§ 12.1 微分方程的基本概念
在许多问题中,往往不能直接找出所需要的函
数关系,但是根据问题所提供的情况,有时可以列出
含有要找的函数及其导数的关系式, 这样的关系就
是所谓微分方程, 微分方程建立以后,对它进行研究,
找出未知函数来,这就是解微分方程,
本节通过几个具体的例题来说明微分方程的基
本概念,
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设所求曲线的方程为 y?y(x),则
例 1 一曲线通过点 (1,2),且在该曲线上任一点 M(x,y)处的
切线的斜率为 2x,求这曲线的方程,
解
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xdxdy 2?,
上式两端积分,得
因为曲线通过点 (1,2),即当 x?1时,y?2,所以
2?12?C,C=1.
因此,所求曲线方程为 y?x2?1.
?? x d xy 2,即 y?x 2?C (其中 C 是任意常数 ),?? x d xy 2,即 y ? x 2 ? C ( 其中 C 是任意常数 ),
说明 ?
当 x?1时,y?2可 简记为 y|x?1?2.
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例 2 列车在平直线路上以 20m/s的速度行驶 ; 当制动时列
车获得加速度 ?0.4m/s2,问开始制动后多少时间列车才能停住,
以及列车在这段时间里行驶了多少路程?
解
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设列车在开始制动后 t秒时行驶了 s米,则
s????0.4,s?|t?0?20.s|t?0?0,
把等式 s????0.4两端积分一次,得 s???0.4t?C1,
再积分一次,得 s??0.2t2 ?C1t?C2 (C1,C2都是任意常数 ).
由 s?|t?0?20得 20?C1,
由 s|t?0?0得 0?C2,故 s??0.2t2?20t.
故 s???0.4t?20;
s??0.2?502?20?50?500(m).
于是列车在制动阶段行驶的路程为令 s??0,得 t?50(s).
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说明 ?
未知函数是一元函数的微分方程,叫常微分方程, 未知函
数是多元函数的微分方程,叫偏微分方程,
说明
在 例 1 和 例 2 中,xdxdy 2? 和 s ??? ? 0, 4 都 是 ( 常 ) 微 分 方 程,
?几个基本概念
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?微分方程
表示未知函数, 未知函数的导数与自变量之间的关系的
方程,叫微分方程,
?微分方程的阶
微分方程中所出现的未知函数的最高阶导数的阶数,叫
微分方程的阶,
一般 n阶微分方程的形式 为
F(x,y,y?,???,y(n) )?0或 y(n)?f(x,y,y?,???,y(n?1) ).
一阶的 二阶的
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说明 ?
?微分方程的解
满足微分方程的函数叫做该微分方程的解,
确切地说,设函数 y??(x)在区间 I上有 n阶连续导数,如果
在区间 I上,
F[x,?(x),??(x),???,?(n) (x)]?0,
那么函数 y??(x)就叫做微分方程 F(x,y,y?,? ? ?,y(n) )?0在区间 I
上的解,
在 例 1 中,y ? x 2 ? C 和 y ? x 2 ? 1 都 方 程 xdxdy 2? 的 解,
在例 2中,方程 s????0.4的解有
s??0.2t2?C1t?C2,s??0.2t2?20t?C2和 s??0.2t2?20t.
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说明 ?
?微分方程的解
满足微分方程的函数叫做该微分方程的解,
在 例 1 中,y ? x 2 ? C 和 y ? x 2 ? 1 都 方 程 xdxdy 2? 的 解,
在例 2中,方程 s????0.4的解有
s??0.2t2?C1t?C2,s??0.2t2?20t?C2和 s??0.2t2?20t.
?通解
如果微分方程的解中含有任意常数,且任意常数的个数
与微分方程的阶数相同,这样的解叫做微分方程的通解,
?特解
确定了通解中的任意常数以后,就得到微分方程的特解,
即不含任意常数的解叫特解,
通解
通解
特解
特解什么解？
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说明 ?
对于一阶微分方程,通常用于确定任意常数的条件是
对于二阶微分方程,通常用于确定任意常数的条件是
当 0xx ? 时,0yy ?,或 写 成 00 yy xx ??,
当 0xx ? 时,0yy ?,0yy ???,或 写 成 00 yy xx ??,00 yy xx ??? ?,
当 0xx ? 时,0yy ?,或 写 成 00 yy xx ??,
当 0xx ? 时,0yy ?,0yy ???,或 写 成 00 yy xx ??,00 yy xx ??? ?,
例 1是求方程 y?2x满足初始条件 y|x?1?2的解,
例 2是求方程 s????0.4满足初始条件 s|t?0?0,s?|t?0?20的解,
下页
?初始条件
用于确定通解中任意常数的条件,称为初始条件,
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?初始条件
用于确定通解中任意常数的条件,称为初始条件,
说明 ?
例 1 归 结 为 求 初 值 问 题
??
?
?
??
? 2|
2
1xy
xy ;
说明
例 2 归 结 为 求 初 值 问 题 ???????
?? 20|,0|
4.0
20 tt ss
s,
求微分方程满足初始条件的解的问题称为初值问题,
?初值问题
微分方程的解的图形是一条曲线,叫做微分方程的积分
曲线,
?积分曲线
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例 3 验证 ?函数 x?C1cos kt?C2sin kt是微分方程
0222 ?? xkdt xd
的解,
求所给函数的导数 ?解
ktkCktkCdtdx c o ss i n 21 ???,
)s i nc o s(s i nc o s 212221222 ktCktCkktCkktCkdt xd ??????,
将 22dt xd 及 x 的表达式代入所给方程,得
?k2(C1cos kt?C2sin kt)?k2(C1cos kt?C2sin kt)?0.
这表明函数 x?C1cos kt?C2sin kt 满足所给方程,因此所给函数
是所给方程的解,
)s i nc o s(s i nc o s 212221222 ktCktCkktCkktCkdt xd ??????,
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例 4 已知函数 x?C1cos kt?C2sin kt(k?0)是微分方程
0222 ?? xkdt xd
的通解,求满足初始条件 x|t?0?A,x?|t?0?0的特解,
将条件 x|t?0?A代入 x?C1cos kt?C2sin kt,得解
C1?A.
将条件 x?|t?0?0代入 x?(t)??kC1sin kt?kC2cos kt,得
把 C1,C2的值代入 x?C1cos kt?C2sin kt中,就 得所求的特解为
x?Acos kt.
C2?0,
结束
在许多问题中,往往不能直接找出所需要的函
数关系,但是根据问题所提供的情况,有时可以列出
含有要找的函数及其导数的关系式, 这样的关系就
是所谓微分方程, 微分方程建立以后,对它进行研究,
找出未知函数来,这就是解微分方程,
本节通过几个具体的例题来说明微分方程的基
本概念,
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设所求曲线的方程为 y?y(x),则
例 1 一曲线通过点 (1,2),且在该曲线上任一点 M(x,y)处的
切线的斜率为 2x,求这曲线的方程,
解
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xdxdy 2?,
上式两端积分,得
因为曲线通过点 (1,2),即当 x?1时,y?2,所以
2?12?C,C=1.
因此,所求曲线方程为 y?x2?1.
?? x d xy 2,即 y?x 2?C (其中 C 是任意常数 ),?? x d xy 2,即 y ? x 2 ? C ( 其中 C 是任意常数 ),
说明 ?
当 x?1时,y?2可 简记为 y|x?1?2.
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例 2 列车在平直线路上以 20m/s的速度行驶 ; 当制动时列
车获得加速度 ?0.4m/s2,问开始制动后多少时间列车才能停住,
以及列车在这段时间里行驶了多少路程?
解
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设列车在开始制动后 t秒时行驶了 s米,则
s????0.4,s?|t?0?20.s|t?0?0,
把等式 s????0.4两端积分一次,得 s???0.4t?C1,
再积分一次,得 s??0.2t2 ?C1t?C2 (C1,C2都是任意常数 ).
由 s?|t?0?20得 20?C1,
由 s|t?0?0得 0?C2,故 s??0.2t2?20t.
故 s???0.4t?20;
s??0.2?502?20?50?500(m).
于是列车在制动阶段行驶的路程为令 s??0,得 t?50(s).
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说明 ?
未知函数是一元函数的微分方程,叫常微分方程, 未知函
数是多元函数的微分方程,叫偏微分方程,
说明
在 例 1 和 例 2 中,xdxdy 2? 和 s ??? ? 0, 4 都 是 ( 常 ) 微 分 方 程,
?几个基本概念
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?微分方程
表示未知函数, 未知函数的导数与自变量之间的关系的
方程,叫微分方程,
?微分方程的阶
微分方程中所出现的未知函数的最高阶导数的阶数,叫
微分方程的阶,
一般 n阶微分方程的形式 为
F(x,y,y?,???,y(n) )?0或 y(n)?f(x,y,y?,???,y(n?1) ).
一阶的 二阶的
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说明 ?
?微分方程的解
满足微分方程的函数叫做该微分方程的解,
确切地说,设函数 y??(x)在区间 I上有 n阶连续导数,如果
在区间 I上,
F[x,?(x),??(x),???,?(n) (x)]?0,
那么函数 y??(x)就叫做微分方程 F(x,y,y?,? ? ?,y(n) )?0在区间 I
上的解,
在 例 1 中,y ? x 2 ? C 和 y ? x 2 ? 1 都 方 程 xdxdy 2? 的 解,
在例 2中,方程 s????0.4的解有
s??0.2t2?C1t?C2,s??0.2t2?20t?C2和 s??0.2t2?20t.
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说明 ?
?微分方程的解
满足微分方程的函数叫做该微分方程的解,
在 例 1 中,y ? x 2 ? C 和 y ? x 2 ? 1 都 方 程 xdxdy 2? 的 解,
在例 2中,方程 s????0.4的解有
s??0.2t2?C1t?C2,s??0.2t2?20t?C2和 s??0.2t2?20t.
?通解
如果微分方程的解中含有任意常数,且任意常数的个数
与微分方程的阶数相同,这样的解叫做微分方程的通解,
?特解
确定了通解中的任意常数以后,就得到微分方程的特解,
即不含任意常数的解叫特解,
通解
通解
特解
特解什么解？
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说明 ?
对于一阶微分方程,通常用于确定任意常数的条件是
对于二阶微分方程,通常用于确定任意常数的条件是
当 0xx ? 时,0yy ?,或 写 成 00 yy xx ??,
当 0xx ? 时,0yy ?,0yy ???,或 写 成 00 yy xx ??,00 yy xx ??? ?,
当 0xx ? 时,0yy ?,或 写 成 00 yy xx ??,
当 0xx ? 时,0yy ?,0yy ???,或 写 成 00 yy xx ??,00 yy xx ??? ?,
例 1是求方程 y?2x满足初始条件 y|x?1?2的解,
例 2是求方程 s????0.4满足初始条件 s|t?0?0,s?|t?0?20的解,
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?初始条件
用于确定通解中任意常数的条件,称为初始条件,
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?初始条件
用于确定通解中任意常数的条件,称为初始条件,
说明 ?
例 1 归 结 为 求 初 值 问 题
??
?
?
??
? 2|
2
1xy
xy ;
说明
例 2 归 结 为 求 初 值 问 题 ???????
?? 20|,0|
4.0
20 tt ss
s,
求微分方程满足初始条件的解的问题称为初值问题,
?初值问题
微分方程的解的图形是一条曲线,叫做微分方程的积分
曲线,
?积分曲线
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例 3 验证 ?函数 x?C1cos kt?C2sin kt是微分方程
0222 ?? xkdt xd
的解,
求所给函数的导数 ?解
ktkCktkCdtdx c o ss i n 21 ???,
)s i nc o s(s i nc o s 212221222 ktCktCkktCkktCkdt xd ??????,
将 22dt xd 及 x 的表达式代入所给方程,得
?k2(C1cos kt?C2sin kt)?k2(C1cos kt?C2sin kt)?0.
这表明函数 x?C1cos kt?C2sin kt 满足所给方程,因此所给函数
是所给方程的解,
)s i nc o s(s i nc o s 212221222 ktCktCkktCkktCkdt xd ??????,
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例 4 已知函数 x?C1cos kt?C2sin kt(k?0)是微分方程
0222 ?? xkdt xd
的通解,求满足初始条件 x|t?0?A,x?|t?0?0的特解,
将条件 x|t?0?A代入 x?C1cos kt?C2sin kt,得解
C1?A.
将条件 x?|t?0?0代入 x?(t)??kC1sin kt?kC2cos kt,得
把 C1,C2的值代入 x?C1cos kt?C2sin kt中,就 得所求的特解为
x?Acos kt.
C2?0,
结束
