§ 12.5 全微分方程
如果 P(x,y)dx+Q(x,y)dy恰好是某一个
函数 u=u(x,y)的全微分,
du(x,y)=P(x,y)dx+Q(x,y)dy,
那么方程 P(x,y)dx+Q(x,y)dy=0就叫做全微
分方程,
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?全微分方程
?全微分方程的判定
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如果 P(x,y)dx+Q(x,y)dy是某个函数 u=u(x,y)的全微分,
du(x,y)=P(x,y)dx+Q(x,y)dy,
那么方程 P(x,y)dx+Q(x,y)dy=0就叫做全微分方程,
若 P(x,y),Q(x,y)在单连通域 G内具有一
阶连续偏导数,且
x
Q
y
P
?
?=
?
?,
则方程 P(x,y)dx+Q(x,y)dy=0是全微分方程,
.
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?全微分方程的通解
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若方程 P(x,y)dx+Q(x,y)dy=0是全微分方程,则其通解为
若方程 P(x,y)dx+Q(x,y)dy=0是全微分方程,且
du(x,y)=P(x,y)dx+Q(x,y)dy,
则 u(x,y)=C就是方程的通解,
?全微分方程的通解公式
CdyyxQdxyxP yyxx =+ ??
00
),(),( 0,
或 CdyyxQdxyxP yyxx =+ ??
00
),(),( 0,
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提示,
例 1 求解 (5x4+3xy2-y3)dx+(3x2y-3xy2+y2)dy=0.
解 这里 P=5x4+3xy2-y3,Q=3x2y-3xy2+y2,且
x
Qyxy
y
P
?
?=-=
?
? 236,
所以这是全微分方程,其通解为
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Cdyyxyyxdxx yx =+-+ ?? 0 2220 4 )33(5,
即 Cyxyyxx =+-+ 33225 3123,
33225
0
222
0
4
3
1
2
3)33(5 yxyyxxdyyxyyxdxx yx +-+=+-+ ??, 33225
0
222
0
4
3
1
2
3)33(5 yxxdyyxyyxdxx yx +-+=+-+ ??,
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?积分因子
例 2 求方程 ydx-xdy=0的积
分因子并求其通解,
因为解
因为 2)( y x d yy d xyxd -=,
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若存在一函数 ?=?(x,y) (?(x,y)?0),使方程
?(x,y)P(x,y)dx+?(x,y)Q(x,y)dy=0
是全微分方程,则函数 ?(x,y)叫做方程 P(x,y)dx+Q(x,y)dy=0的
积分因子,
所以 21y 是 所给 方程的积分因子,
因为
2)( y
x d yy d x
y
xd -=,
故所给方程的通解为
Cyx=,
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例 3 求方程
(1+xy)ydx+(1-xy)xdy=0
的积分因子并求其通解,
解
0)()( 22 =-+ ydyxdxyxxyd,
积分得通解
将方程的各项重新合
并,得
(ydx+xdy)+xy(ydx-xdy)=0,
再把它改写成
用积分因子乘以方程,方
变为
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可 见 2)( 1xy 为 方 程 的 积分因子,
0)( )( 2 =-+ ydyxdxxy xyd,
Cyxxy ln||ln1 =+-,
即 xyCeyx
1
=,
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?一阶线性方程的积分因子
可以验证
?= dxxPex )()(?
是一阶线性方程 y?+P(x)y=Q(x)的一个积分因子,
在一阶线性方程的两边乘以 ?(x)得
两边积分,便得通解
?=?+?? dxxPdxxPdxxP exQexyPey )()()( )()(,
即 ?=?? dxxPdxxP exQye )()( )(][,
CdxexQye dxxPdxxP +?=? ? )()( )(,
或 ])([ )()( CdxexQey dxxPdxxP +??= ?-,
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例 4 用 积分 因 子 求 xxydxdy 42 =+ 的 通 解,
解 方程的积分因子为
22)( xx d x eex =?=?,
方 程 两 边 乘 以 2xe 得
222 42 xxx xeyxeey =+?,即 22 4)( xx xeye =?,222 42 xxx xeyxeey =+?,即 22 4)( xx xeye =?,
于 是 Cedxxeye xxx +== ? 222 24,
因此方程的通解为
22 24 xx Cedxxey -+== ?,
于 是 Cedxxeye xxx +== ? 222 24,
结束