一、近似计算
二、欧拉公式
§ 11.5 函数的幂级数展开式的应用
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?2?9926?
一、近似计算
例 1 计算 5 240 的近似值 ? 要求误差不超过 0 ? 0001 ? 例 1
5/1
4
55 )
3
11(332 4 32 4 0 ????
) 3 1!35 94131!25 4131511(3 123824 ???????????????? ?
解
于是 9926.2)31511(3240 45 ???? ?
) 3 1!45 149413 1!35 94131!25 41(3|| 164123822 ?????? ?????????????r
20000
1] )
81
1(
81
11[
3
1
!25
413 2
82 ?????????
??? ?
5/1
4
55 )
3
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20000
1] )
81
1(
81
11[
3
1
!25
413 2
82 ?????????
?? ?
如果取前二项作为 所求值的近似值,则误差为
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解
例 2 计算 ln2的近似值 ? 要求误差不超过 0?0001?
)11( 1)1( 432)1l n ( 1432 ??????????????????? ? xnxxxxxx nn ?
)11( 432)1l n ( 432 ???????????? xxxxxx ?
)1l n ()1l n (11ln xxxx ?????? )11( ) 5131(2 53 ?????????? xxxx ?
已知
两式相减得
提示, 这个幂级数收敛速度较慢 ?用于求 ln2较困难 ?
因此需要寻找 收敛速度较快的幂级数 ?
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)1l n ()1l n (11ln xxxx ?????? )11( ) 5131(2 53 ?????????? xxxx ?
以 31?x 代入 得 ) 31713151313131(22ln 753 ??????????? ?
如果取前四项作为 ln2的近似值,则误差为
700000
1] )
9
1(
9
11[
3
2 2
11 ???????? ?
) 3 11313 11113191(2|| 131194 ??????????r
于是 6 9 3 1.0)31713151313131(22ln 753 ???????? ?
700000
1] )
9
1(
9
11[
3
2 2
11 ???????? ?
于是 6 9 3 1.0)31713151313131(22ln 753 ???????? ?
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解
例 2 计算 ln2的近似值 ? 要求误差不超过 0?0001?
已知
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例 3 利用 3!31s i n xxx ?? 求 s i n ?9 的近似值 ? 并估计误差 ?
例 3
解
91809 ?? ?? 20?? ( 弧度 ) ?
在 s i n x 的幂级数展开式中令 20??x,得
)20(!71)20(!51)20(!312020s i n 753 ???????? ????? ?
其误差为
3 0 0 0 0 0
1)2.0(
1 2 0
1)
20(!5
1|| 55
2 ????
?r ?
3)
20(!3
1
2020s in
??? ?? ? 0 ?15643 ?
取前两项得
3)
20(!3
1
2020s in
??? ?? ? 0?15643 ?
3 0
1)2.0(
1 2 0
1)
20(!5
1|| 55
2 ????
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3 0 0 0 0
1)2.0(
2 0
1
!|| 52 ???r ?
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将被积函数换成其幂级数展开式得解
dxnxdxe n
n
nx ]
!)1([
22 21
0
2
0
2
1
0
2 ? ?? ?
?
? ??
??
) !372 1!252 132 11(1 642 ????????????? ? ?
前四项的和作为近似值 ?其误差为
9 0 0 0 0
1
!492
11||
84 ???? ?r ?
5 2 9 5.0)!372 1!252 132 11(12 6422
1
0
2 ?
??????????
?
?? dxe
x ?
所以
dxnxdxe n
n
nx ]
!)1([
22 21
0
2
0
2
1
0
2 ? ?? ?
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1
0
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?? dxe
x ?
例 4 求 积分 dxe x? ?2
1
0
22
? 的近似值 ( 误差不超
410 ? ) ?
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例 5 求 积分 dxx x? 10 s i n 的近似值 ( 误差不超 410 ? ) ?
展开被积函数 ?有解
)( !7!5!31s i n 642 ?????????????? xxxxx x ?
在区间 [0?1]上逐项积分 ?得
!77 1!55 1!33 11s i n10 ???????????? dxx x ?
因为第四项
30000
1
!77
1 ?
? ?
所以取前三项的和作为积分的近似值,
9 4 6 1.0!55 1!33 11s in10 ??????? dxx x ?
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二、欧拉公式
?复数项级数
设有复数项级数 ∑(un?ivn)? 其中 un? vn(n?1? 2? 3? ? ? ?)为实
常数或实函数 ?
如果实部所成的级数 ∑un收敛于和 u? 并且虚部所成的级
数 ∑vn收敛于和 v?就说复数项级数收敛且和为 u?iv?
如果级 ∑(un?ivn)的各项的模所构成的级数 ∑|un?ivn|收敛 ?
则称级数 ∑(un?ivn)绝对收敛 ?
?绝对收敛
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?复变量指数函数
考察复数项级数
!1 !211 2 ??????????? nznzz ?
可以证明此级数在复平面上是绝对收敛的 ? 在 x轴上它表示指
数函数 ex? 在复平面上我们用它来定义复变量指数函数 ? 记为
ez?即
!1 !211 2 ???????????? nz znzze ?
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!1 !211 2 ???????????? nz znzze ?
?欧拉公式
当 x?0时 ? z?iy ?
)(!1 )(!211 2 ???????????? niy iyniyiye
?????????? !51!41!31!211 5432 yiyyiyiy
) !51!31() !41!211( 5342 ?????????????? yyyiyy
?cos y?isin y?
于是
这就是欧拉公式 ? 把 y换成 x得 eix?cos x?isin x?
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?复变量指数函数
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eix?cos x?isin x?
其中 r?|z|是 z的模 ? q?arg z是 z的辐角 ?
?复数的指数形式
复数 z可以表示为
z?r(cos q?isin q)?reiq?
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?欧拉公式
!1 !211 2 ???????????? nz znzze ?
?复变量指数函数
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?三角函数与复变量指数函数之间的联系
)(21c o s ixix eex ???,)(21s i n ixix eeix ??? ?
因为 eix?cos x?i sin x? e?ix?cos x?i sin x? 所以
eix+e?ix?2cos x? ex?e?ix?2isin x?
因此
?复变量指数函数的性质
特殊地 ? 有
2121 zzzz eee ??? ?
ex?iy?exei y?ex(cos y?isin y)?
结束
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一、近似计算
例 1 计算 5 240 的近似值 ? 要求误差不超过 0 ? 0001 ? 例 1
5/1
4
55 )
3
11(332 4 32 4 0 ????
) 3 1!35 94131!25 4131511(3 123824 ???????????????? ?
解
于是 9926.2)31511(3240 45 ???? ?
) 3 1!45 149413 1!35 94131!25 41(3|| 164123822 ?????? ?????????????r
20000
1] )
81
1(
81
11[
3
1
!25
413 2
82 ?????????
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5/1
4
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20000
1] )
81
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81
11[
3
1
!25
413 2
82 ?????????
?? ?
如果取前二项作为 所求值的近似值,则误差为
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解
例 2 计算 ln2的近似值 ? 要求误差不超过 0?0001?
)11( 1)1( 432)1l n ( 1432 ??????????????????? ? xnxxxxxx nn ?
)11( 432)1l n ( 432 ???????????? xxxxxx ?
)1l n ()1l n (11ln xxxx ?????? )11( ) 5131(2 53 ?????????? xxxx ?
已知
两式相减得
提示, 这个幂级数收敛速度较慢 ?用于求 ln2较困难 ?
因此需要寻找 收敛速度较快的幂级数 ?
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)1l n ()1l n (11ln xxxx ?????? )11( ) 5131(2 53 ?????????? xxxx ?
以 31?x 代入 得 ) 31713151313131(22ln 753 ??????????? ?
如果取前四项作为 ln2的近似值,则误差为
700000
1] )
9
1(
9
11[
3
2 2
11 ???????? ?
) 3 11313 11113191(2|| 131194 ??????????r
于是 6 9 3 1.0)31713151313131(22ln 753 ???????? ?
700000
1] )
9
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3
2 2
11 ???????? ?
于是 6 9 3 1.0)31713151313131(22ln 753 ???????? ?
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解
例 2 计算 ln2的近似值 ? 要求误差不超过 0?0001?
已知
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例 3 利用 3!31s i n xxx ?? 求 s i n ?9 的近似值 ? 并估计误差 ?
例 3
解
91809 ?? ?? 20?? ( 弧度 ) ?
在 s i n x 的幂级数展开式中令 20??x,得
)20(!71)20(!51)20(!312020s i n 753 ???????? ????? ?
其误差为
3 0 0 0 0 0
1)2.0(
1 2 0
1)
20(!5
1|| 55
2 ????
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3)
20(!3
1
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取前两项得
3)
20(!3
1
2020s in
??? ?? ? 0?15643 ?
3 0
1)2.0(
1 2 0
1)
20(!5
1|| 55
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3 0 0 0 0
1)2.0(
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1
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将被积函数换成其幂级数展开式得解
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nx ]
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0
2
0
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1
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前四项的和作为近似值 ?其误差为
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1
!492
11||
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所以
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例 4 求 积分 dxe x? ?2
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? 的近似值 ( 误差不超
410 ? ) ?
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例 5 求 积分 dxx x? 10 s i n 的近似值 ( 误差不超 410 ? ) ?
展开被积函数 ?有解
)( !7!5!31s i n 642 ?????????????? xxxxx x ?
在区间 [0?1]上逐项积分 ?得
!77 1!55 1!33 11s i n10 ???????????? dxx x ?
因为第四项
30000
1
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所以取前三项的和作为积分的近似值,
9 4 6 1.0!55 1!33 11s in10 ??????? dxx x ?
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二、欧拉公式
?复数项级数
设有复数项级数 ∑(un?ivn)? 其中 un? vn(n?1? 2? 3? ? ? ?)为实
常数或实函数 ?
如果实部所成的级数 ∑un收敛于和 u? 并且虚部所成的级
数 ∑vn收敛于和 v?就说复数项级数收敛且和为 u?iv?
如果级 ∑(un?ivn)的各项的模所构成的级数 ∑|un?ivn|收敛 ?
则称级数 ∑(un?ivn)绝对收敛 ?
?绝对收敛
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?复变量指数函数
考察复数项级数
!1 !211 2 ??????????? nznzz ?
可以证明此级数在复平面上是绝对收敛的 ? 在 x轴上它表示指
数函数 ex? 在复平面上我们用它来定义复变量指数函数 ? 记为
ez?即
!1 !211 2 ???????????? nz znzze ?
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!1 !211 2 ???????????? nz znzze ?
?欧拉公式
当 x?0时 ? z?iy ?
)(!1 )(!211 2 ???????????? niy iyniyiye
?????????? !51!41!31!211 5432 yiyyiyiy
) !51!31() !41!211( 5342 ?????????????? yyyiyy
?cos y?isin y?
于是
这就是欧拉公式 ? 把 y换成 x得 eix?cos x?isin x?
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?复变量指数函数
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eix?cos x?isin x?
其中 r?|z|是 z的模 ? q?arg z是 z的辐角 ?
?复数的指数形式
复数 z可以表示为
z?r(cos q?isin q)?reiq?
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!1 !211 2 ???????????? nz znzze ?
?复变量指数函数
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?三角函数与复变量指数函数之间的联系
)(21c o s ixix eex ???,)(21s i n ixix eeix ??? ?
因为 eix?cos x?i sin x? e?ix?cos x?i sin x? 所以
eix+e?ix?2cos x? ex?e?ix?2isin x?
因此
?复变量指数函数的性质
特殊地 ? 有
2121 zzzz eee ??? ?
ex?iy?exei y?ex(cos y?isin y)?
结束
