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§ 11.8 周期为 2l的周期函数的傅里叶级数
到现在为止,我们所讨论的周期函数都是以 2p
为周期的, 但是实际问题中所遇到的周期函数,它的
周期不一定是 2p,怎样 把周期为 2l的周期函数 f(x)展
开成三角级数呢？
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?分析
这是因为
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设 函数 f ( x ) 以 2 p 为 周期,? 则 函数 )()( tlftF p= 以 2 p 为周期,? 设 函数 f ( x ) 以 2 p 为 周期,? 则 函数 )()( tlftF p= 以 2 p 为周期,?
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当 F(t)满足收敛定理的条件时,?可展开成傅里叶级数,?
其中 ??= p pp n td ttFa n c o s)(1,? ??= p pp n td ttFb n s i n)(1,?
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1
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设 函数 f ( x ) 以 2 p 为 周期,? 则 函数 )()( tlftF p= 以 2 p 为周期,? 设 函数 f ( x ) 以 2 p 为 周期,? 则 函数 )()( tlftF p= 以 2 p 为周期,?
令 tlx p=,? 即 lxt p=,? 则 有
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设周期为 2l的周期函数 f(x)满足收敛定理的条件,则它的
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当 f(x)为奇函数时,an=0(n=0,1,2,? ? ?),f(x)的傅里叶级数
为正弦级数 ;
当 f(x)为偶函数时,bn=0(n=1,2,? ? ?),f(x)的傅里叶级数为
正弦级数,
注,??
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例 1 设 f(x)是以 4为周期的函数,?它在 [?2,2)上的表达式为
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<?
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20
02 0)(
x k
x xf ( 常数 k ? 0),?
将 f(x)展开成傅里叶级数,?
解 函数 f(x)在点 x=0,??2,??4,??6,????是间断的,?在这些点
f(x)的傅里叶级数收敛于,
2
k
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和函数的图形f(x)的图形
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例 2 将函数
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)( 展开成正弦级数, 例 2
解 对函数 M(x)进行奇延拓后得到的是一个连续函数,?其
傅里叶级数在 [0,?1]上处处收敛于 M(x).
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因为函数 M(x)的正弦级数的系数为 >>>
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所以 M(x)的正弦级数展开式为
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因为函数 M(x)的正弦级数的系数为
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解 对函数 M(x)进行奇延拓后得到的是一个连续函数,?其
傅里叶级数在 [0,?1]上处处收敛于 M(x).
§ 11.8 周期为 2l的周期函数的傅里叶级数
到现在为止,我们所讨论的周期函数都是以 2p
为周期的, 但是实际问题中所遇到的周期函数,它的
周期不一定是 2p,怎样 把周期为 2l的周期函数 f(x)展
开成三角级数呢？
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当 f(x)为偶函数时,bn=0(n=1,2,? ? ?),f(x)的傅里叶级数为
正弦级数,
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例 1 设 f(x)是以 4为周期的函数,?它在 [?2,2)上的表达式为
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所以 M(x)的正弦级数展开式为
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