一,f(x)?Pm(x)e?x型
二,f(x)?e?x[Pl(x)coswx+Pn(x)sinwx]型
§ 12.9 二阶常系数非齐次线性微分方程
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方程 y??+py?+qy?f(x)称为二阶常系数非齐次线性
微分方程 ?其中 p,q是常数 ?
二阶常系数非齐次线性微分方程的通解是对应
的齐次方程的通解 y?Y(x)与非齐次方程本身的一个
特解 y?y*(x)之和 ?
y?Y(x)+y*(x)?
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提示 ?
?[Q??(x)+(2?+p)Q?(x)+(?2+p?+q)Q(x)]e?x?
?[Q??(x)+2?Q?(x)+?2Q(x)]e?x+p[Q?(x)+?Q(x)]e?x+qQ(x)e?x
一,f(x)?Pm(x)e?x 型
y*?Q(x)e?x?设方程 y??+py?+qy?Pm(x)e?x 特解形式为
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Q??(x)+(2?+p)Q?(x)+(?2+p?+q)Q(x)?Pm(x)? —— (＊ )
则得
?[Q(x)e?x]??+[Q(x)e?x]?+q[Q(x)e?x] y*??+py*?+qy*
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提示 ?
此时 ?2+p?+q?0?
要使 (＊ )式成立 ?Q(x)应设为 m次多项式 ?
Qm(x)?b0xm+b1xm?1+???+bm?1x+bm?
(1)如果 ?不是特征方程 r2+pr+q?0的根 ?则 y*?Qm(x)e?x?
下页
一,f(x)?Pm(x)e?x 型
y*?Q(x)e?x?设方程 y??+py?+qy?Pm(x)e?x 特解形式为
Q??(x)+(2?+p)Q?(x)+(?2+p?+q)Q(x)?Pm(x)? —— (＊ )
则得
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提示 ?
此时 ?2+p?+q?0?但 2?+p?0?
要使 (＊ )式成立 ?Q(x)应设为 m+1次多项式 ?Q(x)?xQm(x)?
其中 Qm(x)?b0xm+b1xm?1+???+bm?1x+bm?
(2)如果 ?是特征方程 r2+pr+q?0的单根 ? 则 y*?xQm(x)e?x?
下页
(1)如果 ?不是特征方程 r2+pr+q?0的根 ?则 y*?Qm(x)e?x?
一,f(x)?Pm(x)e?x 型
y*?Q(x)e?x?设方程 y??+py?+qy?Pm(x)e?x 特解形式为
Q??(x)+(2?+p)Q?(x)+(?2+p?+q)Q(x)?Pm(x)? —— (＊ )
则得
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提示 ?
此时 ?2+p?+q?0?2?+p?0?
要使 (＊ )式成立 ?Q(x)应设为 m+2次多项式 ?Q(x)?x2Qm(x)?
其中 Qm(x)?b0xm+b1xm?1+???+bm?1x+bm?
(3)如果 ?是特征方程 r2+pr+q?0的重根 ? 则 y*?x2Qm(x)e?x?
下页
(2)如果 ?是特征方程 r2+pr+q?0的单根 ? 则 y*?xQm(x)e?x?
(1)如果 ?不是特征方程 r2+pr+q?0的根 ?则 y*?Qm(x)e?x?
一,f(x)?Pm(x)e?x 型
y*?Q(x)e?x?设方程 y??+py?+qy?Pm(x)e?x 特解形式为
Q??(x)+(2?+p)Q?(x)+(?2+p?+q)Q(x)?Pm(x)? —— (＊ )
则得
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?结论
二阶常系数非齐次线性微分方程
y??+py?+qy?Pm(x)e?x
有形如
y*?xkQm(x)e?x
的特解 ? 其中 Qm(x)是与 Pm(x)同次的多项式 ? 而 k按 ?不是特征
方程的根, 是特征方程的单根或是特征方程的的重根依次取
为 0,1或 2?
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提示 ?
因为 f(x)?Pm(x)e?x?3x+1???0不是特征方程的根 ?
所以非齐次方程的特解应设为
y*?b0x+b1?
把它代入所给方程 ?得
例 1 求微分方程 y???2y??3y?3x+1的一个特解 ?
解 齐次方程 y???2y??3y?0的特征方程为 r2?2r?3?0?
比较两端 x 同次幂的系数 ? 得 b 0 ? ? 1 ? 311 ?b ?
因 此 所给方程的 特解为 31* +?? xy ?
[b0x+b1]???2[b0x+b1]??3[b0x+b1]
??3b0x?2b0?3b1?
??2b0?3b0x?3b1
?3b0x?2b0?3b1?3x+1?
提示 ?3b0?3?
?2b0?3b1?1?
比较两端 x 同次幂的系数 ? 得 b 0 ? ? 1 ? 311 ?b ?
特解形式
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例 2 求微分方程 y???5y?+6y?xe2x的通解 ?
解 齐次方程 y???5y?+6y?0的特征方程为 r2?5r+6?0?
其根为 r1?2?r2?3?
提示 ?
齐次方程 y???5y?+6y?0的通解为 Y?C1e2x+C2e3x?
因为 f(x)?Pm(x)e?x?xe2x???2是特征方程的单根 ?
所以非齐次方程的特解应设为
y*?x(b0x+b1)e2x?
把它代入所给方程 ?得
?2b0x+2b0?b1?x?
比较 系数 ? 得 210 ??b ? b 1 ? ? 1 ? 故 xexxy 2)121(* ??? ? 比较 系数 ? 得 210 ??b ? b 1 ? ? 1 ? 故 xxxy 2)121(* ??? ? 比较 系数 ? 得 210 ?b ? b 1 ? ? 1 ? 故 exxy 2)1(* ??? ?
提示 ?2b0?1?
2b0?b1?0?
>>>
特解形式
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例 2 求微分方程 y???5y?+6y?xe2x的通解 ?
解 齐次方程 y???5y?+6y?0的特征方程为 r2?5r+6?0?
其根为 r1?2?r2?3?
?2b0x+2b0?b1?x?
比较 系数 ? 得 210 ??b ? b 1 ? ? 1 ? 故 xexxy 2)121(* ??? ? 比较 系数 ? 得 210 ??b ? b 1 ? ? 1 ? 故 xexxy 2)121(* ??? ?
因此所给方程的通解为
xxx exxeCeCy 223221 )2(
2
1 +?+? ?
因为 f(x)?Pm(x)e?x?xe2x???2是特征方程的单根 ?
所以非齐次方程的特解应设为
y*?x(b0x+b1)e2x?
把它代入所给方程 ?得
特解形式
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二阶常系数非齐次线性微分方程
y??+py?+qy?e?x[Pl(x)coswx+Pn(x)sinwx]
有形如
y*?xke?x[R(1)m(x)coswx+R(2)m(x)sinwx]
的特解 ? 其中 R(1)m(x),R(2)m(x)是 m次多项式 ? m?max{l? n}? 而 k
按 ?+iw(或 ??iw)不是特征方程的根或是特征方程的单根依次
取 0或 1?
二,f(x)?e?x[Pl(x)coswx+Pn(x)sinwx]型
下页
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?结论
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解
结束特解形式
例 3 求微分方程 y??+y?xcos2x的一个特解 ?
因为 f(x)?e?x[Pl(x)coswx+Pn(x)sinwx]?xcos2x? ?+iw?2i不是
特征方程的根 ?所以所给方程的特解应设为
齐次方程 y??+y?0的特征方程为 r2+1?0?
把它代入所给方程 ?得
y*?(ax+b)cos2x+(cx+d)sin2x?
(?3ax?3b+4c)cos2x?(3cx+4a+3d)sin2x?xcos2x?
比较两端同类项的系数 ? 得 31??a ? b ? 0 ? c ? 0 ? 94?d ?
因 此 所 给 方 程 的 特解为 xxxy 2s i n942c o s31* +?? ?
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比较两端同类项的系数 ? 得 31??a ? b ? 0 ? c ? 0 ? 94?d ? >>>