§ 12.2 可分离变量的微分方程
一阶微分方程有时也写成如下对称形式 ?
P(x? y)dx?Q(x? y)dy?0
在这种方程中 ? 变量 x与 y是对称的 ?
如果一个一阶微分方程能写成
g(y)dy?f(x)dx
的形式 ? 那么原方程就称为可分离变量的微分方程 ?
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微分方程 分离变量 是否可分离变量
y??2xy
3x2?5x?y??0
(x2?y2)dx?xydy=0
y??1?x?y2?xy2
y??10x?y
如果一个一阶微分方程能写成
g(y)dy?f(x)dx (或写成 y???(x)?(y))
的形式 ?那么原方程就称为可分离变量的微分方程 ?
?可分离变量的微分方程
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讨论 ?
x
y
y
xy ???
是
不是
不是
是
是
是
y?1dy?2xdx
dy?(3x2?5x)dx
y??(1?x)(1?y2)
10?ydy?10xdx
————
————
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?可分离变量的微分方程的解法
?两端积分 ?
方程 G(y)?F(x)?C? y?F(x)或 x?Y(y)都是方程的通解 ? 其中
G(y)?F(x)?C称为隐式 (通 )解 ?
?求显式解 ? 求方程由 G(y)?F(x)?C所确定的隐函数
y?F(x)或 x?Y(y)?
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如果一个一阶微分方程能写成
g(y)dy?f(x)dx (或写成 y???(x)?(y))
的形式 ?那么原方程就称为可分离变量的微分方程 ?
?可分离变量的微分方程
?分离变量 ? 将方程写成 g(y)dy?f(x)dx的形式 ?
?? ? dxxfdyyg )()( ? 设积分后得 G ( y )? F ( x )? C ? ?? ? dxxfdyyg )()( ? 设积分后得 G ( y ) ? F ( x ) ? ?
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注 ?
离变量得
解 这是一个可分离变量的微分方程 ?
两边积分得
下页
例 1 求微分方程 xydxdy 2? 的通解 ?
x d xdyy 21 ? ?
?? ? x d xdyy 21 ?
即 ln|y|?x2?C1? ln|y|?x2?lnC?
从而 2xCey ? ? 从而 221 xxC Ceeey ??? ?
其 中 1CeC ?? 为 任 意 常 数 ?
加常数的另一方法 ?
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根据题意 ?得 微分方程解
例 2 铀的衰变速度与当时未衰变的原子的含量 M成正比 ?
已知 t?0时铀的含量为 M0?求在衰变过程中铀含量 M(t)随时间 t
变化的规律 ?
初始条件为 M|t?0?M0?
MdtdM ??? ( ? 是 正 常数 ) ?
dtMdM ??? ?
将方程分离变量 ?得
两边积分 ?得
?? ?? dtMdM )( ? ?
由初始条件 ?得 M0?Ce0?C?
所以铀含量 M(t)随时间 t变化
的规律 M?M0e??t?
即 lnM???t?lnC?
也即 M?Ce??t?
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提示 ?
降落伞所受外力为 F?mg?kv(k为比例系数 )?
牛顿第二运动定律 F?ma?
设降落伞下落速度为
v(t)?
??
?
?
?
?
??
? 0| 0tv
kvmg
dt
dvm
??
解
下页
例 3 设降落伞从跳伞塔
下落后 ? 所受空气阻力与速度
成正比 ? 并设降落伞离开跳伞
塔时速度为零 ? 求降落伞下落
速度与时间的函数关系 ?
根据题意得初值问题
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将方程分离变量得
m
dt
kvmg
dv ?
? ??
两边积分得
将初始条件 v|t?0?0代入上式得
k
mgC ?? ??
于是降落伞下落速度与时间
的函数关系为
结束
??
?
?
?
?
??
? 0| 0tv
kvmg
dt
dvm
??
例 3 设降落伞从跳伞塔
下落后 ? 所受空气阻力与速度
成正比 ? 并设降落伞离开跳伞
塔时速度为零 ? 求降落伞下落
速度与时间的函数关系 ?
?? ?? mdtkvmg dv ?
即 1)ln (1 Cmtkvmgk ???? ?
或 tm
k
Cekmgv ??? ( keC kC 1??? ) ?
)1( tm
k
ekmgv ??? ?
设降落伞下落速度为
v(t)?
解
根据题意得初值问题
一阶微分方程有时也写成如下对称形式 ?
P(x? y)dx?Q(x? y)dy?0
在这种方程中 ? 变量 x与 y是对称的 ?
如果一个一阶微分方程能写成
g(y)dy?f(x)dx
的形式 ? 那么原方程就称为可分离变量的微分方程 ?
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微分方程 分离变量 是否可分离变量
y??2xy
3x2?5x?y??0
(x2?y2)dx?xydy=0
y??1?x?y2?xy2
y??10x?y
如果一个一阶微分方程能写成
g(y)dy?f(x)dx (或写成 y???(x)?(y))
的形式 ?那么原方程就称为可分离变量的微分方程 ?
?可分离变量的微分方程
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讨论 ?
x
y
y
xy ???
是
不是
不是
是
是
是
y?1dy?2xdx
dy?(3x2?5x)dx
y??(1?x)(1?y2)
10?ydy?10xdx
————
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?可分离变量的微分方程的解法
?两端积分 ?
方程 G(y)?F(x)?C? y?F(x)或 x?Y(y)都是方程的通解 ? 其中
G(y)?F(x)?C称为隐式 (通 )解 ?
?求显式解 ? 求方程由 G(y)?F(x)?C所确定的隐函数
y?F(x)或 x?Y(y)?
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如果一个一阶微分方程能写成
g(y)dy?f(x)dx (或写成 y???(x)?(y))
的形式 ?那么原方程就称为可分离变量的微分方程 ?
?可分离变量的微分方程
?分离变量 ? 将方程写成 g(y)dy?f(x)dx的形式 ?
?? ? dxxfdyyg )()( ? 设积分后得 G ( y )? F ( x )? C ? ?? ? dxxfdyyg )()( ? 设积分后得 G ( y ) ? F ( x ) ? ?
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注 ?
离变量得
解 这是一个可分离变量的微分方程 ?
两边积分得
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例 1 求微分方程 xydxdy 2? 的通解 ?
x d xdyy 21 ? ?
?? ? x d xdyy 21 ?
即 ln|y|?x2?C1? ln|y|?x2?lnC?
从而 2xCey ? ? 从而 221 xxC Ceeey ??? ?
其 中 1CeC ?? 为 任 意 常 数 ?
加常数的另一方法 ?
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根据题意 ?得 微分方程解
例 2 铀的衰变速度与当时未衰变的原子的含量 M成正比 ?
已知 t?0时铀的含量为 M0?求在衰变过程中铀含量 M(t)随时间 t
变化的规律 ?
初始条件为 M|t?0?M0?
MdtdM ??? ( ? 是 正 常数 ) ?
dtMdM ??? ?
将方程分离变量 ?得
两边积分 ?得
?? ?? dtMdM )( ? ?
由初始条件 ?得 M0?Ce0?C?
所以铀含量 M(t)随时间 t变化
的规律 M?M0e??t?
即 lnM???t?lnC?
也即 M?Ce??t?
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提示 ?
降落伞所受外力为 F?mg?kv(k为比例系数 )?
牛顿第二运动定律 F?ma?
设降落伞下落速度为
v(t)?
??
?
?
?
?
??
? 0| 0tv
kvmg
dt
dvm
??
解
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例 3 设降落伞从跳伞塔
下落后 ? 所受空气阻力与速度
成正比 ? 并设降落伞离开跳伞
塔时速度为零 ? 求降落伞下落
速度与时间的函数关系 ?
根据题意得初值问题
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将方程分离变量得
m
dt
kvmg
dv ?
? ??
两边积分得
将初始条件 v|t?0?0代入上式得
k
mgC ?? ??
于是降落伞下落速度与时间
的函数关系为
结束
??
?
?
?
?
??
? 0| 0tv
kvmg
dt
dvm
??
例 3 设降落伞从跳伞塔
下落后 ? 所受空气阻力与速度
成正比 ? 并设降落伞离开跳伞
塔时速度为零 ? 求降落伞下落
速度与时间的函数关系 ?
?? ?? mdtkvmg dv ?
即 1)ln (1 Cmtkvmgk ???? ?
或 tm
k
Cekmgv ??? ( keC kC 1??? ) ?
)1( tm
k
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设降落伞下落速度为
v(t)?
解
根据题意得初值问题
