一、高斯公式
二、通量与散度
§ 10.6 高斯公式 通量与散度
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一、高斯公式
定理证明 下页
?定理 1
设空间闭区域 ?是由分片光滑的闭曲面 ?所围成 ? 函数
P(x? y? z),Q(x? y? z),R(x? y? z)在 ?上具有一阶连续偏导数 ?
则有
这里 ?是 ?的整个边界的外侧 ? cos?,cos?,cos?是 ?在点
(x?y?z)处的法向量的方向余弦 ?
?????
??
??????????? R d x d yQ d z d xP d y d zdvzRyQxP )( ?
或 dSRQPdvzRyQxP )c osc osc os()( ?????
??
??????????? ??? ?
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例 1 利用高斯公式计算曲面积分 x d y d zzyd x d yyx )()( ?????
?
?
其中 ?为柱面 x2?y2?1及平面 z?0? z?3所围成的空间闭区域 ?的
整个边界曲面的外侧 ?
这里 P?(y?z)x?Q?0?R?x?y?解
zyxP ???? ? 0??? yQ ? 0??? zR ?
由高斯公式 ?有
d y d zzyd x d yyx )()( ?????
?
2
9 )s in( )( 2
0
1
0
3
0
??????? ?????? ? ? ????
?
dzzddd x d y d zzy ? 29 )s in( )( 2
0
1
0
3
0
??????? ?????? ? ????
?
dzzddd x d y d zzy ? 29 )sin( )( 2
0
1
0
3
0
??????? ?????? ? ? ????
?
dzzdddxdydzzy ?
Gauss公式
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?????
????
????? dvzyxdSzyx )(2)coscoscos(
1
222 ??? 4
2
1 h?? ? >>>
下页
例 2 计算曲面积分 dSzyx )c o sc o sc o s( 222 ??? ????
?
? 其中
?为锥面 x2?y2?z2介于平面 z?0及 z?h(h>0)之
间的部分的下侧 ? cos?,cos?,cos?是 ?上
点 (x,y,z)处的法向量的方向余弦 ?
设 ?1为 z?h(x2?y2?h2)的上侧 ??为 ?
与 ?1所围成的空间闭区域 ?则
解
?????
????
????? dvzyxdSzyx )(2)c o sc o sc o(
1
222 ??? 4
2
1 h?? ?
因此 444222 2121)c osc osc os( hhhdSzyx ?????? ????????
?
?
?????
????
????? dvzyxdSzyx )(2)c o sc o sc o s(
1
222 ??? 4
2
1 h?? ?
因此 444222 2121)c osc osc os( hhhdSzyx ?????? ????????
?
? 因此 444222 2121c osc osc os( hhhzyx ?????? ????????
?
?
而 422222
111
)c o sc o sc o s( hdShdSzdSzyx ???? ????? ??????
???
? 而 422222
111
)co sco sco s( hdShdSzdSzyx ???? ????? ??????
???
? 而 42222
111
)coscoscos( hzdSzyx ???? ???? ????
??
? 而 422222
111
)coscoscos( dShdSzdSzyx ??? ???? ??????
???
?
Gauss公式
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例 3 设函数 u(x,y,z)和 v(x,y,z)在闭区域 ?上具有一阶及二阶连
续偏导数 ??是 ?的整个边界曲面 ?n是 ?的外法线方向 ? 证明
dx dy dzzvzuyvyuxvxudSnvuv dx dy dzu )( ???????????????????
???
???????? ?
说明,
符号 222 zyx ? ??? ??? ??? 称为拉普拉斯算子 ?
2
2
2
2
2
2
z
v
y
v
x
vv
?
??
?
??
?
??? ?
Gauss公式
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例 3 设函数 u(x,y,z)和 v(x,y,z)在闭区域 ?上具有一阶及二阶连
续偏导数 ??是 ?的整个边界曲面 ?n是 ?的外法线方向 ? 证明
dx dy dzzvzuyvyuxvxudSnvuv dx dy dzu )( ???????????????????
???
???????? ?
设与 n同向的单位向量为 (cos?? cos?? cos?)? 则证
????
?? ?
??
?
??
?
??
?
? dS
z
v
y
v
x
vudS
n
vu )c o sc o sc o s( ???
??
? ?
??
?
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?
?? dS
z
vu
y
vu
x
vu ]c o s)(c o s)(c o s)[( ???
???
? ?
?
?
??
?
?
?
??
?
?
?
?? d x d y d z
z
vu
zy
vu
yx
vu
x )]()()([
??????
?? ?
?
?
??
?
?
?
??
?
?
?
???? dx dy dz
z
v
z
u
y
v
y
u
x
v
x
uv d x d y dzu )( ?
将上式右端第二个积分移至左端便得所要证明的等式 ?
>>>
首页Gauss公式
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二、通量与散度
下页
?高斯公式的物理意义
高斯公式
?????
??
????????? dSvdvzRyQxP n)( ?
dSRQPdv
z
R
y
Q
x
P )c o sc o sc o s()( ?????
??
???
?
??
?
??
?
? ??? ?
其中 vn?v?n?Pcos??Qcos??Rcos??
可以简写成
公式的右端可解释为单位时间内离开闭区域 ?的流体的
总质量 ? 左端可解释为分布在 ?内的源头在单位时间内所产生
的流体的总质量 ?
Gauss公式
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??
?
????????? dSvVzRyQxP n1|)( ),,( ??? ?
提示, 其左端表示 ?内源头在单位时间单位体积内所产生的
流体质量的平均值 ?
提示 其左端表示流体在点 M的源头强度 —— 单位时间单位
体积分内所产生的流体质量 ?称为 v在点 M的散度 ?
?散度
由积分中值定理得
下页
设 ?的体积为 V?由高斯公式得
?????
??
????????? dSvVdvzRyQxPV n1)(1 ?
令 ?缩向一点 M(x?y?z)得
??
???
????????? dSvVzRyQxP n
M
1lim ?
Gauss公式
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?散度
设某向量场由 A(x? y? z)?P(x? y? z)i?Q(x? y? z)j?R(x? y? z)k
给出 ?其中 P?Q? R具有一阶连续偏导数 ?则称
为向量场 A的散度 ?记作 divA?即
z
R
y
Q
x
P
?
??
?
??
?
?
z
R
y
Q
x
P
?
??
?
??
?
??Ad iv ?
Gauss公式
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dSnA?
?
?? ?
?通量
下页
向量场 A(x?y?z)?P(x?y?z)i?Q(x?y?z)j?R(x?y?z)k的散度,
z
R
y
Q
x
P
?
??
?
??
?
??Ad iv ?
设 ?是场内的一片有向曲面 ?n是 ?上点 (x?y?z)处的单位法
向量 ?则称
为向量场 A通过曲面 ?向着指定侧的通量 (或流量 )?
?散度
Gauss公式
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?通量
向量场 A(x?y?z)?P(x?y?z)i?Q(x?y?z)j?R(x?y?z)k的散度,
z
R
y
Q
x
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??
?
??
?
??Ad iv ?
向量场 A通过曲面 ?向着指定侧的通量 (或流量 ):
?散度
?高斯公式的另一形式
dSdv ?????
??
?? nAAd i v ? 或 ?????
??
? dSAdv nAd i v ?
结束
dSnA ?
?
?? ?
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二、通量与散度
§ 10.6 高斯公式 通量与散度
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一、高斯公式
定理证明 下页
?定理 1
设空间闭区域 ?是由分片光滑的闭曲面 ?所围成 ? 函数
P(x? y? z),Q(x? y? z),R(x? y? z)在 ?上具有一阶连续偏导数 ?
则有
这里 ?是 ?的整个边界的外侧 ? cos?,cos?,cos?是 ?在点
(x?y?z)处的法向量的方向余弦 ?
?????
??
??????????? R d x d yQ d z d xP d y d zdvzRyQxP )( ?
或 dSRQPdvzRyQxP )c osc osc os()( ?????
??
??????????? ??? ?
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例 1 利用高斯公式计算曲面积分 x d y d zzyd x d yyx )()( ?????
?
?
其中 ?为柱面 x2?y2?1及平面 z?0? z?3所围成的空间闭区域 ?的
整个边界曲面的外侧 ?
这里 P?(y?z)x?Q?0?R?x?y?解
zyxP ???? ? 0??? yQ ? 0??? zR ?
由高斯公式 ?有
d y d zzyd x d yyx )()( ?????
?
2
9 )s in( )( 2
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3
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??????? ?????? ? ? ????
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dzzddd x d y d zzy ? 29 )s in( )( 2
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dzzddd x d y d zzy ? 29 )sin( )( 2
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dzzdddxdydzzy ?
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?????
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????? dvzyxdSzyx )(2)coscoscos(
1
222 ??? 4
2
1 h?? ? >>>
下页
例 2 计算曲面积分 dSzyx )c o sc o sc o s( 222 ??? ????
?
? 其中
?为锥面 x2?y2?z2介于平面 z?0及 z?h(h>0)之
间的部分的下侧 ? cos?,cos?,cos?是 ?上
点 (x,y,z)处的法向量的方向余弦 ?
设 ?1为 z?h(x2?y2?h2)的上侧 ??为 ?
与 ?1所围成的空间闭区域 ?则
解
?????
????
????? dvzyxdSzyx )(2)c o sc o sc o(
1
222 ??? 4
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因此 444222 2121)c osc osc os( hhhdSzyx ?????? ????????
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111
)coscoscos( dShdSzdSzyx ??? ???? ??????
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例 3 设函数 u(x,y,z)和 v(x,y,z)在闭区域 ?上具有一阶及二阶连
续偏导数 ??是 ?的整个边界曲面 ?n是 ?的外法线方向 ? 证明
dx dy dzzvzuyvyuxvxudSnvuv dx dy dzu )( ???????????????????
???
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说明,
符号 222 zyx ? ??? ??? ??? 称为拉普拉斯算子 ?
2
2
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例 3 设函数 u(x,y,z)和 v(x,y,z)在闭区域 ?上具有一阶及二阶连
续偏导数 ??是 ?的整个边界曲面 ?n是 ?的外法线方向 ? 证明
dx dy dzzvzuyvyuxvxudSnvuv dx dy dzu )( ???????????????????
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设与 n同向的单位向量为 (cos?? cos?? cos?)? 则证
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将上式右端第二个积分移至左端便得所要证明的等式 ?
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二、通量与散度
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?高斯公式的物理意义
高斯公式
?????
??
????????? dSvdvzRyQxP n)( ?
dSRQPdv
z
R
y
Q
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P )c o sc o sc o s()( ?????
??
???
?
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? ??? ?
其中 vn?v?n?Pcos??Qcos??Rcos??
可以简写成
公式的右端可解释为单位时间内离开闭区域 ?的流体的
总质量 ? 左端可解释为分布在 ?内的源头在单位时间内所产生
的流体的总质量 ?
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??
?
????????? dSvVzRyQxP n1|)( ),,( ??? ?
提示, 其左端表示 ?内源头在单位时间单位体积内所产生的
流体质量的平均值 ?
提示 其左端表示流体在点 M的源头强度 —— 单位时间单位
体积分内所产生的流体质量 ?称为 v在点 M的散度 ?
?散度
由积分中值定理得
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设 ?的体积为 V?由高斯公式得
?????
??
????????? dSvVdvzRyQxPV n1)(1 ?
令 ?缩向一点 M(x?y?z)得
??
???
????????? dSvVzRyQxP n
M
1lim ?
Gauss公式
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?散度
设某向量场由 A(x? y? z)?P(x? y? z)i?Q(x? y? z)j?R(x? y? z)k
给出 ?其中 P?Q? R具有一阶连续偏导数 ?则称
为向量场 A的散度 ?记作 divA?即
z
R
y
Q
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Gauss公式
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dSnA?
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?通量
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向量场 A(x?y?z)?P(x?y?z)i?Q(x?y?z)j?R(x?y?z)k的散度,
z
R
y
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??Ad iv ?
设 ?是场内的一片有向曲面 ?n是 ?上点 (x?y?z)处的单位法
向量 ?则称
为向量场 A通过曲面 ?向着指定侧的通量 (或流量 )?
?散度
Gauss公式
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?通量
向量场 A(x?y?z)?P(x?y?z)i?Q(x?y?z)j?R(x?y?z)k的散度,
z
R
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Q
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??Ad iv ?
向量场 A通过曲面 ?向着指定侧的通量 (或流量 ):
?散度
?高斯公式的另一形式
dSdv ?????
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结束
dSnA ?
?
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Gauss公式
