§ 12.11 微分方程的幂级数解法
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当微分方程的解不能用初等函数或其积分表
达时 ? 我们就要寻求其它解法 ? 常用的有幂级数解
法和数值解法 ? 本节我们简单地介绍微分方程的
幂级数解法 ?
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求 微分方程 ),( yxfdxdy ? 满足初始条件 00| yy xx ?? 的特解 ?
其中函数 f(x?y)是 (x?x0),(y?y0)的多项式 ?
f(x?y)?a00?a10(x?x0)?a01(y?y0)?????aim (x?x0)l(y?y0)m?
这时我们可以设所求特解可展开为 x?x0的幂级数 ?
y?y0?a1(x?x0)?a2(x?x0)2?????an(x?x0)n?????
其中 a1? a2? ? ? ? ? an? ? ? ? ? 是待定的系数 ? 把所设特解代入微分
方程中 ? 便得一恒等式 ? 比较这恒等式两端 x?x0的同次幂的系
数 ?就可定出常数 a1?a2????? 从而得到所求的特解 ?
?幂级数解法基本思想
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解
于是所求解的幂级数展开式的开始几项为
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例 1 求方程 y??x?y2满足 y|x?0?0的特解 ?
这时 x0?0?y0?0?故设
y?a1x?a2x2?a3x3?a4x4?????
把 y及 y?的幂级数展开式代入原方程 ?得
a1?2a2x?3a3x2?4a4x3?5a5x4????
?x?(a1x?a2x2?a3x3?a4x4???? )2
?x?a12x2?2a1a2x3?(a22?2a1a3)x4?????
由此 ?比较恒等式两端 x的同次幂的系数 ?得
a 1 ? 0 ? 212 ?a ? a 3 ? 0 ? a 4 ? 0 ? 2015 ?a ? ? ? ? ?
20121 52 ?????? xxy ?
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?定理
如果方程
y???P(x)y??Q(x)y?0
中的系数 P(x)与 Q(x)可在 ?R<x<R内展开为 x的幂级数 ? 那么在
?R<x<R内此方程必有形如
nn
n
xay ??
?
?
0
的解 ?
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提示 ?
下页
例 2 求方程 y???xy?0的满足 y|x?0?0?y?|x?0?1的特解 ?
解 这里 P(x)?0?Q(x)??x在整个数轴上满足定理的条件 ?
因此所求的解可在整个数轴上展开成 x的幂级数
y??a1?2a2x?3a3x2?4a4x3?????nanxn?1?????
y?a0?a1x?a2x2?a3x3?a4x4?????
y???2a2x?3?2a3x?4?3a4x2?????n(n?1)anxn?2?????
把 y及 y??代入方程 y???xy?0?得
2a2?3?2a3x?(4?3a4?1)x2?(5?4a5?a2)x3?
?(6?5a6?a3)x4?????[(n?2)(n?1)an?2?an?1]xn?????0?
由 y?|x?0?1?得由条件 y|x?0?0? 得 a0?0? a1?1?
>>>
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结束
例 2 求方程 y???xy?0的满足 y|x?0?0?y?|x?0?1的特解 ?
解 这里 P(x)?0?Q(x)??x在整个数轴上满足定理的条件 ?
因此所求的解可在整个数轴上展开成 x的幂级数
y?a0?a1x?a2x2?a3x3?a4x4?????
把 y及 y??代入方程 y???xy?0?得
2a2?3?2a3x?(4?3a4?1)x2?(5?4a5?a2)x3?
?(6?5a6?a3)x4?????[(n?2)(n?1)an?2?an?1]xn?????0?
由 y?|x?0?1?得由条件 y|x?0?0? 得 a0?0? a1?1?
34
1
4 ??a ? 3467
1
7 ????a ? 3467910
1
10 ??????a ? ? ? ? ?
于是 a2?0?a3?0?a5?0?a6?0?a8?0?a9?0?
因 此 特解为 3467910 13467 134 1 1074 ????????????????? xxxxy ?