一、三角级数 三角函数系的正交性
二、函数展开成傅里叶级数
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§ 11.7 傅里叶级数
三、正弦级数和余弦级数
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一、三角级数 三角函数系的正交性
?三角级数
形如
)s i nc o s(21
1
0 nxbnxaa nn
n
?? ??
=
的级数称为三角级数 ?其中 a0?an? bn(n=1?2????)都是常数 ?
1? cos x? sin x? cos 2x? sin 2x????? cos nx? sin nx?????
?三角函数系
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?三角函数系的正交性
三角函数系中任何两个不同的函数的乘积在 [????]上的
积分等于零 ?而 任何两个相同的函数的乘积在 [????]上的积分
不等于零 ? >>>
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提示,
a0??
?
?
?
= 0? ? 0
??
=
??=
1
0 )s i nc o s(
2)( k kk kxbkxa
axf ?? 提示 ]c o ss i nc o sc o s[c o s
2c o s)( 1
0 nxkxbnxkxanxanxxf
kk
k
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=
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?
= 0 ? ? 0
提示
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=
??=
1
0 )s i ns i ns i nc o s(s i n
2s i n)( k kk nxkxbnxkxanx
anxxf
二、函数展开成傅里叶级数
?傅里叶系数
设 f(x)是周期为 2?的周期函数 ?且能展开成三角级数,
??
=
??=
1
0 )s i nc o s(
2)( k kk kxbkxa
axf ??
且假定三角级数可逐项积分 ?则
??= ??? dxxfa )(10 ?
??= ? ?? n x d xxfa n c o s)(1 ? ( n = 1 ?? 2 ?? ?????) ??
bn??
?
?
?
= 0 ? ?0
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二、函数展开成傅里叶级数
设 f(x)是周期为 2?的周期函数 ?且能展开成三角级数,
??
=
??=
1
0 )s i nc o s(
2)( k kk kxbkxa
axf ??
且假定三角级数可逐项积分 ?则
??= ??? dxxfa )(10 ?
??= ? ?? n x d xxfa n c o s)(1 ? ( n = 1 ?? 2 ?? ?????) ??
??= ? ?? n x d xxfb n s i n)(1 ? ( n = 1 ?? 2 ?? ?????) ??
系数 a0?a1? b1???? 叫做函数 f(x)的傅里叶系数 ??
下页
?傅里叶系数
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?傅里叶级数
三角级数
??
=
??
1
0 )s i nc o s(
2 n nn nxbnxa
a
称为傅里叶级数 ??其中 a0??a1??b1??· · ·是傅里叶系数 ??
然而 ? 函数 f(x)的傅里叶级数是否一定收敛? 如果它收敛 ?
它是否一定收敛于函数 f(x)? 一般来说 ? 这两个问题的答案都
不是肯定的 ?
一个定义在 (??????)上周期为 2?的函数 f(x)??如果它在一
个周期上可积 ??则一定可以作出 f(x)的傅里叶级数 ?
下页
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?定理 (收敛定理 狄利克雷充分条件 )
设 f(x)是周期为 2?的周期函数 ?如果它满足,
(1)在一个周期内连续或只有有限个第一类间断点 ?
(2)在一个周期内至多只有有限个极值点 ?
则 f(x)的傅里叶级数收敛 ?并且
当 x是 f(x)的连续点时 ??级数收敛于 f(x);?
当 x是 f(x)的间断点时 ??级数收敛于 ? )]0()0([
2
1 ??? xfxf
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?傅里叶级数
三角级数
??
=
??
1
0 )s i nc o s(
2 n nn nxbnxa
a
称为傅里叶级数 ??其中 a0??a1??b1??· · ·是傅里叶系数 ??
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例 1 设周期为 2?的函数 f(x)在 [?????)上的表达式为
??
?
<?
<???=
?
?
x
xxf
0 1
0 1)( ??
将 f(x)展开成傅里叶级数 ??
解 所给函数满足收敛定理的条件 ??由收敛定理知道 f(x)的
傅里叶级数收敛 ??
0)11(21)]0()0([21 =??=??? xfxf ?
当 x=k?时傅里叶级数收敛于
当 x?k?时级数收敛于 f(x)??
下页
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解 所给函数满足收敛定理的条件 ??由收敛定理知道 f(x)的
傅里叶级数收敛 ??因为傅里叶系数为 >>>
所以 f(x)的傅里叶级数展开式为
] )12s i n (12 1 3s i n31[ s i n4)( ????????????= xkkxxxf ? ?
??
?
?
?
???=
???==???==
6,4,2,0
,5,3,1 4,) 2,1,,0( 0
n
n
nbna nn ? ??
(??<x<??;?x ?0,??,?2?,???)??
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例 1 设周期为 2?的函数 f(x)在 [?????)上的表达式为
??
?
<?
<???=
?
?
x
xxf
0 1
0 1)( ??
将 f(x)展开成傅里叶级数 ??
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f(x)的图形和函数图形
例 2 设周期为 2?的函数 f(x)在 [?????)上的表达式为
将 f(x)展开成傅里叶级数 ??
??
?
<?
<??=
?
?
x
xxxf
0 0
0 )( ??
解 所给函数满足收敛定理的条件 ??由收敛定理知道 f(x)的
傅里叶级数收敛 ??当 x=(2k?1)?时傅里叶级数收敛于
当 x?(2k?1)?时级数收敛于 f(x)??
2)0(2
1)]0()0([
2
1 ?? ?=?=??? xfxf ?
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解 所给函数满足收敛定理的条件 ??由收敛定理知道 f(x)的
傅里叶级数收敛 ??
2
0
??=a ??
??
?
?
?
???=
???==
6,4,2,0
,5,3,1 2
2
n
n
na n ? ?? nb
n
n
1)1( ??
= ( n = 1 ?? 2 ?? ?????) ?
)3s i n313c o s3 2(2s i n21)s i nc o s2(4)( 2 xxxxxxf ??????= ???
所以当 x?(2k?1)?时 f(x)的傅里叶级数展开式为
)5s i n515c o s5 2(4s i n41 2 ??????? xxx ? ??
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因为傅里叶系数为 >>>
例 2 设周期为 2?的函数 f(x)在 [?????)上的表达式为
将 f(x)展开成傅里叶级数 ??
??
?
<?
<??=
?
?
x
xxxf
0 0
0 )( ??
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?周期延拓
设 f(x)只在 [????]上有定义 ??我们可以在 [????)或 (????]外
补充函数 f(x)的定义 ??使它拓广成周期为 2?的周期函数 F(x)??在
(????)内 ??F(x)=f(x)?
延拓前 y=f(x)
延拓后 y=F(x)
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解 所给函数在区间 [????]上满足收敛定理的条件 ??并且
拓广为周期函数时 ??它在每一点 x处都连续 ??因此拓广的周期
函数的傅里叶级数在 [?????]上收敛于 f(x)??
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例 3 将函数 展开成傅里叶级数 ??
??
?
??
<???=
?
?
xx
xxxf
0
0 )(
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?=0a ?? ?
??
?
?
?
???=
???=?=
6,4,2,0
,5,3,1 4
2
n
n
na n ? ?? 0=nb ( n = 1 ?? 2 ?? ?????) ??
所以 f(x)的傅里叶级数展开式为
)( ) 5c o s5 13c o s3 1( c o s42 )( 22 ???? ??????????= xxxxxf ??
因为傅里叶系数为 >>>
解 所给函数在区间 [????]上满足收敛定理的条件 ??并且
拓广为周期函数时 ??它在每一点 x处都连续 ??因此拓广的周期
函数的傅里叶级数在 [?????]上收敛于 f(x)??
例 3 将函数 展开成傅里叶级数 ??
??
?
??
<???=
?
?
xx
xxxf
0
0 )(
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三、正弦级数和余弦级数
?奇函数与偶函数的傅里叶系数
an=0 (n=0??1??2?????)??
bn=0 (n=1?2????)?
?= ?? 0 s i n)(2 n x d xxfb n ( n = 1 ?? 2 ?? 3 ??? ?????) ??
?= ?? 0 c o s)(2 n x d xxfa n ( n = 0 ?? 1 ?? 2 ?? 3 ?? ?????) ?
当 f(x)为奇函数时 ?f(x)cos nx是奇函数 ?f(x)sin nx是偶函数 ?
故傅里叶系数为
当 f(x)为偶函数时 ? f(x)cos nx是偶函数 ? f(x)sin nx是奇函数 ?
故傅里叶系数为
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?正弦级数和余弦级数
如果 f(x)为奇函数 ? 那么它的傅里叶级数是只含有正弦项
的正弦级数
??
=1
s in
n n
nxb ??
如果 f(x)为偶函数 ? 那么它的傅里叶级数是只含有余弦项
的余弦级数
nxaa n
n
c o s2
1
0 ??
=
? ??
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例 4 设 f(x)是周期为 2?的周期函数 ??它在 [?????)上的表达
式为 f(x)=x??将 f(x)展开成傅里叶级数 ??
解 所给函数满足收敛定理的条件 ? 因此 f(x)的傅里叶级数
收敛 ? 当 x=(2k?1)?(k=0,?1,?2,???)时 ??傅里叶级数收敛于
0)]([21)]0()0([21 =??=???? ???? ff ??
当 x?(2k?1)?(k=0,?1,?2,???)时 ??傅里叶级数收敛于 f(x)?
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f(x)的图形和函数的图形
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解 所给函数满足收敛定理的条件 ? 因此 f(x)的傅里叶级数
收敛 ?
0)]([21)]0()0([21 =??=???? ???? ff ??
当 x?(2k?1)?(k=0,?1,?2,???)时 ??傅里叶级数收敛于 f(x)?
因为 f(x)在 (????)上是奇函数 ?其 傅里叶级数是正弦级数 ?
1)1(2 ??= nn nb ( n = 1,2,3,?? ?????) ??
而
所以 f(x)的傅里叶级数展开式为
s i n1)1( 3s i n312s i n21( s i n2)( 1 ????????????= ? nxnxxxxf n
(??<x<??? x???,?3?,??? )?
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>>>
例 4 设 f(x)是周期为 2?的周期函数 ??它在 [?????)上的表达
式为 f(x)=x??将 f(x)展开成傅里叶级数 ??
当 x=(2k?1)?(k=0,?1,?2,???)时 ??傅里叶级数收敛于
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例 5 将周期函数 展开成傅里叶级数 ?其中 E|
21s in|)( tEtu =
是正的常数 ?
解 函数 u(t)在整个数轴上连续 ? 满足收敛定理的条件 ? 因
此 u(t)的傅里叶级数处处收敛于 u(t)?
因为 u(t)是周期为 2?的偶函数 ?其 傅里叶级数是余弦级数 ?
所以 u(t)的傅里叶级数展开式为
而
?)14(
4
2 ??= n
Ea
n ( n = 0,1,2,?? ?????) ??
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>>>
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所以 u(t)的傅里叶级数展开式为
) c o s14 1 3c o s3512c o s151c o s3121(4)( 2 ?????????????= ntntttEtu ?
而
?)14(
4
2 ??= n
Ea
n ( n = 0,1,2,?? ?????) ??
(??<t<??)? ) c o s
14
1 3c o s
35
12c o s
15
1c o s
3
1
2
1(4)(
2 ?????????????= ntnttt
Etu
?
因为 u(t)是周期为 2?的偶函数 ?其 傅里叶级数是余弦级数 ?
例 5 将周期函数 展开成傅里叶级数 ?其中 E|
21s in|)( tEtu =
是正的常数 ?
解 函数 u(t)在整个数轴上连续 ? 满足收敛定理的条件 ? 因
此 u(t)的傅里叶级数处处收敛于 u(t)?
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设函数 f(x)定义在区间 [0? ?]上并且满足收敛定理的条件 ?
我们在开区间 (??? 0)内补充函数 f(x)的定义 ? 得到定义在 (??? ?]
上的函数 F(x)? 使它在 (??? ?)上成为奇函数 (偶函数 )? 按这种方
式拓广函数定义域的过程称为奇延拓 (偶延拓 )? 限制在 (0? ?]
上 ?有 F(x)=f(x)?
?奇延拓与偶延拓
奇延拓 偶延拓
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例 6 将函数 f(x)=x?1(0?x??)分别展开成正弦级数和余弦
级数 ??
先求正弦级数 ?解 为此对函数 f(x)进行奇延拓 ?
?
?
?
?
?
???=?
???=??
=
6,4,2,2
,5,3,1 22
n
n
n
nb
n
?
? ??
函数的正弦级数展开式为
正弦级数的系数为 >>>
在端点 x=0及 x=?处 ?级数的和为零 ?
] 4s i n43s i n)2(312s i n2s i n)2[(21 ?????????=? xxxxx ?????
(0<x<?)?] 4s in
43s in)2(3
12s in
2s in)2[(
21 ?????????=? xxxxx ????
?
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再求余弦级数 ? 为此对函数 f(x)进行偶延拓 ?
函数的余弦级数展开式为
) 5c o s5 13c o s31( c o s412 1 22 ????????=? xxxx ?? (0?x??)?
??
?
?
?
???=?
???=
=
5,3,1,4
,6,4,2 0
2 nn
n
a n
?
??
a 0=??2?
结束
余弦级数的系数为 >>>
例 6 将函数 f(x)=x?1(0?x??)分别展开成正弦级数和余弦
级数 ??
解
二、函数展开成傅里叶级数
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§ 11.7 傅里叶级数
三、正弦级数和余弦级数
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一、三角级数 三角函数系的正交性
?三角级数
形如
)s i nc o s(21
1
0 nxbnxaa nn
n
?? ??
=
的级数称为三角级数 ?其中 a0?an? bn(n=1?2????)都是常数 ?
1? cos x? sin x? cos 2x? sin 2x????? cos nx? sin nx?????
?三角函数系
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?三角函数系的正交性
三角函数系中任何两个不同的函数的乘积在 [????]上的
积分等于零 ?而 任何两个相同的函数的乘积在 [????]上的积分
不等于零 ? >>>
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提示,
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?
?
?
= 0? ? 0
??
=
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1
0 )s i nc o s(
2)( k kk kxbkxa
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2c o s)( 1
0 nxkxbnxkxanxanxxf
kk
k
??= ??
=
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?
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= 0 ? ? 0
提示
??
=
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1
0 )s i ns i ns i nc o s(s i n
2s i n)( k kk nxkxbnxkxanx
anxxf
二、函数展开成傅里叶级数
?傅里叶系数
设 f(x)是周期为 2?的周期函数 ?且能展开成三角级数,
??
=
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1
0 )s i nc o s(
2)( k kk kxbkxa
axf ??
且假定三角级数可逐项积分 ?则
??= ??? dxxfa )(10 ?
??= ? ?? n x d xxfa n c o s)(1 ? ( n = 1 ?? 2 ?? ?????) ??
bn??
?
?
?
= 0 ? ?0
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二、函数展开成傅里叶级数
设 f(x)是周期为 2?的周期函数 ?且能展开成三角级数,
??
=
??=
1
0 )s i nc o s(
2)( k kk kxbkxa
axf ??
且假定三角级数可逐项积分 ?则
??= ??? dxxfa )(10 ?
??= ? ?? n x d xxfa n c o s)(1 ? ( n = 1 ?? 2 ?? ?????) ??
??= ? ?? n x d xxfb n s i n)(1 ? ( n = 1 ?? 2 ?? ?????) ??
系数 a0?a1? b1???? 叫做函数 f(x)的傅里叶系数 ??
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?傅里叶系数
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?傅里叶级数
三角级数
??
=
??
1
0 )s i nc o s(
2 n nn nxbnxa
a
称为傅里叶级数 ??其中 a0??a1??b1??· · ·是傅里叶系数 ??
然而 ? 函数 f(x)的傅里叶级数是否一定收敛? 如果它收敛 ?
它是否一定收敛于函数 f(x)? 一般来说 ? 这两个问题的答案都
不是肯定的 ?
一个定义在 (??????)上周期为 2?的函数 f(x)??如果它在一
个周期上可积 ??则一定可以作出 f(x)的傅里叶级数 ?
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?定理 (收敛定理 狄利克雷充分条件 )
设 f(x)是周期为 2?的周期函数 ?如果它满足,
(1)在一个周期内连续或只有有限个第一类间断点 ?
(2)在一个周期内至多只有有限个极值点 ?
则 f(x)的傅里叶级数收敛 ?并且
当 x是 f(x)的连续点时 ??级数收敛于 f(x);?
当 x是 f(x)的间断点时 ??级数收敛于 ? )]0()0([
2
1 ??? xfxf
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?傅里叶级数
三角级数
??
=
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1
0 )s i nc o s(
2 n nn nxbnxa
a
称为傅里叶级数 ??其中 a0??a1??b1??· · ·是傅里叶系数 ??
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例 1 设周期为 2?的函数 f(x)在 [?????)上的表达式为
??
?
<?
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?
?
x
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0 1
0 1)( ??
将 f(x)展开成傅里叶级数 ??
解 所给函数满足收敛定理的条件 ??由收敛定理知道 f(x)的
傅里叶级数收敛 ??
0)11(21)]0()0([21 =??=??? xfxf ?
当 x=k?时傅里叶级数收敛于
当 x?k?时级数收敛于 f(x)??
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解 所给函数满足收敛定理的条件 ??由收敛定理知道 f(x)的
傅里叶级数收敛 ??因为傅里叶系数为 >>>
所以 f(x)的傅里叶级数展开式为
] )12s i n (12 1 3s i n31[ s i n4)( ????????????= xkkxxxf ? ?
??
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,5,3,1 4,) 2,1,,0( 0
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例 1 设周期为 2?的函数 f(x)在 [?????)上的表达式为
??
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将 f(x)展开成傅里叶级数 ??
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f(x)的图形和函数图形
例 2 设周期为 2?的函数 f(x)在 [?????)上的表达式为
将 f(x)展开成傅里叶级数 ??
??
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<?
<??=
?
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x
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0 0
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解 所给函数满足收敛定理的条件 ??由收敛定理知道 f(x)的
傅里叶级数收敛 ??当 x=(2k?1)?时傅里叶级数收敛于
当 x?(2k?1)?时级数收敛于 f(x)??
2)0(2
1)]0()0([
2
1 ?? ?=?=??? xfxf ?
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解 所给函数满足收敛定理的条件 ??由收敛定理知道 f(x)的
傅里叶级数收敛 ??
2
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??
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?
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???=
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6,4,2,0
,5,3,1 2
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)3s i n313c o s3 2(2s i n21)s i nc o s2(4)( 2 xxxxxxf ??????= ???
所以当 x?(2k?1)?时 f(x)的傅里叶级数展开式为
)5s i n515c o s5 2(4s i n41 2 ??????? xxx ? ??
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因为傅里叶系数为 >>>
例 2 设周期为 2?的函数 f(x)在 [?????)上的表达式为
将 f(x)展开成傅里叶级数 ??
??
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?周期延拓
设 f(x)只在 [????]上有定义 ??我们可以在 [????)或 (????]外
补充函数 f(x)的定义 ??使它拓广成周期为 2?的周期函数 F(x)??在
(????)内 ??F(x)=f(x)?
延拓前 y=f(x)
延拓后 y=F(x)
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解 所给函数在区间 [????]上满足收敛定理的条件 ??并且
拓广为周期函数时 ??它在每一点 x处都连续 ??因此拓广的周期
函数的傅里叶级数在 [?????]上收敛于 f(x)??
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例 3 将函数 展开成傅里叶级数 ??
??
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na n ? ?? 0=nb ( n = 1 ?? 2 ?? ?????) ??
所以 f(x)的傅里叶级数展开式为
)( ) 5c o s5 13c o s3 1( c o s42 )( 22 ???? ??????????= xxxxxf ??
因为傅里叶系数为 >>>
解 所给函数在区间 [????]上满足收敛定理的条件 ??并且
拓广为周期函数时 ??它在每一点 x处都连续 ??因此拓广的周期
函数的傅里叶级数在 [?????]上收敛于 f(x)??
例 3 将函数 展开成傅里叶级数 ??
??
?
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<???=
?
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xx
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三、正弦级数和余弦级数
?奇函数与偶函数的傅里叶系数
an=0 (n=0??1??2?????)??
bn=0 (n=1?2????)?
?= ?? 0 s i n)(2 n x d xxfb n ( n = 1 ?? 2 ?? 3 ??? ?????) ??
?= ?? 0 c o s)(2 n x d xxfa n ( n = 0 ?? 1 ?? 2 ?? 3 ?? ?????) ?
当 f(x)为奇函数时 ?f(x)cos nx是奇函数 ?f(x)sin nx是偶函数 ?
故傅里叶系数为
当 f(x)为偶函数时 ? f(x)cos nx是偶函数 ? f(x)sin nx是奇函数 ?
故傅里叶系数为
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?正弦级数和余弦级数
如果 f(x)为奇函数 ? 那么它的傅里叶级数是只含有正弦项
的正弦级数
??
=1
s in
n n
nxb ??
如果 f(x)为偶函数 ? 那么它的傅里叶级数是只含有余弦项
的余弦级数
nxaa n
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例 4 设 f(x)是周期为 2?的周期函数 ??它在 [?????)上的表达
式为 f(x)=x??将 f(x)展开成傅里叶级数 ??
解 所给函数满足收敛定理的条件 ? 因此 f(x)的傅里叶级数
收敛 ? 当 x=(2k?1)?(k=0,?1,?2,???)时 ??傅里叶级数收敛于
0)]([21)]0()0([21 =??=???? ???? ff ??
当 x?(2k?1)?(k=0,?1,?2,???)时 ??傅里叶级数收敛于 f(x)?
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f(x)的图形和函数的图形
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解 所给函数满足收敛定理的条件 ? 因此 f(x)的傅里叶级数
收敛 ?
0)]([21)]0()0([21 =??=???? ???? ff ??
当 x?(2k?1)?(k=0,?1,?2,???)时 ??傅里叶级数收敛于 f(x)?
因为 f(x)在 (????)上是奇函数 ?其 傅里叶级数是正弦级数 ?
1)1(2 ??= nn nb ( n = 1,2,3,?? ?????) ??
而
所以 f(x)的傅里叶级数展开式为
s i n1)1( 3s i n312s i n21( s i n2)( 1 ????????????= ? nxnxxxxf n
(??<x<??? x???,?3?,??? )?
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>>>
例 4 设 f(x)是周期为 2?的周期函数 ??它在 [?????)上的表达
式为 f(x)=x??将 f(x)展开成傅里叶级数 ??
当 x=(2k?1)?(k=0,?1,?2,???)时 ??傅里叶级数收敛于
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例 5 将周期函数 展开成傅里叶级数 ?其中 E|
21s in|)( tEtu =
是正的常数 ?
解 函数 u(t)在整个数轴上连续 ? 满足收敛定理的条件 ? 因
此 u(t)的傅里叶级数处处收敛于 u(t)?
因为 u(t)是周期为 2?的偶函数 ?其 傅里叶级数是余弦级数 ?
所以 u(t)的傅里叶级数展开式为
而
?)14(
4
2 ??= n
Ea
n ( n = 0,1,2,?? ?????) ??
下页
>>>
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所以 u(t)的傅里叶级数展开式为
) c o s14 1 3c o s3512c o s151c o s3121(4)( 2 ?????????????= ntntttEtu ?
而
?)14(
4
2 ??= n
Ea
n ( n = 0,1,2,?? ?????) ??
(??<t<??)? ) c o s
14
1 3c o s
35
12c o s
15
1c o s
3
1
2
1(4)(
2 ?????????????= ntnttt
Etu
?
因为 u(t)是周期为 2?的偶函数 ?其 傅里叶级数是余弦级数 ?
例 5 将周期函数 展开成傅里叶级数 ?其中 E|
21s in|)( tEtu =
是正的常数 ?
解 函数 u(t)在整个数轴上连续 ? 满足收敛定理的条件 ? 因
此 u(t)的傅里叶级数处处收敛于 u(t)?
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设函数 f(x)定义在区间 [0? ?]上并且满足收敛定理的条件 ?
我们在开区间 (??? 0)内补充函数 f(x)的定义 ? 得到定义在 (??? ?]
上的函数 F(x)? 使它在 (??? ?)上成为奇函数 (偶函数 )? 按这种方
式拓广函数定义域的过程称为奇延拓 (偶延拓 )? 限制在 (0? ?]
上 ?有 F(x)=f(x)?
?奇延拓与偶延拓
奇延拓 偶延拓
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例 6 将函数 f(x)=x?1(0?x??)分别展开成正弦级数和余弦
级数 ??
先求正弦级数 ?解 为此对函数 f(x)进行奇延拓 ?
?
?
?
?
?
???=?
???=??
=
6,4,2,2
,5,3,1 22
n
n
n
nb
n
?
? ??
函数的正弦级数展开式为
正弦级数的系数为 >>>
在端点 x=0及 x=?处 ?级数的和为零 ?
] 4s i n43s i n)2(312s i n2s i n)2[(21 ?????????=? xxxxx ?????
(0<x<?)?] 4s in
43s in)2(3
12s in
2s in)2[(
21 ?????????=? xxxxx ????
?
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再求余弦级数 ? 为此对函数 f(x)进行偶延拓 ?
函数的余弦级数展开式为
) 5c o s5 13c o s31( c o s412 1 22 ????????=? xxxx ?? (0?x??)?
??
?
?
?
???=?
???=
=
5,3,1,4
,6,4,2 0
2 nn
n
a n
?
??
a 0=??2?
结束
余弦级数的系数为 >>>
例 6 将函数 f(x)=x?1(0?x??)分别展开成正弦级数和余弦
级数 ??
解
