一、对坐标的曲线积分的概念与性质
二、对坐标的曲线积分的计算
§ 10.2 对坐标的曲线积分
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三、两类曲线积分之间的联系
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一、对坐标的曲线积分的概念与性质
?变力沿曲线所作的功
质点在变力 F(x?y)?P(x? y)i?Q(x?y)j的作用下从点 A沿光
滑曲线弧 L移动到点 B?求变力 F(x?y)所作的功 ?
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P(?i??i)?xi?Q(?i??i)?yi ?[ ]n
i 1?
?
提示 ?
?把 L分成 n个小弧段 ?L1? L2????? Ln?
求功的过程 ?
?变力在 Li上所作的功的近似值为 ?
0lim??
变力在 上所作的功的近似值为 ?变力在 上所作的功的精确值为
其中 ?是各小弧段长度的最大值 ?
F在 Li上所作的功 Wi?F(?i? ?i)??si?
>>>光滑曲线
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?对坐标的曲线积分
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?设函数 P(x?y),Q(x?y)在有向光滑曲线弧 L上有界 ?
?把 L分成 n个有向小弧段 L1? L2? ? ? ?? Ln? 其中 Li是从 (xi?1? yi?1)到
(xi? yi)的小弧段 ?记 ?xi?xi?xi?1??yi?yi?yi?1?
?在小弧段 Li上任取一点 (?i??)?
?令 ?为各小弧段长度的最大值 ?
?如果极限 总存在 ?则称此极限为函数 P(x?y)
在有向曲线弧 L上对坐标 x的曲线积分 ?记作 ?
iii
n
i
xP ?
??
? ),(lim
10
??
?
?L dxyxP ),(
?L dyyxQ ),(
iii
n
i
yQ ?
??
? ),(lim
10
??
?
?如果极限 总存在 ?则称此极限为函数 Q(x?y)
在有向曲线弧 L上对坐标 y的曲线积分 ?记作 ?
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?对坐标的曲线积分
iii
n
iL
xPdxyxP ??
??
?? ),(lim),(
10
??
?
?
iii
n
iL
yQdyyxQ ??
??
?? ),(lim),(
10
??
?
?
?在积分中 P(x?y),Q(x?y)叫做被积函数 ?L叫做积分弧段 ?
说明 ?
?对坐标的曲线积分也叫第二类曲线积分 ?
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iiii
n
iL
yQdyzyxQ ??
??
?? ),,(lim),,(
10
???
?
?
?对坐标的曲线积分
iii
n
iL
xPdxyxP ??
??
?? ),(lim),(
10
??
?
?
iii
n
iL
yQdyyxQ ??
??
?? ),(lim),(
10
??
?
?
说明 ?
?设 ?为空间内一条光滑有向曲线弧 ?函数 P(x? y? z),Q(x? y? z)、
R(x?y? z)在 ?上有定义 ?我们定义
iiii
n
iL
xPdxzyxP ??
??
?? ),,(lim),,(
10
???
?
?
iiii
n
iL
zRdzzyxR ??
??
?? ),,(lim),,(
10
???
?
?
下页
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?对坐标的曲线积分的简写形式
在应用上经常出现的是
?? ? LL dyyxQdxyxP ),(),( ?
上式可记为
dyyxQdxyxPL ),(),( ?? ? 或 ? ?L dyx rF ),( ?
其中 F(x?y)?P(x? y)i?Q(x?y)j? dr?dxi?dyj?
类似地 ?有
其中 A?P(x? y? z)i?Q(x?y? z)j?R(x?y? z)k?dr?dxi?dyj?dzk?
R d zQ d yP d x ??? ??? ?? R d zQ d yP d x ??? ?? rA dL ?? ? ?
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?对坐标的曲线积分的性质
?性质 1 设 ?,?为常数 ?则
??? ?????? LLL dyxdyxdyxyx rFrFrFF ),(),()],(),([ 2121 ???? ?
?性质 2 若有向曲线弧 L可分成两段光滑的有向曲线弧 L1和 L2?
?性质 3 设 L是有向光滑曲线弧 ?L?是 L的反向曲线弧 ?则
?? ????? LL dyxdyx rFrF ),(),( ?
??? ????? 21 ),(),(),( LLL dyxdyxdyx rFrFrF ? 则
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提示 ?
二、对坐标的曲线积分的计算
下页
质点在变力 F(x?y)?P(x? y)i?Q(x?y)j的作用下沿光滑有向
曲线弧 L所作的功为
另一方面 ?在 L上任取一小段有向弧 ?其起点和终点对应
的参数分别为 t和 t?dt?得功元素
?F[?(t)??(t)]?dr
dr?(dx?dy)?(??(t)dt???(t)dt)?
dW
dyyxQdxyxPW L ),(),( ?? ? ? dyyxQdxyxPWL ),(),( ??? ?
设光滑有向曲线弧 L的参数方程为 x??(t)?y??(t)?且 L的起
点和终点所对应的参数分别为 ?和 ??
>>>图形
F[?(t)??(t)]?(P[?(t)??(t)]?Q[?(t)??(t)])?
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二、对坐标的曲线积分的计算
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质点在变力 F(x?y)?P(x? y)i?Q(x?y)j的作用下沿光滑有向
曲线弧 L所作的功为
另一方面 ?在 L上任取一小段有向弧 ?其起点和终点对应
的参数分别为 t和 t?dt?得功元素
?F[?(t)??(t)]?dr
?P[?(t)??(t)]??(t)dt?Q[?(t)??(t)]??(t)dt?
dW
于是 ? ???? ?
? ?????? dttttQtttPW )}()](),([)()](),([{ ?
dyyxQdxyxPW L ),(),( ?? ? ? dyyxQdxyxPWL ),(),( ??? ?
设光滑有向曲线弧 L的参数方程为 x??(t)?y??(t)?且 L的起
点和终点所对应的参数分别为 ?和 ??
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二、对坐标的曲线积分的计算
下页
质点在变力 F(x?y)?P(x? y)i?Q(x?y)j的作用下沿光滑有向
曲线弧 L所作的功为
dyyxQdxyxPW L ),(),( ?? ? ?
? ???? ?? ?????? dttttQtttPW )}()](),([)()](),([{ ?
设光滑有向曲线弧 L的参数方程为 x??(t)?y??(t)?且 L的起
点和终点所对应的参数分别为 ?和 ??
这说明对坐标的曲线积分可以化为定积分来计算 ?
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?定理 (对坐标的曲线积分的计算公式 )
? ?L dyyxQdxyxP ),(),( 存在 ?并 且则曲线积分
?? ????? ?? ?????? dttttQtttPdyyxQdxyxPL )}()](),([)()](),([{),(),( ?
?? ????? ?? ?????? dttttQtttPdyyxQdxyxPL )}()](),([)()](),([{),(),( ?
设 P(x? y),Q(x?y)在有向光滑曲线弧 L上有定义且连续 ?
L的参数方程为 x??(t)?y??(t)?L的起点和终点对应的参数分别
为 ?和 ??
应注意的问题 ?
下限 a对应于 L的起点 ? 上限 ? 对应于 L的终点 ? ?不一定小
于 ??
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?? ????? ?? ?????? dttttQtttPdyyxQdxyxPL )}()](),([)()](),([{),(),( ?
设 L由 x??(t)?y??(t)给出 ?L以 t??为 起点以 t??为终点 ?则
设空间曲线 ?由 x??(t)?y??(t)?z??(t)给出 ??以 t??为 起点
以 t??为终点 ?问
讨论 ?
?? ?? dzzyxRdyzyxQdxzyxP ),,(),,(),,( ?？
提示 ?
?? ?? dzzyxRdyzyxQdxzyxP ),,(),,(),,( ?？
)()](),(),([)()](),(),([{ ttttQttttP ?????????? ???? ?
dtttttR )}()](),(),([ ???? ?? ?
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?? ????? ?? ?????? dttttQtttPdyyxQdxyxPL )}()](),([)()](),([{),(),( ?
设 L由 x??(t)?y??(t)给出 ?L以 t??为 起点以 t??为终点 ?则
例 1 计算 ? L x y d x ? 其中 L 为抛物线 y 2 ? x
上从点 A(1??1)到点 B(1?1)的一段弧 ?
解
L分为 AO和 OB两部分 ?
第一种方法 ?以 x为积分变量 ?
在 AO 上 ? xy ?? ? x 从 1 变到 0 ?
在 O B 上 ? xy ? ? x 从 0 变到 1 ?
因此 ??? ?? OBAOL x y d xx y d xx y d x 54)( 1001 ???? ?? dxxxdxxx ? 因此 ??? ?? OBAOL x y d xx y d xx y d x 54)( 1001 ???? ?? dxxxdxxx ? 因此 ?? ?? OBAOL xydxxydxxydx 54)( 1001 ???? ?? dxxxdxxx ?
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?? ????? ?? ?????? dttttQtttPdyyxQdxyxPL )}()](),([)()](),([{),(),( ?
设 L由 x??(t)?y??(t)给出 ?L以 t??为 起点以 t??为终点 ?则
例 1 计算 ? L x y d x ? 其中 L 为抛物线 y 2 ? x
上从点 A(1??1)到点 B(1?1)的一段弧 ?
解 第二种方法 ?以 y为积分变量 ?
在 L上 ? x?y2? y从 ?1变到 1?因此
?? ? ?? 1 1 22 )( dyyyyx y d xL 542 1 1 4 ?? ?? dyy ? ? ? ?? 1 1 22 )( dyyyyx y d xL 542 1 1 4 ?? ?? dy ?
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解 (1)L的参数方程为 x?acos??y?asin???从 0变到 ??因此
因此 ?? ?? ? ???0 222 )s in(s in daadxyL
3
0
23
3
4c o s)c o s1( ada ???? ?? ?? ?
例 2 计算 ?L dxy 2 ? 其 中 L 为
(1)按逆时针方向绕行的上半圆周 x2?y2?a2?
(2)从点 A(a?0)沿 x轴到点 B(?a?0)的直线段 ?
3
0
23
3
4cos)cos1( ada ???? ?? ?? ?
(2)L的方程为 y?0?x从 a变到 ?a?因此
002 ???? ?aaL dxdxy ? 0???? ? aaL dxdxy ?
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?? ????? 10 222 )22(2 dxxxxxdyxx y d xL
?? ????? 10 422 )22(2 dyyyyydyxx y d xL
下页
例 3 计算 ? ?L dyxx y d x 22 ? 其 中 L 为
(1)抛物线 y?x2上从 O(0?0)到 B(1?1)的一段弧 ?
(2)抛物线 x?y2上从 O(0?0)到 B(1?1)的一段弧 ?
(3)从 O(0?0)到 A(1?0)?再到 B(1? 1)的有向折线 OAB?
(1)L?y?x2? x从 0变到 1?所以解
14 10 3 ?? ? dxx ?
(2)L? x?y2? y从 0变到 1?所以
15 10 4 ?? ? dyy ?
?? ????? 10 22 )22(2 dxxxxdyx y d xL
?? ????? 10 422 )22(2 dyyyyydyxx y d xL
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(3)OA?y?0? x从 0变到 1?
AB? x?1? y从 0变到 1?
下页
例 3 计算 ? ?L dyxx y d x 22 ? 其 中 L 为
(1)抛物线 y?x2上从 O(0?0)到 B(1?1)的一段弧 ?
(2)抛物线 x?y2上从 O(0?0)到 B(1?1)的一段弧 ?
(3)从 O(0?0)到 A(1?0)?再到 B(1? 1)的有向折线 OAB?
解
?? ???? ABOA dyxx y d xdyxx y d x 22 22
所 以 ? ?L dyxx y d x 22
?? ??????? 1010 2 )102()002( dyydxxx
?0?1?1?
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解
到点 B(0?0? 0)的直线段 ?
例 4 计算 y d zxdyzydxxI 223 3 ??? ?? ? 其中 ? 是从点 A (3 ? 2 ? 1 )
dttttttI ? ?????? 01 223 ]2)3(2)2(33)3[( 48787 01 3 ??? ? dtt ?
dttttttI ? ?????? 01 223 ]2)3(2)2(33)3[( 48787 01 3 ??? ? dtt ? dttttttI ? ?????? 01 223 ]2)3(2)2(33)3[( 48787 01 ??? ? t ?
直线段 AB的方程是
123
zyx ?? ?
化为参数方程得
x?3t?y?2t?z?t?
t从 1变到 0?所以
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其中 0,???? ? kyxOM jir 是比例常数 ?
提示 ?
下页
例 5 一个质点 在力 F 的作用下从点 A ( a ? 0 ) 沿椭圆 12222 ?? byax
按逆时针方向移动到点 B(0? b)? F的大小与质点到原点的距离
成正比 ?方向恒指向原点 ?求力 F所作的功 W?
解
椭圆的参数方程为 x?acost?y?bsint?t从 0变到 ?
2
?
质点在点 M(x?y)处所受到的力为
)()||(|| jirrrF yxkk ??????? ?
于是 ?? ?????? BABA y d yx d xkk y d yk x d xW ??
? ???? 20 22 )c o ss i ns i nc o s(? dtttbttak
)()||(|| jirrrF yxkk ??????? ?
于是 ?? ?????? BABA y d yx d xkk y d yk x d xW ??
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例 5 一个质点 在力 F 的作用下从点 A ( a ? 0 ) 沿椭圆 12222 ?? byax
按逆时针方向移动到点 B(0? b)? F的大小与质点到原点的距离
成正比 ?方向恒指向原点 ?求力 F所作的功 W?
? ???? 20 22 )c o ss i ns i nc o s(? dtttbttak
)(2c o ss in)( 222022 bakt d ttbak ???? ?
?
?
其中 0,???? ? kyxOM jir 是比例常数 ?
解 质点在点 M(x?y)处所受到的力为
)()||(|| jirrrF yxkk ??????? ?
于是 ?? ?????? BABA y d yx d xkk y d yk x d xW ??
)()||(|| jirrrF yxkk ??????? ?
于是 ?? ?????? BABA y d yx d xkk y d yk x d xW ??
)(2c o ss in)( 222022 bakt d ttbak ???? ?
?
?
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三、两类曲线积分之间的联系
说明 ?
指向与有向曲线弧的走向一至的切向量称为有向曲线的
切向量 ?
设 ??(cos?? cos?)为光滑有向曲线弧 L上点 (x? y)处的单位
切向量 ? L的参数方程为 x??(t)? y??(t)? L的起点和终点所对应
的参数分别为 a和 b?则
? ?L dyyxQdxyxP ),(),(
? ???? ba dttttQtttP )}()](),([)()](),([{ ??????
? ??????? ???? ba dttttt tttQtttP )()()()( )()](),([)()](),([ 2222 ???? ??????
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三、两类曲线积分之间的联系
设 ??(cos?? cos?)为光滑有向曲线弧 L上点 (x? y)处的单位
切向量 ? L的参数方程为 x??(t)? y??(t)? L的起点和终点所对应
的参数分别为 a和 b?则
? ?L dyyxQdxyxP ),(),(
? ???? ba dttttQtttP )}()](),([)()](),([{ ??????
? ??????? ???? ba dttttt tttQtttP )()()()( )()](),([)()](),([ 2222 ???? ??????
? ?? L dsyxQyxP ]c o s),(c o s),([ ?? ?
即 ?? ??? LL dsyxQyxPdyyxQdxyxP ]c o s),(c o s),([),(),( ?? ?
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三、两类曲线积分之间的联系
设 ??(cos?? cos?)为光滑有向曲线弧 L上点 (x? y)处的单位
切向量 ?则
即 ?? ??? LL dsyxQyxPdyyxQdxyxP ]c o s),(c o s),([),(),( ?? ?
类似地 ?设 ??(cos??cos?? cos?)为有向曲线弧 ?上点 (x?y? z)
处的单位切向量 ?则
?? ?? ????? dsRQPR d zQ d yP d x ]c o sc o sc o s[ ??? ?
?? ?? ??? dsd ?ArA ? 或
其中 A?(P? Q? R)? dr??ds?(dx?dy?dz)?dr称为有向曲线元 ?
结束
二、对坐标的曲线积分的计算
§ 10.2 对坐标的曲线积分
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三、两类曲线积分之间的联系
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一、对坐标的曲线积分的概念与性质
?变力沿曲线所作的功
质点在变力 F(x?y)?P(x? y)i?Q(x?y)j的作用下从点 A沿光
滑曲线弧 L移动到点 B?求变力 F(x?y)所作的功 ?
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P(?i??i)?xi?Q(?i??i)?yi ?[ ]n
i 1?
?
提示 ?
?把 L分成 n个小弧段 ?L1? L2????? Ln?
求功的过程 ?
?变力在 Li上所作的功的近似值为 ?
0lim??
变力在 上所作的功的近似值为 ?变力在 上所作的功的精确值为
其中 ?是各小弧段长度的最大值 ?
F在 Li上所作的功 Wi?F(?i? ?i)??si?
>>>光滑曲线
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?对坐标的曲线积分
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?设函数 P(x?y),Q(x?y)在有向光滑曲线弧 L上有界 ?
?把 L分成 n个有向小弧段 L1? L2? ? ? ?? Ln? 其中 Li是从 (xi?1? yi?1)到
(xi? yi)的小弧段 ?记 ?xi?xi?xi?1??yi?yi?yi?1?
?在小弧段 Li上任取一点 (?i??)?
?令 ?为各小弧段长度的最大值 ?
?如果极限 总存在 ?则称此极限为函数 P(x?y)
在有向曲线弧 L上对坐标 x的曲线积分 ?记作 ?
iii
n
i
xP ?
??
? ),(lim
10
??
?
?L dxyxP ),(
?L dyyxQ ),(
iii
n
i
yQ ?
??
? ),(lim
10
??
?
?如果极限 总存在 ?则称此极限为函数 Q(x?y)
在有向曲线弧 L上对坐标 y的曲线积分 ?记作 ?
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?对坐标的曲线积分
iii
n
iL
xPdxyxP ??
??
?? ),(lim),(
10
??
?
?
iii
n
iL
yQdyyxQ ??
??
?? ),(lim),(
10
??
?
?
?在积分中 P(x?y),Q(x?y)叫做被积函数 ?L叫做积分弧段 ?
说明 ?
?对坐标的曲线积分也叫第二类曲线积分 ?
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iiii
n
iL
yQdyzyxQ ??
??
?? ),,(lim),,(
10
???
?
?
?对坐标的曲线积分
iii
n
iL
xPdxyxP ??
??
?? ),(lim),(
10
??
?
?
iii
n
iL
yQdyyxQ ??
??
?? ),(lim),(
10
??
?
?
说明 ?
?设 ?为空间内一条光滑有向曲线弧 ?函数 P(x? y? z),Q(x? y? z)、
R(x?y? z)在 ?上有定义 ?我们定义
iiii
n
iL
xPdxzyxP ??
??
?? ),,(lim),,(
10
???
?
?
iiii
n
iL
zRdzzyxR ??
??
?? ),,(lim),,(
10
???
?
?
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?对坐标的曲线积分的简写形式
在应用上经常出现的是
?? ? LL dyyxQdxyxP ),(),( ?
上式可记为
dyyxQdxyxPL ),(),( ?? ? 或 ? ?L dyx rF ),( ?
其中 F(x?y)?P(x? y)i?Q(x?y)j? dr?dxi?dyj?
类似地 ?有
其中 A?P(x? y? z)i?Q(x?y? z)j?R(x?y? z)k?dr?dxi?dyj?dzk?
R d zQ d yP d x ??? ??? ?? R d zQ d yP d x ??? ?? rA dL ?? ? ?
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?对坐标的曲线积分的性质
?性质 1 设 ?,?为常数 ?则
??? ?????? LLL dyxdyxdyxyx rFrFrFF ),(),()],(),([ 2121 ???? ?
?性质 2 若有向曲线弧 L可分成两段光滑的有向曲线弧 L1和 L2?
?性质 3 设 L是有向光滑曲线弧 ?L?是 L的反向曲线弧 ?则
?? ????? LL dyxdyx rFrF ),(),( ?
??? ????? 21 ),(),(),( LLL dyxdyxdyx rFrFrF ? 则
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提示 ?
二、对坐标的曲线积分的计算
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质点在变力 F(x?y)?P(x? y)i?Q(x?y)j的作用下沿光滑有向
曲线弧 L所作的功为
另一方面 ?在 L上任取一小段有向弧 ?其起点和终点对应
的参数分别为 t和 t?dt?得功元素
?F[?(t)??(t)]?dr
dr?(dx?dy)?(??(t)dt???(t)dt)?
dW
dyyxQdxyxPW L ),(),( ?? ? ? dyyxQdxyxPWL ),(),( ??? ?
设光滑有向曲线弧 L的参数方程为 x??(t)?y??(t)?且 L的起
点和终点所对应的参数分别为 ?和 ??
>>>图形
F[?(t)??(t)]?(P[?(t)??(t)]?Q[?(t)??(t)])?
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二、对坐标的曲线积分的计算
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质点在变力 F(x?y)?P(x? y)i?Q(x?y)j的作用下沿光滑有向
曲线弧 L所作的功为
另一方面 ?在 L上任取一小段有向弧 ?其起点和终点对应
的参数分别为 t和 t?dt?得功元素
?F[?(t)??(t)]?dr
?P[?(t)??(t)]??(t)dt?Q[?(t)??(t)]??(t)dt?
dW
于是 ? ???? ?
? ?????? dttttQtttPW )}()](),([)()](),([{ ?
dyyxQdxyxPW L ),(),( ?? ? ? dyyxQdxyxPWL ),(),( ??? ?
设光滑有向曲线弧 L的参数方程为 x??(t)?y??(t)?且 L的起
点和终点所对应的参数分别为 ?和 ??
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二、对坐标的曲线积分的计算
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质点在变力 F(x?y)?P(x? y)i?Q(x?y)j的作用下沿光滑有向
曲线弧 L所作的功为
dyyxQdxyxPW L ),(),( ?? ? ?
? ???? ?? ?????? dttttQtttPW )}()](),([)()](),([{ ?
设光滑有向曲线弧 L的参数方程为 x??(t)?y??(t)?且 L的起
点和终点所对应的参数分别为 ?和 ??
这说明对坐标的曲线积分可以化为定积分来计算 ?
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?定理 (对坐标的曲线积分的计算公式 )
? ?L dyyxQdxyxP ),(),( 存在 ?并 且则曲线积分
?? ????? ?? ?????? dttttQtttPdyyxQdxyxPL )}()](),([)()](),([{),(),( ?
?? ????? ?? ?????? dttttQtttPdyyxQdxyxPL )}()](),([)()](),([{),(),( ?
设 P(x? y),Q(x?y)在有向光滑曲线弧 L上有定义且连续 ?
L的参数方程为 x??(t)?y??(t)?L的起点和终点对应的参数分别
为 ?和 ??
应注意的问题 ?
下限 a对应于 L的起点 ? 上限 ? 对应于 L的终点 ? ?不一定小
于 ??
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?? ????? ?? ?????? dttttQtttPdyyxQdxyxPL )}()](),([)()](),([{),(),( ?
设 L由 x??(t)?y??(t)给出 ?L以 t??为 起点以 t??为终点 ?则
设空间曲线 ?由 x??(t)?y??(t)?z??(t)给出 ??以 t??为 起点
以 t??为终点 ?问
讨论 ?
?? ?? dzzyxRdyzyxQdxzyxP ),,(),,(),,( ?？
提示 ?
?? ?? dzzyxRdyzyxQdxzyxP ),,(),,(),,( ?？
)()](),(),([)()](),(),([{ ttttQttttP ?????????? ???? ?
dtttttR )}()](),(),([ ???? ?? ?
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?? ????? ?? ?????? dttttQtttPdyyxQdxyxPL )}()](),([)()](),([{),(),( ?
设 L由 x??(t)?y??(t)给出 ?L以 t??为 起点以 t??为终点 ?则
例 1 计算 ? L x y d x ? 其中 L 为抛物线 y 2 ? x
上从点 A(1??1)到点 B(1?1)的一段弧 ?
解
L分为 AO和 OB两部分 ?
第一种方法 ?以 x为积分变量 ?
在 AO 上 ? xy ?? ? x 从 1 变到 0 ?
在 O B 上 ? xy ? ? x 从 0 变到 1 ?
因此 ??? ?? OBAOL x y d xx y d xx y d x 54)( 1001 ???? ?? dxxxdxxx ? 因此 ??? ?? OBAOL x y d xx y d xx y d x 54)( 1001 ???? ?? dxxxdxxx ? 因此 ?? ?? OBAOL xydxxydxxydx 54)( 1001 ???? ?? dxxxdxxx ?
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?? ????? ?? ?????? dttttQtttPdyyxQdxyxPL )}()](),([)()](),([{),(),( ?
设 L由 x??(t)?y??(t)给出 ?L以 t??为 起点以 t??为终点 ?则
例 1 计算 ? L x y d x ? 其中 L 为抛物线 y 2 ? x
上从点 A(1??1)到点 B(1?1)的一段弧 ?
解 第二种方法 ?以 y为积分变量 ?
在 L上 ? x?y2? y从 ?1变到 1?因此
?? ? ?? 1 1 22 )( dyyyyx y d xL 542 1 1 4 ?? ?? dyy ? ? ? ?? 1 1 22 )( dyyyyx y d xL 542 1 1 4 ?? ?? dy ?
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解 (1)L的参数方程为 x?acos??y?asin???从 0变到 ??因此
因此 ?? ?? ? ???0 222 )s in(s in daadxyL
3
0
23
3
4c o s)c o s1( ada ???? ?? ?? ?
例 2 计算 ?L dxy 2 ? 其 中 L 为
(1)按逆时针方向绕行的上半圆周 x2?y2?a2?
(2)从点 A(a?0)沿 x轴到点 B(?a?0)的直线段 ?
3
0
23
3
4cos)cos1( ada ???? ?? ?? ?
(2)L的方程为 y?0?x从 a变到 ?a?因此
002 ???? ?aaL dxdxy ? 0???? ? aaL dxdxy ?
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?? ????? 10 222 )22(2 dxxxxxdyxx y d xL
?? ????? 10 422 )22(2 dyyyyydyxx y d xL
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例 3 计算 ? ?L dyxx y d x 22 ? 其 中 L 为
(1)抛物线 y?x2上从 O(0?0)到 B(1?1)的一段弧 ?
(2)抛物线 x?y2上从 O(0?0)到 B(1?1)的一段弧 ?
(3)从 O(0?0)到 A(1?0)?再到 B(1? 1)的有向折线 OAB?
(1)L?y?x2? x从 0变到 1?所以解
14 10 3 ?? ? dxx ?
(2)L? x?y2? y从 0变到 1?所以
15 10 4 ?? ? dyy ?
?? ????? 10 22 )22(2 dxxxxdyx y d xL
?? ????? 10 422 )22(2 dyyyyydyxx y d xL
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(3)OA?y?0? x从 0变到 1?
AB? x?1? y从 0变到 1?
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例 3 计算 ? ?L dyxx y d x 22 ? 其 中 L 为
(1)抛物线 y?x2上从 O(0?0)到 B(1?1)的一段弧 ?
(2)抛物线 x?y2上从 O(0?0)到 B(1?1)的一段弧 ?
(3)从 O(0?0)到 A(1?0)?再到 B(1? 1)的有向折线 OAB?
解
?? ???? ABOA dyxx y d xdyxx y d x 22 22
所 以 ? ?L dyxx y d x 22
?? ??????? 1010 2 )102()002( dyydxxx
?0?1?1?
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解
到点 B(0?0? 0)的直线段 ?
例 4 计算 y d zxdyzydxxI 223 3 ??? ?? ? 其中 ? 是从点 A (3 ? 2 ? 1 )
dttttttI ? ?????? 01 223 ]2)3(2)2(33)3[( 48787 01 3 ??? ? dtt ?
dttttttI ? ?????? 01 223 ]2)3(2)2(33)3[( 48787 01 3 ??? ? dtt ? dttttttI ? ?????? 01 223 ]2)3(2)2(33)3[( 48787 01 ??? ? t ?
直线段 AB的方程是
123
zyx ?? ?
化为参数方程得
x?3t?y?2t?z?t?
t从 1变到 0?所以
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其中 0,???? ? kyxOM jir 是比例常数 ?
提示 ?
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例 5 一个质点 在力 F 的作用下从点 A ( a ? 0 ) 沿椭圆 12222 ?? byax
按逆时针方向移动到点 B(0? b)? F的大小与质点到原点的距离
成正比 ?方向恒指向原点 ?求力 F所作的功 W?
解
椭圆的参数方程为 x?acost?y?bsint?t从 0变到 ?
2
?
质点在点 M(x?y)处所受到的力为
)()||(|| jirrrF yxkk ??????? ?
于是 ?? ?????? BABA y d yx d xkk y d yk x d xW ??
? ???? 20 22 )c o ss i ns i nc o s(? dtttbttak
)()||(|| jirrrF yxkk ??????? ?
于是 ?? ?????? BABA y d yx d xkk y d yk x d xW ??
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例 5 一个质点 在力 F 的作用下从点 A ( a ? 0 ) 沿椭圆 12222 ?? byax
按逆时针方向移动到点 B(0? b)? F的大小与质点到原点的距离
成正比 ?方向恒指向原点 ?求力 F所作的功 W?
? ???? 20 22 )c o ss i ns i nc o s(? dtttbttak
)(2c o ss in)( 222022 bakt d ttbak ???? ?
?
?
其中 0,???? ? kyxOM jir 是比例常数 ?
解 质点在点 M(x?y)处所受到的力为
)()||(|| jirrrF yxkk ??????? ?
于是 ?? ?????? BABA y d yx d xkk y d yk x d xW ??
)()||(|| jirrrF yxkk ??????? ?
于是 ?? ?????? BABA y d yx d xkk y d yk x d xW ??
)(2c o ss in)( 222022 bakt d ttbak ???? ?
?
?
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三、两类曲线积分之间的联系
说明 ?
指向与有向曲线弧的走向一至的切向量称为有向曲线的
切向量 ?
设 ??(cos?? cos?)为光滑有向曲线弧 L上点 (x? y)处的单位
切向量 ? L的参数方程为 x??(t)? y??(t)? L的起点和终点所对应
的参数分别为 a和 b?则
? ?L dyyxQdxyxP ),(),(
? ???? ba dttttQtttP )}()](),([)()](),([{ ??????
? ??????? ???? ba dttttt tttQtttP )()()()( )()](),([)()](),([ 2222 ???? ??????
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三、两类曲线积分之间的联系
设 ??(cos?? cos?)为光滑有向曲线弧 L上点 (x? y)处的单位
切向量 ? L的参数方程为 x??(t)? y??(t)? L的起点和终点所对应
的参数分别为 a和 b?则
? ?L dyyxQdxyxP ),(),(
? ???? ba dttttQtttP )}()](),([)()](),([{ ??????
? ??????? ???? ba dttttt tttQtttP )()()()( )()](),([)()](),([ 2222 ???? ??????
? ?? L dsyxQyxP ]c o s),(c o s),([ ?? ?
即 ?? ??? LL dsyxQyxPdyyxQdxyxP ]c o s),(c o s),([),(),( ?? ?
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三、两类曲线积分之间的联系
设 ??(cos?? cos?)为光滑有向曲线弧 L上点 (x? y)处的单位
切向量 ?则
即 ?? ??? LL dsyxQyxPdyyxQdxyxP ]c o s),(c o s),([),(),( ?? ?
类似地 ?设 ??(cos??cos?? cos?)为有向曲线弧 ?上点 (x?y? z)
处的单位切向量 ?则
?? ?? ????? dsRQPR d zQ d yP d x ]c o sc o sc o s[ ??? ?
?? ?? ??? dsd ?ArA ? 或
其中 A?(P? Q? R)? dr??ds?(dx?dy?dz)?dr称为有向曲线元 ?
结束
