一、斯托克斯公式
二、环流量与旋度
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§ 10.7 斯托克斯公式 环流量与旋度
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一、斯托克斯公式
?定理
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设 ?为分段光滑的空间有向闭曲线 ??是以 ?为边界的分片
光滑的有向曲面 ??的正向与 ?的侧符合右手规则 ?函数 P(x?y?z)、
Q(x?y?z),R(x?y?z)在曲面 ?(连同边界 )上具有一阶连续偏导数 ?
则有
??
? ?
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?
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? d x d y
y
P
x
Qd z d x
x
R
z
Pd y d z
z
Q
y
R )()()(
?
?
??? R d zQ d yP d x ? >>>记忆方法
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例 1 利用斯托克斯公式计算曲线积分 ?
?
?? y d zx d yz d x ? 其中 ?
其中 ?为平面 x?y?z?1被三个坐标面所截成的三角形的整个边
界 ?它的正向与这个三角形上侧的法向量之间符合右手规则 ?
设 ?为 平面 x?y?z?1被三个坐标面所截成的三角形 ?解
Stokes公式
2
3 ??????? ????????
? xyzxyz DDD
d x d yd z d xd y d zd x d yd z d xd y d z ?
2
3 ??????? ????????
? xyzxyz DDD
d x d yd z d xd y d zd x d yd z d xd y d z ? 23 ??????? ????????
? xyzxyz DDD
dxdydzdxdydzdxdydzdxdydz ?
yxz
zyx
d x d yd z d xd y d z
y d zx d yz d x
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xz
yx
d x yd z xd y d z
y d zx d yz d x
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?
?
????
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???
按斯托克斯公式 ?有
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)31,31,31()c o s,c o s,( c o s ???? ?
dS
yxxzxy
zyx
I ??
?
???
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?
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222222
c osc osc os ???
????
??
?????? dSdSzyx 2334)(34 29332 ???? ??
xyD
d x d y ?
取 ?为平面 2x?2y?2z?3的上侧被 ?所围成的部分 ?解
?上侧 的单位法向量为
例 2 计算曲线积分 dzyxdyxzdxzyI )()()( 222222 ?????? ?
?
?
其中 ?是用平面 2x?2y?2z?3截立方体 ? 0?x?1? 0?y?1? 0?z?1的
表面所得的截痕 ?若从 x轴的正向看去取逆时针方向 ?
????
??
?????? dSdSzyx 2334)(34 29332 ???? ??
xyD
d x d y ? ????
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?????? dSdSzyx 2334)(34 29332 ???? ??
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x d y ? ????
?
?????? dSdSzyx 2334)(34 29332 ??? ??
xyD
dxdy ?
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二、环流量与旋度
向量场 A?(P(x,y,z),Q(x,y,z),R(x,y,z))所确定的向量场
?旋度
称为向量场 A的旋度 ? 记为 rotA? 即
旋度的记忆法 ?
kjiA )()()( yPxQxRzPzQyR ??????????????????r o t ?
kjiA )()()( yPxQxRzPzQyR ??????????????????r o t ?
RQP
zyx ?
?
?
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kji
Ar o t ?
下页Stokes公式
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?斯托克斯公式的向量形式
其中 n是曲面 ?上点 (x,y,z)处的单位法向量 ? t是 ?的正向边界
曲线 ?上点 (x,y,z)处的单位切向量 ?
沿有向闭曲线 ?的曲线积分
叫做向量场 A沿有向闭曲线 ?的环流量 ?
?环流量
???
??
??? dsdS tAnAr o t ? 或 ???
??
? dsAdS tn)( Ar o t ?
向量场 A沿有向闭曲线 ?的环流量等于向量场 A的旋度场
通过 ?所张的曲面 ?的通量 ?
??
??
??? dsAR d zQ d yP d x t
?斯托克斯公式的物理意义
结束Stokes公式
二、环流量与旋度
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§ 10.7 斯托克斯公式 环流量与旋度
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一、斯托克斯公式
?定理
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设 ?为分段光滑的空间有向闭曲线 ??是以 ?为边界的分片
光滑的有向曲面 ??的正向与 ?的侧符合右手规则 ?函数 P(x?y?z)、
Q(x?y?z),R(x?y?z)在曲面 ?(连同边界 )上具有一阶连续偏导数 ?
则有
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??? R d zQ d yP d x ? >>>记忆方法
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例 1 利用斯托克斯公式计算曲线积分 ?
?
?? y d zx d yz d x ? 其中 ?
其中 ?为平面 x?y?z?1被三个坐标面所截成的三角形的整个边
界 ?它的正向与这个三角形上侧的法向量之间符合右手规则 ?
设 ?为 平面 x?y?z?1被三个坐标面所截成的三角形 ?解
Stokes公式
2
3 ??????? ????????
? xyzxyz DDD
d x d yd z d xd y d zd x d yd z d xd y d z ?
2
3 ??????? ????????
? xyzxyz DDD
d x d yd z d xd y d zd x d yd z d xd y d z ? 23 ??????? ????????
? xyzxyz DDD
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y d zx d yz d x
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按斯托克斯公式 ?有
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)31,31,31()c o s,c o s,( c o s ???? ?
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d x d y ?
取 ?为平面 2x?2y?2z?3的上侧被 ?所围成的部分 ?解
?上侧 的单位法向量为
例 2 计算曲线积分 dzyxdyxzdxzyI )()()( 222222 ?????? ?
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其中 ?是用平面 2x?2y?2z?3截立方体 ? 0?x?1? 0?y?1? 0?z?1的
表面所得的截痕 ?若从 x轴的正向看去取逆时针方向 ?
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二、环流量与旋度
向量场 A?(P(x,y,z),Q(x,y,z),R(x,y,z))所确定的向量场
?旋度
称为向量场 A的旋度 ? 记为 rotA? 即
旋度的记忆法 ?
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?斯托克斯公式的向量形式
其中 n是曲面 ?上点 (x,y,z)处的单位法向量 ? t是 ?的正向边界
曲线 ?上点 (x,y,z)处的单位切向量 ?
沿有向闭曲线 ?的曲线积分
叫做向量场 A沿有向闭曲线 ?的环流量 ?
?环流量
???
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??? dsdS tAnAr o t ? 或 ???
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向量场 A沿有向闭曲线 ?的环流量等于向量场 A的旋度场
通过 ?所张的曲面 ?的通量 ?
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??? dsAR d zQ d yP d x t
?斯托克斯公式的物理意义
结束Stokes公式
