一、对坐标的曲面积分的概念与性质
二、对坐标的曲面积分的计算法
三、两类曲面积分之间的联系
§ 10.5 对坐标的曲面积分
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当 cos??0时 ?n所指的一侧是上侧 ?
当 cos??0时 ?n所指的一侧是下侧 ?
一、对坐标的曲面积分的概念与性质
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?有向曲面
通常我们遇到的曲面都是双侧的 ?
例如 ?由方程 z?z(x?y)表示的曲面分为上侧与下侧 ?
设 n?(cos?? cos?? cos?)为曲面上的法向量 ?
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当 cos??0时 ?n所指的一侧是上侧 ? 当 cos??0时 ?n所指的
一侧是下侧 ?
一、对坐标的曲面积分的概念与性质
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?有向曲面
通常我们遇到的曲面都是双侧的 ?
例如 ?由方程 z?z(x?y)表示的曲面分为上侧与下侧 ?
设 n?(cos?? cos?? cos?)为曲面上的法向量 ?
类似地 ?如果曲面的方程为 y?y(z?x)?则曲面分为左侧与
右侧 ?在曲面的右侧 cos??0?在曲面的左侧 cos??0?
如果曲面的方程为 x?x(y?z)?则曲面分为前侧与后侧 ?在
曲面的前侧 cos??0?在曲面的后侧 cos??0?
闭曲面有内侧与外侧之分 ?
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?曲面在坐标面上的投影
下页
在有向曲面 ?上取一小块曲面 ?S? 用 (??)xy表示 ?S在 xOy
面上的投影区域的面积 ? 假定 ?S上各点处的法向量与 z轴的夹
角 ?的余弦 cos?有相同的符号 (即 cos?都是正的或都是负的 )?
我们规定 ?S在 xOy面上的投影 (?S)xy为
类似地可以定义 ?S在
yOz面及在 zOx面上的投影
(?S)yz及 (?S)zx???
?
?
?
?
???
??
??
0c os 0
0c os )(
0c os )(
)(
?
??
??
xy
xy
xyS ?
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提示 ?通过 ?Si流向指定侧的流量近似为 ?
vi?ni?Si ?
iii
n
i
S??
?
? nv
1
?
?流向曲面一侧的流量
相关知识 下页
设稳定流动的不可压缩流体的速度场由
v(x?y? z)?(P(x? y? z) ? Q(x? y? z) ? R(x? y? z))
给出 ??是速度场中的一片有向曲面 ?函数 v(x?y? z)在 ?上连续 ?
求在单位时间内流向 ?指定侧的流体的质量 ?即流量 ??
?把曲面 ?分成 n小块 ??S1??S2??????Sn(?Si也代表曲面面积 )?
?在 ?Si上任取一点 (?i??i??i )?
?通过 ?流向指定侧的流量 ?近似为 ?
>>>
>>>
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?流向曲面一侧的流量
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设稳定流动的不可压缩流体的速度场由
v(x?y? z)?(P(x? y? z) ? Q(x? y? z) ? R(x? y? z))
给出 ??是速度场中的一片有向曲面 ?函数 v(x?y? z)在 ?上连续 ?
求在单位时间内流向 ?指定侧的流体的质量 ?即流量 ??
?把曲面 ?分成 n小块 ??S1??S2??????Sn(?Si也代表曲面面积 )?
?在 ?Si上任取一点 (?i??i??i )?
?通过 ?流向指定侧的流量 ?近似为 ?
]))(,,())(,,())(,,([
1
xyiiiizxiiiiyziiii
n
i
SRSQSP ???????
?
? ????????? ?
?在上述和中 ?令各小曲面直径中的最大值 ??0?就得到流量 ?
的精确值 ?
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?对坐标的曲面积分的定义
下页
设 ?为光滑的有向曲面 ?函数 R(x? y? z)在 ?上有界 ?
把 ?任意分成 n块小曲面 ??S1??S2??????Sn(?Si也代表曲
面面积 )??Si在 xOy面上的投影为 (?Si)xy?(?i,?i,?i )是 ?Si上任意
取定的一点 ?如果当各小块曲面的直径的最大值 ??0时 ?极限
xyiiii
n
i
SR ))(,,(lim
10
?
??
? ????
总存在 ?则称此极限为函数 R(x?y? z)在有向曲面 ?上对坐标 x、
y 的曲面积分 ? 记作 ??
?
d x d yzyxR ),,( ? 即
??
?
dx dyzyxR ),,( xyiiii
n
i
SR ))(,,(lim
10
??
??
? ???? ?
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类似地 ?可定义对坐标 y,z的曲面积分和对坐标 z,x的曲
面积分 ?
下页
??
?
dx dyzyxR ),,( xyiiii
n
i
SR ))(,,(lim
10
??
??
? ???? ?
?对坐标的曲面积分的定义
?函数 R(x?y? z)在有向曲面 ?上对坐标 x,y的曲面积分 ?
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??
?
dx dyzyxR ),,( xyiiii
n
i
SR ))(,,(lim
10
??
??
? ???? ?
?对坐标的曲面积分的定义
?函数 R(x?y? z)在有向曲面 ?上对坐标 x,y的曲面积分 ?
?函数 P(x? y? z)在有向曲面 ?上对坐标 y,z的曲面积分 ?
yziiii
n
i
SPd y d zzyxP ))(,,(lim),,(
10
??
???
??? ???? ?
?函数 Q(x?y? z)在有向曲面 ?上对坐标 z,x的曲面积分 ?
zxiiii
n
i
SQd z d xzyxQ ))(,,(lim),,(
10
??
???
??? ???? ?
上述曲面积分也称为第二类曲面积分 ?其中 P,Q,R叫
做被积函数 ??叫做积分曲面 ?
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?对坐标的曲面积分的简写形式
d x d yzyxRd z d xzyxQd y d zzyxP ),,(),,(),,( ??? ??
?
?
在应用上出现较多的是
??????
???
?? d x d yzyxRd z d xzyxQd y d zzyxP ),,(),,(),,( ?
为简便起见 ?这种合起来的形式简记为
说明 ?
如果是分片光滑的有向曲面 ?我们规定函数在 ?上对坐标
的曲面积分等于函数在各片光滑曲面上对坐标的曲面积分之
和 ?
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?对坐标的曲面积分的性质
对坐标的曲面积分具有与对坐标的曲线积分类似的一些
性质 ?
(1)如果把 ?分成 ?1和 ?2?则
(2)设 ?是有向曲面 ???表示与 ?取相反侧的有向曲面 ?则
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R d x d yQ d z d xP d y d z ????
?
R d x d yQ d z d xP d y d zR d x d yQ d z d xP d y d z ?????? ????
?? 21
?
R d x d yQ d z d xP d y d zR d x d yQ d z d xP d y d z ?????? ????
?? ?
?
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二、对坐标的曲面积分的计算法
讨论 ?
如何把其它两个对坐标的曲面积分化为二重积分？
>>>
下页
设积分曲面 ?由方程 z?z(x? y)给出的 ? ?在 xOy面上的投影
区域为 Dxy ? 函数 z?z(x? y)在 Dxy上具有一阶连续偏导数 ? 被积函
数 R(x?y? z)在 ?上连续 ?则有
dx d yyxzyxRdx d yzyxR
xyD
)],(,,[),,( ???? ??
?
?
其中当 ?取上侧时 ?积分前取,?” ?当 ?取下侧时 ?积分前取
,?” ?
>>>
应注意的问题 ?
(3)曲面 ?取哪一侧 ?
(2)向哪个坐标面投影 ?(1)曲面 ?用什么方程表示 ?
(4)积分前取什么符号 ?
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d y d zxd y d zxd y d zx 222
43 ???
?????? ?? d y d zd y d za
yzyz DD
02 ???? ??
下页
方体 ?的整个表面的外侧 ???{(x?y? z)|0?x?a? 0?y?b?0?z?c}?
例 1 计算曲面积分 d x d yzd z d xyd y d zx 222 ??
?
?? ? 其中 ? 是长
把 ?的上下面分别记为 ?1和 ?2? 前后面分别记为 ?3和
?4?左右面分别记为 ?5和 ?6?
解
除 ?3,?4外 ? 其余四片曲面在 yOz面上的投影为零 ?因此
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d y d zxd y d zxd y d zx 222
43 ???
?????? ?? d y d zd y d za
yzyz DD
02 ???? ??
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方体 ?的整个表面的外侧 ???{(x?y? z)|0?x?a? 0?y?b?0?z?c}?
例 1 计算曲面积分 d x d yzd z d xyd y d zx 222 ??
?
?? ? 其中 ? 是长
把 ?的上下面分别记为 ?1和 ?2? 前后面分别记为 ?3和
?4?左右面分别记为 ?5和 ?6?
解
除 ?3,?4外 ? 其余四片曲面在 yOz面上的投影为零 ?因此
d y d zxd y d zxd y d zx 222
43 ???
?????? ?? d y d zd y d za
yzyz DD
02 ???? ??
?a2bc?
类似地可得
acbd z d xy 22 ?
?
?? ? abcd x d yz 22 ?
?
?? ?
于是所求曲面积分为 (a?b?c)abc?
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例 2 计算曲面积分 x y z d x d y
?
?? ? 其中 ? 是球面 x 2 ? y 2 ? z 2 ? 1
外侧在 x?0?y?0的部分 ?
把有向曲面 ?分成上下两部分 ?解
221 1,yxz ???? ( x ? 0 ? y ? 0) 的上侧 ?
222 1,yxz ????? ( x ? 0 ? y ? 0) 的下侧 ?
?1和 ?2在 xOy面上的投影区域都是
Dxy? x2?y2?1(x?0?y?0)?
于是 ??????
???
??
21
x y z d x d yx y z d x d yx y z d x d y
15
2)1(1 2222 ???????? ????
xyxy DD
d x dyyxxyd x dyyxxy ? 152)1(1 2222 ???????? ????
xyxy DD
dxdyyxxydxdyyxxy ? >>>
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三、两类曲面积分之间的联系
设 cos?,cos?,cos?是有向曲面 ?上点 (x?y? z)处的法向量
的方向余弦 ?则
综合起来有
>>>
下页
????
??
? dSzyxRd x d yzyxR ?c o s),,(),,( ?
????
??
? dSzyxPd y d zzyxP ?c o s),,(),,( ?
????
??
? dSzyxPd z d xzyxQ ?c o s),,(),,( ?
????
??
????? dSRQPR d x d yQ d z d xP d y d z )c o sc o sc o s( ??? ?
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三、两类曲面积分之间的联系
设 cos?,cos?,cos?是有向曲面 ?上点 (x?y? z)处的法向量
的方向余弦 ?则
????
??
????? dSRQPR d x d yQ d z d xP d y d z )c o sc o sc o s( ??? ?
两类曲面积分之间的联系也可写成如下向量的形式 ?
????
??
??? dSd nASA ? 或 ????
??
?? dSAd nSA ?
其中 A?(P? Q? R)? n?(cos?? cos?? cos?)是有向曲面 ?上点 (x? y? z)
处的单位法向量 ? dS?ndS?(dydz? dzdx? dxdy)称为有向曲面元 ?
An为向量 A在向量 n上的投影 ?
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提示 ?
????
??
????? dSRQPR d x d yQ d z d xP d y d z )c o sc o sc o s( ??? ?
提示 曲面 ?上向下的法向量为 (zx?zy??1)?(x?y??1)?所以
221c o s yx
x
???? ? 221
1c o s
yx ??
??? ? d x d yyxdS 221 ??? ?
dSzxzz d x d yd y d zxz ]c o sc o s)[()( 22 ?? ????? ????
??
下页
例 3 计算曲面积分 z d x d yd y d zxz ????
?
)( 2 ? 其中 ? 是曲面
)(21 22 yxz ?? 介于平面 z ? 0 及 z ? 2 之间的部分的下侧 ?
解 由两类曲面积分之间的关系 ?可得
dSzxzz d x d yd y d zxz ]c o sc o s)[()( 22 ?? ????? ????
??
d x d yyxxxyx
yx
})1()(21])(41{[
4
22222
22
??
??
????????
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提示 ?
下页
例 3 计算曲面积分 z d x d yd y d zxz ????
?
)( 2 ? 其中 ? 是曲面
)(21 22 yxz ?? 介于平面 z ? 0 及 z ? 2 之间的部分的下侧 ?
解 由两类曲面积分之间的关系 ?可得
dSzxzz d x d yd y d zxz ]c o sc o s)[()( 22 ?? ????? ????
??
d x d yyxxxyx
yx
})1()(21])(41{[
4
22222
22
??
??
????????
????
????
?????
4
222
4
222
2222
)](21[)(4
yxyx
d x d yyxxd x d yyxx
dSzxzz d x d yd y d zxz ]c o sc o s)[()( 22 ?? ????? ????
??
??
??
??
4
222
22
0)(4
yx
d x d yyxx ?
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例 3 计算曲面积分 z d x d yd y d zxz ????
?
)( 2 ? 其中 ? 是曲面
)(21 22 yxz ?? 介于平面 z ? 0 及 z ? 2 之间的部分的下侧 ?
解 由两类曲面积分之间的关系 ?可得
dSzxzz d x d yd y d zxz ]c o sc o s)[()( 22 ?? ????? ????
??
d x d yyxxxyx
yx
})1()(21])(41{[
4
22222
22
??
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????????
????
????
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4
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4
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)](21[)(4
yxyx
d x d yyxxd x d yyxx
???? 8)21c o s(20 20 222 ??? ? ? r d rrrd ? ???? 8)21cos(20 20 222 ???? ? rdrrrd ?
dSzxzz d x d yd y d zxz ]c o sc o s)[()( 22 ?? ????? ????
??
二、对坐标的曲面积分的计算法
三、两类曲面积分之间的联系
§ 10.5 对坐标的曲面积分
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当 cos??0时 ?n所指的一侧是上侧 ?
当 cos??0时 ?n所指的一侧是下侧 ?
一、对坐标的曲面积分的概念与性质
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?有向曲面
通常我们遇到的曲面都是双侧的 ?
例如 ?由方程 z?z(x?y)表示的曲面分为上侧与下侧 ?
设 n?(cos?? cos?? cos?)为曲面上的法向量 ?
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当 cos??0时 ?n所指的一侧是上侧 ? 当 cos??0时 ?n所指的
一侧是下侧 ?
一、对坐标的曲面积分的概念与性质
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?有向曲面
通常我们遇到的曲面都是双侧的 ?
例如 ?由方程 z?z(x?y)表示的曲面分为上侧与下侧 ?
设 n?(cos?? cos?? cos?)为曲面上的法向量 ?
类似地 ?如果曲面的方程为 y?y(z?x)?则曲面分为左侧与
右侧 ?在曲面的右侧 cos??0?在曲面的左侧 cos??0?
如果曲面的方程为 x?x(y?z)?则曲面分为前侧与后侧 ?在
曲面的前侧 cos??0?在曲面的后侧 cos??0?
闭曲面有内侧与外侧之分 ?
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?曲面在坐标面上的投影
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在有向曲面 ?上取一小块曲面 ?S? 用 (??)xy表示 ?S在 xOy
面上的投影区域的面积 ? 假定 ?S上各点处的法向量与 z轴的夹
角 ?的余弦 cos?有相同的符号 (即 cos?都是正的或都是负的 )?
我们规定 ?S在 xOy面上的投影 (?S)xy为
类似地可以定义 ?S在
yOz面及在 zOx面上的投影
(?S)yz及 (?S)zx???
?
?
?
?
???
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0c os 0
0c os )(
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)(
?
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xy
xy
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提示 ?通过 ?Si流向指定侧的流量近似为 ?
vi?ni?Si ?
iii
n
i
S??
?
? nv
1
?
?流向曲面一侧的流量
相关知识 下页
设稳定流动的不可压缩流体的速度场由
v(x?y? z)?(P(x? y? z) ? Q(x? y? z) ? R(x? y? z))
给出 ??是速度场中的一片有向曲面 ?函数 v(x?y? z)在 ?上连续 ?
求在单位时间内流向 ?指定侧的流体的质量 ?即流量 ??
?把曲面 ?分成 n小块 ??S1??S2??????Sn(?Si也代表曲面面积 )?
?在 ?Si上任取一点 (?i??i??i )?
?通过 ?流向指定侧的流量 ?近似为 ?
>>>
>>>
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?流向曲面一侧的流量
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设稳定流动的不可压缩流体的速度场由
v(x?y? z)?(P(x? y? z) ? Q(x? y? z) ? R(x? y? z))
给出 ??是速度场中的一片有向曲面 ?函数 v(x?y? z)在 ?上连续 ?
求在单位时间内流向 ?指定侧的流体的质量 ?即流量 ??
?把曲面 ?分成 n小块 ??S1??S2??????Sn(?Si也代表曲面面积 )?
?在 ?Si上任取一点 (?i??i??i )?
?通过 ?流向指定侧的流量 ?近似为 ?
]))(,,())(,,())(,,([
1
xyiiiizxiiiiyziiii
n
i
SRSQSP ???????
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? ????????? ?
?在上述和中 ?令各小曲面直径中的最大值 ??0?就得到流量 ?
的精确值 ?
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?对坐标的曲面积分的定义
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设 ?为光滑的有向曲面 ?函数 R(x? y? z)在 ?上有界 ?
把 ?任意分成 n块小曲面 ??S1??S2??????Sn(?Si也代表曲
面面积 )??Si在 xOy面上的投影为 (?Si)xy?(?i,?i,?i )是 ?Si上任意
取定的一点 ?如果当各小块曲面的直径的最大值 ??0时 ?极限
xyiiii
n
i
SR ))(,,(lim
10
?
??
? ????
总存在 ?则称此极限为函数 R(x?y? z)在有向曲面 ?上对坐标 x、
y 的曲面积分 ? 记作 ??
?
d x d yzyxR ),,( ? 即
??
?
dx dyzyxR ),,( xyiiii
n
i
SR ))(,,(lim
10
??
??
? ???? ?
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类似地 ?可定义对坐标 y,z的曲面积分和对坐标 z,x的曲
面积分 ?
下页
??
?
dx dyzyxR ),,( xyiiii
n
i
SR ))(,,(lim
10
??
??
? ???? ?
?对坐标的曲面积分的定义
?函数 R(x?y? z)在有向曲面 ?上对坐标 x,y的曲面积分 ?
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??
?
dx dyzyxR ),,( xyiiii
n
i
SR ))(,,(lim
10
??
??
? ???? ?
?对坐标的曲面积分的定义
?函数 R(x?y? z)在有向曲面 ?上对坐标 x,y的曲面积分 ?
?函数 P(x? y? z)在有向曲面 ?上对坐标 y,z的曲面积分 ?
yziiii
n
i
SPd y d zzyxP ))(,,(lim),,(
10
??
???
??? ???? ?
?函数 Q(x?y? z)在有向曲面 ?上对坐标 z,x的曲面积分 ?
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n
i
SQd z d xzyxQ ))(,,(lim),,(
10
??
???
??? ???? ?
上述曲面积分也称为第二类曲面积分 ?其中 P,Q,R叫
做被积函数 ??叫做积分曲面 ?
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?对坐标的曲面积分的简写形式
d x d yzyxRd z d xzyxQd y d zzyxP ),,(),,(),,( ??? ??
?
?
在应用上出现较多的是
??????
???
?? d x d yzyxRd z d xzyxQd y d zzyxP ),,(),,(),,( ?
为简便起见 ?这种合起来的形式简记为
说明 ?
如果是分片光滑的有向曲面 ?我们规定函数在 ?上对坐标
的曲面积分等于函数在各片光滑曲面上对坐标的曲面积分之
和 ?
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?对坐标的曲面积分的性质
对坐标的曲面积分具有与对坐标的曲线积分类似的一些
性质 ?
(1)如果把 ?分成 ?1和 ?2?则
(2)设 ?是有向曲面 ???表示与 ?取相反侧的有向曲面 ?则
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R d x d yQ d z d xP d y d z ????
?
R d x d yQ d z d xP d y d zR d x d yQ d z d xP d y d z ?????? ????
?? 21
?
R d x d yQ d z d xP d y d zR d x d yQ d z d xP d y d z ?????? ????
?? ?
?
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二、对坐标的曲面积分的计算法
讨论 ?
如何把其它两个对坐标的曲面积分化为二重积分？
>>>
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设积分曲面 ?由方程 z?z(x? y)给出的 ? ?在 xOy面上的投影
区域为 Dxy ? 函数 z?z(x? y)在 Dxy上具有一阶连续偏导数 ? 被积函
数 R(x?y? z)在 ?上连续 ?则有
dx d yyxzyxRdx d yzyxR
xyD
)],(,,[),,( ???? ??
?
?
其中当 ?取上侧时 ?积分前取,?” ?当 ?取下侧时 ?积分前取
,?” ?
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应注意的问题 ?
(3)曲面 ?取哪一侧 ?
(2)向哪个坐标面投影 ?(1)曲面 ?用什么方程表示 ?
(4)积分前取什么符号 ?
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d y d zxd y d zxd y d zx 222
43 ???
?????? ?? d y d zd y d za
yzyz DD
02 ???? ??
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方体 ?的整个表面的外侧 ???{(x?y? z)|0?x?a? 0?y?b?0?z?c}?
例 1 计算曲面积分 d x d yzd z d xyd y d zx 222 ??
?
?? ? 其中 ? 是长
把 ?的上下面分别记为 ?1和 ?2? 前后面分别记为 ?3和
?4?左右面分别记为 ?5和 ?6?
解
除 ?3,?4外 ? 其余四片曲面在 yOz面上的投影为零 ?因此
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d y d zxd y d zxd y d zx 222
43 ???
?????? ?? d y d zd y d za
yzyz DD
02 ???? ??
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方体 ?的整个表面的外侧 ???{(x?y? z)|0?x?a? 0?y?b?0?z?c}?
例 1 计算曲面积分 d x d yzd z d xyd y d zx 222 ??
?
?? ? 其中 ? 是长
把 ?的上下面分别记为 ?1和 ?2? 前后面分别记为 ?3和
?4?左右面分别记为 ?5和 ?6?
解
除 ?3,?4外 ? 其余四片曲面在 yOz面上的投影为零 ?因此
d y d zxd y d zxd y d zx 222
43 ???
?????? ?? d y d zd y d za
yzyz DD
02 ???? ??
?a2bc?
类似地可得
acbd z d xy 22 ?
?
?? ? abcd x d yz 22 ?
?
?? ?
于是所求曲面积分为 (a?b?c)abc?
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例 2 计算曲面积分 x y z d x d y
?
?? ? 其中 ? 是球面 x 2 ? y 2 ? z 2 ? 1
外侧在 x?0?y?0的部分 ?
把有向曲面 ?分成上下两部分 ?解
221 1,yxz ???? ( x ? 0 ? y ? 0) 的上侧 ?
222 1,yxz ????? ( x ? 0 ? y ? 0) 的下侧 ?
?1和 ?2在 xOy面上的投影区域都是
Dxy? x2?y2?1(x?0?y?0)?
于是 ??????
???
??
21
x y z d x d yx y z d x d yx y z d x d y
15
2)1(1 2222 ???????? ????
xyxy DD
d x dyyxxyd x dyyxxy ? 152)1(1 2222 ???????? ????
xyxy DD
dxdyyxxydxdyyxxy ? >>>
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三、两类曲面积分之间的联系
设 cos?,cos?,cos?是有向曲面 ?上点 (x?y? z)处的法向量
的方向余弦 ?则
综合起来有
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????
??
? dSzyxRd x d yzyxR ?c o s),,(),,( ?
????
??
? dSzyxPd y d zzyxP ?c o s),,(),,( ?
????
??
? dSzyxPd z d xzyxQ ?c o s),,(),,( ?
????
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????? dSRQPR d x d yQ d z d xP d y d z )c o sc o sc o s( ??? ?
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三、两类曲面积分之间的联系
设 cos?,cos?,cos?是有向曲面 ?上点 (x?y? z)处的法向量
的方向余弦 ?则
????
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????? dSRQPR d x d yQ d z d xP d y d z )c o sc o sc o s( ??? ?
两类曲面积分之间的联系也可写成如下向量的形式 ?
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??? dSd nASA ? 或 ????
??
?? dSAd nSA ?
其中 A?(P? Q? R)? n?(cos?? cos?? cos?)是有向曲面 ?上点 (x? y? z)
处的单位法向量 ? dS?ndS?(dydz? dzdx? dxdy)称为有向曲面元 ?
An为向量 A在向量 n上的投影 ?
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提示 ?
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????? dSRQPR d x d yQ d z d xP d y d z )c o sc o sc o s( ??? ?
提示 曲面 ?上向下的法向量为 (zx?zy??1)?(x?y??1)?所以
221c o s yx
x
???? ? 221
1c o s
yx ??
??? ? d x d yyxdS 221 ??? ?
dSzxzz d x d yd y d zxz ]c o sc o s)[()( 22 ?? ????? ????
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例 3 计算曲面积分 z d x d yd y d zxz ????
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)( 2 ? 其中 ? 是曲面
)(21 22 yxz ?? 介于平面 z ? 0 及 z ? 2 之间的部分的下侧 ?
解 由两类曲面积分之间的关系 ?可得
dSzxzz d x d yd y d zxz ]c o sc o s)[()( 22 ?? ????? ????
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d x d yyxxxyx
yx
})1()(21])(41{[
4
22222
22
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提示 ?
下页
例 3 计算曲面积分 z d x d yd y d zxz ????
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)( 2 ? 其中 ? 是曲面
)(21 22 yxz ?? 介于平面 z ? 0 及 z ? 2 之间的部分的下侧 ?
解 由两类曲面积分之间的关系 ?可得
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4
222
4
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)](21[)(4
yxyx
d x d yyxxd x d yyxx
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4
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例 3 计算曲面积分 z d x d yd y d zxz ????
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)( 2 ? 其中 ? 是曲面
)(21 22 yxz ?? 介于平面 z ? 0 及 z ? 2 之间的部分的下侧 ?
解 由两类曲面积分之间的关系 ?可得
dSzxzz d x d yd y d zxz ]c o sc o s)[()( 22 ?? ????? ????
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d x d yyxxxyx
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