一, y(n)?f (x)型的微分方程
二,y???f(x?y?)型的微分方程
三,y???f(y?y?)型的微分方程
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§ 12.6 可降阶的高阶微分方程
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32212 21s i n81 CxCxCxey x ????? ?
一, y(n)?f (x)型的微分方程
?方程的解法
积分 n次
下页
1)1( )( Cdxxfy n ?? ?? ? 21)2( ])([ CdxCdxxfy n ??? ? ?? ? ? ? ?? 1)1( )( Cdxxfy n ?? ?? ? 21)2( ])([ CdxCdxxfy n ??? ? ?? ? ? ? ?? 1)1( )( Cdxxfyn ???? ? 21)2( ])([ CdxCdxxfyn ????? ? ? ? ??
解 对所给方程接连积分三次 ?得
例 1 求微分方程 y????e2x?cos x 的通解 ?
12 s i n21 Cxey x ????? ?
212 c o s41 CxCxey x ????? ?
这就是所给方程的通解 ?
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设在时刻 t质点的位置
为 x?x(t)?
解
于是所求质点的运动规律为
其初始条件为 x|t?0?0? x?|t?0?0?
由条件 x|t?0?0? x?|t?0?0得
则 x(t)满足微分方程
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例 2 质量为 m的质点受力 F的作用沿 Ox轴作直线运动 ?设
力 F仅是时间 t的函数 ?F?F(t)? 在开始时刻 t?0时 F(0)?F0?随着
时间 t的增大 ?此力 F均匀地减小 ?直到 t?T时 ? F(T)?0?如果开始
时质点位于原点 ?且初速度为零 ?求这质点的运动规律 ?
1
20 )
2( CT
tt
m
F
dt
dx ??? ?
把微分方程两边积分 ?得
再积分一次 ?得
21
320 )
62
1( CtC
T
tt
m
Fx ???? ?
C1?C2?0?
)621( 320 TttmFx ?? ? 0 ? t ? T ?
)1(022 TtmFdt xd ?? ?
>>>
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于 是 )1( 211
2
1
2 xCeCp dxx
x
???? ? ?
二,y???f(x?y?)型的微分方程
?方程的解法
设 y??p?则方程 y???f(x?y?)
化为
p??f(x?p)?
设此方程的通解为
p?j(x?C1)?
则 y??j(x?C1)?
于是方程 y???f(x?y?)的通解为
21 ),( CdxCxy ?? ?j ?
解 设 y??p?则原方程化为
(1?x2)p??2xp?
或 01 2 2 ??? pxxdxdp ?
即 y??C1(1?x2)?
两边再积分 ?得原方程的通解
231 )3
1( CxxCy ??? ?
例 3 求方程 (1?x2)y???2xy?
的通解 ?
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于 是 )1( 211
2
1
2 xCeCp dxx
x
???? ? ?
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于 是 yCeCp dyy 1
1
1 ?
?? ?
提示 ?
三,y???f(y?y?)型的微分方程
下页
?方程的解法
设 y??p?则方程 y???f(y?y?)
化为
),( pyfdydpp ? ?
设此方程的通解为
p?j(y?C1)?
则 y??j(y?C1)?
于是方程 y???f(y?y?)的通解为
dy
dpp
dx
dy
dy
dp
dx
dpy ?????? ?
dy
dpp
dx
dy
dy
dp
dx
dpy ?????? ?
dy
dpp
dx
dy
dy
dp
dx
dpy ?????? ?
2
1 ),(
CxCydy ??? j ?
例 4 求方程 yy???y?2?0的通
解 ?
解 设 y??p?则原方程化为
02 ?? pdydpyp ?
或 01 ?? pydydp ( y ? 0 ? p ? 0) ?
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三,y???f(y?y?)型的微分方程
?方程的解法
设 y??p?则方程 y???f(y?y?)
化为
),( pyfdydpp ? ?
设此方程的通解为
p?j(y?C1)?
则 y??j(y?C1)?
于是方程 y???f(y?y?)的通解为
2
1 ),(
CxCydy ??? j ?
例 4 求方程 yy???y?2?0的通
解 ?
解 设 y??p?则原方程化为
02 ?? pdydpyp ?
或 01 ?? pydydp ( y ? 0 ? p ? 0) ?
即 y??C1y?0?
从而原方程的通解为
xCdxC eCeCy 11 22 ??? ?
结束
于 是 yCeCp dyy 1
1
1 ?
?? ?
二,y???f(x?y?)型的微分方程
三,y???f(y?y?)型的微分方程
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一, y(n)?f (x)型的微分方程
?方程的解法
积分 n次
下页
1)1( )( Cdxxfy n ?? ?? ? 21)2( ])([ CdxCdxxfy n ??? ? ?? ? ? ? ?? 1)1( )( Cdxxfy n ?? ?? ? 21)2( ])([ CdxCdxxfy n ??? ? ?? ? ? ? ?? 1)1( )( Cdxxfyn ???? ? 21)2( ])([ CdxCdxxfyn ????? ? ? ? ??
解 对所给方程接连积分三次 ?得
例 1 求微分方程 y????e2x?cos x 的通解 ?
12 s i n21 Cxey x ????? ?
212 c o s41 CxCxey x ????? ?
这就是所给方程的通解 ?
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设在时刻 t质点的位置
为 x?x(t)?
解
于是所求质点的运动规律为
其初始条件为 x|t?0?0? x?|t?0?0?
由条件 x|t?0?0? x?|t?0?0得
则 x(t)满足微分方程
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例 2 质量为 m的质点受力 F的作用沿 Ox轴作直线运动 ?设
力 F仅是时间 t的函数 ?F?F(t)? 在开始时刻 t?0时 F(0)?F0?随着
时间 t的增大 ?此力 F均匀地减小 ?直到 t?T时 ? F(T)?0?如果开始
时质点位于原点 ?且初速度为零 ?求这质点的运动规律 ?
1
20 )
2( CT
tt
m
F
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把微分方程两边积分 ?得
再积分一次 ?得
21
320 )
62
1( CtC
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C1?C2?0?
)621( 320 TttmFx ?? ? 0 ? t ? T ?
)1(022 TtmFdt xd ?? ?
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于 是 )1( 211
2
1
2 xCeCp dxx
x
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二,y???f(x?y?)型的微分方程
?方程的解法
设 y??p?则方程 y???f(x?y?)
化为
p??f(x?p)?
设此方程的通解为
p?j(x?C1)?
则 y??j(x?C1)?
于是方程 y???f(x?y?)的通解为
21 ),( CdxCxy ?? ?j ?
解 设 y??p?则原方程化为
(1?x2)p??2xp?
或 01 2 2 ??? pxxdxdp ?
即 y??C1(1?x2)?
两边再积分 ?得原方程的通解
231 )3
1( CxxCy ??? ?
例 3 求方程 (1?x2)y???2xy?
的通解 ?
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2
1
2 xCeCp dxx
x
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于 是 yCeCp dyy 1
1
1 ?
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提示 ?
三,y???f(y?y?)型的微分方程
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?方程的解法
设 y??p?则方程 y???f(y?y?)
化为
),( pyfdydpp ? ?
设此方程的通解为
p?j(y?C1)?
则 y??j(y?C1)?
于是方程 y???f(y?y?)的通解为
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1 ),(
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例 4 求方程 yy???y?2?0的通
解 ?
解 设 y??p?则原方程化为
02 ?? pdydpyp ?
或 01 ?? pydydp ( y ? 0 ? p ? 0) ?
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三,y???f(y?y?)型的微分方程
?方程的解法
设 y??p?则方程 y???f(y?y?)
化为
),( pyfdydpp ? ?
设此方程的通解为
p?j(y?C1)?
则 y??j(y?C1)?
于是方程 y???f(y?y?)的通解为
2
1 ),(
CxCydy ??? j ?
例 4 求方程 yy???y?2?0的通
解 ?
解 设 y??p?则原方程化为
02 ?? pdydpyp ?
或 01 ?? pydydp ( y ? 0 ? p ? 0) ?
即 y??C1y?0?
从而原方程的通解为
xCdxC eCeCy 11 22 ??? ?
结束
于 是 yCeCp dyy 1
1
1 ?
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