§ 12.3 齐次方程
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如果一阶微分方程
),( yxfdxdy ?
中的函数 f ( x,y ) 可写成 xy 的函数 ? 即 )(),( xyyxf ?? ?
则称这方程为齐次方程 ?
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?齐次方程
例如
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如果一阶微分方程 ),( yxfdxdy ? 中的函数 f ( x,y ) 可写成 xy 的
函数 ? 即 )(),( xyyxf ?? ? 则称这方程为齐次方程 ?
( 1 ) 022 ????? xyyyx 是齐次方程 ?
( 2 ) 22 11 yyx ???? 不是齐次方程 ?
(3)(x2?y2)dx?xydy?0是齐次方程 ?
(4)(2x?y?4)dx?(x?y?1)dy?0不是齐次方程 ?
( 5 ) 0ch3)ch3sh2( ??? dyxyxdxxyyxyx 是齐次方程 ?
>>>
>>>
>>>
>>>
>>>
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?齐次方程的解法
?变量代换 ?
?分离变量 ?
?两端积分 ?
?还原变量 ?
下页
?齐次方程
如果一阶微分方程 ),( yxfdxdy ? 中的函数 f ( x,y ) 可写成 xy 的
函数 ? 即 )(),( xyyxf ?? ? 则称这方程为齐次方程 ?
令 xyu ? ? 即 y ? ux ? 则 )( udxduxu ??? ?
x
dx
uu
du ?
?)(? ?
?? ?? xdxuudu)(? ?
求出积分后 ? 再用 xy 代替 u ?
令 xyu ? ? 即 y ? ux ? 则 )( udxduxu ??? ?
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原方程可写成解
1
)( 2
2
2
?
?
?
?
x
y
x
y
xxy
y
dx
dy
??
令 uxy ? ?? 即 y ? ux ?? ?则 得
1
2
??? u
u
dx
duxu ??
即 1?? u udxdux ?
分离变量 ?得
x
dxdu
u ?? )
11( ??
两边积分 ?得
u?ln|u|?C?ln|x|?
或写成 ln|xu|?u?C?
以 xy 代上式中的 u ?? 得
Cxyy ??||ln ?
下页
例 1 解方程 dxdyxydxdyxy ?? 22 ?
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设此凹镜是由 xOy面上
曲线 L? y?y(x) (y>0) 绕 x轴旋转
而成 ??光源在原点 ? 提示 ? 在此变换下方程化为
12 ???? vvdydvyv ?
提示
Cyvv lnln)1l n ( 2 ????
C
yvv ???? 12
1)( 22 ???? vvCy ??
解
根据题意 ?得 齐次方程 >>>
令 vyx ? ?? 即 x ? y v ?? 得
1)( 2 ??? yxyxdydx ?
分离变量 ?得
y
dy
v
dv ?
? 12 ??
两边积分并整理 ?得
12 ?? vdydvy ??
1222 ?? CyvCy ?
下页
例 2 有旋转曲面形状的凹
镜 ? 假设由旋转轴上一点 O发
出的一切光线经此凹镜反射后
都与旋转轴平行 ? 求这旋转曲
面的方程 ?
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以 yv?x代入上式 ?得
)2(22 CxCy ?? ?
所求的旋转曲面方程为
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)2(222 CxCzy ??? ?
设此凹镜是由 xOy面上
曲线 L? y?y(x) (y>0) 绕 x轴旋转
而成 ??光源在原点 ?
解
根据题意 ?得 齐次方程 >>>
令 vyx ? ?? 即 x ? y v ?? 得
1)( 2 ??? yxyxdydx ?
分离变量 ?得
y
dy
v
dv ?
? 12 ??
两边积分并整理 ?得
12 ?? vdydvy ??
1222 ?? CyvCy ?
例 2 有旋转曲面形状的凹
镜 ? 假设由旋转轴上一点 O发
出的一切光线经此凹镜反射后
都与旋转轴平行 ? 求这旋转曲
面的方程 ?
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取 O为原点 ?河岸朝顺
水方向为 x轴 ?y轴指向对岸 ?
提示 ?
解
设在时刻 t 鸭子位于点 P(x?y)?
则 x和 y满足微分方程 >>>
dybyaudu ??? 12 ??
分离变量 ??得
y
x
y
x
b
a
dy
dx ???? 1)( 2 ?
12 ??? ubadyduy ??
令 uyx ? ?? 即 x ? y u ?? 得
分离变量且两边积分 ?得
)ln( l na r s h Cyabu ??? ?
将 yxu ? 代入上式并整理 ?? 得
])()[(2 1 11 baba CyCyCx ?? ?? ?
下页
>>>
例 3 设一条河的两岸为平行直线 ?水流速度为 a?有一鸭子
从岸边点 A游向正对岸点 O?设鸭子的游速为 b(b>a)?且鸭子游
动方向始终朝着点 O?已知 OA?h?求鸭子游过的迹线的方程 ?
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)ln( l na r s h Cyabu ??? ?
])()[(2 1 11 baba CyCyCx ?? ?? ?
故鸭子游过的迹线方程为
])()[(2 11 baba hyhyhx ?? ?? ?? 0 ? y ? h ?
结束
将 yxu ? 代入上式并整理 ?? 得
以 x | y ? h ? 0 代入上式 ?? 得 hC 1? ?
取 O为原点 ?河岸朝顺
水方向为 x轴 ?y轴指向对岸 ?
解
设在时刻 t 鸭子位于点 P(x?y)?
则 x和 y满足微分方程 >>>
y
x
y
x
b
a
dy
dx ???? 1)( 2 ?
12 ??? ubadyduy ??
令 uyx ? ?? 即 x ? y u ?? 得
分离变量且两边积分 ?得
例 3 设一条河的两岸为平行直线 ?水流速度为 a?有一鸭子
从岸边点 A游向正对岸点 O?设鸭子的游速为 b(b>a)?且鸭子游
动方向始终朝着点 O?已知 OA?h?求鸭子游过的迹线的方程 ?
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如果一阶微分方程
),( yxfdxdy ?
中的函数 f ( x,y ) 可写成 xy 的函数 ? 即 )(),( xyyxf ?? ?
则称这方程为齐次方程 ?
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?齐次方程
例如
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如果一阶微分方程 ),( yxfdxdy ? 中的函数 f ( x,y ) 可写成 xy 的
函数 ? 即 )(),( xyyxf ?? ? 则称这方程为齐次方程 ?
( 1 ) 022 ????? xyyyx 是齐次方程 ?
( 2 ) 22 11 yyx ???? 不是齐次方程 ?
(3)(x2?y2)dx?xydy?0是齐次方程 ?
(4)(2x?y?4)dx?(x?y?1)dy?0不是齐次方程 ?
( 5 ) 0ch3)ch3sh2( ??? dyxyxdxxyyxyx 是齐次方程 ?
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?齐次方程的解法
?变量代换 ?
?分离变量 ?
?两端积分 ?
?还原变量 ?
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?齐次方程
如果一阶微分方程 ),( yxfdxdy ? 中的函数 f ( x,y ) 可写成 xy 的
函数 ? 即 )(),( xyyxf ?? ? 则称这方程为齐次方程 ?
令 xyu ? ? 即 y ? ux ? 则 )( udxduxu ??? ?
x
dx
uu
du ?
?)(? ?
?? ?? xdxuudu)(? ?
求出积分后 ? 再用 xy 代替 u ?
令 xyu ? ? 即 y ? ux ? 则 )( udxduxu ??? ?
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原方程可写成解
1
)( 2
2
2
?
?
?
?
x
y
x
y
xxy
y
dx
dy
??
令 uxy ? ?? 即 y ? ux ?? ?则 得
1
2
??? u
u
dx
duxu ??
即 1?? u udxdux ?
分离变量 ?得
x
dxdu
u ?? )
11( ??
两边积分 ?得
u?ln|u|?C?ln|x|?
或写成 ln|xu|?u?C?
以 xy 代上式中的 u ?? 得
Cxyy ??||ln ?
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例 1 解方程 dxdyxydxdyxy ?? 22 ?
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设此凹镜是由 xOy面上
曲线 L? y?y(x) (y>0) 绕 x轴旋转
而成 ??光源在原点 ? 提示 ? 在此变换下方程化为
12 ???? vvdydvyv ?
提示
Cyvv lnln)1l n ( 2 ????
C
yvv ???? 12
1)( 22 ???? vvCy ??
解
根据题意 ?得 齐次方程 >>>
令 vyx ? ?? 即 x ? y v ?? 得
1)( 2 ??? yxyxdydx ?
分离变量 ?得
y
dy
v
dv ?
? 12 ??
两边积分并整理 ?得
12 ?? vdydvy ??
1222 ?? CyvCy ?
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例 2 有旋转曲面形状的凹
镜 ? 假设由旋转轴上一点 O发
出的一切光线经此凹镜反射后
都与旋转轴平行 ? 求这旋转曲
面的方程 ?
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以 yv?x代入上式 ?得
)2(22 CxCy ?? ?
所求的旋转曲面方程为
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)2(222 CxCzy ??? ?
设此凹镜是由 xOy面上
曲线 L? y?y(x) (y>0) 绕 x轴旋转
而成 ??光源在原点 ?
解
根据题意 ?得 齐次方程 >>>
令 vyx ? ?? 即 x ? y v ?? 得
1)( 2 ??? yxyxdydx ?
分离变量 ?得
y
dy
v
dv ?
? 12 ??
两边积分并整理 ?得
12 ?? vdydvy ??
1222 ?? CyvCy ?
例 2 有旋转曲面形状的凹
镜 ? 假设由旋转轴上一点 O发
出的一切光线经此凹镜反射后
都与旋转轴平行 ? 求这旋转曲
面的方程 ?
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取 O为原点 ?河岸朝顺
水方向为 x轴 ?y轴指向对岸 ?
提示 ?
解
设在时刻 t 鸭子位于点 P(x?y)?
则 x和 y满足微分方程 >>>
dybyaudu ??? 12 ??
分离变量 ??得
y
x
y
x
b
a
dy
dx ???? 1)( 2 ?
12 ??? ubadyduy ??
令 uyx ? ?? 即 x ? y u ?? 得
分离变量且两边积分 ?得
)ln( l na r s h Cyabu ??? ?
将 yxu ? 代入上式并整理 ?? 得
])()[(2 1 11 baba CyCyCx ?? ?? ?
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>>>
例 3 设一条河的两岸为平行直线 ?水流速度为 a?有一鸭子
从岸边点 A游向正对岸点 O?设鸭子的游速为 b(b>a)?且鸭子游
动方向始终朝着点 O?已知 OA?h?求鸭子游过的迹线的方程 ?
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)ln( l na r s h Cyabu ??? ?
])()[(2 1 11 baba CyCyCx ?? ?? ?
故鸭子游过的迹线方程为
])()[(2 11 baba hyhyhx ?? ?? ?? 0 ? y ? h ?
结束
将 yxu ? 代入上式并整理 ?? 得
以 x | y ? h ? 0 代入上式 ?? 得 hC 1? ?
取 O为原点 ?河岸朝顺
水方向为 x轴 ?y轴指向对岸 ?
解
设在时刻 t 鸭子位于点 P(x?y)?
则 x和 y满足微分方程 >>>
y
x
y
x
b
a
dy
dx ???? 1)( 2 ?
12 ??? ubadyduy ??
令 uyx ? ?? 即 x ? y u ?? 得
分离变量且两边积分 ?得
例 3 设一条河的两岸为平行直线 ?水流速度为 a?有一鸭子
从岸边点 A游向正对岸点 O?设鸭子的游速为 b(b>a)?且鸭子游
动方向始终朝着点 O?已知 OA?h?求鸭子游过的迹线的方程 ?
