一、三重积分的概念
二、三重积分的计算
§ 9.3 三重积分
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设 f(x? y? z)是空间有界闭区域 ?上的有界函数 ?
将 ?任意分成 n个小闭区域
?v1??v2??????vn
其中 ?vi表示第 i个小闭区域 ?也表示它的体积 ?
在每个小闭区域 ?vi上任取一点 (?i??i??i)? 作作和
一、三重积分的概念
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?三重积分的定义
iiii
n
i
vf ?
?
? ),,(
1
??? ?
如果当各小闭区域的直径中的最大值 ?趋于零时 ? 这和的
极限总存在 ? 则称此极限为函数 f(x? y? z)在闭区域 ?上的三重
积分 ? 记作 dvzyxf???
?
),,( ?
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一、三重积分的概念
?三重积分的定义
iiii
n
i
vfdvzyxf ??
???
???? ),,(lim),,(
10
???
?
?
?三重积分中的各部分的名称 ?
??? ———— 积分号 ?
f(x? y? z)—— 被积函数 ?
f(x? y? z)dv— 被积表达式 ?
dv ———— 体积元素 ?
x? y? z——— 积分变量 ?
? ———— 积分区域 ?
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?直角坐标系中的三重积分
一、三重积分的概念
?三重积分的定义
iiii
n
i
vfdvzyxf ??
???
???? ),,(lim),,(
10
???
?
?
在直角坐标系中 ?如果用平行于坐标面的平面来划分 ??
则 ?vi??xi?yi?zi? 因此也把体积元素记为 dv?dxdydz?三重积分
记作
??????
??
? d x d y d zzyxfdvzyxf ),,(),,( ?
三重积分的性质与二重积分的性质类似 ?
?三重积分的性质
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二、三重积分的计算
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1?利用直角坐标计算三重积分
??{(x?y? z)| z1(x? y)?z?z2(x?y)? y1(x)?y?y2(x)?a?x?b}?
则 ? ????? ?
?
b
a
yxz
yxz
xy
xy
dzzyxfdydxdvzyxf ),(
),(
)(
)(
2
1
2
1
),,(),,( ? >>>
设积分区域为
>>>
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例 1 计算三重积分 d x d y d zx???
?
? 其中 ? 为三个坐标面及
平面 x?2y?z?1所围成的闭区域 ?
区域 ?可表示为 ?解
0 ? z ? 1 ? x ? 2 y ? )1(210 xy ??? ? 0 ? x ? 1 ?
于是 ? ? ????
? ??
?
?
1
0
2
1
0
21
0
x yx
x d zdydxd x d y d zx
? ? ? ??? 10 210 )21(x dyyxx d x
? ???? 10 32 481)2(41 dxxxx ?
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?先二重积分后定积分的方法
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一个三重积分也可以化为先计算一个二重积分、再计算
一个定积分 ?
设积分区域为
??{(x?y? z)|(x? y)?Dz? c1?z?c2}?
其中 Dz是竖坐标为 z的平面截空间闭区域 ?所得到的一个平面
闭区域 ?则
?????? ?
? zD
c
c
d x d yzyxfdzdvzyxf ),,(),,( 2
1
?
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例 2 计算三重积分 d x d y d zz???
?
2 ? 其中 ? 是由椭球面
1222222 ??? czbyax 所围成的空间闭区域 ?
空间区域 ?可表为 ?解
2
2
2
2
2
2 1
c
z
b
y
a
x ??? ? ? c ? z ? c ?
32
2
2
15
4)1( a b cdzz
c
zab c
c ?? ??? ?? ?
于是 ? ????? ?
?
? c c
D z
d x d ydzzd x d y d zz 22
下页
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?点的柱面坐标
下页
2?利用柱面坐标计算三重积分
设 M(x? y? z)为空间内一点 ? 并设点 M在 xOy面上的投影 P
的极坐标为 P(?? ? )? 则这样的三个数 ?,?, z就叫做点 M的柱
面坐标 ?这里规定 ?,?, z的变化范围为 ?
0??<??? 0???2????<z<???
?直角坐标与柱面坐标的关系
x??cos?? y??sin?? z?z?
?柱面坐标系中的体积元素
dv??d?d?dz?
提示 ?
简单来说 ? dxdy dxdydz ?dxdy?dz ??d?d?dz???d?d??
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?柱面坐标系中的三重积分
下页
??????
??
? dzddzfd x d y d zzyxf ??????? ),s i n,c o s(),,( ?
?点的柱面坐标
2?利用柱面坐标计算三重积分
设 M(x? y? z)为空间内一点 ? 并设点 M在 xOy面上的投影 P
的极坐标为 P(?? ? )? 则这样的三个数 ?,?, z就叫做点 M的柱
面坐标 ?这里规定 ?,?, z的变化范围为 ?
0??<??? 0???2????<z<???
?直角坐标与柱面坐标的关系
x??cos?? y??sin?? z?z?
?柱面坐标系中的体积元素
dv??d?d?dz?
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? ? ?? ? ????20 20 4 2 z d zdd
提示 ? ?的 上边界曲面为 z?4?下边界曲面为 z?x2?y2?用极坐标
可表示为 z??2?所以 ?2?z?4?
提示 在 xOy面上的 投影区域为 x2?y2?4? 用极坐标可表示为 ?
0???2? 0???2??
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例 3 利用柱面坐标计算三重积分 ???
?
z d x d y d z ? 其中 ? 是
由曲面 z?x2?y2与平面 z?4所围成的闭区域 ?
闭区域 ?可表示为 ?解
?2?z?4? 0???2? 0???2??
于是 ??????
??
? dzddzz d x d y d z ??? 于是 ??????
??
? dzdzz d x d y d z ???
? ? ?? ? ????20 20 4 )16(21 dd ???? 364]618[221 2062 ???? ? ? ? ?? ? ????20 20 4 )16(21 dd ???? 364]618[221 2062 ???? ? ? ? ?? ? ????2 20 4)16(21 dd ???? 364]618[221 2062 ???? ?
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这样的三个数 r,?,?叫做点 M的
球面坐标 ?这里 r,?,?的变化范围为
0?r<???0??<?? 0???2??
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3?利用球面坐标计算三重积分
?球面坐标系中的三重积分
?点的球面坐标
?直角坐标与球面坐标的关系
?球面坐标系中的体积元素
dv?r2sin?drd?d??
设 M(x? y? z)为空间内一点 ? 则点 M也可用这样三个有次序
的数 r,?,?来确定 ?如图 ?
x?rsin?cos?? y?rsin?sin??z?rcos??
???????? dd r drrrrfdvzyxf s i n)c o s,s i ns i n,c o ss i n(),,( 2??????
??
? ?
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提示 ?
? ? ?? ? ? ? ???20 0 co s20 2 s ina drrdd
下页
例 4 求半径为 a的球面与半顶角为 ?的内接锥面所围成的
立体的体积 ?
解 该立体所占区域 ?可表示为 ?
0?r?2acos??
于是所求立体的体积为
??????
??
?? ??? dd r drd x d y d zV s in2??????
??
?? ??? dr drd x d y d zV s in2
此球面的方程为 x2?y2?(z?a)2?a2?即 x2?y2?z2?2az?
在球面坐标下此球面的方程为 r2?2arcos??即 r?2acos??
0?????0???2??
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? ?? ? ???? 0 co s20 2s in2 a drrd
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例 4 求半径为 a的球面与半顶角为 ?的内接锥面所围成的
立体的体积 ?
解 该立体所占区域 ?可表示为 ?
于是所求立体的体积为
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??????
??
?? ??? dd r drd x d y d zV s in2??????
??
?? ??? dr drd x d y d zV s in2
0?r?2acos?? 0?????0???2??
结束