一、利用直角坐标计算二重积分
二、利用极坐标计算二重积分
§ 9.2 二重积分的计算法
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一、利用直角坐标计算二重积分
如果区域 D可以表示为不等式
j1(x)?y?j2(x),a?x?b,
则称区域 D为 X型区域,
?X型区域与 Y型区域
如果区域 D可以表示为不等式
y1(y)?x?y2(y),c?y?d,
则称区域 D为 Y型区域,
有的区域 既 是 X型区域又是 Y型区
域,而有的区域既不是 X型区域又不是
Y型区域,但它总可以表示为若干个 X
型区域和 Y型区域的并,
下页
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提示 ?
z?f(x,y)为顶,以区域 D为底的曲顶柱体的体积,
此时 二重积分 ?dyxf
D
?? ),( 在几何上表示以曲面 z ? f ( x,y )
提示
截面是以区间 [j1(x0),j2(x0)]为底, 以曲线 z?f(x0,y)为曲
边的曲边梯形,
提示
根据平行截面面积为已知的立体体积的求法,
?? )( )( 00 02 01 ),()( xx dyyxfxA jj,
设 f(x,y)?0,D?{(x,y)|j1(x)?y?j2(x),a?x?b},
?二重积分的计算
对于 x0?[a,b],曲顶柱体在 x?x0的截面面积为
曲顶柱体体积为
下页
?? ba dxxAV )( dxdyyxfba xx? ?? ]),([ )( )(21jj,
?? ba dxxAV )( dxdyyxfba xx? ?? ]),([ )( )(21jj,
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即 dxdyyxfdyxfV b
a
x
x
D
? ??? ?? ]),([),( )( )(21jj?,
注 ?计算一般二重积分只需取消 f(x,y)?0的限制,
下页
?? )( )( 00 02 01 ),()( xx dyyxfxA jj,
设 f(x,y)?0,D?{(x,y)|j1(x)?y?j2(x),a?x?b},
?二重积分的计算
对于 x0?[a,b],曲顶柱体在 x?x0的截面面积为
曲顶柱体体积为
?? ba dxxAV )( dxdyyxfba xx? ?? ]),([ )( )(21jj,
?? ba dxxAV )( dxdyyxfba xx? ?? ]),([ )( )(21jj,
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dxdyyxfdyxf b
a
x
x
D
? ??? ? ]),([),( )( )(21jj?,
? ??? ? ba xx
D
dyyxfdxdyxf )(
)(
2
1
),(),( j
j
?,
如果 D是 X型区域 ? D?{(x,y)|j1(x)?y?j2(x),a?x?b},则
上式也可以记为
如果 D是 Y型区域 ? D?{(x,y)|y1(y)?x?y2(y),c?y?d},则
下页
?二重积分的计算
?
?
?
?
?
先对 x后对 y
的二次积分
? ??? ? dc yy
D
dydxyxfdyxf )(
)(
2
1
]),([),( y
y
?
? ?? dc yy dxyxfdy )( )(21 ),(yy,
?
?
?
?
?
先对 y后对 x
的二次积分
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? ??? ? dc yy
D
dydxyxfdyxf )(
)(
2
1
]),([),( y
y
?,
? ??? ? ba xx
D
dyyxfdxdyxf )(
)(
2
1
),(),( j
j
?,
如果 D是 X型区域 ? j1(x)?y?j2(x),a?x?b,则
?计算二重积分的步骤
如果 D是 Y型区域 ? y1(y)?x?y2(y),c?y?d,则
(1)画出积分区域 D的草图,
(2)用不等式组表示积分区域 D,
(3)把二重积分表示为二次积分 ?
(4)计算二次积分,
下页
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解 画出区域 D,
方法一,把 D看成是 X型区域 ?
于是
D? 1?x?2,1?y?x,
下页
围成的闭区域,
例 1 计算 ?dxy
D
??,其中 D 是由直线 y ? 1, x ? 2 及 y ? x 所
? ??? ? 21 1 ][ x
D
dxxydydxy ?
?? ???? 21 321 12 )(21]2[ dxxxdxyx x 89]24[21 2124 ??? xx,
? ??? ? 21 1 ][ x
D
dxx y d ydxy
?? ???? 21 321 12 )(21]2[ dxxxdxyx x 89]24[21 2124 ??? xx, ?? ???? 21 321 12 )(21]2[ dxxxdxyx x 89]24[21 2124 ??? xx,
注 ?
? ?? ??? ?? 21 121 1 xx
D
y d yx d xx y d ydxdxy ?, 积分还可以写成 ? ?? ??? ?? 2
1 1
2
1 1
x
D
y d yx d xx y d ydxdxy ?,
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? ??? ? 21 2 ][ y
D
dyxydxdxy ?
D? 1?y?2,y?x?2,
下页
解 画出区域 D,
方法二,把 D看成是 Y型区域 ?
围成的闭区域,
例 1 计算 ?dxy
D
??,其中 D 是由直线 y ? 1, x ? 2 及 y ? x 所
于是
?? ???? 21 321 22 )22(]2[ dyyydyxy y 89]8[ 2142 ??? yy,
? ??? ? 21 2 ][ y
D
dyx y d xdxy
?? ???? 21 321 22 )22(]2[ dyyydyxy y 89]8[ 2142 ??? yy, ?? ???? 21 321 22 )22(]2[ dyyydyxy y 89]8[ 2142 ??? yy,
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分析 积分区域可表示为 X型区域
D? ?1?y?1,?1?x<y,
D? ?1?x?1,x?y?1,
积分区域也可表示为 Y型区域
下页
及 y?x所围成的闭区域,
例 2 计算 ?dyxy
D
?? ?? 221,其中 D 是由直线 y ? 1, x ? ? 1
或 ? ???
? ?
????? 1
1 1
2222 11 y
D
dxyxy d ydyxy ?,
于 是 有 ???? ?????
?
1 221
1
22 11
x
D
dyyxydxdyxy ?,
提问 ?哪个二次积分容易计算？
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解 积分区域可表示为 X型区域
D? ?1?x?1,x?y?1,
及 y?x所围成的闭区域,
例 2 计算 ?dyxy
D
?? ?? 221,其中 D 是由直线 y ? 1, x ? ? 1
于 是 有 ???? ?????
?
1 221
1
22 11
x
D
dyyxydxdyxy ?,
?? ?? ??????? 1 1 31 1 12322 )1|(|31])1[(31 dxxdxyx x
2
1)1(
3
2 1
0
3 ???? ? dxx,
?? ?? ??????? 1 1 31 1 12322 )1|(|31])1[(31 dxxdxyx x
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分析 积分区域可表示为 D?D1+D2,其中
积分区域也可表示为
下页
所围成的闭区域,
例 3 计算 ?dxy
D
??,其中 D 是由直线 y ? x ? 2 及抛物线 y 2 ? x
D 1 ? 0 ? x ? 1,xyx ??? ? D 2 ? 1 ? x ? 4,xy ??2,
D??1?y?2,y2?x?y?2,
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D 1 ? 0 ? x ? 1,xyx ??? ? D 2 ? 1 ? x ? 4,xy ??2,
分析 积分区域可表示为 D?D1+D2,其中
积分区域也可表示为
D??1?y?2,y2?x?y?2,
所围成的闭区域,
例 3 计算 ?dxy
D
??,其中 D 是由直线 y ? x ? 2 及抛物线 y 2 ? x
于是 ? ?? ???
??
?? 4
1 2
1
0
x
x
x
x
D
x y d ydxx y d ydxdxy ?,
或 ? ???
?
?? 2
1
2
2
y
y
D
x y d xdydxy ?,
提问 ?哪个二次积分容易计算？
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解 积分区域可表示为 D??1?y?2,y2?x?y?2,
所围成的闭区域,
例 3 计算 ?dxy
D
??,其中 D 是由直线 y ? x ? 2 及抛物线 y 2 ? x
? ??? ? ?? 2 1 22yy
D
x y d xdydxy ?
?? ?? 21 22 2]2[ dyyx yy ?? ??? 21 52 ])2([21 dyyyy
8
55]
623
4
4[2
1 2
1
6234 ?????
?
yyyy,
?? ?? 21 22 2]2[ dyyx yy ?? ??? 21 5 ])2([21 dyyy
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提示 ? 由对称性,所求体积是第一卦限部分体积的 8倍,
例 4 求两个底圆半径都等于 R的直交圆柱面所围成的立
体的体积,
解 设这两个圆柱面的方程分别为
x2?y2?R2及 x2?z2?R2.
所求立体的体积为
下页
为底,以 曲 面 22 xRz ?? 顶的曲顶柱体,
第一卦限部分是以 区 域 }0,0|),{( 22 RxxRyyxD ?????? 为底,
?dxRV
D
?? ?? 228
? ? ? ?? R xR dyxRdx0 0 22228
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例 4 求两个底圆半径都等于 R的直交圆柱面所围成的立
体的体积,
解 设这两个圆柱面的方程分别为
x2?y2?R2及 x2?z2?R2.
所求立体的体积为
?dxRV
D
?? ?? 228
? ? ? ?? R xR dyxRdx0 0 22228
? ??? R xR dxyxR0 022 22][8
3
0
22
3
16)(8 RdxxRR ??? ?,
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二、利用极坐标计算二重积分
有些二重积分,其 积分区域 D或其被积函数用极坐标变量
r,q 表达比较简单, 这时我们就可以考虑利用极坐标来计算
二重积分,
下页
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提示 ?
我们用从极点 O出发的一族射线与以极点为中心的一族
同心圆构成的网将区域 D分为 n个小闭区域,
小区域 ??i的面积为 ?
下页
iiiiii q?q??? ?????????? 22 21)(21
iiii q??? ?????? )2(21
iiiii q?
??? ????????
2
)(
iii q?? ???,
iiiiii q?q??? ?????????? 22 2
1)(
2
1
iii q?? ???,iiiiii q?q??? ?????????? 22 2
1)(
2
1
iii q?? ??,
其中 i? 表示相邻两圆弧的 半径的平均值,
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则有 iiiiii q??q?? s i n,c o s ??, 于是
下页
我们用从极点 O出发的一族射线与以极点为中心的一族
同心圆构成的网将区域 D分为 n个小闭区域,
小区域 ??i的面积为 ?
iiiiii q?q??? ?????????? 22 2
1)(
2
1
iii q?? ???,iiiiii q?q??? ?????????? 22 2
1)(
2
1
iii q?? ??,
其中 i? 表示相邻两圆弧的 半径的平均值,
在 ? ? i 内取点 ),( ii q?,设其 直角坐标为 ( ? i,? i ),
iiiiiii
n
i
iii
n
i
ff q??q?q????
??
????
????
?? )s i n,c o s (lim),(lim
1010
,
即 q??q?q?? ddfdyxf
DD
)s i n,c o s(),( ???? ?,
则有 iiiiii q??q?? sin,cos ??, 于是
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??q?q?qq??q?q?
qj
qj
?
?
dfdddf
D
???? ?
)(
)(
2
1
)s in,c o s()s in,c o s(,
即 q??q?q?? ddfdyxf
DD
)s i n,c o s(),( ???? ?,
?在极坐标系下的二重积分
?在极坐标系下二重积分的计算
如果积分区域可表示为 D?j1(q)???j2(q),??q??,则
下页
???q?qq??q?q?
qj
qj
?
?
dfdddf
D
???? ?
)(
)(
2
1
)s i n,c o s()s i n,c o s(,
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提示 ?
下页
( 2 ) ??q?q?qq??q?q? qj? dfdddf
D
???? ? )(020 )s i n,c o s()s i n,c o s(,
讨论 ?
区域如下图,如何确定积分限?
(1) (2)
( 2 ) ??q?q?qq??q?q? qj? dfdddf
D
???? ? )(020 )s in,c o s()s in,c o s(,
( 1 ) ??q?q?qq??q?q? qj?
?
dfdddf
D
???? ? )(0 )s in,c o s()s in,c o s(, ( 1 ) ??q?q?qq??q?q? qj?? dfdddf
D
???? ? )(0 )s i n,c o s()s i n,c o s(,
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解
下页
例 5 计算 ?? ??
D
yx d x d ye 22,其中 D 是由中心在原点、半径
为 a的圆周所围成的闭区域,
在极坐标系中,闭区域 D可表示为 ?0???a,0?q?2?.
于是 ???? ??? ?
DD
yx dded x d ye q??? 222 于是 ???? ??? ?
DD
yx dded x d ye q??? 222
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qq?? ? ?? ? dedde aa 02020 0 ]21[ ][ 22 ?? ? ?? ???
下页
利用上述结果可以计算广义积分 dxe x 20 ????,
解
例 5 计算 ?? ??
D
yx d x d ye 22,其中 D 是由中心在原点、半径
为 a的圆周所围成的闭区域,
在极坐标系中,闭区域 D可表示为 ?0???a,0?q?2?.
于是 ???? ??? ?
DD
yx dded x d ye q??? 222 于是 ???? ??? ?
DD
yx dded x d ye q??? 222
qq?? ? ?? ? dedde aa 02020 0 ]21[ ][ 22 ?? ? ?? ???
)1()1(21 22 20 aa ede ?? ???? ? ?q?, )1()1(21 22 20 aa ede ?? ???? ? ?q?,
>>>
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0 ? ? ? 2 a c o s q,2 0 ?q ??,
下页
例 6 求球体 x2?y2?z2?4a2被圆柱面 x2?y2?2ax所截得的 (含
在圆柱面内的部分 )立体的体积,
解 由对称性,立体体积为第一卦限部分的四倍,
?? ???
D
d x d yyxaV 22244,
其中 D 为半圆周 22 xaxy ?? 及 x 轴所围成的闭区域,
在极坐标系中 D可表示为
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例 6 求球体 x2?y2?z2?4a2被圆柱面 x2?y2?2ax所截得的 (含
在圆柱面内的部分 )立体的体积,
解 由对称性,立体体积为第一卦限部分的四倍,
?? ???
D
d x d yyxaV 22244,
其中 D 为半圆周 22 xaxy ?? 及 x 轴所围成的闭区域,
在极坐标系中 D可表示为
)322(332)s in1(332 220 32 ???? ? ?qq
?
ada, )322(332)s in1(332 220 32 ???? ? ?qq
?
ada,
于是 ? ??? ???? 2
0
c o s2
0
2222 4444
? q
???qq??? a
D
dadddaV 于是 ? ??? ???? 20 c o s20 2222 4444
? q
???qq??? a
D
dadddaV
0 ? ? ? 2 a c o s q,2 0 ?q ??,
二、利用极坐标计算二重积分
§ 9.2 二重积分的计算法
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一、利用直角坐标计算二重积分
如果区域 D可以表示为不等式
j1(x)?y?j2(x),a?x?b,
则称区域 D为 X型区域,
?X型区域与 Y型区域
如果区域 D可以表示为不等式
y1(y)?x?y2(y),c?y?d,
则称区域 D为 Y型区域,
有的区域 既 是 X型区域又是 Y型区
域,而有的区域既不是 X型区域又不是
Y型区域,但它总可以表示为若干个 X
型区域和 Y型区域的并,
下页
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提示 ?
z?f(x,y)为顶,以区域 D为底的曲顶柱体的体积,
此时 二重积分 ?dyxf
D
?? ),( 在几何上表示以曲面 z ? f ( x,y )
提示
截面是以区间 [j1(x0),j2(x0)]为底, 以曲线 z?f(x0,y)为曲
边的曲边梯形,
提示
根据平行截面面积为已知的立体体积的求法,
?? )( )( 00 02 01 ),()( xx dyyxfxA jj,
设 f(x,y)?0,D?{(x,y)|j1(x)?y?j2(x),a?x?b},
?二重积分的计算
对于 x0?[a,b],曲顶柱体在 x?x0的截面面积为
曲顶柱体体积为
下页
?? ba dxxAV )( dxdyyxfba xx? ?? ]),([ )( )(21jj,
?? ba dxxAV )( dxdyyxfba xx? ?? ]),([ )( )(21jj,
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即 dxdyyxfdyxfV b
a
x
x
D
? ??? ?? ]),([),( )( )(21jj?,
注 ?计算一般二重积分只需取消 f(x,y)?0的限制,
下页
?? )( )( 00 02 01 ),()( xx dyyxfxA jj,
设 f(x,y)?0,D?{(x,y)|j1(x)?y?j2(x),a?x?b},
?二重积分的计算
对于 x0?[a,b],曲顶柱体在 x?x0的截面面积为
曲顶柱体体积为
?? ba dxxAV )( dxdyyxfba xx? ?? ]),([ )( )(21jj,
?? ba dxxAV )( dxdyyxfba xx? ?? ]),([ )( )(21jj,
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dxdyyxfdyxf b
a
x
x
D
? ??? ? ]),([),( )( )(21jj?,
? ??? ? ba xx
D
dyyxfdxdyxf )(
)(
2
1
),(),( j
j
?,
如果 D是 X型区域 ? D?{(x,y)|j1(x)?y?j2(x),a?x?b},则
上式也可以记为
如果 D是 Y型区域 ? D?{(x,y)|y1(y)?x?y2(y),c?y?d},则
下页
?二重积分的计算
?
?
?
?
?
先对 x后对 y
的二次积分
? ??? ? dc yy
D
dydxyxfdyxf )(
)(
2
1
]),([),( y
y
?
? ?? dc yy dxyxfdy )( )(21 ),(yy,
?
?
?
?
?
先对 y后对 x
的二次积分
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? ??? ? dc yy
D
dydxyxfdyxf )(
)(
2
1
]),([),( y
y
?,
? ??? ? ba xx
D
dyyxfdxdyxf )(
)(
2
1
),(),( j
j
?,
如果 D是 X型区域 ? j1(x)?y?j2(x),a?x?b,则
?计算二重积分的步骤
如果 D是 Y型区域 ? y1(y)?x?y2(y),c?y?d,则
(1)画出积分区域 D的草图,
(2)用不等式组表示积分区域 D,
(3)把二重积分表示为二次积分 ?
(4)计算二次积分,
下页
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解 画出区域 D,
方法一,把 D看成是 X型区域 ?
于是
D? 1?x?2,1?y?x,
下页
围成的闭区域,
例 1 计算 ?dxy
D
??,其中 D 是由直线 y ? 1, x ? 2 及 y ? x 所
? ??? ? 21 1 ][ x
D
dxxydydxy ?
?? ???? 21 321 12 )(21]2[ dxxxdxyx x 89]24[21 2124 ??? xx,
? ??? ? 21 1 ][ x
D
dxx y d ydxy
?? ???? 21 321 12 )(21]2[ dxxxdxyx x 89]24[21 2124 ??? xx, ?? ???? 21 321 12 )(21]2[ dxxxdxyx x 89]24[21 2124 ??? xx,
注 ?
? ?? ??? ?? 21 121 1 xx
D
y d yx d xx y d ydxdxy ?, 积分还可以写成 ? ?? ??? ?? 2
1 1
2
1 1
x
D
y d yx d xx y d ydxdxy ?,
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? ??? ? 21 2 ][ y
D
dyxydxdxy ?
D? 1?y?2,y?x?2,
下页
解 画出区域 D,
方法二,把 D看成是 Y型区域 ?
围成的闭区域,
例 1 计算 ?dxy
D
??,其中 D 是由直线 y ? 1, x ? 2 及 y ? x 所
于是
?? ???? 21 321 22 )22(]2[ dyyydyxy y 89]8[ 2142 ??? yy,
? ??? ? 21 2 ][ y
D
dyx y d xdxy
?? ???? 21 321 22 )22(]2[ dyyydyxy y 89]8[ 2142 ??? yy, ?? ???? 21 321 22 )22(]2[ dyyydyxy y 89]8[ 2142 ??? yy,
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分析 积分区域可表示为 X型区域
D? ?1?y?1,?1?x<y,
D? ?1?x?1,x?y?1,
积分区域也可表示为 Y型区域
下页
及 y?x所围成的闭区域,
例 2 计算 ?dyxy
D
?? ?? 221,其中 D 是由直线 y ? 1, x ? ? 1
或 ? ???
? ?
????? 1
1 1
2222 11 y
D
dxyxy d ydyxy ?,
于 是 有 ???? ?????
?
1 221
1
22 11
x
D
dyyxydxdyxy ?,
提问 ?哪个二次积分容易计算？
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解 积分区域可表示为 X型区域
D? ?1?x?1,x?y?1,
及 y?x所围成的闭区域,
例 2 计算 ?dyxy
D
?? ?? 221,其中 D 是由直线 y ? 1, x ? ? 1
于 是 有 ???? ?????
?
1 221
1
22 11
x
D
dyyxydxdyxy ?,
?? ?? ??????? 1 1 31 1 12322 )1|(|31])1[(31 dxxdxyx x
2
1)1(
3
2 1
0
3 ???? ? dxx,
?? ?? ??????? 1 1 31 1 12322 )1|(|31])1[(31 dxxdxyx x
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分析 积分区域可表示为 D?D1+D2,其中
积分区域也可表示为
下页
所围成的闭区域,
例 3 计算 ?dxy
D
??,其中 D 是由直线 y ? x ? 2 及抛物线 y 2 ? x
D 1 ? 0 ? x ? 1,xyx ??? ? D 2 ? 1 ? x ? 4,xy ??2,
D??1?y?2,y2?x?y?2,
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D 1 ? 0 ? x ? 1,xyx ??? ? D 2 ? 1 ? x ? 4,xy ??2,
分析 积分区域可表示为 D?D1+D2,其中
积分区域也可表示为
D??1?y?2,y2?x?y?2,
所围成的闭区域,
例 3 计算 ?dxy
D
??,其中 D 是由直线 y ? x ? 2 及抛物线 y 2 ? x
于是 ? ?? ???
??
?? 4
1 2
1
0
x
x
x
x
D
x y d ydxx y d ydxdxy ?,
或 ? ???
?
?? 2
1
2
2
y
y
D
x y d xdydxy ?,
提问 ?哪个二次积分容易计算？
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解 积分区域可表示为 D??1?y?2,y2?x?y?2,
所围成的闭区域,
例 3 计算 ?dxy
D
??,其中 D 是由直线 y ? x ? 2 及抛物线 y 2 ? x
? ??? ? ?? 2 1 22yy
D
x y d xdydxy ?
?? ?? 21 22 2]2[ dyyx yy ?? ??? 21 52 ])2([21 dyyyy
8
55]
623
4
4[2
1 2
1
6234 ?????
?
yyyy,
?? ?? 21 22 2]2[ dyyx yy ?? ??? 21 5 ])2([21 dyyy
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提示 ? 由对称性,所求体积是第一卦限部分体积的 8倍,
例 4 求两个底圆半径都等于 R的直交圆柱面所围成的立
体的体积,
解 设这两个圆柱面的方程分别为
x2?y2?R2及 x2?z2?R2.
所求立体的体积为
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为底,以 曲 面 22 xRz ?? 顶的曲顶柱体,
第一卦限部分是以 区 域 }0,0|),{( 22 RxxRyyxD ?????? 为底,
?dxRV
D
?? ?? 228
? ? ? ?? R xR dyxRdx0 0 22228
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例 4 求两个底圆半径都等于 R的直交圆柱面所围成的立
体的体积,
解 设这两个圆柱面的方程分别为
x2?y2?R2及 x2?z2?R2.
所求立体的体积为
?dxRV
D
?? ?? 228
? ? ? ?? R xR dyxRdx0 0 22228
? ??? R xR dxyxR0 022 22][8
3
0
22
3
16)(8 RdxxRR ??? ?,
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二、利用极坐标计算二重积分
有些二重积分,其 积分区域 D或其被积函数用极坐标变量
r,q 表达比较简单, 这时我们就可以考虑利用极坐标来计算
二重积分,
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提示 ?
我们用从极点 O出发的一族射线与以极点为中心的一族
同心圆构成的网将区域 D分为 n个小闭区域,
小区域 ??i的面积为 ?
下页
iiiiii q?q??? ?????????? 22 21)(21
iiii q??? ?????? )2(21
iiiii q?
??? ????????
2
)(
iii q?? ???,
iiiiii q?q??? ?????????? 22 2
1)(
2
1
iii q?? ???,iiiiii q?q??? ?????????? 22 2
1)(
2
1
iii q?? ??,
其中 i? 表示相邻两圆弧的 半径的平均值,
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则有 iiiiii q??q?? s i n,c o s ??, 于是
下页
我们用从极点 O出发的一族射线与以极点为中心的一族
同心圆构成的网将区域 D分为 n个小闭区域,
小区域 ??i的面积为 ?
iiiiii q?q??? ?????????? 22 2
1)(
2
1
iii q?? ???,iiiiii q?q??? ?????????? 22 2
1)(
2
1
iii q?? ??,
其中 i? 表示相邻两圆弧的 半径的平均值,
在 ? ? i 内取点 ),( ii q?,设其 直角坐标为 ( ? i,? i ),
iiiiiii
n
i
iii
n
i
ff q??q?q????
??
????
????
?? )s i n,c o s (lim),(lim
1010
,
即 q??q?q?? ddfdyxf
DD
)s i n,c o s(),( ???? ?,
则有 iiiiii q??q?? sin,cos ??, 于是
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??q?q?qq??q?q?
qj
qj
?
?
dfdddf
D
???? ?
)(
)(
2
1
)s in,c o s()s in,c o s(,
即 q??q?q?? ddfdyxf
DD
)s i n,c o s(),( ???? ?,
?在极坐标系下的二重积分
?在极坐标系下二重积分的计算
如果积分区域可表示为 D?j1(q)???j2(q),??q??,则
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???q?qq??q?q?
qj
qj
?
?
dfdddf
D
???? ?
)(
)(
2
1
)s i n,c o s()s i n,c o s(,
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提示 ?
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( 2 ) ??q?q?qq??q?q? qj? dfdddf
D
???? ? )(020 )s i n,c o s()s i n,c o s(,
讨论 ?
区域如下图,如何确定积分限?
(1) (2)
( 2 ) ??q?q?qq??q?q? qj? dfdddf
D
???? ? )(020 )s in,c o s()s in,c o s(,
( 1 ) ??q?q?qq??q?q? qj?
?
dfdddf
D
???? ? )(0 )s in,c o s()s in,c o s(, ( 1 ) ??q?q?qq??q?q? qj?? dfdddf
D
???? ? )(0 )s i n,c o s()s i n,c o s(,
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解
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例 5 计算 ?? ??
D
yx d x d ye 22,其中 D 是由中心在原点、半径
为 a的圆周所围成的闭区域,
在极坐标系中,闭区域 D可表示为 ?0???a,0?q?2?.
于是 ???? ??? ?
DD
yx dded x d ye q??? 222 于是 ???? ??? ?
DD
yx dded x d ye q??? 222
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qq?? ? ?? ? dedde aa 02020 0 ]21[ ][ 22 ?? ? ?? ???
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利用上述结果可以计算广义积分 dxe x 20 ????,
解
例 5 计算 ?? ??
D
yx d x d ye 22,其中 D 是由中心在原点、半径
为 a的圆周所围成的闭区域,
在极坐标系中,闭区域 D可表示为 ?0???a,0?q?2?.
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)1()1(21 22 20 aa ede ?? ???? ? ?q?, )1()1(21 22 20 aa ede ?? ???? ? ?q?,
>>>
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0 ? ? ? 2 a c o s q,2 0 ?q ??,
下页
例 6 求球体 x2?y2?z2?4a2被圆柱面 x2?y2?2ax所截得的 (含
在圆柱面内的部分 )立体的体积,
解 由对称性,立体体积为第一卦限部分的四倍,
?? ???
D
d x d yyxaV 22244,
其中 D 为半圆周 22 xaxy ?? 及 x 轴所围成的闭区域,
在极坐标系中 D可表示为
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例 6 求球体 x2?y2?z2?4a2被圆柱面 x2?y2?2ax所截得的 (含
在圆柱面内的部分 )立体的体积,
解 由对称性,立体体积为第一卦限部分的四倍,
?? ???
D
d x d yyxaV 22244,
其中 D 为半圆周 22 xaxy ?? 及 x 轴所围成的闭区域,
在极坐标系中 D可表示为
)322(332)s in1(332 220 32 ???? ? ?qq
?
ada, )322(332)s in1(332 220 32 ???? ? ?qq
?
ada,
于是 ? ??? ???? 2
0
c o s2
0
2222 4444
? q
???qq??? a
D
dadddaV 于是 ? ??? ???? 20 c o s20 2222 4444
? q
???qq??? a
D
dadddaV
0 ? ? ? 2 a c o s q,2 0 ?q ??,
