一、正项级数及其审敛法
二、交错级数及其审敛法
三、绝对收敛与条件收敛
§ 11.2 常数项级数的审敛法
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一、正项级数及其审敛法
正项级数收敛的充分必要条件它的部分和数列有界,
?正项级数
各项都是正数或零的级数称为正项级数,
这是因为正项级数的部分和数列 {sn}是单调增加的,而单
调有 界数列是有极限,
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?定理 1(正项级数收敛的充要条件 )
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?定理 2(比较审敛法 )
设 ??
? 1n n
u 和 ??
? 1n n
v 都是正项级数,且 u n ? v n ( n ? 1,2,? ? ? ),
>>>?推论
设 ??
? 1n n
u 和 ??
? 1n n
v 都是正项级数,且 u n ? kv n ( k ? 0,n ? N ),
若 ??
? 1n n
v 收敛,则 ??
? 1n n
u 收敛 ? 若 ??
? 1n n
u 发散,则 ??
? 1n n
v 发散,
若 ??
? 1n n
v 收敛,则 ??
? 1n n
u 收敛 ? 若 ??
? 1n n
u 发散,则 ??
? 1n n
v 发散,
下页
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>>>而级数 ]1
)1(
1[
11
2
??
?
?
??? pp
n nn
收敛,所 以 级数 p
n n
1
1
?
?
?
也 收敛,
解
下页
?定理 2(比较审敛法 )
例 1 讨论 p ? 级数 )0( 1
1
???
?
pn p
n
的收敛性,
解 当 p ? 1 时,nn p 11 ?,而 级数 ??
? 1
1
n n
发散,
当 p ? 1 时,]1)1( 1[111 11 ?? ???? ppp nnpn ( n ? 2,3,? ? ?),
而级数 ]1)1( 1[ 11
2
??
?
?
??? pp
n nn
收敛,所 以 级数 p
n n
1
1
?
?
?
也 收敛,
所 以 级数 p
n n
1
1
??
?
也 发散,
>>>
解 当 p ? 1 时,nn p 11 ?,而 级数 ??
? 1
1
n n
发散,
设 ∑un和 ∑vn都是正项级数,且 un?kvn(k>0,?n?N),若级数
∑vn收敛,则级数 ∑un收敛 ? 若级数 ∑un发散,则级数 ∑vn发散,
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证 因为 11)1( 1)1( 1 2 ????? nnnn,
设 ∑un和 ∑vn都是正项级数,且 un?kvn(k>0,?n?N),若级数
∑vn收敛,则级数 ∑un收敛 ? 若级数 ∑un发散,则级数 ∑vn发散,
?p?级数的收敛性
证
下页
?定理 2(比较审敛法 )
p ? 级数 p
n n
1
1
??
?
当 p ? 1 时收敛,当 p ? 1 时发散,
例 2 证明级数 ??
? ?1 )1(
1
n nn
是发散的,
而级数 11
1 ?
?
?
? nn
发散,故 级 数 ?
?
? ?1 )1(
1
n nn
也 发散, 而级数 11
1 ?
?
?
? nn
发散,故 级 数 ?
?
? ?1 )1(
1
n nn
也 发散,
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?定理 3(比较审敛法的极限形式 )
设 ??
? 1n n
u 和 ??
? 1n n
v 都是正项级 数,
( 1 ) 如果 lvu
n
n
n ???l i m (0 ? l? ? ? ),且 ?
?
? 1n n
v 收敛,则 ??
? 1n n
u 收敛 ?
( 2 ) 如果 lvu
n
n
n ???l i m (0 ? l? ? ? ),且 ?
?
? 1n n
v 发散,则 ??
? 1n n
u 发散,
下页
例 3 判别级数 ??
? 1
1s i n
n n
的收敛性,
解 因为 1
1
1s in
lim ?
??
n
n
n
,而级数 ?
?
? 1
1
n n
发散,解
所 以 级数 ??
? 1
1s in
n n
也 发散,
解 因为 1
1
1s in
lim ?
??
n
n
n
,而级数 ?
?
? 1
1
n n
发散,
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>>>
下页
例 4 判别级数 ??
?
?
1 2
)11l n (
n n
的收敛性,
解 解 因为 11
)11ln (
lim
2
2
?
?
??
n
n
n
,而级数 2
1
1
nn
?
?
?
收敛,解 因为 1
1
)11ln (
lim
2
2
?
?
??
n
n
n
,而级数 2
1
1
nn
?
?
?
收敛,
所 以 级数 ??
?
?
1 2
)11ln (
n n
也 收敛,
?定理 3(比较审敛法的极限形式 )
设 ??
? 1n n
u 和 ??
? 1n n
v 都是正项级 数,
( 1 ) 如果 lvu
n
n
n ???l i m (0 ? l? ? ? ),且 ?
?
? 1n n
v 收敛,则 ??
? 1n n
u 收敛 ?
( 2 ) 如果 lvu
n
n
n ???l i m (0 ? l? ? ? ),且 ?
?
? 1n n
v 发散,则 ??
? 1n n
u 发散,
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解 因为 101lim
321
)1( 321lim lim 1 ???
?????
???????
????
?
?? nn
n
u
u
nnn
n
n
,
下页
收敛 ? 当 ??1(或 ????)时级数发散 ? 当 ??1时级数可能收敛也可
能发散,
设 ??
? 1n n
u 为正项级数,如果 ?????
n
n
n u
u 1l i m,则当 1?? 时级数
?定理 4(比值审敛法,达朗贝尔判别法 )
解
所以,根据比值审敛法可知所给级数收敛,
例 5 证明级数
)1( 321 1 321 121 1111 ????????????????????? n
是收敛的,
解 因为 101lim
321
)1( 321lim lim 1 ???
?????
???????
????
?
?? nn
n
u
u
nnn
n
n
,解 因为 101lim
321
)1( 321lim lim 1 ???
?????
???????
????
?
?? n
n
u
u
nnn
n
n
,
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所以,根据比值审敛法可知所给级数发散,
下页
例 6 判别级数 10 ! 10 32110 2110 1 32 ?????????????? nn 的收敛性,
解 解 因为 ???????
?????
?
?? 10
1lim
!
10
10
)!1(lim lim
1
1 n
n
n
u
u
n
n
nnn
n
n
,解 因为 ???????
?????
?
?? 10
lim ! 1010 )!1(lim lim 11 nnnuu
n
n
nnn
n
n
,解 因为 ???????
?????
?
?? 10
1lim
!
10
10
)!1(lim lim
1
1 n
n
n
u
u
n
n
nnn
n
n
,
收敛 ? 当 ??1(或 ????)时级数发散 ? 当 ??1时级数可能收敛也可
能发散,
设 ??
? 1n n
u 为正项级数,如果 ?????
n
n
n u
u 1l i m,则当 1?? 时级数
?定理 4(比值审敛法,达朗贝尔判别法 )
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例 7 判别级数 ??
?? ??n nn 2)12(
1 的收敛性,
提示,
1)22()12( 2)12(lim lim 1 ???? ???
??
?
?? nn
nn
u
u
nn
n
n
,比值审敛法失效,
所以,根据 比值审敛法可知所给级数收敛,
1)22()12( 2)12(lim lim 1 ???? ???
???? nn
nn
u
u
nn
n
n
,比值审敛法失效, 1)22()12( 2)12(lim lim 1 ???? ???
??
?
?? nn
n
u
u
nn
n
n
,比值审敛法失效, 1)22()12( 2)12(lim lim 1 ???? ???
??
?
?? nn
nn
u
u
nn
n
n
,比值审敛法失效,
下页
解 解 因为
2
1
2)12(
1
nnn ???,而级数 21
1
nn?
?
?
收敛,解 因为 212)12( 1 nnn ???,而级数 2
1
1
nn?
?
?
收敛,解 因为 212)12( 1 nnn ???,而级数 2
1
1
nn?
?
?
收敛,
收敛 ? 当 ??1(或 ????)时级数发散 ? 当 ??1时级数可能收敛也可
能发散,
设 ??
? 1n n
u 为正项级数,如果 ?????
n
n
n u
u 1l i m,则当 1?? 时级数
?定理 4(比值审敛法,达朗贝尔判别法 )
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?定理 5(根值审敛法,柯西判别法 )
设 ??
? 1n n
u 为正项级数,如果 ???? n nn ul i m,则 当 ? ? 1 时级数
收敛 ?当 ??1(或 ????)时级数发散 ?当 ??1时级数可能收敛也可
能发散,
例 8 证明级数 1 312 11 32 ??????????? nn 是收敛的,
01lim 1lim lim ??? ?????? nnu nn nnn nn,
所以,根据根值审敛法可知所给级数收敛,
因为解
01lim 1lim lim ??? ???? nnu nn nnn nn,01lim 1lim lim ?? ?????? nnu nnn nn,
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?定理 5(根值审敛法,柯西判别法 )
设 ??
? 1n n
u 为正项级数,如果 ???? n nn ul i m,则 当 ? ? 1 时级数
收敛 ?当 ??1(或 ????)时级数发散 ?当 ??1时级数可能收敛也可
能发散,
例 9 判定级数 ??
?
??
1 2
)1(2
n n
n 的收敛性,
所以,根据根值审敛法可知所给级数收敛,
因为解
2
1)1(2
2
1limlim ????
????
n n
n
n n
n
u,21)1(221limlim ????
????
n n
n
n
n
u,21)1(221lim ????
????
n n
nnn
u,
下页
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?定理 6(极限审敛法 )
设 ??
? 1n n
u 为正项级数,
( 1 ) 如果 )lim(0lim ????? ???? nnnn nulnu 或,则级数 ??
? 1n n
u 发散 ?
( 2 ) 如果 p ? 1,而 )0( lim ??????? llun npn,则级数 ??
? 1n n
u 收敛,
例 10 判定级数 ??
?
?
1 2
)11l n (
n n
的收敛性,
因为解
1)11ln(lim)11ln(limlim 22222 ????? ?????? nnnnn nnnun,
根据极限审敛法,知所给级数收敛,
1)11ln (lim)1ln (limlim 22222 ????? ?????? nnnn nnun,1)11ln (lim)11ln (limlim 2222 ????? ????? nnnnn nnnun,
下页
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?定理 6(极限审敛法 )
设 ??
? 1n n
u 为正项级数,
( 1 ) 如果 )lim(0lim ????? ???? nnnn nulnu 或,则级数 ??
? 1n n
u 发散 ?
( 2 ) 如果 p ? 1,而 )0( lim ??????? llun npn,则级数 ??
? 1n n
u 收敛,
例 11 判定 级数 )c o s1(1
1 n
n
n
?????
?
的收敛性,
2222323
2
1)(
2
11lim)c o s1(1limlim ??? ???????
?????? nn
nn
nnnun nnnn,
2222323
2
1)(
2
11lim)c o s1(1limlim ??? ???????
?????? nn
nn
nnnun nnnn,
因为解
根据极限审敛法,知所给级数收敛,
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二、交错级数及其审敛法
?交错级数
交错级数是这样的级数,它的各项是正负交错的,
下页
交错级数的一般形式为 ??
?
??
1
1)1(
n n
n u,其中 0?nu,
1)1(
1
1??
?
??
n
n
n 是交错级数,
??
?
? ??
1
1 c o s1)1(
n
n
n
n ? 不是交错级数,
例如,
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二、交错级数及其审敛法
?交错级数
交错级数是这样的级数,它的各项是正负交错的,
交错级数的一般形式为 ??
?
??
1
1)1(
n n
n u,其中 0?nu,
?定理 7(莱布尼茨定理 )
如果交错级数 ??
?
??
1
1)1(
n n
n u 满足条件,
(1)un?un?1(n?1,2,3,???)?
( 2 ) 0lim ??? nn u,
则级数收敛,且其和 s?u1,其余项 rn的绝对值 |rn|?un?1.>>>
下页
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( 1 ) 1111 ????? nn unnu ( n ? 1,2,? ? ?),( 2 ) 01limlim ?? ???? nu nnn,
这是一个交错级数, 解
由莱布尼茨定理,级数是收敛的,且其和 s<u1?1,
余项 11|| 1 ??? ? nur nn,
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则级数收敛,且其和 s?u1,其余项 rn的绝对值 |rn|?un?1,
如果交错级数 ??
?
??
1
1)1(
n n
n u 满足条件,
?定理 7(莱布尼茨定理 )
( 1 ) u n ? u n ? 1 ( n ? 1,2,3,? ? ?) ? ( 2 ) 0l i m ??? nn u,
因为此级数满足
( 1 ) 1111 ????? nn unnu ( n ? 1,2,? ? ?),( 2 ) 01limlim ?? ???? nu nnn,
例 10 证明级数 1)1(
1
1??
?
??
n
n
n 收敛,并估计和及余项,
例 12
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三、绝对收敛与条件收敛
?绝对收敛与条件收敛
下页
若级数 ??
? 1
||
n n
u 收敛,则称级数 ??
? 1n n
u 绝对收敛 ? 若级数 ??
? 1n n
u
收敛,而级数 ??
? 1
||
n n
u 发散,则称级 ??
? 1n n
u 条件收敛,
例如,
级数 ??
?
??
1 2
1 1)1(
n
n
n 是绝对收敛的,
级数 ??
?
??
1
1 1)1(
n
n
n 是条件收敛的,
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三、绝对收敛与条件收敛
?绝对收敛与条件收敛
若级数 ??
? 1
||
n n
u 收敛,则称级数 ??
? 1n n
u 绝对收敛 ? 若级数 ??
? 1n n
u
收敛,而级数 ??
? 1
||
n n
u 发散,则称级 ??
? 1n n
u 条件收敛,
如果级数 ??
? 1n n
u 绝对收敛,则级数 ??
? 1n n
u 必定收敛,
?定理 8(绝对收敛与收敛的关系 )
应注意的问题,
如果级数 ??
? 1
||
n n
u 发散,我们不能断定级数 ??
? 1n n
u 也发散,
下页
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解 因为 | 22 1|s in nn na ?,而级数 2
1
1
nn?
?
?
是收敛的,所以 级数 解
下页
如果级数 ??
? 1n n
u 绝对收敛,则级数 ??
? 1n n
u 必定收敛,
?定理 8(绝对收敛与收敛的关系 )
??
? 1 2
|s in|
n n
na 也收敛,从而级数 ??
? 1 2
s in
n n
na 绝对收敛,
解 因为 | 22 1|s in nn na ?,而级数 2
1
1
nn?
?
?
是收敛的,所以 级数 解 因为 | 22 1|s in nn na ?,而级数 2
1
1
nn?
?
?
是收敛的,所以 级数
??
? 1 2
|s in|
n n
na 也收敛,从而级数 ??
? 1 2
s in
n n
na 绝对收敛,
例 11 判别级数 ??
? 1 2
s in
n n
na 的收敛性, 例 13
条件收敛
收 敛
?
?
?
绝对收敛
收敛
上页 下页 铃结束返回首页 结束
如果级数 ??
? 1n n
u 绝对收敛,则级数 ??
? 1n n
u 必定收敛,
?定理 8(绝对收敛与收敛的关系 )
解 由 2)11(21|| nnn nu ??,有 解
121)11(lim21||lim ???? ???? enu nnn nn,
可知 0lim ??? nn u,因此级数 ??
?
??
1
2)11(
2
1)1(
n
n
n
n
n 发散,
121)1(lim21||lim ??????? enu nnn nn,)(lim||lim ennn nn,
可知 0l i m ??? nn u,因此级数 ??
?
??
1
2)11(
2
1)1(
n
n
n
n
n 发散,
例 12 判别级数 ??
?
??
1
2)11(
2
1)1(
n
n
n
n
n 的收敛性,
例 14
二、交错级数及其审敛法
三、绝对收敛与条件收敛
§ 11.2 常数项级数的审敛法
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一、正项级数及其审敛法
正项级数收敛的充分必要条件它的部分和数列有界,
?正项级数
各项都是正数或零的级数称为正项级数,
这是因为正项级数的部分和数列 {sn}是单调增加的,而单
调有 界数列是有极限,
下页
?定理 1(正项级数收敛的充要条件 )
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?定理 2(比较审敛法 )
设 ??
? 1n n
u 和 ??
? 1n n
v 都是正项级数,且 u n ? v n ( n ? 1,2,? ? ? ),
>>>?推论
设 ??
? 1n n
u 和 ??
? 1n n
v 都是正项级数,且 u n ? kv n ( k ? 0,n ? N ),
若 ??
? 1n n
v 收敛,则 ??
? 1n n
u 收敛 ? 若 ??
? 1n n
u 发散,则 ??
? 1n n
v 发散,
若 ??
? 1n n
v 收敛,则 ??
? 1n n
u 收敛 ? 若 ??
? 1n n
u 发散,则 ??
? 1n n
v 发散,
下页
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>>>而级数 ]1
)1(
1[
11
2
??
?
?
??? pp
n nn
收敛,所 以 级数 p
n n
1
1
?
?
?
也 收敛,
解
下页
?定理 2(比较审敛法 )
例 1 讨论 p ? 级数 )0( 1
1
???
?
pn p
n
的收敛性,
解 当 p ? 1 时,nn p 11 ?,而 级数 ??
? 1
1
n n
发散,
当 p ? 1 时,]1)1( 1[111 11 ?? ???? ppp nnpn ( n ? 2,3,? ? ?),
而级数 ]1)1( 1[ 11
2
??
?
?
??? pp
n nn
收敛,所 以 级数 p
n n
1
1
?
?
?
也 收敛,
所 以 级数 p
n n
1
1
??
?
也 发散,
>>>
解 当 p ? 1 时,nn p 11 ?,而 级数 ??
? 1
1
n n
发散,
设 ∑un和 ∑vn都是正项级数,且 un?kvn(k>0,?n?N),若级数
∑vn收敛,则级数 ∑un收敛 ? 若级数 ∑un发散,则级数 ∑vn发散,
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证 因为 11)1( 1)1( 1 2 ????? nnnn,
设 ∑un和 ∑vn都是正项级数,且 un?kvn(k>0,?n?N),若级数
∑vn收敛,则级数 ∑un收敛 ? 若级数 ∑un发散,则级数 ∑vn发散,
?p?级数的收敛性
证
下页
?定理 2(比较审敛法 )
p ? 级数 p
n n
1
1
??
?
当 p ? 1 时收敛,当 p ? 1 时发散,
例 2 证明级数 ??
? ?1 )1(
1
n nn
是发散的,
而级数 11
1 ?
?
?
? nn
发散,故 级 数 ?
?
? ?1 )1(
1
n nn
也 发散, 而级数 11
1 ?
?
?
? nn
发散,故 级 数 ?
?
? ?1 )1(
1
n nn
也 发散,
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?定理 3(比较审敛法的极限形式 )
设 ??
? 1n n
u 和 ??
? 1n n
v 都是正项级 数,
( 1 ) 如果 lvu
n
n
n ???l i m (0 ? l? ? ? ),且 ?
?
? 1n n
v 收敛,则 ??
? 1n n
u 收敛 ?
( 2 ) 如果 lvu
n
n
n ???l i m (0 ? l? ? ? ),且 ?
?
? 1n n
v 发散,则 ??
? 1n n
u 发散,
下页
例 3 判别级数 ??
? 1
1s i n
n n
的收敛性,
解 因为 1
1
1s in
lim ?
??
n
n
n
,而级数 ?
?
? 1
1
n n
发散,解
所 以 级数 ??
? 1
1s in
n n
也 发散,
解 因为 1
1
1s in
lim ?
??
n
n
n
,而级数 ?
?
? 1
1
n n
发散,
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>>>
下页
例 4 判别级数 ??
?
?
1 2
)11l n (
n n
的收敛性,
解 解 因为 11
)11ln (
lim
2
2
?
?
??
n
n
n
,而级数 2
1
1
nn
?
?
?
收敛,解 因为 1
1
)11ln (
lim
2
2
?
?
??
n
n
n
,而级数 2
1
1
nn
?
?
?
收敛,
所 以 级数 ??
?
?
1 2
)11ln (
n n
也 收敛,
?定理 3(比较审敛法的极限形式 )
设 ??
? 1n n
u 和 ??
? 1n n
v 都是正项级 数,
( 1 ) 如果 lvu
n
n
n ???l i m (0 ? l? ? ? ),且 ?
?
? 1n n
v 收敛,则 ??
? 1n n
u 收敛 ?
( 2 ) 如果 lvu
n
n
n ???l i m (0 ? l? ? ? ),且 ?
?
? 1n n
v 发散,则 ??
? 1n n
u 发散,
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解 因为 101lim
321
)1( 321lim lim 1 ???
?????
???????
????
?
?? nn
n
u
u
nnn
n
n
,
下页
收敛 ? 当 ??1(或 ????)时级数发散 ? 当 ??1时级数可能收敛也可
能发散,
设 ??
? 1n n
u 为正项级数,如果 ?????
n
n
n u
u 1l i m,则当 1?? 时级数
?定理 4(比值审敛法,达朗贝尔判别法 )
解
所以,根据比值审敛法可知所给级数收敛,
例 5 证明级数
)1( 321 1 321 121 1111 ????????????????????? n
是收敛的,
解 因为 101lim
321
)1( 321lim lim 1 ???
?????
???????
????
?
?? nn
n
u
u
nnn
n
n
,解 因为 101lim
321
)1( 321lim lim 1 ???
?????
???????
????
?
?? n
n
u
u
nnn
n
n
,
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所以,根据比值审敛法可知所给级数发散,
下页
例 6 判别级数 10 ! 10 32110 2110 1 32 ?????????????? nn 的收敛性,
解 解 因为 ???????
?????
?
?? 10
1lim
!
10
10
)!1(lim lim
1
1 n
n
n
u
u
n
n
nnn
n
n
,解 因为 ???????
?????
?
?? 10
lim ! 1010 )!1(lim lim 11 nnnuu
n
n
nnn
n
n
,解 因为 ???????
?????
?
?? 10
1lim
!
10
10
)!1(lim lim
1
1 n
n
n
u
u
n
n
nnn
n
n
,
收敛 ? 当 ??1(或 ????)时级数发散 ? 当 ??1时级数可能收敛也可
能发散,
设 ??
? 1n n
u 为正项级数,如果 ?????
n
n
n u
u 1l i m,则当 1?? 时级数
?定理 4(比值审敛法,达朗贝尔判别法 )
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例 7 判别级数 ??
?? ??n nn 2)12(
1 的收敛性,
提示,
1)22()12( 2)12(lim lim 1 ???? ???
??
?
?? nn
nn
u
u
nn
n
n
,比值审敛法失效,
所以,根据 比值审敛法可知所给级数收敛,
1)22()12( 2)12(lim lim 1 ???? ???
???? nn
nn
u
u
nn
n
n
,比值审敛法失效, 1)22()12( 2)12(lim lim 1 ???? ???
??
?
?? nn
n
u
u
nn
n
n
,比值审敛法失效, 1)22()12( 2)12(lim lim 1 ???? ???
??
?
?? nn
nn
u
u
nn
n
n
,比值审敛法失效,
下页
解 解 因为
2
1
2)12(
1
nnn ???,而级数 21
1
nn?
?
?
收敛,解 因为 212)12( 1 nnn ???,而级数 2
1
1
nn?
?
?
收敛,解 因为 212)12( 1 nnn ???,而级数 2
1
1
nn?
?
?
收敛,
收敛 ? 当 ??1(或 ????)时级数发散 ? 当 ??1时级数可能收敛也可
能发散,
设 ??
? 1n n
u 为正项级数,如果 ?????
n
n
n u
u 1l i m,则当 1?? 时级数
?定理 4(比值审敛法,达朗贝尔判别法 )
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?定理 5(根值审敛法,柯西判别法 )
设 ??
? 1n n
u 为正项级数,如果 ???? n nn ul i m,则 当 ? ? 1 时级数
收敛 ?当 ??1(或 ????)时级数发散 ?当 ??1时级数可能收敛也可
能发散,
例 8 证明级数 1 312 11 32 ??????????? nn 是收敛的,
01lim 1lim lim ??? ?????? nnu nn nnn nn,
所以,根据根值审敛法可知所给级数收敛,
因为解
01lim 1lim lim ??? ???? nnu nn nnn nn,01lim 1lim lim ?? ?????? nnu nnn nn,
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?定理 5(根值审敛法,柯西判别法 )
设 ??
? 1n n
u 为正项级数,如果 ???? n nn ul i m,则 当 ? ? 1 时级数
收敛 ?当 ??1(或 ????)时级数发散 ?当 ??1时级数可能收敛也可
能发散,
例 9 判定级数 ??
?
??
1 2
)1(2
n n
n 的收敛性,
所以,根据根值审敛法可知所给级数收敛,
因为解
2
1)1(2
2
1limlim ????
????
n n
n
n n
n
u,21)1(221limlim ????
????
n n
n
n
n
u,21)1(221lim ????
????
n n
nnn
u,
下页
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?定理 6(极限审敛法 )
设 ??
? 1n n
u 为正项级数,
( 1 ) 如果 )lim(0lim ????? ???? nnnn nulnu 或,则级数 ??
? 1n n
u 发散 ?
( 2 ) 如果 p ? 1,而 )0( lim ??????? llun npn,则级数 ??
? 1n n
u 收敛,
例 10 判定级数 ??
?
?
1 2
)11l n (
n n
的收敛性,
因为解
1)11ln(lim)11ln(limlim 22222 ????? ?????? nnnnn nnnun,
根据极限审敛法,知所给级数收敛,
1)11ln (lim)1ln (limlim 22222 ????? ?????? nnnn nnun,1)11ln (lim)11ln (limlim 2222 ????? ????? nnnnn nnnun,
下页
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?定理 6(极限审敛法 )
设 ??
? 1n n
u 为正项级数,
( 1 ) 如果 )lim(0lim ????? ???? nnnn nulnu 或,则级数 ??
? 1n n
u 发散 ?
( 2 ) 如果 p ? 1,而 )0( lim ??????? llun npn,则级数 ??
? 1n n
u 收敛,
例 11 判定 级数 )c o s1(1
1 n
n
n
?????
?
的收敛性,
2222323
2
1)(
2
11lim)c o s1(1limlim ??? ???????
?????? nn
nn
nnnun nnnn,
2222323
2
1)(
2
11lim)c o s1(1limlim ??? ???????
?????? nn
nn
nnnun nnnn,
因为解
根据极限审敛法,知所给级数收敛,
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二、交错级数及其审敛法
?交错级数
交错级数是这样的级数,它的各项是正负交错的,
下页
交错级数的一般形式为 ??
?
??
1
1)1(
n n
n u,其中 0?nu,
1)1(
1
1??
?
??
n
n
n 是交错级数,
??
?
? ??
1
1 c o s1)1(
n
n
n
n ? 不是交错级数,
例如,
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二、交错级数及其审敛法
?交错级数
交错级数是这样的级数,它的各项是正负交错的,
交错级数的一般形式为 ??
?
??
1
1)1(
n n
n u,其中 0?nu,
?定理 7(莱布尼茨定理 )
如果交错级数 ??
?
??
1
1)1(
n n
n u 满足条件,
(1)un?un?1(n?1,2,3,???)?
( 2 ) 0lim ??? nn u,
则级数收敛,且其和 s?u1,其余项 rn的绝对值 |rn|?un?1.>>>
下页
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( 1 ) 1111 ????? nn unnu ( n ? 1,2,? ? ?),( 2 ) 01limlim ?? ???? nu nnn,
这是一个交错级数, 解
由莱布尼茨定理,级数是收敛的,且其和 s<u1?1,
余项 11|| 1 ??? ? nur nn,
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则级数收敛,且其和 s?u1,其余项 rn的绝对值 |rn|?un?1,
如果交错级数 ??
?
??
1
1)1(
n n
n u 满足条件,
?定理 7(莱布尼茨定理 )
( 1 ) u n ? u n ? 1 ( n ? 1,2,3,? ? ?) ? ( 2 ) 0l i m ??? nn u,
因为此级数满足
( 1 ) 1111 ????? nn unnu ( n ? 1,2,? ? ?),( 2 ) 01limlim ?? ???? nu nnn,
例 10 证明级数 1)1(
1
1??
?
??
n
n
n 收敛,并估计和及余项,
例 12
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三、绝对收敛与条件收敛
?绝对收敛与条件收敛
下页
若级数 ??
? 1
||
n n
u 收敛,则称级数 ??
? 1n n
u 绝对收敛 ? 若级数 ??
? 1n n
u
收敛,而级数 ??
? 1
||
n n
u 发散,则称级 ??
? 1n n
u 条件收敛,
例如,
级数 ??
?
??
1 2
1 1)1(
n
n
n 是绝对收敛的,
级数 ??
?
??
1
1 1)1(
n
n
n 是条件收敛的,
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三、绝对收敛与条件收敛
?绝对收敛与条件收敛
若级数 ??
? 1
||
n n
u 收敛,则称级数 ??
? 1n n
u 绝对收敛 ? 若级数 ??
? 1n n
u
收敛,而级数 ??
? 1
||
n n
u 发散,则称级 ??
? 1n n
u 条件收敛,
如果级数 ??
? 1n n
u 绝对收敛,则级数 ??
? 1n n
u 必定收敛,
?定理 8(绝对收敛与收敛的关系 )
应注意的问题,
如果级数 ??
? 1
||
n n
u 发散,我们不能断定级数 ??
? 1n n
u 也发散,
下页
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解 因为 | 22 1|s in nn na ?,而级数 2
1
1
nn?
?
?
是收敛的,所以 级数 解
下页
如果级数 ??
? 1n n
u 绝对收敛,则级数 ??
? 1n n
u 必定收敛,
?定理 8(绝对收敛与收敛的关系 )
??
? 1 2
|s in|
n n
na 也收敛,从而级数 ??
? 1 2
s in
n n
na 绝对收敛,
解 因为 | 22 1|s in nn na ?,而级数 2
1
1
nn?
?
?
是收敛的,所以 级数 解 因为 | 22 1|s in nn na ?,而级数 2
1
1
nn?
?
?
是收敛的,所以 级数
??
? 1 2
|s in|
n n
na 也收敛,从而级数 ??
? 1 2
s in
n n
na 绝对收敛,
例 11 判别级数 ??
? 1 2
s in
n n
na 的收敛性, 例 13
条件收敛
收 敛
?
?
?
绝对收敛
收敛
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如果级数 ??
? 1n n
u 绝对收敛,则级数 ??
? 1n n
u 必定收敛,
?定理 8(绝对收敛与收敛的关系 )
解 由 2)11(21|| nnn nu ??,有 解
121)11(lim21||lim ???? ???? enu nnn nn,
可知 0lim ??? nn u,因此级数 ??
?
??
1
2)11(
2
1)1(
n
n
n
n
n 发散,
121)1(lim21||lim ??????? enu nnn nn,)(lim||lim ennn nn,
可知 0l i m ??? nn u,因此级数 ??
?
??
1
2)11(
2
1)1(
n
n
n
n
n 发散,
例 12 判别级数 ??
?
??
1
2)11(
2
1)1(
n
n
n
n
n 的收敛性,
例 14
