一、二重积分的概念
二、二重积分的性质
§ 9.1 二重积分的概念与性质
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一,二重积分的概念
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1?曲顶柱体的体积
设一立体的底是 xOy面上
的闭区域 D? 它的侧面是以 D
的边界曲线为准线而母线平
行于 z轴的柱面 ? 它的顶是曲面
z?f(x? y)? 这里 f(x? y)?0且在 D上
连续 ? 这种立体叫做曲顶柱体 ?
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iii
n
i
fV ???
?
??
??
? ),(lim
10
?
iii
n
i
fV ??? ??
?
? ),(
1
?
提示 ? 相应地把曲顶柱体分成了 n个小曲顶柱体 ?提示 其中 ?为各小区域直径的最大值 ?
?用小平顶柱体的体积近似代
替小曲顶柱体的体积 Vi?
V?f(?i??i)??i?
?用小平顶柱体的体积之和近
似代替整个曲顶柱体体积 ?
?将分割加细 ?取极限 ?求得曲
顶柱体体积的精确值 ?
??i
(?i??i)
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一,二重积分的概念
1?曲顶柱体的体积
?用曲线网把 D分成小区域 ?
??1???2???????n?
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2?平面薄片的质量
下页
一,二重积分的概念
设有一平面薄片占有 xOy面上的闭区域 D?它在点 (x?y)处
的面密度为 ?(x?y)?这里 ?(x? y)?0且在 D上连续 ?
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iii
n
i
M ????
?
??
??
? ),(lim
10
?
iii
n
i
M ???? ??
?
? ),(
1
?
?把各小块的质量近似地看作
均匀薄片的质量 ?
?(? i ??i)??i ?
?把各小块质量的和作为平面
薄片的质量的近似值 ?
?将分割 加细 ? 取极限 ? 得到 平
面薄片质量的精确值 ?
??i
(?i??i)
提示 ?其中 ?为各小区域直径的最大值 ?
一,二重积分的概念
2?平面薄片的质量
?用曲线网把 D分成小区域 ?
??1???2???????n?
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iii
n
i
f ??? ?
?
? ),(
1
?
?二重积分的定义
设 f(x? y)是有界闭区域 D上的有界函数 ?
将闭区域 D任意分成 n个小闭区域
??1???2???????n?
其中 ??i表示第 i个小闭区域 ?也表示它的面积 ?
在每个小闭区域 ??i上任取一点 (?i??i)?作和
设 ?为各小闭区域的直径中的最大值 ?如果当 ??0时这
和式的极限总存在 ?则称此极限为函数 f(x?y)在闭区域 D上的
二重积分 ? 记为
?dyxf
D
?? ),( ?
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iii
n
iD
fdyxf ????
?
??
??
??? ),(lim),(
10
?
?? ——— 积分号 ?
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?二重积分的定义
?积分中各部分的名称 ?
f(x? y)—— 被积函数 ?
f(x? y)d?—被积表达式 ?
d? ———面积元素 ?
x? y ———积分变量 ?
D————积分区域 ?
iii
n
i
f ??? ?
?
? ),(
1
? ——积分和 ?
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提示 ?
在直角坐标系中用平行于坐标轴的直线网来划分 D? 则除
边界上的小区域外 ?内部 小区域都是矩形区域 ?
设矩形区域 ??i的边长为 ?xi和 ?yi?则 ??i??xi?yi?
因此在直角坐标系中 ?面积元素 d?记作 dxdy?
d x d yyxf
D
?? ),( ??
?直角坐标系中的二重积分
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iii
n
iD
fdyxf ????
?
??
??
??? ),(lim),(
10
?
?二重积分的定义
其中 dxdy叫做直角坐标系中的面积元素 ?
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说明 ?
二重积分的存在性 ? 当 f(x? y)在闭区域 D上连续时 ? 积分和
的极限是存在的 ? 也就是说函数 f(x? y)在 D上的二重积分必定
存在 ? 我们总假定函数 f(x? y)在闭区域 D上连续 ? 所以 f(x? y)在 D
上的二重积分都是存在的 ?
d x d yyxf
D
?? ),( ??
?直角坐标系中的二重积分
iii
n
iD
fdyxf ????
?
??
??
??? ),(lim),(
10
?
?二重积分的定义
其中 dxdy叫做直角坐标系中的面积元素 ?
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?二重积分的几何意义
d x d yyxf
D
?? ),( ??
?直角坐标系中的二重积分
iii
n
iD
fdyxf ????
?
??
??
??? ),(lim),(
10
?
?二重积分的定义
其中 dxdy叫做直角坐标系中的面积元素 ?
如果 f(x? y)?0? 则二重积分在几何上表示以闭区域 D为底 ?
以曲面 z?f(x?y)为顶的曲顶柱体的体积 ?
如果 f(x? y)?0? 则二重积分的绝对值仍等于曲顶柱体的体
积 ?但二重积分的值是负的 ?
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二、二重积分的性质
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?性质 1 设 c1,c2为常数 ? 则
??? dyxgcdyxfcdyxgcyxfc
DDD
?????? ??? ),(),()],(),([ 2121 ?
?性质 2 如果闭区域 D被一条曲线分为两个闭区域 D1与 D2?则
??? dyxfdyxfdyxf
DDD
?????? ??
21
),(),(),( ?
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注 ?
二、二重积分的性质
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?性质 1 设 c1,c2为常数 ? 则
??? dyxgcdyxfcdyxgcyxfc
DDD
?????? ??? ),(),()],(),([ 2121 ?
如果闭区域 D被有限条曲线分为有限个部分闭区域 ?则
在 D上的二重积分等于在各部分闭区域上的二重积分的和 ?
?性质 2 如果闭区域 D被一条曲线分为两个闭区域 D1与 D2?则
??? dyxfdyxfdyxf
DDD
?????? ??
21
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二、二重积分的性质
?性质 1 设 c1,c2为常数 ? 则
??? dyxgcdyxfcdyxgcyxfc
DDD
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?性质 2 如果闭区域 D被一条曲线分为两个闭区域 D1与 D2?则
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DDD
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21
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?性质 3 ??? ??? ????
DD
dd1 ( ? 为 D 的面积 ) ?
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?性质 4 如果在 D上 ? f(x? y)?g(x?y)?则有不等式
?? dyxgdyxf
DD
???? ? ),(),( ?
特殊地有 ?? dyxfdyxf
DD
???? ? |),(||),(| ?
?性质 5 设 M,m分别是 f(x? y)在闭区域 D上的最大值和最小
值 ??为 D的面积 ?则有
??? Mdyxfm
D
?? ?? ),( ?
?性质 6(二重积分的中值定理 ) 设函数 f(x? y)在闭区域 D上连
续 ??为 D的面积 ?则在 D上至少存在一点 (???)使得
???? ),(),( fdyxf
D
??? ?
二、二重积分的性质
§ 9.1 二重积分的概念与性质
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一,二重积分的概念
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1?曲顶柱体的体积
设一立体的底是 xOy面上
的闭区域 D? 它的侧面是以 D
的边界曲线为准线而母线平
行于 z轴的柱面 ? 它的顶是曲面
z?f(x? y)? 这里 f(x? y)?0且在 D上
连续 ? 这种立体叫做曲顶柱体 ?
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iii
n
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?
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10
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1
?
提示 ? 相应地把曲顶柱体分成了 n个小曲顶柱体 ?提示 其中 ?为各小区域直径的最大值 ?
?用小平顶柱体的体积近似代
替小曲顶柱体的体积 Vi?
V?f(?i??i)??i?
?用小平顶柱体的体积之和近
似代替整个曲顶柱体体积 ?
?将分割加细 ?取极限 ?求得曲
顶柱体体积的精确值 ?
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一,二重积分的概念
1?曲顶柱体的体积
?用曲线网把 D分成小区域 ?
??1???2???????n?
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2?平面薄片的质量
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一,二重积分的概念
设有一平面薄片占有 xOy面上的闭区域 D?它在点 (x?y)处
的面密度为 ?(x?y)?这里 ?(x? y)?0且在 D上连续 ?
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?把各小块的质量近似地看作
均匀薄片的质量 ?
?(? i ??i)??i ?
?把各小块质量的和作为平面
薄片的质量的近似值 ?
?将分割 加细 ? 取极限 ? 得到 平
面薄片质量的精确值 ?
??i
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提示 ?其中 ?为各小区域直径的最大值 ?
一,二重积分的概念
2?平面薄片的质量
?用曲线网把 D分成小区域 ?
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?二重积分的定义
设 f(x? y)是有界闭区域 D上的有界函数 ?
将闭区域 D任意分成 n个小闭区域
??1???2???????n?
其中 ??i表示第 i个小闭区域 ?也表示它的面积 ?
在每个小闭区域 ??i上任取一点 (?i??i)?作和
设 ?为各小闭区域的直径中的最大值 ?如果当 ??0时这
和式的极限总存在 ?则称此极限为函数 f(x?y)在闭区域 D上的
二重积分 ? 记为
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?? ——— 积分号 ?
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?二重积分的定义
?积分中各部分的名称 ?
f(x? y)—— 被积函数 ?
f(x? y)d?—被积表达式 ?
d? ———面积元素 ?
x? y ———积分变量 ?
D————积分区域 ?
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n
i
f ??? ?
?
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1
? ——积分和 ?
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提示 ?
在直角坐标系中用平行于坐标轴的直线网来划分 D? 则除
边界上的小区域外 ?内部 小区域都是矩形区域 ?
设矩形区域 ??i的边长为 ?xi和 ?yi?则 ??i??xi?yi?
因此在直角坐标系中 ?面积元素 d?记作 dxdy?
d x d yyxf
D
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?直角坐标系中的二重积分
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iii
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?二重积分的定义
其中 dxdy叫做直角坐标系中的面积元素 ?
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说明 ?
二重积分的存在性 ? 当 f(x? y)在闭区域 D上连续时 ? 积分和
的极限是存在的 ? 也就是说函数 f(x? y)在 D上的二重积分必定
存在 ? 我们总假定函数 f(x? y)在闭区域 D上连续 ? 所以 f(x? y)在 D
上的二重积分都是存在的 ?
d x d yyxf
D
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?直角坐标系中的二重积分
iii
n
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?
??
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?
?二重积分的定义
其中 dxdy叫做直角坐标系中的面积元素 ?
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?二重积分的几何意义
d x d yyxf
D
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?直角坐标系中的二重积分
iii
n
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fdyxf ????
?
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10
?
?二重积分的定义
其中 dxdy叫做直角坐标系中的面积元素 ?
如果 f(x? y)?0? 则二重积分在几何上表示以闭区域 D为底 ?
以曲面 z?f(x?y)为顶的曲顶柱体的体积 ?
如果 f(x? y)?0? 则二重积分的绝对值仍等于曲顶柱体的体
积 ?但二重积分的值是负的 ?
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二、二重积分的性质
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?性质 1 设 c1,c2为常数 ? 则
??? dyxgcdyxfcdyxgcyxfc
DDD
?????? ??? ),(),()],(),([ 2121 ?
?性质 2 如果闭区域 D被一条曲线分为两个闭区域 D1与 D2?则
??? dyxfdyxfdyxf
DDD
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注 ?
二、二重积分的性质
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?性质 1 设 c1,c2为常数 ? 则
??? dyxgcdyxfcdyxgcyxfc
DDD
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如果闭区域 D被有限条曲线分为有限个部分闭区域 ?则
在 D上的二重积分等于在各部分闭区域上的二重积分的和 ?
?性质 2 如果闭区域 D被一条曲线分为两个闭区域 D1与 D2?则
??? dyxfdyxfdyxf
DDD
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21
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二、二重积分的性质
?性质 1 设 c1,c2为常数 ? 则
??? dyxgcdyxfcdyxgcyxfc
DDD
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?性质 2 如果闭区域 D被一条曲线分为两个闭区域 D1与 D2?则
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DDD
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?性质 3 ??? ??? ????
DD
dd1 ( ? 为 D 的面积 ) ?
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?性质 4 如果在 D上 ? f(x? y)?g(x?y)?则有不等式
?? dyxgdyxf
DD
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特殊地有 ?? dyxfdyxf
DD
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?性质 5 设 M,m分别是 f(x? y)在闭区域 D上的最大值和最小
值 ??为 D的面积 ?则有
??? Mdyxfm
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?性质 6(二重积分的中值定理 ) 设函数 f(x? y)在闭区域 D上连
续 ??为 D的面积 ?则在 D上至少存在一点 (???)使得
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D
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