一、线性方程
二、伯努利方程
§ 12.4 一阶线性微分方程
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一、线性方程
形如 y??P(x)y?Q(x)的方程称为一阶线性微分方程 ? 并且当
Q(x)恒为零时称为齐次线性方程 ? Q(x)不恒为零时称为非齐次
线性方程 ?
?一阶线性微分方程
考察下列方程是否是 (或能否化为 )线性方程？
是非齐次线性方程 ??y??3x2?5x?
是非齐次线性方程 ?
(2)3x2?5x?5y??0?
(3)y??ycos x?e?sin x?
( 4 ) yxdxdy ?? 10 ? 不 是 线 性 方 程 ?
( 1 ) ydxdyx ?? )2( ? ? 021 ??? yxdxdy ? 是 齐 次 线 性 方 程 ? ( 1 ) ydxdyx ?? )2( ? ? 021 ??? yxdxdy ? 是 齐 次 线 性 方 程 ? ( 1 ) ydxdyx ?? )2( ? ? 021 ??? yxdxdy ? 是 齐 次 线 性 方 程 ?
( 4 ) yxdxdy ?? 10 ? 不 是 线 性 方 程 ?
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一、线性方程
形如 y??P(x)y?Q(x)的方程称为一阶线性微分方程 ? 并且当
Q(x)恒为零时称为齐次线性方程 ? Q(x)不恒为零时称为非齐次
线性方程 ?
?一阶线性微分方程
?齐次线性方程的通解
齐次线性方程 y??P(x)y?0是变量可分离方程 ?其通解为
?? ? dxxPCey )( ?
提示 ?
? dxxPydy )(?? ? ||ln)(||ln CdxxPy ??? ? ? ?? ? dxxPCey )( ? ? dxxPydy )(?? ? ||ln)(||ln CdxxPy ??? ? ? ?? ? dxxPCey )( ? ? dxxPydy )(?? ? ||ln)(||ln CdxxPy ??? ? ? ?? ? dxxPCey )( ?
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?齐次线性方程的通解
例 1 求方程 ydxdyx ?? )2( 的通解 ?
解 原方程可变为
021 ??? yxdxdy ?
这是齐次线性方程 ?由通解公式得原方程的通解为
)2()2ln (2
1
????? ?? xCCeCey xdxx ?
即 y?C(x?2)?
)2()2ln (2
1
????? ?? xCCeCe xdxx ? )2(2ln (2
1
???? ?? xCCeCey xdxx ?
齐次线性方程 y ?? P ( x ) y ? 0 的通解 为 ?? ? dxxPCey )( ?
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提示 ?这里所用的方法称为常数变易法 ?这种方法就是把齐次
线性方程的通解中的任意常数 C换成末知函数 u(x)?然后代入
非齐次线性方程并确定出函数 u(x)?
提示
)()()()()()( )()()( xQexuxPxPexuexu dxxPdxxPdxxP ??????? ??? ??
代入后得到
?非齐次线性方程的通解
代入非齐次线性方程求得
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?齐次线性方程的通解
设非齐次线性方程 y??P(x)y?Q(x)的通解为
?? ? dxxPexuy )()( ?
??? dxxPexQxu )()()( ?
齐次线性方程 y ?? P ( x ) y ? 0 的通解 为 ?? ? dxxPCey )( ?
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于是非齐次线性方程的通解为
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?非齐次线性方程的通解
代入非齐次线性方程求得
?齐次线性方程的通解
设非齐次线性方程 y??P(x)y?Q(x)的通解为
?? ? dxxPexuy )()( ?
??? dxxPexQxu )()()( ?
积分得 CdxexQxu dxxP ??? ? )()()( ?
])([ )()( CdxexQey dxxPdxxP ???? ?? ?
齐次线性方程 y ?? P ( x ) y ? 0 的通解 为 ?? ? dxxPCey )( ?
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注 ?
非齐次线性方程的通解也可为
上式表明 ?非齐次线性方程的通解等于对应的齐次线性
方程通解与非齐次线性方程的一个特解之和 ?
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?非齐次线性方程的通解
?齐次线性方程的通解
非齐次线性方程 y??P(x)y?Q(x)的通解为
])([ )()( CdxexQey dxxPdxxP ???? ?? ?
齐次线性方程 y ?? P ( x ) y ? 0 的通解 为 ?? ? dxxPCey )( ?
dxexQeCey dxxPdxxPdxxP ? ????? ?? )()()( )( ?
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解 ?? 这 里 12)( ??? xxP ?? 25)1()( ?? xxQ ? 解
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由通解公式得
非齐次线性方程 y??P(x)y?Q(x)的通解为
])([ )()( CdxexQey dxxPdxxP ???? ?? ?
例 2 求方程 2
5
)1(12 ???? xx ydxdy 的通解 ?
])1([ 1
2
2
5
1
2
Cdxexey dxxdxx ????? ? ???
])1()1([)1( 22
52
Cdxxxx ????? ? ? ])1(32[)1( 2
32
Cxx ???? ? ])1()1([)1( 22
52
Cdxxxx ????? ? ? ])(32[)( 2
32
Cxx ???? ?
即 ])1(32[)1( 2
32
Cxxy ???? ?
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将初始条件 0| 0 ??ti 代入通解 ?? 得 222 LR LEC m?? ?? ??
)c o ss i n()( 222222 tLtRLR EeLR LEti mtLRm ?????? ????? ? ?
tLRm CetLtR
LR
E ???
?? )c o ss i n(222 ???? ?
)s i n()( CdtetLEeti dtLRmdtLR ???? ?? ?
tLEiLRdtdi m ?s in?? ??
例 3 有一个电路如图所示 ??其中电源电动势为 E?Emsin?t
(Em,?都是常数 )??电阻 R和电感 L都是常量 ?求电流 i(t)?
根据电学原理 ??得微分方程 >>>解
由通解公式 ??得初始条件为 i|t?0?0??
因此
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二、伯努利方程
?伯努利方程
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( 2 ) 5xyydxdy ?? ? ? 5xyydxdy ?? ? 是 伯努利方程 ?
( 3 ) xyyxy ??? ? ? 11 ???? xyyxy ? 是 伯努利方程 ?
( 1 ) 4)21(3131 yxydxdy ??? ? 是 伯努利方程 ?
( 4 ) xxydxdy 42 ?? ? 是 线 性 方 程 ? 不 是 伯努利方程 ?
( 1 ) 4)21(3131 yxydxdy ??? ? 是 伯努利方程 ?
( 2 ) 5xyydxdy ?? ? ? 5xyydxdy ?? ? 是 伯努利方程 ? ( 2 ) 5xyydxdy ?? ? ? 5xyydxdy ?? ? 是 伯努利方程 ?
( 3 ) xyyxy ??? ? ? 11 ???? xyyxy ? 是 伯努利方程 ? ( 3 ) xyyxy ??? ? ? 11 ???? xyyxy ? 是 伯努利方程 ?
( 4 ) xxydxdy 42 ?? ? 是 线 性 方 程 ? 不 是 伯努利方程 ?
形如 y??P(x)y?Q(x)yn(n?0?1)的方程叫做伯努利方程 ?
考察下列方程是否是 (或能否化为 )伯努利方程？
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二、伯努利方程
?伯努利方程
形如 y??P(x)y?Q(x)yn(n?0?1)的方程叫做伯努利方程 ?
伯努利方程 y??P(x)y?Q(x)yn可化为线性方程 ?
?伯努利方程的解法
)()1()()1()( 11 xQnyxPndxyd nn ???? ?? ?
或 )()1()()1( xQnzxPndxdz ???? ( 其 中 z ? y 1 ? n ) ?
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解
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例 4 求方程 2)( l n yxaxydxdy ?? 的通解 ?
原方程可化为
xayxdxdyy ln1 12 ?? ?? ? 或 xayxdxyd ln1)( 11 ??? ?? ? xayxdxdyy ln1 12 ?? ?? ? 或 xayxdxyd ln1)( 11 ?? ?? ?
由非齐次线性方程的通解公式 ?得
])ln([
11
1 Cdxexaey dxxdxx ?????? ?? ?
)ln2()1ln( 2 xaCxCdxxxax ?????? ? ?
即原方程的通解为
1])( ln2[ 2 ?? xaCyx ?
)ln2()1ln( 2 xaCxCdxxxax ?????? ? ?
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说明 ? 所给方程可变形为一阶线性方程 ?
yxdydx ?? ??
虽然按一阶线性方程的解法可求得通解 ?但这里用变量代换
来解所给方程 ?
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经过变量代换 ? 某些方程可以化为变量可分离的方程 ? 或
化为已知其求解方法的方程 ?
例 5 解方程 yxdxdy ?? 1 ?
解
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令 x?y?u??则原方程化为
udx
du 11?? ??即
u
u
dx
du 1?? ?
以 u?x?y代入上式 ??得原方程的通解
udx
du 11 ?? 即
u
u
dx
du 1?? ?
结束
解
经过变量代换 ? 某些方程可以化为变量可分离的方程 ? 或
化为已知其求解方法的方程 ?
例 5 解方程 yxdxdy ?? 1 ?
分离变量 ? 得 dxduu u ?? 1 ?
两端积分得 u?ln|u?1|?x?ln|C|?
y?ln|x?y?1|??ln|C|? 或 x?Cey?y?1?
二、伯努利方程
§ 12.4 一阶线性微分方程
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一、线性方程
形如 y??P(x)y?Q(x)的方程称为一阶线性微分方程 ? 并且当
Q(x)恒为零时称为齐次线性方程 ? Q(x)不恒为零时称为非齐次
线性方程 ?
?一阶线性微分方程
考察下列方程是否是 (或能否化为 )线性方程？
是非齐次线性方程 ??y??3x2?5x?
是非齐次线性方程 ?
(2)3x2?5x?5y??0?
(3)y??ycos x?e?sin x?
( 4 ) yxdxdy ?? 10 ? 不 是 线 性 方 程 ?
( 1 ) ydxdyx ?? )2( ? ? 021 ??? yxdxdy ? 是 齐 次 线 性 方 程 ? ( 1 ) ydxdyx ?? )2( ? ? 021 ??? yxdxdy ? 是 齐 次 线 性 方 程 ? ( 1 ) ydxdyx ?? )2( ? ? 021 ??? yxdxdy ? 是 齐 次 线 性 方 程 ?
( 4 ) yxdxdy ?? 10 ? 不 是 线 性 方 程 ?
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一、线性方程
形如 y??P(x)y?Q(x)的方程称为一阶线性微分方程 ? 并且当
Q(x)恒为零时称为齐次线性方程 ? Q(x)不恒为零时称为非齐次
线性方程 ?
?一阶线性微分方程
?齐次线性方程的通解
齐次线性方程 y??P(x)y?0是变量可分离方程 ?其通解为
?? ? dxxPCey )( ?
提示 ?
? dxxPydy )(?? ? ||ln)(||ln CdxxPy ??? ? ? ?? ? dxxPCey )( ? ? dxxPydy )(?? ? ||ln)(||ln CdxxPy ??? ? ? ?? ? dxxPCey )( ? ? dxxPydy )(?? ? ||ln)(||ln CdxxPy ??? ? ? ?? ? dxxPCey )( ?
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?齐次线性方程的通解
例 1 求方程 ydxdyx ?? )2( 的通解 ?
解 原方程可变为
021 ??? yxdxdy ?
这是齐次线性方程 ?由通解公式得原方程的通解为
)2()2ln (2
1
????? ?? xCCeCey xdxx ?
即 y?C(x?2)?
)2()2ln (2
1
????? ?? xCCeCe xdxx ? )2(2ln (2
1
???? ?? xCCeCey xdxx ?
齐次线性方程 y ?? P ( x ) y ? 0 的通解 为 ?? ? dxxPCey )( ?
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提示 ?这里所用的方法称为常数变易法 ?这种方法就是把齐次
线性方程的通解中的任意常数 C换成末知函数 u(x)?然后代入
非齐次线性方程并确定出函数 u(x)?
提示
)()()()()()( )()()( xQexuxPxPexuexu dxxPdxxPdxxP ??????? ??? ??
代入后得到
?非齐次线性方程的通解
代入非齐次线性方程求得
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?齐次线性方程的通解
设非齐次线性方程 y??P(x)y?Q(x)的通解为
?? ? dxxPexuy )()( ?
??? dxxPexQxu )()()( ?
齐次线性方程 y ?? P ( x ) y ? 0 的通解 为 ?? ? dxxPCey )( ?
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于是非齐次线性方程的通解为
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?非齐次线性方程的通解
代入非齐次线性方程求得
?齐次线性方程的通解
设非齐次线性方程 y??P(x)y?Q(x)的通解为
?? ? dxxPexuy )()( ?
??? dxxPexQxu )()()( ?
积分得 CdxexQxu dxxP ??? ? )()()( ?
])([ )()( CdxexQey dxxPdxxP ???? ?? ?
齐次线性方程 y ?? P ( x ) y ? 0 的通解 为 ?? ? dxxPCey )( ?
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注 ?
非齐次线性方程的通解也可为
上式表明 ?非齐次线性方程的通解等于对应的齐次线性
方程通解与非齐次线性方程的一个特解之和 ?
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?非齐次线性方程的通解
?齐次线性方程的通解
非齐次线性方程 y??P(x)y?Q(x)的通解为
])([ )()( CdxexQey dxxPdxxP ???? ?? ?
齐次线性方程 y ?? P ( x ) y ? 0 的通解 为 ?? ? dxxPCey )( ?
dxexQeCey dxxPdxxPdxxP ? ????? ?? )()()( )( ?
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解 ?? 这 里 12)( ??? xxP ?? 25)1()( ?? xxQ ? 解
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由通解公式得
非齐次线性方程 y??P(x)y?Q(x)的通解为
])([ )()( CdxexQey dxxPdxxP ???? ?? ?
例 2 求方程 2
5
)1(12 ???? xx ydxdy 的通解 ?
])1([ 1
2
2
5
1
2
Cdxexey dxxdxx ????? ? ???
])1()1([)1( 22
52
Cdxxxx ????? ? ? ])1(32[)1( 2
32
Cxx ???? ? ])1()1([)1( 22
52
Cdxxxx ????? ? ? ])(32[)( 2
32
Cxx ???? ?
即 ])1(32[)1( 2
32
Cxxy ???? ?
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将初始条件 0| 0 ??ti 代入通解 ?? 得 222 LR LEC m?? ?? ??
)c o ss i n()( 222222 tLtRLR EeLR LEti mtLRm ?????? ????? ? ?
tLRm CetLtR
LR
E ???
?? )c o ss i n(222 ???? ?
)s i n()( CdtetLEeti dtLRmdtLR ???? ?? ?
tLEiLRdtdi m ?s in?? ??
例 3 有一个电路如图所示 ??其中电源电动势为 E?Emsin?t
(Em,?都是常数 )??电阻 R和电感 L都是常量 ?求电流 i(t)?
根据电学原理 ??得微分方程 >>>解
由通解公式 ??得初始条件为 i|t?0?0??
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二、伯努利方程
?伯努利方程
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( 2 ) 5xyydxdy ?? ? ? 5xyydxdy ?? ? 是 伯努利方程 ?
( 3 ) xyyxy ??? ? ? 11 ???? xyyxy ? 是 伯努利方程 ?
( 1 ) 4)21(3131 yxydxdy ??? ? 是 伯努利方程 ?
( 4 ) xxydxdy 42 ?? ? 是 线 性 方 程 ? 不 是 伯努利方程 ?
( 1 ) 4)21(3131 yxydxdy ??? ? 是 伯努利方程 ?
( 2 ) 5xyydxdy ?? ? ? 5xyydxdy ?? ? 是 伯努利方程 ? ( 2 ) 5xyydxdy ?? ? ? 5xyydxdy ?? ? 是 伯努利方程 ?
( 3 ) xyyxy ??? ? ? 11 ???? xyyxy ? 是 伯努利方程 ? ( 3 ) xyyxy ??? ? ? 11 ???? xyyxy ? 是 伯努利方程 ?
( 4 ) xxydxdy 42 ?? ? 是 线 性 方 程 ? 不 是 伯努利方程 ?
形如 y??P(x)y?Q(x)yn(n?0?1)的方程叫做伯努利方程 ?
考察下列方程是否是 (或能否化为 )伯努利方程？
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二、伯努利方程
?伯努利方程
形如 y??P(x)y?Q(x)yn(n?0?1)的方程叫做伯努利方程 ?
伯努利方程 y??P(x)y?Q(x)yn可化为线性方程 ?
?伯努利方程的解法
)()1()()1()( 11 xQnyxPndxyd nn ???? ?? ?
或 )()1()()1( xQnzxPndxdz ???? ( 其 中 z ? y 1 ? n ) ?
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解
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例 4 求方程 2)( l n yxaxydxdy ?? 的通解 ?
原方程可化为
xayxdxdyy ln1 12 ?? ?? ? 或 xayxdxyd ln1)( 11 ??? ?? ? xayxdxdyy ln1 12 ?? ?? ? 或 xayxdxyd ln1)( 11 ?? ?? ?
由非齐次线性方程的通解公式 ?得
])ln([
11
1 Cdxexaey dxxdxx ?????? ?? ?
)ln2()1ln( 2 xaCxCdxxxax ?????? ? ?
即原方程的通解为
1])( ln2[ 2 ?? xaCyx ?
)ln2()1ln( 2 xaCxCdxxxax ?????? ? ?
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说明 ? 所给方程可变形为一阶线性方程 ?
yxdydx ?? ??
虽然按一阶线性方程的解法可求得通解 ?但这里用变量代换
来解所给方程 ?
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经过变量代换 ? 某些方程可以化为变量可分离的方程 ? 或
化为已知其求解方法的方程 ?
例 5 解方程 yxdxdy ?? 1 ?
解
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令 x?y?u??则原方程化为
udx
du 11?? ??即
u
u
dx
du 1?? ?
以 u?x?y代入上式 ??得原方程的通解
udx
du 11 ?? 即
u
u
dx
du 1?? ?
结束
解
经过变量代换 ? 某些方程可以化为变量可分离的方程 ? 或
化为已知其求解方法的方程 ?
例 5 解方程 yxdxdy ?? 1 ?
分离变量 ? 得 dxduu u ?? 1 ?
两端积分得 u?ln|u?1|?x?ln|C|?
y?ln|x?y?1|??ln|C|? 或 x?Cey?y?1?
