一、常数项级数的概念
二、收敛级数的基本性质
§ 11.1 常数项级数的概念和性质
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给定一个数列
u1,u2,u3,???,un,???,
则由这数列构成的表达式
u1?u2?u3?????un????
一、常数项级数的概念
?常数项级数
其中第 n项 un叫做级数的一般项,
叫做 ( 常数项 ) 无穷级数,简称 ( 常数项 ) 级数,记为 ??
? 1n
nu,即
321
1
??????????????
? nn n
uuuuu,
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叫做 ( 常数项 ) 无穷级数,简称 ( 常数项 ) 级数,记为 ??
? 1n
nu,即
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一、常数项级数的概念
?常数项级数
称为级数,其中第 n项 un叫做级数的一般项,
表达式
?级数的部分和
级数的前 n项的和
321
1
??????????????
? nn n
uuuuu,
n
n
i
in uuuuus ????????? ?
?
321
1
称为级数 ??
? 1n n
u 的部分和,
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?级数举例
1 312111
1
??????????????
? nnn
1 312111
1
??????????????
? nnn
1 312111
1
??????????????
? nnn
调和级数
)1( 1 321211)1( 1
1
????????????????
? nnnnn
)1( 1 32 121 1)1( 1
1
????????????????
? nnnnn
)1( 1 321211)1(
1
????????????????
? nnnnn
2
0
??????????????
?
nn
n
aqaqaqaaq 2
0
??????????????
?
nn
n
aqaqaqaaq 几何级数
1 31211 1
1
?????????????
? pppn p nn
1 31211 1
1
?????????????
? pppn p nn
1 312111
1
????????????
? pppn p nn
级数的展开形式 备注一般项简写形式
等比级数aqn-1
p— 级数
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?级数敛散性定义
如果级数 ??
? 1n n
u 的部分和数列 }{ ns 有极限 s,即
ss nn ???lim,
则称无穷级数 ??
? 1n
nu 收敛,这时极限 s 叫做这级数的和,并写成
321
1
????????????? ??
? nn n
uuuuus ?
如果 }{ ns 没有极限,则称无穷级数 ??
? 1n n
u 发散,
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?级数敛散性定义
如果级数的部分和数列有极限,则称级数收敛 ? 如果级数
的部分和数列没有极限,则称级数发散,
?余项
rn?s-sn?un?1?un?2????
当级数 ??
? 1n n
u 收敛时,级 数 的 和 s 与 部分和 s n 的差值
叫做级数 ??
? 1n n
u 的余项,
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其和为 qa-1,
如果 q?1,则部分和解
q
aq
q
a
q
aqaaqaqaqas nnn
n ---?-
-????????? -
111 12,
当 |q|?1时,因为 sn随着 n为奇数或偶数而等于 a或零,
q
aq
q
a
q
aqaaqaqaqas nnn
n ---?-
-????????? -
111 12,
例 1
例 1 讨论等比级数 n
n
aq??
? 0
( a ? 0) 的敛散性,
当 | q | < 1 时,因为 qas nn -??? 1l i m,所以此时 级数 n
n
aq??
? 0
收敛,当 | q | < 1 时,因为 qas nn -??? 1l i m,所以此时 级数 n
n
aq??
? 0
收敛,
当 | q | > 1 时,因为 ???? nn slim,所以此时 级数 n
n
aq??
? 0
发散, 当 | q | > 1 时,因为 ???? nn slim,所以此时 级数 n
n
aq??
? 0
发散,
所以 s n 的极限不存在,从 而 这时级数 n
n
aq??
? 0
也发散, 所以 s n 的极限不存在,从 而 这时级数 n
n
aq??
? 0
也发散,
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例 2 证明级数
1?2?3?????n????
是发散的,
此级数的部分和为证
2
)1( 321 ?????????? nnns
n, 2
)1( 32 ?????????? nnns
n,
显然,???? nn slim,因此所给级数是发散的, 显然,???? nn slim,因此所给级数是发散的,
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仅当 | q |? 1 时,几何级数 n
n
aq?
?
?
1
( a ? 0) 收敛,其和为 qa-1,
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因为解
)1(
1
43
1
32
1
21
1
???????????? nns n
1
11)
1
11( )
3
1
2
1()
2
11(
?-??-?????-?-? nnn,
提示,
1
11
)1(
1
?-??? nnnnu n,
例 3
例 3 判别无穷级数 ??
? ?1 )1(
1
n nn
的收敛性,
1
11)
1
11( )
3
1
2
1()
2
11(
?-??-?????-?- nnn,
所 以 1)111(limlim ??-? ???? ns nnn,从 而 这级数收敛,它的和是 1, 所 以 1)111(limlim ??-? ???? ns nnn,从 而 这级数收敛,它的和是 1,
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仅当 | q |? 1 时,几何级数 n
n
aq?
?
?
1
( a ? 0) 收敛,其和为 qa-1,
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二、收敛级数的基本性质
性质 1
性质 1 如果 su
n n
???
? 1
,则 ksku
n n
???
? 1
,
这是因为,设 ??
? 1n n
u 与 ??
? 1n n
ku 的部分和分别为 s n 与 ? n,则
) (limlim 21 nnnn kukuku ?????? ???? ?
ksskuuuk n
nnn
????????
????
lim) (lim 21, ksskuuuk n
nnn
????????
????
lim) ( 21, ksskuuk n
nnn
???????
????
lim) (lim 21,
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二、收敛级数的基本性质
sn,?n,tn,则
性质 2
性质 2 如果 su
n n
???
? 1
,????
? 1n n
v,则 ??????
?
svu n
n n
)(
1
,
这是因为,如果 ??
? 1n n
u, ??
? 1n n
v, )(
1 nn n
vu ???
?
的部分和分别为
)]( )()[(limlim 2211 nnnnn vuvuvu ?????????? ???? t
)] () [(lim 2121 nnn vvvuuu ?????????????? ??
?? ???? ?? ss nnn )(lim, ?? ????
?? ss nnn )(lim,
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性质 3 在级数中去掉、加上或改变有限项,不会改变级数
的收敛性,
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级数 )1( 1 54 143 1 ????????????? nn 也是收敛的,
级数 )1( 1 43 132 121 11 0 0 0 0 ???????????????? nn 也是收敛的,
二、收敛级数的基本性质
比如,级数 )1( 1 43 132 121 1 ??????????????? nn 是收敛的,
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性质 4 如果级数收敛,则对这级数的项任意加括号后所成
的级数仍收敛,且其和不变,
应注意的问题, 如果加括号后所成的级数收敛,则不能断
定去括号后原来的级数也收敛, 例如,级数 (1-1)+(1-1) +???收
敛,但级数 1-1?1-1????却是发散的,
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二、收敛级数的基本性质
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推论 如果加括号后所成的级数发散,则原来级数也发散,
?级数收敛的必要条件
性质 5
性质 5 如果 ??
? 1n
nu 收敛,则 0l i m 0 ?? nn u,
证 设级数 ??
? 1n
nu 的部分和为 s n,且 ss nn ???lim,则
证
0limlim)(limlim 110 ?-?-?-? -????-??? ssssssu nnnnnnnnn, 0limlim)(limlim 110 ?-?-?-? -????-??? ssssssu nnnnnnnnn, 0limlim)(limlim 110 ?-?-?-? -????-??? ssssssu nnnnnnnn,
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注意,
(1)级数的一般项趋于零并不是级数收敛的充分条件,不
能因为一般项趋于零就断定级数收敛,
(2)如果一般项不趋于零,则级数必发散, 因此此性质常用
于判断级数发散,
例 4 证明调和级数 n
n
1
1
?
?
? 是发散的,
证 假若级数 n
n
1
1
?
?
? 收敛且其和为 s,s n 是它的部分和, 证 假若级数 nn 11
?
?
? 收敛且其和为 s,s n 是它的部分和, 证
显然有 ss n
n
?
??
lim 及 ss n
n
?
?? 2
lim, 于是 0)(lim 2 ?-
?? nnn
ss, 显然有 ss n
n
?
??
lim 及 ss n
n
?
?? 2
lim, 于是 0)(lim 2 ?-
?? nnn
ss,
但另一方面,
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2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
1
1
2 ?????????????????- nnnnnnss nn,2121 212121 21112 ?????????????????- nnnnnnss n,
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
1
1
2 ?????????????????- nnnnnnss nn,2
1
2
1
2
1
22
1
2
1
1
1 ?????????????
????- nnnnnnss nn,
故 0)(lim 2 ?-
?? nnn
ss,矛盾, 这矛盾说明级数 ??
? 1
1
n n
必定发散,
故 0)(lim 2 ?-
?? nnn
ss,矛盾, 这矛盾说明级数 ??
? 1
1
n n
必定发散,
二、收敛级数的基本性质
§ 11.1 常数项级数的概念和性质
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给定一个数列
u1,u2,u3,???,un,???,
则由这数列构成的表达式
u1?u2?u3?????un????
一、常数项级数的概念
?常数项级数
其中第 n项 un叫做级数的一般项,
叫做 ( 常数项 ) 无穷级数,简称 ( 常数项 ) 级数,记为 ??
? 1n
nu,即
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??????????????
? nn n
uuuuu,
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叫做 ( 常数项 ) 无穷级数,简称 ( 常数项 ) 级数,记为 ??
? 1n
nu,即
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一、常数项级数的概念
?常数项级数
称为级数,其中第 n项 un叫做级数的一般项,
表达式
?级数的部分和
级数的前 n项的和
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1
??????????????
? nn n
uuuuu,
n
n
i
in uuuuus ????????? ?
?
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称为级数 ??
? 1n n
u 的部分和,
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?级数举例
1 312111
1
??????????????
? nnn
1 312111
1
??????????????
? nnn
1 312111
1
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? nnn
调和级数
)1( 1 321211)1( 1
1
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? nnnnn
)1( 1 32 121 1)1( 1
1
????????????????
? nnnnn
)1( 1 321211)1(
1
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? nnnnn
2
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aqaqaqaaq 2
0
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?
nn
n
aqaqaqaaq 几何级数
1 31211 1
1
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? pppn p nn
1 31211 1
1
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? pppn p nn
1 312111
1
????????????
? pppn p nn
级数的展开形式 备注一般项简写形式
等比级数aqn-1
p— 级数
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?级数敛散性定义
如果级数 ??
? 1n n
u 的部分和数列 }{ ns 有极限 s,即
ss nn ???lim,
则称无穷级数 ??
? 1n
nu 收敛,这时极限 s 叫做这级数的和,并写成
321
1
????????????? ??
? nn n
uuuuus ?
如果 }{ ns 没有极限,则称无穷级数 ??
? 1n n
u 发散,
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如果级数的部分和数列有极限,则称级数收敛 ? 如果级数
的部分和数列没有极限,则称级数发散,
?余项
rn?s-sn?un?1?un?2????
当级数 ??
? 1n n
u 收敛时,级 数 的 和 s 与 部分和 s n 的差值
叫做级数 ??
? 1n n
u 的余项,
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其和为 qa-1,
如果 q?1,则部分和解
q
aq
q
a
q
aqaaqaqaqas nnn
n ---?-
-????????? -
111 12,
当 |q|?1时,因为 sn随着 n为奇数或偶数而等于 a或零,
q
aq
q
a
q
aqaaqaqaqas nnn
n ---?-
-????????? -
111 12,
例 1
例 1 讨论等比级数 n
n
aq??
? 0
( a ? 0) 的敛散性,
当 | q | < 1 时,因为 qas nn -??? 1l i m,所以此时 级数 n
n
aq??
? 0
收敛,当 | q | < 1 时,因为 qas nn -??? 1l i m,所以此时 级数 n
n
aq??
? 0
收敛,
当 | q | > 1 时,因为 ???? nn slim,所以此时 级数 n
n
aq??
? 0
发散, 当 | q | > 1 时,因为 ???? nn slim,所以此时 级数 n
n
aq??
? 0
发散,
所以 s n 的极限不存在,从 而 这时级数 n
n
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? 0
也发散, 所以 s n 的极限不存在,从 而 这时级数 n
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? 0
也发散,
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例 2 证明级数
1?2?3?????n????
是发散的,
此级数的部分和为证
2
)1( 321 ?????????? nnns
n, 2
)1( 32 ?????????? nnns
n,
显然,???? nn slim,因此所给级数是发散的, 显然,???? nn slim,因此所给级数是发散的,
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n
aq?
?
?
1
( a ? 0) 收敛,其和为 qa-1,
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因为解
)1(
1
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???????????? nns n
1
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?-??-?????-?-? nnn,
提示,
1
11
)1(
1
?-??? nnnnu n,
例 3
例 3 判别无穷级数 ??
? ?1 )1(
1
n nn
的收敛性,
1
11)
1
11( )
3
1
2
1()
2
11(
?-??-?????-?- nnn,
所 以 1)111(limlim ??-? ???? ns nnn,从 而 这级数收敛,它的和是 1, 所 以 1)111(limlim ??-? ???? ns nnn,从 而 这级数收敛,它的和是 1,
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n
aq?
?
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( a ? 0) 收敛,其和为 qa-1,
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二、收敛级数的基本性质
性质 1
性质 1 如果 su
n n
???
? 1
,则 ksku
n n
???
? 1
,
这是因为,设 ??
? 1n n
u 与 ??
? 1n n
ku 的部分和分别为 s n 与 ? n,则
) (limlim 21 nnnn kukuku ?????? ???? ?
ksskuuuk n
nnn
????????
????
lim) (lim 21, ksskuuuk n
nnn
????????
????
lim) ( 21, ksskuuk n
nnn
???????
????
lim) (lim 21,
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二、收敛级数的基本性质
sn,?n,tn,则
性质 2
性质 2 如果 su
n n
???
? 1
,????
? 1n n
v,则 ??????
?
svu n
n n
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1
,
这是因为,如果 ??
? 1n n
u, ??
? 1n n
v, )(
1 nn n
vu ???
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的部分和分别为
)]( )()[(limlim 2211 nnnnn vuvuvu ?????????? ???? t
)] () [(lim 2121 nnn vvvuuu ?????????????? ??
?? ???? ?? ss nnn )(lim, ?? ????
?? ss nnn )(lim,
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性质 3 在级数中去掉、加上或改变有限项,不会改变级数
的收敛性,
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级数 )1( 1 54 143 1 ????????????? nn 也是收敛的,
级数 )1( 1 43 132 121 11 0 0 0 0 ???????????????? nn 也是收敛的,
二、收敛级数的基本性质
比如,级数 )1( 1 43 132 121 1 ??????????????? nn 是收敛的,
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性质 4 如果级数收敛,则对这级数的项任意加括号后所成
的级数仍收敛,且其和不变,
应注意的问题, 如果加括号后所成的级数收敛,则不能断
定去括号后原来的级数也收敛, 例如,级数 (1-1)+(1-1) +???收
敛,但级数 1-1?1-1????却是发散的,
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推论 如果加括号后所成的级数发散,则原来级数也发散,
?级数收敛的必要条件
性质 5
性质 5 如果 ??
? 1n
nu 收敛,则 0l i m 0 ?? nn u,
证 设级数 ??
? 1n
nu 的部分和为 s n,且 ss nn ???lim,则
证
0limlim)(limlim 110 ?-?-?-? -????-??? ssssssu nnnnnnnnn, 0limlim)(limlim 110 ?-?-?-? -????-??? ssssssu nnnnnnnnn, 0limlim)(limlim 110 ?-?-?-? -????-??? ssssssu nnnnnnnn,
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注意,
(1)级数的一般项趋于零并不是级数收敛的充分条件,不
能因为一般项趋于零就断定级数收敛,
(2)如果一般项不趋于零,则级数必发散, 因此此性质常用
于判断级数发散,
例 4 证明调和级数 n
n
1
1
?
?
? 是发散的,
证 假若级数 n
n
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?
?
? 收敛且其和为 s,s n 是它的部分和, 证 假若级数 nn 11
?
?
? 收敛且其和为 s,s n 是它的部分和, 证
显然有 ss n
n
?
??
lim 及 ss n
n
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?? 2
lim, 于是 0)(lim 2 ?-
?? nnn
ss, 显然有 ss n
n
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lim 及 ss n
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但另一方面,
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????- nnnnnnss nn,
故 0)(lim 2 ?-
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ss,矛盾, 这矛盾说明级数 ??
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必定发散,
故 0)(lim 2 ?-
?? nnn
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