一、对面积的曲面积分的概念与性质
二、对面积的曲面积分的计算法
§ 10.4 对面积的曲面积分
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一、对面积的曲面积分的概念与性质
设 ?为一物质曲面 ?其 面密度为 ?(x? y? z)?求其质量 ?
?物质曲面的质量问题
?求质量的近似值 ?
?取极限求质量的精确值 ?
?S1??S2??????Sn (?Si也代表曲面的面积 )?
?把曲面 ?分成 n个小块 ?
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iiii
n
i
S?
?
? ),,(
1
???? (( ? i,? i,? i ) 是 ? S i 上任意一点 ) ?
iiii
n
i
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10
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?
( ? 为 各小块曲面直径的最大值 ) ?
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把 ?任意分成
n小块 ?
?S1??S2 ??????Sn (?Si也代表曲面的面积 )?
在 ?Si上任意一点 (?i??i??i )?
?对面积的曲面积分的定义
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则称此极限为函数 f(x? y? z) 在曲面 ?上对面积的曲面
积分 或 第 一 类 曲 面 积分 ? 记 作 ??
?
dSzyxf ),,( ? 即
iiii
n
i
SfdSzyxf ??
???
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10
???
?
?
设曲面 ?是光滑的 ?函数 f(x?y? z)在 ?上有界 ?
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10
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?
如果当各小块曲面的直径的最大
值 ??0时 ?极限
总存在 ?
>>>
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?在积分中 ?f(x? y? z)叫做被积函数 ??叫做积分曲面 ?
?如果 f(x?y? z)在光滑曲面 ?上连续时对面积的曲面积分是存在
的 ?今后总假定 f(x?y? z)在 ?上连续 ?
?如果 ?是分片光滑的 ?例如 ?可分成两片光滑曲面 ?1及 ?2(记作
???1??2)? 就规定
说明 ?
?对面积的曲面积分有对弧长的曲线积类似的性质 ?
首页
?对面积的曲面积分的定义
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2121
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二、对面积的曲面积分的计算法
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面密度为 f(x?y? z)的物质曲面的质量为
??
???
??? ? dSzyxfSfM iiiin
i
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10
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?
?
另一方面 ? 如果 ?由方程 z?z(x? y)给出 ? ?在 xOy面上的投影
区域为 D?那么曲面的质量元素为
d x d yyxzyxzyxzyxfdAyxzyxf yx ),(),(1)],(,,[)],(,,[ 22 ??? ?
根据元素法 ?曲面的质量为
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D
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因此 ???? ???
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下页
?化曲面积分为二重积分
设曲面 ?的方程为 z?z(x?y)??在 xOy面上的投影区域为 Dxy?
函数 z?z(x?y)在 Dxy上具有连续偏导数 ?被积函数 f(x?y? z)在 ?上
连续 ?则
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? xyD
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22 ?
讨论 ?
如果积分曲面 ?由方程 y?y(z?x)给出或由 x?x(y?z)给出 ?那
么 f(x? y? z)在 ?上对面积的曲线面积分如何计算?
提示 ?
对于 ?? y?y(z?x)?有
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解
下页
例 1 计算曲面积分 ??
?
dSz1 ? 其中 ? 是球面 x 2 ? y 2 ? z 2 ? a 2
被平面 z?h(0?h?a)截出的顶部 ?
? 的方程为 222 yxaz ??? ? Dxy? x
2?y2?a2?h2?
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? ? ? ?? ? ?20 0 2222 ha ra r d rda haa ln2 ?? ?
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解
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例 1 计算曲面积分 ??
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所以
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例 2 计算 曲 面 积 分 ??
?
x y z d S ? 其中 ? 是由平 面 x ? 0 ? y ? 0 ?
z?0及 x?y?z?1所围成的四面体的整个边界曲面 ?
解 整个边界曲面 ?在平面 x?0,y?0,z?0及 x?y?z?1上的
部分依次记为 ?1,?2,?3及 ?4?于是
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?????
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4321
x y z d Sx y z d Sx y z d Sx y z d Sx y z d S
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结束
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二、对面积的曲面积分的计算法
§ 10.4 对面积的曲面积分
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一、对面积的曲面积分的概念与性质
设 ?为一物质曲面 ?其 面密度为 ?(x? y? z)?求其质量 ?
?物质曲面的质量问题
?求质量的近似值 ?
?取极限求质量的精确值 ?
?S1??S2??????Sn (?Si也代表曲面的面积 )?
?把曲面 ?分成 n个小块 ?
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?对面积的曲面积分的定义
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则称此极限为函数 f(x? y? z) 在曲面 ?上对面积的曲面
积分 或 第 一 类 曲 面 积分 ? 记 作 ??
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?在积分中 ?f(x? y? z)叫做被积函数 ??叫做积分曲面 ?
?如果 f(x?y? z)在光滑曲面 ?上连续时对面积的曲面积分是存在
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?如果 ?是分片光滑的 ?例如 ?可分成两片光滑曲面 ?1及 ?2(记作
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说明 ?
?对面积的曲面积分有对弧长的曲线积类似的性质 ?
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二、对面积的曲面积分的计算法
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面密度为 f(x?y? z)的物质曲面的质量为
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另一方面 ? 如果 ?由方程 z?z(x? y)给出 ? ?在 xOy面上的投影
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?化曲面积分为二重积分
设曲面 ?的方程为 z?z(x?y)??在 xOy面上的投影区域为 Dxy?
函数 z?z(x?y)在 Dxy上具有连续偏导数 ?被积函数 f(x?y? z)在 ?上
连续 ?则
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讨论 ?
如果积分曲面 ?由方程 y?y(z?x)给出或由 x?x(y?z)给出 ?那
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解
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例 1 计算曲面积分 ??
?
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被平面 z?h(0?h?a)截出的顶部 ?
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例 2 计算 曲 面 积 分 ??
?
x y z d S ? 其中 ? 是由平 面 x ? 0 ? y ? 0 ?
z?0及 x?y?z?1所围成的四面体的整个边界曲面 ?
解 整个边界曲面 ?在平面 x?0,y?0,z?0及 x?y?z?1上的
部分依次记为 ?1,?2,?3及 ?4?于是
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