一、函数项级数的概念
二、幂级数及其收敛性
三、幂级数的运算
§ 11?3 幂级数
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提示, 由定义在区间 I上的函数列 {un(x)}所构成的表达式
u1(x)?u2(x)?u3(x)?????un(x)????
一、函数项级数的概念
称为定义在区间 I 上的 ( 函数项 ) 级数 ?? 记为 ?
?
= 1
)(
n
n xu ?
?函数项级数
??
=1
)(
n
n xu
=u1(x)?u2(x)?u3(x)?????un(x)????? x?I?
?收敛点与发散点
提示 对于每一个确定的值 x0?I?函数项级数成为 常数项级数
u1(x0 0)?u3(x0)?????un(x0)?????
这个常数项级数或者收敛或者发散 ?
使函数项级数收敛的点 x0称为函数项级数的收敛点 ;??
使函数项级数发散的点 x0称为函数项级数的发散点 ??
收敛点的全体称为收敛域 ?发散点的全体称为发散域 ?
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?函数项级数的和函数
?函数项级数的部分和
和函数的定义域就是级数的收敛域 ????
在收敛域上 ? 函数项级数 ∑un(x)的和是 x的函数 s(x)? 它称
为函数项级数 ∑un(x)的和函数 ?并写成 s(x)=∑un(x)?
函数项级数 ∑un(x)的前 n项的部分和记作 sn(x)?即
sn(x)=u1(x)?u2(x)?u3(x)?????un(x)?
在收敛域上有 sn(x)?s(x)(n??)?
注,
∑ u n ( x ) 是 ??
= 1
)(
n
n xu 的 简 便 记 法 ?? 以 下 不 再 重 述 ??
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?函数项级数的余项
函数项级数 ∑un(x)的余项记为 rn(x)??它是 和函数 s(x)与部
分和 sn(x)的差,?rn(x)=s(x)?sn(x)?
在收敛域上有 rn(x)?0(n??)?
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?函数项级数的和函数
?函数项级数的部分和
和函数的定义域就是级数的收敛域 ????
在收敛域上 ? 函数项级数 ∑un(x)的和是 x的函数 s(x)? 它称
为函数项级数 ∑un(x)的和函数 ?并写成 s(x)=∑un(x)?
函数项级数 ∑un(x)的前 n项的部分和记作 sn(x)?即
sn(x)=u1(x)?u2(x)?u3(x)?????un(x)?
在收敛域上有 sn(x)?s(x)(n??)?
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二、幂级数及其收敛性
在函数项级数中 ?形如
a0?a1x?a2x2?????anxn????
的级数称为幂级数 ?其中常数 ai(i=1,2,???)叫做幂级数的系数 ?
?幂级数
1?x?x2?x3?????xn??????
!1 !211 2 ??????????? nxnxx ??
幂级数举例,
说明, 幂级数的一般形式是
a0?a1(x?x0)?a2(x?x0)2?????an(x?x0)n?????
这种形式经变换 t=x?x0可化为上述定义形式 ?
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幂级数
1?x?x2?x3?????xn????
是公比为 x的几何级数 ??
因此它的收敛域为 (?1??1)???
11 1 32 ????????????=? nxxxxx ?
它在 |x|<1时收敛 ??在 |x|?1时发散 ???
在收敛域内有
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二、幂级数及其收敛性
在函数项级数中 ?形如
a0?a1x?a2x2?????anxn????
的级数称为幂级数 ?其中常数 ai(i=1,2,???)叫做幂级数的系数 ?
?幂级数
幂级数举例,
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如果幂级数 ∑anxn当 x=x0(x0?0)时收敛 ? 则适合不等式
|x|<|x0|的一切 x使幂级数 ∑anxn绝对收敛 ?
反之 ? 如果幂级数 ∑anxn当 x=x0时发散 ? 则适合不等式
|x|>|x0|的一切 x使幂级数 ∑anxn发散 ?
注,
∑anxn是幂级数 的简记形式 ???
=0n
nn xa
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|x|<|x0||x|>|x0| |x|>|x0|
?定理 1(阿贝尔定理 )
>>>定理证明
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如果幂级数 ∑anxn当 x=x0(x0?0)时收敛 ? 则适合不等式
|x|<|x0|的一切 x使幂级数 ∑anxn绝对收敛 ?
反之 ? 如果幂级数 ∑anxn当 x=x0时发散 ? 则适合不等式
|x|>|x0|的一切 x使幂级数 ∑anxn发散 ?
?定理 1(阿贝尔定理 )
如果幂级数 ∑anxn不是仅在点 x=0一点收敛 ? 也不是在整个
数轴上都收敛 ?则必有一个完全确定的正数 R存在 ?使得
当 |x|<R时 ? 幂级数绝对收敛 ;
当 |x|>R时 ? 幂级数发散 ;
当 x=R与 x=?R时 ?幂级数可能收敛也可能发散 ?
?推论
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如果幂级数 ∑anxn不是仅在点 x=0一点收敛 ? 也不是在整个
数轴上都收敛 ?则必有一个完全确定的正数 R存在 ?使得
当 |x|<R时 ? 幂级数绝对收敛 ;
当 |x|>R时 ? 幂级数发散 ;
当 x=R与 x=?R时 ?幂级数可能收敛也可能发散 ?
?收敛半径与收敛区间
?推论
正数 R通常叫做幂级数 ∑anxn的收敛半径 ??开区间 (?R?R)
叫做幂级数 ∑anxn的收敛区间 ?
注, 若幂级数只在 x=0收敛 ? 则规定收敛半径 R=0? 若幂级数在
(??,??)内收敛 ?则规定收敛半径 R=???
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如果幂级数 ∑anxn不是仅在点 x=0一点收敛 ? 也不是在整个
数轴上都收敛 ?则必有一个完全确定的正数 R存在 ?使得
当 |x|<R时 ? 幂级数绝对收敛 ;
当 |x|>R时 ? 幂级数发散 ;
当 x=R与 x=?R时 ?幂级数可能收敛也可能发散 ?
?收敛半径与收敛区间
?推论
正数 R通常叫做幂级数 ∑anxn的收敛半径 ??开区间 (?R?R)
叫做幂级数 ∑anxn的收敛区间 ?
幂级数 ∑anxn的收敛域是以下区间之一,
(?R,R),[?R,R),(?R,R],[?R,R]??
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0 P?P
R? R
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?定理 2(收敛半径的求法 )
>>>
如果 ?=??? ||l i m 1
n
n
n a
a ? 则 幂 级 数 ??
= 0n
nn xa 的 收敛半 径 R 为,
当 ? ? 0 时 ?1=R ? 当 ? = 0 时 R = ? ? ? 当 ? = ? ? 时 R = 0 ?
解
因为 1 ||lim 1 == ???
n
n
n a
a? ?? 所以收敛半径 11 ==
?R ? 因为 1 ||lim
1 == ?
?? n
n
n a
a? ??所以收敛半径 11==
?R ? 因为 1 ||l i m
1 == ?
?? n
n
n a
a? ?? 所以收敛半径 11 ==
?R ?
提示,
1
1
lim
1
1
1
lim ||lim 1 =
?
=?==
????
?
?? n
n
n
n
a
a
nnn
n
n
? ?? 1
1
lim
1
1
1
lim ||lim 1 =
?
=?=
????
?
?? n
n
n
n
a
a
nnn
n
n
? ?? 1
1
lim
1
1
lim ||lim 1 =
?
=?==
????
?
?? n
n
n
n
a
a
nnn
n
n
? ??
例 1 求幂级数 ??
=
??
1
1)1(
n
nn
n
x 的收敛半径与收敛域 ?
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例 1 求幂级数 ??
=
??
1
1)1(
n
nn
n
x 的收敛半径与收敛域 ?
当 x = ? 1 时 ?? 幂 级数成为 ??
=
?
1
)1(
n n
?? 是 发散 的 ?
因此 ??收敛域为 (?1,1]??
当 x=? 1 时 ?? 幂 级数成为 ??
=
?
1
)1(
n n
?? 是 发散 的 ?
当 x = 1 时 ?? 幂 级数成为 ??
=
??
1
1 1)1(
n
n n ?? 是 收敛 的 ;? 当 x= 1 时 ?? 幂 级数成为 ??
=
??
1
1 1)1(
n
n n ?? 是 收敛 的 ;?
解
因为 1 ||lim 1 == ???
n
n
n a
a? ?? 所以收敛半径 11 ==
?R ? 因为 1 ||lim
1 == ?
?? n
n
n a
a? ??所以收敛半径 11==
?R ? 因为 1 ||l i m
1 == ?
?? n
n
n a
a? ?? 所以收敛半径 11 ==
?R ?
?定理 2(收敛半径的求法 )
如果 ?=??? ||l i m 1
n
n
n a
a ? 则 幂 级 数 ??
= 0n
nn xa 的 收敛半 径 R 为,
当 ? ? 0 时 ?1=R ? 当 ? = 0 时 R = ? ? ? 当 ? = ? ? 时 R = 0 ?
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解 因为
0
)!1(
!lim
!
1
)!1(
1
lim ||lim 1 =
?
=
?
==
????
?
?? n
n
n
n
a
a
nnn
n
n
? ?? 0
)!1(
!lim
!
1
)!1(
1
lim ||lim 1 =
?
=
?
==
????
?
?? n
n
n
n
a
a
nnn
n
n
? ?? 0
)!1
!lim
!
1
)!1(
1
lim ||lim 1 =
?
=
?
==
????
?
?? n
n
n
n
a
a
nnn
n
n
? ??
所以收敛半径为 R=????从而收敛域为 (??,??)?
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例 2 求幂级数 ??
= 0 !
1
n
nx
n 的收敛 域 ?
?定理 2(收敛半径的求法 )
如果 ?=??? ||l i m 1
n
n
n a
a ? 则 幂 级 数 ??
= 0n
nn xa 的 收敛半 径 R 为,
当 ? ? 0 时 ?1=R ? 当 ? = 0 时 R = ? ? ? 当 ? = ? ? 时 R = 0 ?
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解 因为
??=?== ????? ! )!1(lim ||lim 1 nnaa n
n
n
n? ?? ??=
?==
??
?
?? !
)!1(lim ||lim 1
n
n
a
a
nn
n
n? ?? ??=== ??
?
??
)!1(lim ||lim 1
n
n
a
a
n
n
n? ??
所以收敛半径为 R=0??即级数仅在 x=0处收敛 ?
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例 3 求幂级数 ??
= 0
!
n
nxn 的收敛半径 ?
?定理 2(收敛半径的求法 )
如果 ?=??? ||l i m 1
n
n
n a
a ? 则 幂 级 数 ??
= 0n
nn xa 的 收敛半 径 R 为,
当 ? ? 0 时 ?1=R ? 当 ? = 0 时 R = ? ? ? 当 ? = ? ? 时 R = 0 ?
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提示,
此级数缺少奇次幂的项 ??前述求收敛半径的方法不能直
接应用 ?
提示
2
2
2
2
)1(2
2
1
)1(
)12)(22(
)!(
)!2(
])!1[(
)]!1(2[
)(
)(
x
n
nn
x
n
n
x
n
n
xu
xu
n
n
n
n
?
??
=
?
?
=
?
? ?? 2
2
2
2
)1(2
2
1
)1(
)12)(22(
)!(
)!2(
])!1[(
)]!1(2[
)(
)(
x
n
nn
x
n
n
x
n
n
xu
xu
n
n
n
n
?
??
=
?
?
=
?
? ??
解 这种缺项幂级数一般用比值审敛法来求收敛半径 ??
幂 级 数 的 一 般 项 为 nn xn nxu 22)!( )!2()( = ?? ?因 为
因 为 ? 21 ||4 |)( )(|lim xxu xu
n
n
n =
?
?? ?? 因 为 ?
21 ||4 |)( )(|lim xxu xu
n
n
n =
?
?? ??
当 4|x|2<1即 |x|< 时级数收敛 ;?
2
1 当 4|x|2>1即 |x|> 时级数发散 ?
2
1
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例 4 求幂级数 ??
= 0
2
2!)(
)!2(
n
nx
n
n 的收敛半径 ?
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这种缺项幂级数一般用比值审敛法来求收敛半径 ??
幂 级 数 的 一 般 项 为 nn xn nxu 22)!( )!2()( = ?? ?因 为
因 为 ? 21 ||4 |)( )(|lim xxu xu
n
n
n =
?
?? ?? 因 为 ?
21 ||4 |)( )(|lim xxu xu
n
n
n =
?
?? ??
当 4|x|2<1即 |x|< 时级数收敛 ;?
2
1 当 4|x|2>1即 |x|> 时级数发散 ?
2
1
所以收敛半径为 21=R ??
下页
解
例 4 求幂级数 ??
= 0
2
2!)(
)!2(
n
nx
n
n 的收敛半径 ?
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解
解 令 t = x ? 1 ?? 上述级数变为 ??
= 1 2n n
n
n
t ??
因为 21)1(2 2 ||lim 11 =?? ?== ???? nnaa n n
n
n
n? ?? 因为 2
1
)1(2
2 ||lim
1
1 =
??
?==
?
?
?? n
n
a
a
n
n
n
n
n? ?? 因为 2
1
)1(2
2 ||lim
1
1 =
??
?==
?
?
?? n
n
a
a
n
n
n
n
n? ??
所以收敛半径 R=2??
当 t = 2 时 ?? 级数成为 ??
= 1
1
n n
?? 此级数发散 ;
当 t = ? 2 时 ?? 级数成为 ??
=
?
1
)1(
n n
?? 此级数收敛 ??
所以原级数的收敛域为 [?1,3)???
即 ?2?x?1<2??或 ?1?x<3????因此收敛域为 ?2?t<2????
当 t= 2 时 ?? 级数成为 ??
= 1
1
n n
?? 此级数发散 ;
当 t= ? 2 时 ?? 级数成为 ??
=
?
1
)1(
n n
?? 此级数收敛 ??
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例 5 求幂级数 ??
=
?
1 2
)1(
n n
n
n
x 的收敛 域 ?
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三、幂级数的运算
?幂级数的运算
设幂级数 ∑anxn及 ∑bnxn分别在区间 (?R,R)及 (?R?,R?)内收
敛 ?则在 (?R,R)与 (?R?,R?)中较小的区间内有
减法,??
加法,??
?(a0bn?a1bn?1?????anb0)xn???????
?(a0b2?a1b1?a2b0)x2????
乘法,??∑anxn?∑bnxn
=∑(an?bn)xn???
=∑(an?bn)xn???
∑anxn?∑bnxn
∑anxn?∑bnxn
=a0b0?(a0b1?a1b0)x
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???
?
=
?
?
=
?
=
=?=?=?
1
1
00
)()()(
n
n
n
n
n
n
n
n
n xnaxaxaxs ( | x |< R ) ?
性质 1 幂级数 ∑anxn的和函数 s(x)在收敛域 I上连续 ?
?幂级数的和函数的性质
逐项积分后所得到的幂级数和原级数有相同的收敛半径 ?
性质 2 幂级数 ∑anxn的和函数 s(x)在收敛域 I上可积 ?并且
有逐项积分公式
性质 3 幂级数 ∑anxn的和函数 s(x)在收敛区间 (?R?R)内可
导 ?并且有逐项求导公式
?? ?? ?? ?
=
??
=
?
= ?
===
0
1
0 00 00 1
)()(
n
nn
n
x n
n
x
n
nnx x
n
adxxadxxadxxs ( x ? I ) ?
逐项求导后所得到的幂级数和原级数有相同的收敛半径 ?
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提示,
应用公式 )0()()(0 FxFdxxFx ?=?? ? 即 ? ??= x dxxFFxF 0 )()0()( ?
解
例 6 求幂级数 ??
= ?0 1
1
n
nx
n 的和函数 ?
求得幂级数的收敛域为 [?1?1)?
显然 S(0)=1?因为
? ?? ??=?= ?= ??= ? x n nn n dxxnxnxxs 0 0 10 1 ]11[11)( ? ?? ??=?= ?= ??= ? x n nn n dxxnxnxxs 0 0 10 1 ]11[11)(
设 幂 级 数 的 和函数为 s ( x ) ? 即 ??
= ?
=
0 1
1)(
n
nx
nxs ? x ? [ ? 1 ? 1) ?
提示
)1||( 11 1 32 <????????????=? xxxxxx n ?
)11( )1ln (1 100
0
<<???=?== ?? ??
=
xxdxxdxx xx
n
n ? )11( )1ln(
1
1
00 0 <<???=?== ?? ?
?
=
xxdxxdxx xx
n
n ? )11( 1n (
1
1
0 0 <<???=?== ?? ?
?
=
xxdxxdxx xx
n
n ?
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解
结束
例 6 求幂级数 ??
= ?0 1
1
n
nx
n 的和函数 ?
求得幂级数的收敛域为 [?1?1)?
显然 S(0)=1?因为
? ?? ??=?= ?= ??= ? x n nn n dxxnxnxxs 0 0 10 1 ]11[11)( ? ?? ??=?= ?= ??= ? x n nn n dxxnxnxxs 0 0 10 1 ]11[11)(
设 幂 级 数 的 和函数为 s ( x ) ? 即 ??
= ?
=
0 1
1)(
n
nx
nxs ? x ? [ ? 1 ? 1) ?
所以 ? 当 1||0 << x 时 ? 有 )1l n (1)( xxxs ??= ?
由 和 函数 在 收敛 域上 的 连续性 ? 2ln)(lim)1( 1 ==? ??? xSS x ?
)11( )1ln (1 100
0
<<???=?== ?? ??
=
xxdxxdxx xx
n
n ? )11( )1ln(
1
1
00 0 <<???=?== ?? ?
?
=
xxdxxdxx xx
n
n ? )11( 1n (
1
1
0 0 <<???=?== ?? ?
?
=
xxdxxdxx xx
n
n ?
>>
二、幂级数及其收敛性
三、幂级数的运算
§ 11?3 幂级数
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提示, 由定义在区间 I上的函数列 {un(x)}所构成的表达式
u1(x)?u2(x)?u3(x)?????un(x)????
一、函数项级数的概念
称为定义在区间 I 上的 ( 函数项 ) 级数 ?? 记为 ?
?
= 1
)(
n
n xu ?
?函数项级数
??
=1
)(
n
n xu
=u1(x)?u2(x)?u3(x)?????un(x)????? x?I?
?收敛点与发散点
提示 对于每一个确定的值 x0?I?函数项级数成为 常数项级数
u1(x0 0)?u3(x0)?????un(x0)?????
这个常数项级数或者收敛或者发散 ?
使函数项级数收敛的点 x0称为函数项级数的收敛点 ;??
使函数项级数发散的点 x0称为函数项级数的发散点 ??
收敛点的全体称为收敛域 ?发散点的全体称为发散域 ?
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?函数项级数的和函数
?函数项级数的部分和
和函数的定义域就是级数的收敛域 ????
在收敛域上 ? 函数项级数 ∑un(x)的和是 x的函数 s(x)? 它称
为函数项级数 ∑un(x)的和函数 ?并写成 s(x)=∑un(x)?
函数项级数 ∑un(x)的前 n项的部分和记作 sn(x)?即
sn(x)=u1(x)?u2(x)?u3(x)?????un(x)?
在收敛域上有 sn(x)?s(x)(n??)?
注,
∑ u n ( x ) 是 ??
= 1
)(
n
n xu 的 简 便 记 法 ?? 以 下 不 再 重 述 ??
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?函数项级数的余项
函数项级数 ∑un(x)的余项记为 rn(x)??它是 和函数 s(x)与部
分和 sn(x)的差,?rn(x)=s(x)?sn(x)?
在收敛域上有 rn(x)?0(n??)?
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?函数项级数的和函数
?函数项级数的部分和
和函数的定义域就是级数的收敛域 ????
在收敛域上 ? 函数项级数 ∑un(x)的和是 x的函数 s(x)? 它称
为函数项级数 ∑un(x)的和函数 ?并写成 s(x)=∑un(x)?
函数项级数 ∑un(x)的前 n项的部分和记作 sn(x)?即
sn(x)=u1(x)?u2(x)?u3(x)?????un(x)?
在收敛域上有 sn(x)?s(x)(n??)?
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二、幂级数及其收敛性
在函数项级数中 ?形如
a0?a1x?a2x2?????anxn????
的级数称为幂级数 ?其中常数 ai(i=1,2,???)叫做幂级数的系数 ?
?幂级数
1?x?x2?x3?????xn??????
!1 !211 2 ??????????? nxnxx ??
幂级数举例,
说明, 幂级数的一般形式是
a0?a1(x?x0)?a2(x?x0)2?????an(x?x0)n?????
这种形式经变换 t=x?x0可化为上述定义形式 ?
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幂级数
1?x?x2?x3?????xn????
是公比为 x的几何级数 ??
因此它的收敛域为 (?1??1)???
11 1 32 ????????????=? nxxxxx ?
它在 |x|<1时收敛 ??在 |x|?1时发散 ???
在收敛域内有
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二、幂级数及其收敛性
在函数项级数中 ?形如
a0?a1x?a2x2?????anxn????
的级数称为幂级数 ?其中常数 ai(i=1,2,???)叫做幂级数的系数 ?
?幂级数
幂级数举例,
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如果幂级数 ∑anxn当 x=x0(x0?0)时收敛 ? 则适合不等式
|x|<|x0|的一切 x使幂级数 ∑anxn绝对收敛 ?
反之 ? 如果幂级数 ∑anxn当 x=x0时发散 ? 则适合不等式
|x|>|x0|的一切 x使幂级数 ∑anxn发散 ?
注,
∑anxn是幂级数 的简记形式 ???
=0n
nn xa
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|x|<|x0||x|>|x0| |x|>|x0|
?定理 1(阿贝尔定理 )
>>>定理证明
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如果幂级数 ∑anxn当 x=x0(x0?0)时收敛 ? 则适合不等式
|x|<|x0|的一切 x使幂级数 ∑anxn绝对收敛 ?
反之 ? 如果幂级数 ∑anxn当 x=x0时发散 ? 则适合不等式
|x|>|x0|的一切 x使幂级数 ∑anxn发散 ?
?定理 1(阿贝尔定理 )
如果幂级数 ∑anxn不是仅在点 x=0一点收敛 ? 也不是在整个
数轴上都收敛 ?则必有一个完全确定的正数 R存在 ?使得
当 |x|<R时 ? 幂级数绝对收敛 ;
当 |x|>R时 ? 幂级数发散 ;
当 x=R与 x=?R时 ?幂级数可能收敛也可能发散 ?
?推论
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如果幂级数 ∑anxn不是仅在点 x=0一点收敛 ? 也不是在整个
数轴上都收敛 ?则必有一个完全确定的正数 R存在 ?使得
当 |x|<R时 ? 幂级数绝对收敛 ;
当 |x|>R时 ? 幂级数发散 ;
当 x=R与 x=?R时 ?幂级数可能收敛也可能发散 ?
?收敛半径与收敛区间
?推论
正数 R通常叫做幂级数 ∑anxn的收敛半径 ??开区间 (?R?R)
叫做幂级数 ∑anxn的收敛区间 ?
注, 若幂级数只在 x=0收敛 ? 则规定收敛半径 R=0? 若幂级数在
(??,??)内收敛 ?则规定收敛半径 R=???
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如果幂级数 ∑anxn不是仅在点 x=0一点收敛 ? 也不是在整个
数轴上都收敛 ?则必有一个完全确定的正数 R存在 ?使得
当 |x|<R时 ? 幂级数绝对收敛 ;
当 |x|>R时 ? 幂级数发散 ;
当 x=R与 x=?R时 ?幂级数可能收敛也可能发散 ?
?收敛半径与收敛区间
?推论
正数 R通常叫做幂级数 ∑anxn的收敛半径 ??开区间 (?R?R)
叫做幂级数 ∑anxn的收敛区间 ?
幂级数 ∑anxn的收敛域是以下区间之一,
(?R,R),[?R,R),(?R,R],[?R,R]??
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0 P?P
R? R
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?定理 2(收敛半径的求法 )
>>>
如果 ?=??? ||l i m 1
n
n
n a
a ? 则 幂 级 数 ??
= 0n
nn xa 的 收敛半 径 R 为,
当 ? ? 0 时 ?1=R ? 当 ? = 0 时 R = ? ? ? 当 ? = ? ? 时 R = 0 ?
解
因为 1 ||lim 1 == ???
n
n
n a
a? ?? 所以收敛半径 11 ==
?R ? 因为 1 ||lim
1 == ?
?? n
n
n a
a? ??所以收敛半径 11==
?R ? 因为 1 ||l i m
1 == ?
?? n
n
n a
a? ?? 所以收敛半径 11 ==
?R ?
提示,
1
1
lim
1
1
1
lim ||lim 1 =
?
=?==
????
?
?? n
n
n
n
a
a
nnn
n
n
? ?? 1
1
lim
1
1
1
lim ||lim 1 =
?
=?=
????
?
?? n
n
n
n
a
a
nnn
n
n
? ?? 1
1
lim
1
1
lim ||lim 1 =
?
=?==
????
?
?? n
n
n
n
a
a
nnn
n
n
? ??
例 1 求幂级数 ??
=
??
1
1)1(
n
nn
n
x 的收敛半径与收敛域 ?
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例 1 求幂级数 ??
=
??
1
1)1(
n
nn
n
x 的收敛半径与收敛域 ?
当 x = ? 1 时 ?? 幂 级数成为 ??
=
?
1
)1(
n n
?? 是 发散 的 ?
因此 ??收敛域为 (?1,1]??
当 x=? 1 时 ?? 幂 级数成为 ??
=
?
1
)1(
n n
?? 是 发散 的 ?
当 x = 1 时 ?? 幂 级数成为 ??
=
??
1
1 1)1(
n
n n ?? 是 收敛 的 ;? 当 x= 1 时 ?? 幂 级数成为 ??
=
??
1
1 1)1(
n
n n ?? 是 收敛 的 ;?
解
因为 1 ||lim 1 == ???
n
n
n a
a? ?? 所以收敛半径 11 ==
?R ? 因为 1 ||lim
1 == ?
?? n
n
n a
a? ??所以收敛半径 11==
?R ? 因为 1 ||l i m
1 == ?
?? n
n
n a
a? ?? 所以收敛半径 11 ==
?R ?
?定理 2(收敛半径的求法 )
如果 ?=??? ||l i m 1
n
n
n a
a ? 则 幂 级 数 ??
= 0n
nn xa 的 收敛半 径 R 为,
当 ? ? 0 时 ?1=R ? 当 ? = 0 时 R = ? ? ? 当 ? = ? ? 时 R = 0 ?
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解 因为
0
)!1(
!lim
!
1
)!1(
1
lim ||lim 1 =
?
=
?
==
????
?
?? n
n
n
n
a
a
nnn
n
n
? ?? 0
)!1(
!lim
!
1
)!1(
1
lim ||lim 1 =
?
=
?
==
????
?
?? n
n
n
n
a
a
nnn
n
n
? ?? 0
)!1
!lim
!
1
)!1(
1
lim ||lim 1 =
?
=
?
==
????
?
?? n
n
n
n
a
a
nnn
n
n
? ??
所以收敛半径为 R=????从而收敛域为 (??,??)?
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例 2 求幂级数 ??
= 0 !
1
n
nx
n 的收敛 域 ?
?定理 2(收敛半径的求法 )
如果 ?=??? ||l i m 1
n
n
n a
a ? 则 幂 级 数 ??
= 0n
nn xa 的 收敛半 径 R 为,
当 ? ? 0 时 ?1=R ? 当 ? = 0 时 R = ? ? ? 当 ? = ? ? 时 R = 0 ?
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解 因为
??=?== ????? ! )!1(lim ||lim 1 nnaa n
n
n
n? ?? ??=
?==
??
?
?? !
)!1(lim ||lim 1
n
n
a
a
nn
n
n? ?? ??=== ??
?
??
)!1(lim ||lim 1
n
n
a
a
n
n
n? ??
所以收敛半径为 R=0??即级数仅在 x=0处收敛 ?
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例 3 求幂级数 ??
= 0
!
n
nxn 的收敛半径 ?
?定理 2(收敛半径的求法 )
如果 ?=??? ||l i m 1
n
n
n a
a ? 则 幂 级 数 ??
= 0n
nn xa 的 收敛半 径 R 为,
当 ? ? 0 时 ?1=R ? 当 ? = 0 时 R = ? ? ? 当 ? = ? ? 时 R = 0 ?
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提示,
此级数缺少奇次幂的项 ??前述求收敛半径的方法不能直
接应用 ?
提示
2
2
2
2
)1(2
2
1
)1(
)12)(22(
)!(
)!2(
])!1[(
)]!1(2[
)(
)(
x
n
nn
x
n
n
x
n
n
xu
xu
n
n
n
n
?
??
=
?
?
=
?
? ?? 2
2
2
2
)1(2
2
1
)1(
)12)(22(
)!(
)!2(
])!1[(
)]!1(2[
)(
)(
x
n
nn
x
n
n
x
n
n
xu
xu
n
n
n
n
?
??
=
?
?
=
?
? ??
解 这种缺项幂级数一般用比值审敛法来求收敛半径 ??
幂 级 数 的 一 般 项 为 nn xn nxu 22)!( )!2()( = ?? ?因 为
因 为 ? 21 ||4 |)( )(|lim xxu xu
n
n
n =
?
?? ?? 因 为 ?
21 ||4 |)( )(|lim xxu xu
n
n
n =
?
?? ??
当 4|x|2<1即 |x|< 时级数收敛 ;?
2
1 当 4|x|2>1即 |x|> 时级数发散 ?
2
1
下页
例 4 求幂级数 ??
= 0
2
2!)(
)!2(
n
nx
n
n 的收敛半径 ?
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这种缺项幂级数一般用比值审敛法来求收敛半径 ??
幂 级 数 的 一 般 项 为 nn xn nxu 22)!( )!2()( = ?? ?因 为
因 为 ? 21 ||4 |)( )(|lim xxu xu
n
n
n =
?
?? ?? 因 为 ?
21 ||4 |)( )(|lim xxu xu
n
n
n =
?
?? ??
当 4|x|2<1即 |x|< 时级数收敛 ;?
2
1 当 4|x|2>1即 |x|> 时级数发散 ?
2
1
所以收敛半径为 21=R ??
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解
例 4 求幂级数 ??
= 0
2
2!)(
)!2(
n
nx
n
n 的收敛半径 ?
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解
解 令 t = x ? 1 ?? 上述级数变为 ??
= 1 2n n
n
n
t ??
因为 21)1(2 2 ||lim 11 =?? ?== ???? nnaa n n
n
n
n? ?? 因为 2
1
)1(2
2 ||lim
1
1 =
??
?==
?
?
?? n
n
a
a
n
n
n
n
n? ?? 因为 2
1
)1(2
2 ||lim
1
1 =
??
?==
?
?
?? n
n
a
a
n
n
n
n
n? ??
所以收敛半径 R=2??
当 t = 2 时 ?? 级数成为 ??
= 1
1
n n
?? 此级数发散 ;
当 t = ? 2 时 ?? 级数成为 ??
=
?
1
)1(
n n
?? 此级数收敛 ??
所以原级数的收敛域为 [?1,3)???
即 ?2?x?1<2??或 ?1?x<3????因此收敛域为 ?2?t<2????
当 t= 2 时 ?? 级数成为 ??
= 1
1
n n
?? 此级数发散 ;
当 t= ? 2 时 ?? 级数成为 ??
=
?
1
)1(
n n
?? 此级数收敛 ??
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例 5 求幂级数 ??
=
?
1 2
)1(
n n
n
n
x 的收敛 域 ?
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三、幂级数的运算
?幂级数的运算
设幂级数 ∑anxn及 ∑bnxn分别在区间 (?R,R)及 (?R?,R?)内收
敛 ?则在 (?R,R)与 (?R?,R?)中较小的区间内有
减法,??
加法,??
?(a0bn?a1bn?1?????anb0)xn???????
?(a0b2?a1b1?a2b0)x2????
乘法,??∑anxn?∑bnxn
=∑(an?bn)xn???
=∑(an?bn)xn???
∑anxn?∑bnxn
∑anxn?∑bnxn
=a0b0?(a0b1?a1b0)x
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???
?
=
?
?
=
?
=
=?=?=?
1
1
00
)()()(
n
n
n
n
n
n
n
n
n xnaxaxaxs ( | x |< R ) ?
性质 1 幂级数 ∑anxn的和函数 s(x)在收敛域 I上连续 ?
?幂级数的和函数的性质
逐项积分后所得到的幂级数和原级数有相同的收敛半径 ?
性质 2 幂级数 ∑anxn的和函数 s(x)在收敛域 I上可积 ?并且
有逐项积分公式
性质 3 幂级数 ∑anxn的和函数 s(x)在收敛区间 (?R?R)内可
导 ?并且有逐项求导公式
?? ?? ?? ?
=
??
=
?
= ?
===
0
1
0 00 00 1
)()(
n
nn
n
x n
n
x
n
nnx x
n
adxxadxxadxxs ( x ? I ) ?
逐项求导后所得到的幂级数和原级数有相同的收敛半径 ?
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提示,
应用公式 )0()()(0 FxFdxxFx ?=?? ? 即 ? ??= x dxxFFxF 0 )()0()( ?
解
例 6 求幂级数 ??
= ?0 1
1
n
nx
n 的和函数 ?
求得幂级数的收敛域为 [?1?1)?
显然 S(0)=1?因为
? ?? ??=?= ?= ??= ? x n nn n dxxnxnxxs 0 0 10 1 ]11[11)( ? ?? ??=?= ?= ??= ? x n nn n dxxnxnxxs 0 0 10 1 ]11[11)(
设 幂 级 数 的 和函数为 s ( x ) ? 即 ??
= ?
=
0 1
1)(
n
nx
nxs ? x ? [ ? 1 ? 1) ?
提示
)1||( 11 1 32 <????????????=? xxxxxx n ?
)11( )1ln (1 100
0
<<???=?== ?? ??
=
xxdxxdxx xx
n
n ? )11( )1ln(
1
1
00 0 <<???=?== ?? ?
?
=
xxdxxdxx xx
n
n ? )11( 1n (
1
1
0 0 <<???=?== ?? ?
?
=
xxdxxdxx xx
n
n ?
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解
结束
例 6 求幂级数 ??
= ?0 1
1
n
nx
n 的和函数 ?
求得幂级数的收敛域为 [?1?1)?
显然 S(0)=1?因为
? ?? ??=?= ?= ??= ? x n nn n dxxnxnxxs 0 0 10 1 ]11[11)( ? ?? ??=?= ?= ??= ? x n nn n dxxnxnxxs 0 0 10 1 ]11[11)(
设 幂 级 数 的 和函数为 s ( x ) ? 即 ??
= ?
=
0 1
1)(
n
nx
nxs ? x ? [ ? 1 ? 1) ?
所以 ? 当 1||0 << x 时 ? 有 )1l n (1)( xxxs ??= ?
由 和 函数 在 收敛 域上 的 连续性 ? 2ln)(lim)1( 1 ==? ??? xSS x ?
)11( )1ln (1 100
0
<<???=?== ?? ??
=
xxdxxdxx xx
n
n ? )11( )1ln(
1
1
00 0 <<???=?== ?? ?
?
=
xxdxxdxx xx
n
n ? )11( 1n (
1
1
0 0 <<???=?== ?? ?
?
=
xxdxxdxx xx
n
n ?
>>
