b'
a
b
d
c
c'
d'
交叉再举例例 试判定两直线是（ 1）相交 （ 2）垂直相交
（ 3）交叉 。
a'
b'c'
d'
a b
c d
OX
相交四 平面的投影
1 平面的表示法
x oa'
b'
c'
a
b
c
b'
a'
c'
a b
c
ox
用投影来表示平面图形不在同一直线上的三点
b'
ox
a'
a
b
c
c?
两平行直线一直线和线外一点续平面的投影
a'
b'
c'
a
b
c
ox
c'
a'
b'
a
b
c
ox
两相交直线 任意的平 面图形各种不同位置平面的投影特征
2 各种不同位置平面的投影特征按平面相对与投影面的位置有三种情况垂直平行倾斜
（ 1）投影面的垂直面凡垂直于一个投影面,而与另两个投影面倾斜的平面统称为投影面的垂直面 。 其中：
垂直于正投影面 （ V面 ） 的称为正垂面；
垂直于水平投影面 （ H面 ） 的称为铅垂面；
垂直于侧投影面 （ W面 ） 的称为侧垂面 。
正垂面例
Q'
YH
Z
OX YW
规定,与 H,V,W面的夹角分别为?,?,?,
,?,?均为?900,任两者之和等于 900。
投影特征
V
H
W
X Q
Q
Q"
YH
Z
OX YW
投影面垂直面的 投影特征 为：
a 平面在与其 所垂直的投影面上的投影积聚为一直线,该直线与两投影轴的夹角分别反映该平面与相应投影面的真实夹角 。
b 平面的另两个投影均为小于实形的类似形 。
平行面
V
H
W
X Q
Y
2投影面的平行面凡 平行与某一个投影面,同时垂直于另两个投影面 的平面统称为投影面的平行面 。
其中：
平行于正投影面 （ V面 ） 的称为正平面；
平行于水平投影面 （ H面 ） 的称为水平面；
平行于侧投影面 （ W面 ） 的称为侧平面 。
平行面举例
Q"
Q
V
H
W
X
Y
Q
O
X
Z
YH
YW
Q'
O
X
Z
YH
YW
投影面平行面的 投影特征 为：
a 平面在所平行的的投影面上的投影反映该平面的实形 。
b 平面的另两个投影均积聚成一直线,且分别平行于相应的投影轴 。
思考
V
H
W
X
Y
思考：
投影面的平行面与投影面的垂直面有何区别？
一般位置平面
3 一般位置平面凡同时倾斜 （ 即既不平行,也不垂直 ）
于三个投影面的平面称为一般位置平面 。
举例
a'
c' b' b"
a"
c"
c
a b
OX
Z
YH
YW
a'
c' b'
a
c
b
b"c"
a"
一般位置平面的投影特征为,
a 三个投影均不反映该平面的真实大小。 b 三个投影均没有积聚性。 c 三个投影均为小于实形的类似形。
平面上的直线
V
H
W
X
A
BC
Y
1 直线在平面上的条件
(1)过平面上的两个 已知点；
A
S
L
N
M
B
K
五 平面上的直线
(2)过平面上的一个已知点,且平行于该平面上任一已知直线 。
举例
B
A
b
a
c
C
H
例 （ 1） 已知三角形 ABC 的两面投影及该平面上的直线 MN的正面投影,求作 MN的水平投影。
M NE F
e
f
m
n
n’m’
a'
b' c'
OX
b c
a
m' n'
续上例
（ 2） 试在三角形 ABC上 任 作一条直线。
B
A
b
a
c
CM NE F
e
f
m
n
e ' f 'n’
a'
b'
c'
OX
b c
a
f
e
m n
1'
2'
2
m'
n'
1
投影面上的平行线
C
H
V A
B
ab
c
O
X
a'
X
b'
c'
a
b c
O
既具有平面上直线的投影特征，又具有投影面平行线投影特征的直线，称为面上的投影面平行线。
2 平面上的投影面平行线例,(1) 试在三角形 ABC上作一条水平线。
D
d
续上例
a'
X
b'
c'
a
b c
O
d'
d
f'e'
e f
30
mm
D
C
H
V A
B
ab
c
OX
d
（ 2)试在三角形 ABC上 作一条与正投影面距离为
30mm的正 平线 。
平面上的点
3 点在平面上的条件,必须经过平面上的任意一条直线。
六 平面上的点例 已知三角 ABC上 K点的水平投影,试求其正面投影。
举例
a'
b'
c'
c
a
b
OX
c
b
a
B
C
k
A
K
E
F
e
f
k
e
f
k'
f'
e'
例 试画出物体的主、俯、左视图 。
A
B
C
X1
b'
Z2
Y1 Y2
a'
Z2
c”
读上图
Q1
P1
P2
R
S
