一、格林公式
二、平面上曲线积分与路径无关的条件
三、二元函数的全微分求积
§ 10.3 格林公式及其应用
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一、格林公式
?单连通与复连通区域
?区域的边界曲线的方向
当观察者沿区域 D的边界曲线 L行走时 ?如果左手在区域
D内 ?则行走方向是 L的正向 ?
单连通区域 复连通区域
下页
设 D为平面区域 ? 如果 D内任一闭曲线所围的部分都属于
D? 则称 D为平面单连通区域 ?否则称为复连通区域 ?
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??? ??????? L
D
Q d yPd xd x d yyPxQ )( ?
?定理 1
设闭区域 D由分段光滑的曲线 L围成 ?函数 P(x? y)及 Q(x?y)
在 D上具有一阶连续偏导数 ?则有
其中 L是 D的取正向的边界曲线 ?>>>
—— 格林公式
定理证明
应注意的问题,
对复连通区域 D? 格林公式右端应包括
沿区域 D的全部边界的曲线积分 ? 且边界的
方向对区域 D来说都是正向 ?
下页
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提示,
格林公式,
?用格林公式计算区域的面积
下页
??? ??????? L
D
Q d yPd xd x d yyPxQ )( ?
设区域 D的边界曲线为 L?则
??? ???
DL
dx dyx dyy dx 2 ? 或 ??? ??? L
D
y dxx dyd x d yA 21 ?
在格林公式中 ?令 P??y? Q?x?则有
? ?? L y d xx d yA 21 ?
??? ???
DL
dx dyx dyy dx 2 ? 或 ??? ??? L
D
y dxx dyd x d yA 21 ?
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格林公式,
?用格林公式计算区域的面积
例 1 求椭圆 x?acosq?y?bsinq所围成图形的面积 A?
??? ??????? L
D
Q d yPd xd x d yyPxQ )( ?
设区域 D的边界曲线为 L?则
? ?? L y d xx d yA 21 ?
解 设 L是由椭圆曲线 ?则
? ?? L y d xx d yA 21 ? ?? ? qqq20 22 )c o ss in(21 dabab
?q? abdab ?? ?2021 ?
? ?? L y d xx d yA 21 ? ?? ? qqq20 22 )c o ss in(21 dabab
?q? abdab ?? ?2021 ?
下页
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提示,
因此 ? 由格林公式有
下页
??? ??????? L
D
Q d yPd xd x d yyPxQ )( ? 格林公式,
?用格林公式计算二重积分
例 2 计算 ?? ?
D
y d x d ye 2 ? 其中 D 是以 O (0 ? 0 ) ? A (1 ? 1 ) ? B (0 ? 1 )
为顶点的三角形闭区域 ?
解
要使 2yeyPxQ ??????? ? 只需 P ? 0 ? 2yxeQ ?? ?
令 P ? 0 ? 2yxeQ ?? ? 则 2yeyPxQ ??????? ?
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因此 ? 由格林公式有
下页
??? ??????? L
D
Q d yPd xd x d yyPxQ )( ? 格林公式,
?用格林公式计算二重积分
例 2 计算 ?? ?
D
y d x d ye 2 ? 其中 D 是以 O (0 ? 0 ) ? A (1 ? 1 ) ? B (0 ? 1 )
为顶点的三角形闭区域 ?
解
???
??
?? ?
BOABOA
y
D
y dyxed x d ye 22
)1(21 11
0
22 ??? ???? ?? edxxedyxe x
OA
y ? )1(
2
1 11
0
22 ??? ???? ?? edxxedyxe x
OA
y ? )1(
2
1 11
0
22 ??? ???? ?? edxxedyxe x
OA
y ?
???
??
?? ?
BOABOA
y
D
y dyxed x d ye 22
令 P ? 0 ? 2yxeQ ?? ? 则 2yeyPxQ ??????? ?
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?用格林公式求闭曲线积分
令 P?2xy?Q?x2?则证
因此 ?由格林公式有
下页
??? ??????? L
D
Q d yPd xd x d yyPxQ )( ? 格林公式,
例 3 设 L是任意一条分段光滑的闭曲线 ?证明
? ??L dyxx y d x 02 2 ?
022 ???????? xxyPxQ ?
002 2 ???? ??? d x d ydyxx y d x
DL
? 002 2 ???? ??? d x d ydyxx y d x
DL
?
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提示,
解
y
P
yx
xy
x
Q
?
??
?
??
?
?
222
22
)( ?
022 ????L yx y d xx d y ?
下页
例 4 计算 ? ??L yx y d xx d y 22 ? 其中 L 为一条无重点、分段光滑且
不经过原点的连续闭曲线 ?L的方向为逆时针方向 ?
当 (0? 0)?D时 ? 由格林公式得
记 L所围成的闭区域为 D?
这 里 22 yx yP ??? ? 22 yx xQ ?? ?
当 x2?y2?0时 ?有
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在 D内取一圆周 l:x2?y2?r2(r>0)?
例 4 计算 ? ??L yx y d xx d y 22 ? 其中 L 为一条无重点、分段光滑且
不经过原点的连续闭曲线 ?L的方向为逆时针方向 ?
当 (0? 0)?D时 ?
解 记 L所围成的闭区域为 D?
记 L及 l所围成的复连通区域为 D1?应用格林公式得
0)(
1
22 ??
??
?
??
?
? ???
?
d x d yyPxQyx y d xx d y
D
lL
?
其中 l的方向取顺时针方向 ?于是
?? ? ????? lL yx y d xx d yyx y d xx d y 2222 ? ?? ? qqq20 2 2222 s inc o s dr rr ? 2 ? ?
?? ? ????? lL yx y d xx d yyx y d xx d y 2222 ? ?? ? qqq20 2 2222 s inc o s dr rr ? 2 ? ? ? ? ????? lL yx ydxxdyyx ydxxdy 2222 ? ?? ? qqq20 2 2222 sincos dr r ?2??
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二、平面上曲线积分与路径无关的条件
?曲线积分与路径无关
下页
设 G是一个开区域 ? P(x? y),Q(x? y)在区域 G内具有一阶
连续偏导数 ?
?? ??? 21 LL Q d yP d xQ d yP d x
与路径无关 ?否则说与路径有关 ?
如果对于 G内任意指定的两个点 A,B以及 G内从点 A到点
B的任意两条曲线 L1,L2?等式
恒成立 ? 就说曲线积分 ? ?L Q d yP d x 在 G 内
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二、平面上曲线积分与路径无关的条件
?曲线积分与路径无关
这是因为 ?设 L1和 L2是 G内任意两条从
点 A到点 B的曲线 ?则 L1?(L2?)是 G内一条任
意的闭曲线 ?而且 有
? 0
21
???? ?? ?LL Q d yP d xQ d yP d x ? 0)(
21
??? ?? LL Q d yP d x ?
?? ??? 21 LL Q d yP d xQ d yP d x
? 0
21
???? ?? LL Q d yP d xQ d yP d x
意 闭曲线 C 的曲线积分 ? ?
L
QdyPdx 等于零 ?
曲线积分 ? ?
L
QdyPdx 在 G 内与路径无关相当于沿 G 内任
下页
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在 G 内恒成立 ?
x
Q
y
P
?
?
?
?
?
闭曲线的曲线积分为零 ) 的充分必要条件是等式
数 ? 则曲线积分 ? ?
L
QdyPdx 在 G 内与路径无关 ( 或沿 G 内任意
设 函数 P ( x ? y ) 及 Q ( x ? y ) 在 单连通域 G 内具有一阶连续偏导
二、平面上曲线积分与路径无关的条件
?曲线积分与路径无关
?定理 2 (曲线积分与路径无关的判断方法 )
下页
>>>定理证明
意 闭曲线 C 的曲线积分 ? ?
L
QdyPdx 等于零 ?
曲线积分 ? ?
L
QdyPdx 在 G 内与路径无关相当于沿 G 内任
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?应用定理 2应注意的问题
(1)区域 G是单连通区域 ?
(2)函数 P(x?y)及 Q(x?y)在 G内具有一阶连续偏导数 ?
如果这两个条件之一不能满足 ? 那么定理的结论不能保
证成立 ?
下页
.0 xQyPQ d yP d xQ d yP d x LL ?????????? ?? 与路径无关
讨论,
设 L为一条无重点, 分段光滑且不经过原点的连续闭曲
线 ? L的方向为逆时针方向 ?问 是否一定成立？ 0
22 ??
??
L yx
y d xx d y
提示, >>>
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则 ??? ????? ABOAL dyxx y d xdyxx y d xdyxx y d x 222 222
.0 xQyPQ d yP d xQ d yP d x LL ?????????? ?? 与路径无关
解 这里 P?2xy?Q?x2?
选择从 O(0?0)到 A(1?0)再到 B(1?1)的折线作为积分路线 ?
1110 2 ??? dy ?
因为 xxQyP 2?????? ? 所 以 积分
? ?L dyxx y d x 22 与路径无关 ?
例 5 计算 ? ?L dyxx y d x 22 ? 其中 L 为抛
物线 y?x2上从 O(0?0)到 B(1?1)的一段弧 ?
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三、二元函数的全微分求积
表达式 P(x? y)dx?Q(x?y)dy与函数的全微分有相同的结构 ?
但它未必就是某个函数的全微分 ?
那么在 什么条件下表达式 P(x?y)dx?Q(x?y)dy是某个二元
函数 u(x?y)的全微分呢？当这样的二元函数存在时 ?怎样求出
这个二元函数呢？
二元函数 u(x?y)的全微分为
du(x?y)?ux(x?y)dx?uy(x?y)dy?
下页
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?原函数
如果函数 u(x? y)满足 du(x? y)?P(x? y)dx?Q(x? y)dy? 则 函数
u(x?y)称为 P(x? y)dx?Q(x?y)dy的原函数 ?
定理证明 下页
>>>
设函数 P(x? y)及 Q(x? y)在单连通域 G内具有一阶连续偏导
数 ? 则 P(x? y)dx?Q(x? y)dy在 G内为某一函数 u(x? y)的全微分的
充分必要条件是等式
在 G内恒成立 ?
x
Q
y
P
?
??
?
?
?定理 3
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?求原函数的公式
下页
? ?? ),( ),( 00 ),(),(),( yx yx dyyxQdxyxPyxu ?
?? ?? yyxx dyyxQdxyxPyxu 00 ),(),(),( 0 ?
?? ?? xxyy dxyxPdyyxQyxu 00 ),(),(),( 0 ?
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解 这里
因为 P,Q在右半平面内
具有一阶连续偏导数 ?且有
y
P
yx
xy
x
Q
?
??
?
??
?
?
222
22
)( ?
22 yx
yP
?
?? ?
22 yx
xQ
?? ?
所 以 在右半平面内 ? 22 yx y d xx d y ??
是某个函数的全微分 ?
? ??? ),( )0,1( 22),( yx yx y d xx d yyxu
取积分路线为从 A(1?0)
到 B(x?0)再到 C(x?y)的折线 ?
? ??? y yx x d y0 220 xya r c ta n? ? ? ??? y yx x d y0 220 xya rc ta n? ?
半平面内是某个函数的全微
分 ?并求出一个这样的函数 ?
例 6 验证, 22 yx y d xx d y ?? 在右
则所求函数为
下页
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例 7 验证,在整个 xOy面内 ?xy2dx?x2ydy是某个函数的全微
分 ?并求出一个这样的函数 ?
这里 P?xy2? Q?x2y?解
因为 P,Q在整个 xOy面内具有一阶连续偏导数 ?且有
y
Pxy
x
Q
?
???
?
? 2 ?
所以在整个 xOy面内 ?xy2dx?x2ydy是某个函数的全微分 ?
? ?? ),( )0,0( 22),( yx y d yxdxxyyxu
20
22
0
2 yxy d yxy ??? ? ?
取积分路线为从 O(0?0)到 A(x?0)再到
B(x?y)的折线 ?则所求函数为
20
22
0
2 yxydyxy ?? ? ?
二、平面上曲线积分与路径无关的条件
三、二元函数的全微分求积
§ 10.3 格林公式及其应用
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一、格林公式
?单连通与复连通区域
?区域的边界曲线的方向
当观察者沿区域 D的边界曲线 L行走时 ?如果左手在区域
D内 ?则行走方向是 L的正向 ?
单连通区域 复连通区域
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设 D为平面区域 ? 如果 D内任一闭曲线所围的部分都属于
D? 则称 D为平面单连通区域 ?否则称为复连通区域 ?
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??? ??????? L
D
Q d yPd xd x d yyPxQ )( ?
?定理 1
设闭区域 D由分段光滑的曲线 L围成 ?函数 P(x? y)及 Q(x?y)
在 D上具有一阶连续偏导数 ?则有
其中 L是 D的取正向的边界曲线 ?>>>
—— 格林公式
定理证明
应注意的问题,
对复连通区域 D? 格林公式右端应包括
沿区域 D的全部边界的曲线积分 ? 且边界的
方向对区域 D来说都是正向 ?
下页
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提示,
格林公式,
?用格林公式计算区域的面积
下页
??? ??????? L
D
Q d yPd xd x d yyPxQ )( ?
设区域 D的边界曲线为 L?则
??? ???
DL
dx dyx dyy dx 2 ? 或 ??? ??? L
D
y dxx dyd x d yA 21 ?
在格林公式中 ?令 P??y? Q?x?则有
? ?? L y d xx d yA 21 ?
??? ???
DL
dx dyx dyy dx 2 ? 或 ??? ??? L
D
y dxx dyd x d yA 21 ?
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格林公式,
?用格林公式计算区域的面积
例 1 求椭圆 x?acosq?y?bsinq所围成图形的面积 A?
??? ??????? L
D
Q d yPd xd x d yyPxQ )( ?
设区域 D的边界曲线为 L?则
? ?? L y d xx d yA 21 ?
解 设 L是由椭圆曲线 ?则
? ?? L y d xx d yA 21 ? ?? ? qqq20 22 )c o ss in(21 dabab
?q? abdab ?? ?2021 ?
? ?? L y d xx d yA 21 ? ?? ? qqq20 22 )c o ss in(21 dabab
?q? abdab ?? ?2021 ?
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提示,
因此 ? 由格林公式有
下页
??? ??????? L
D
Q d yPd xd x d yyPxQ )( ? 格林公式,
?用格林公式计算二重积分
例 2 计算 ?? ?
D
y d x d ye 2 ? 其中 D 是以 O (0 ? 0 ) ? A (1 ? 1 ) ? B (0 ? 1 )
为顶点的三角形闭区域 ?
解
要使 2yeyPxQ ??????? ? 只需 P ? 0 ? 2yxeQ ?? ?
令 P ? 0 ? 2yxeQ ?? ? 则 2yeyPxQ ??????? ?
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因此 ? 由格林公式有
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??? ??????? L
D
Q d yPd xd x d yyPxQ )( ? 格林公式,
?用格林公式计算二重积分
例 2 计算 ?? ?
D
y d x d ye 2 ? 其中 D 是以 O (0 ? 0 ) ? A (1 ? 1 ) ? B (0 ? 1 )
为顶点的三角形闭区域 ?
解
???
??
?? ?
BOABOA
y
D
y dyxed x d ye 22
)1(21 11
0
22 ??? ???? ?? edxxedyxe x
OA
y ? )1(
2
1 11
0
22 ??? ???? ?? edxxedyxe x
OA
y ? )1(
2
1 11
0
22 ??? ???? ?? edxxedyxe x
OA
y ?
???
??
?? ?
BOABOA
y
D
y dyxed x d ye 22
令 P ? 0 ? 2yxeQ ?? ? 则 2yeyPxQ ??????? ?
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?用格林公式求闭曲线积分
令 P?2xy?Q?x2?则证
因此 ?由格林公式有
下页
??? ??????? L
D
Q d yPd xd x d yyPxQ )( ? 格林公式,
例 3 设 L是任意一条分段光滑的闭曲线 ?证明
? ??L dyxx y d x 02 2 ?
022 ???????? xxyPxQ ?
002 2 ???? ??? d x d ydyxx y d x
DL
? 002 2 ???? ??? d x d ydyxx y d x
DL
?
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提示,
解
y
P
yx
xy
x
Q
?
??
?
??
?
?
222
22
)( ?
022 ????L yx y d xx d y ?
下页
例 4 计算 ? ??L yx y d xx d y 22 ? 其中 L 为一条无重点、分段光滑且
不经过原点的连续闭曲线 ?L的方向为逆时针方向 ?
当 (0? 0)?D时 ? 由格林公式得
记 L所围成的闭区域为 D?
这 里 22 yx yP ??? ? 22 yx xQ ?? ?
当 x2?y2?0时 ?有
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在 D内取一圆周 l:x2?y2?r2(r>0)?
例 4 计算 ? ??L yx y d xx d y 22 ? 其中 L 为一条无重点、分段光滑且
不经过原点的连续闭曲线 ?L的方向为逆时针方向 ?
当 (0? 0)?D时 ?
解 记 L所围成的闭区域为 D?
记 L及 l所围成的复连通区域为 D1?应用格林公式得
0)(
1
22 ??
??
?
??
?
? ???
?
d x d yyPxQyx y d xx d y
D
lL
?
其中 l的方向取顺时针方向 ?于是
?? ? ????? lL yx y d xx d yyx y d xx d y 2222 ? ?? ? qqq20 2 2222 s inc o s dr rr ? 2 ? ?
?? ? ????? lL yx y d xx d yyx y d xx d y 2222 ? ?? ? qqq20 2 2222 s inc o s dr rr ? 2 ? ? ? ? ????? lL yx ydxxdyyx ydxxdy 2222 ? ?? ? qqq20 2 2222 sincos dr r ?2??
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二、平面上曲线积分与路径无关的条件
?曲线积分与路径无关
下页
设 G是一个开区域 ? P(x? y),Q(x? y)在区域 G内具有一阶
连续偏导数 ?
?? ??? 21 LL Q d yP d xQ d yP d x
与路径无关 ?否则说与路径有关 ?
如果对于 G内任意指定的两个点 A,B以及 G内从点 A到点
B的任意两条曲线 L1,L2?等式
恒成立 ? 就说曲线积分 ? ?L Q d yP d x 在 G 内
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二、平面上曲线积分与路径无关的条件
?曲线积分与路径无关
这是因为 ?设 L1和 L2是 G内任意两条从
点 A到点 B的曲线 ?则 L1?(L2?)是 G内一条任
意的闭曲线 ?而且 有
? 0
21
???? ?? ?LL Q d yP d xQ d yP d x ? 0)(
21
??? ?? LL Q d yP d x ?
?? ??? 21 LL Q d yP d xQ d yP d x
? 0
21
???? ?? LL Q d yP d xQ d yP d x
意 闭曲线 C 的曲线积分 ? ?
L
QdyPdx 等于零 ?
曲线积分 ? ?
L
QdyPdx 在 G 内与路径无关相当于沿 G 内任
下页
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在 G 内恒成立 ?
x
Q
y
P
?
?
?
?
?
闭曲线的曲线积分为零 ) 的充分必要条件是等式
数 ? 则曲线积分 ? ?
L
QdyPdx 在 G 内与路径无关 ( 或沿 G 内任意
设 函数 P ( x ? y ) 及 Q ( x ? y ) 在 单连通域 G 内具有一阶连续偏导
二、平面上曲线积分与路径无关的条件
?曲线积分与路径无关
?定理 2 (曲线积分与路径无关的判断方法 )
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>>>定理证明
意 闭曲线 C 的曲线积分 ? ?
L
QdyPdx 等于零 ?
曲线积分 ? ?
L
QdyPdx 在 G 内与路径无关相当于沿 G 内任
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?应用定理 2应注意的问题
(1)区域 G是单连通区域 ?
(2)函数 P(x?y)及 Q(x?y)在 G内具有一阶连续偏导数 ?
如果这两个条件之一不能满足 ? 那么定理的结论不能保
证成立 ?
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.0 xQyPQ d yP d xQ d yP d x LL ?????????? ?? 与路径无关
讨论,
设 L为一条无重点, 分段光滑且不经过原点的连续闭曲
线 ? L的方向为逆时针方向 ?问 是否一定成立？ 0
22 ??
??
L yx
y d xx d y
提示, >>>
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则 ??? ????? ABOAL dyxx y d xdyxx y d xdyxx y d x 222 222
.0 xQyPQ d yP d xQ d yP d x LL ?????????? ?? 与路径无关
解 这里 P?2xy?Q?x2?
选择从 O(0?0)到 A(1?0)再到 B(1?1)的折线作为积分路线 ?
1110 2 ??? dy ?
因为 xxQyP 2?????? ? 所 以 积分
? ?L dyxx y d x 22 与路径无关 ?
例 5 计算 ? ?L dyxx y d x 22 ? 其中 L 为抛
物线 y?x2上从 O(0?0)到 B(1?1)的一段弧 ?
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三、二元函数的全微分求积
表达式 P(x? y)dx?Q(x?y)dy与函数的全微分有相同的结构 ?
但它未必就是某个函数的全微分 ?
那么在 什么条件下表达式 P(x?y)dx?Q(x?y)dy是某个二元
函数 u(x?y)的全微分呢？当这样的二元函数存在时 ?怎样求出
这个二元函数呢？
二元函数 u(x?y)的全微分为
du(x?y)?ux(x?y)dx?uy(x?y)dy?
下页
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?原函数
如果函数 u(x? y)满足 du(x? y)?P(x? y)dx?Q(x? y)dy? 则 函数
u(x?y)称为 P(x? y)dx?Q(x?y)dy的原函数 ?
定理证明 下页
>>>
设函数 P(x? y)及 Q(x? y)在单连通域 G内具有一阶连续偏导
数 ? 则 P(x? y)dx?Q(x? y)dy在 G内为某一函数 u(x? y)的全微分的
充分必要条件是等式
在 G内恒成立 ?
x
Q
y
P
?
??
?
?
?定理 3
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?求原函数的公式
下页
? ?? ),( ),( 00 ),(),(),( yx yx dyyxQdxyxPyxu ?
?? ?? yyxx dyyxQdxyxPyxu 00 ),(),(),( 0 ?
?? ?? xxyy dxyxPdyyxQyxu 00 ),(),(),( 0 ?
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解 这里
因为 P,Q在右半平面内
具有一阶连续偏导数 ?且有
y
P
yx
xy
x
Q
?
??
?
??
?
?
222
22
)( ?
22 yx
yP
?
?? ?
22 yx
xQ
?? ?
所 以 在右半平面内 ? 22 yx y d xx d y ??
是某个函数的全微分 ?
? ??? ),( )0,1( 22),( yx yx y d xx d yyxu
取积分路线为从 A(1?0)
到 B(x?0)再到 C(x?y)的折线 ?
? ??? y yx x d y0 220 xya r c ta n? ? ? ??? y yx x d y0 220 xya rc ta n? ?
半平面内是某个函数的全微
分 ?并求出一个这样的函数 ?
例 6 验证, 22 yx y d xx d y ?? 在右
则所求函数为
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例 7 验证,在整个 xOy面内 ?xy2dx?x2ydy是某个函数的全微
分 ?并求出一个这样的函数 ?
这里 P?xy2? Q?x2y?解
因为 P,Q在整个 xOy面内具有一阶连续偏导数 ?且有
y
Pxy
x
Q
?
???
?
? 2 ?
所以在整个 xOy面内 ?xy2dx?x2ydy是某个函数的全微分 ?
? ?? ),( )0,0( 22),( yx y d yxdxxyyxu
20
22
0
2 yxy d yxy ??? ? ?
取积分路线为从 O(0?0)到 A(x?0)再到
B(x?y)的折线 ?则所求函数为
20
22
0
2 yxydyxy ?? ? ?
