一、曲面的面积
二、质心
三、转动惯量
四、引力
§ 9.4 重积分的应用
上页 下页 铃结束返回首页
上页 下页 铃结束返回首页
提示 ?
一、曲面的面积
下页元素法
因为点 M处的法向量为 n?(?fx? ?fy? 1)?
设 dA为曲面上点 M处的面积元素 ?
dA在 xOy平面上的投影为小闭区域 d??
点 M在 xOy平面上的投影为点 P(x? y)?
因为 M处的切平面与 xOy面的夹角为 (n?^k)?所以
dA?cos(n?^k)?d??
所以 dA?|n|d??cos(n?^k)?|n|?1?又因为 n?k?|n|cos(n?^k)?1?
?曲面的面积元素
设曲面 S的方程为 z?f(x?y)?f(x?y)在
区域 D上具有连续偏导数 ?
所以
上页 下页 铃结束返回首页
?? dyxfyxfddA yx ),(),(1|| 22 ???? n ?
一、曲面的面积
?曲面的面积元素
设曲面 S的方程为 z?f(x?y)?f(x?y)在
区域 D上具有连续偏导数 ?
设 dA为曲面上点 M处的面积元素 ?
dA在 xOy平面上的投影为小闭区域 d??
点 M在 xOy平面上的投影为点 P(x? y)?
因为点 M处的法向量为 n?(?fx? ?fy? 1)?
所以
下页
?? dyxfyxfddA yx ),(),(1|| 22 ???? n ?
上页 下页 铃结束返回首页 下页
一、曲面的面积
?dyxfyxfdA yx ),(),(1 22 ??? ?
?曲面的面积
设曲面 S的方程为 z?f(x? y)? f(x? y)在区域 D上具有连续偏
导数 ?则曲面 S的面积为
?dyxfyxfA yx
D
),(),(1 22 ??? ?? ?
或 d x d yyzxzA
D
22 )()(1
?
??
?
??? ?? ?
?曲面的面积元素
设曲面 S的方程为 z?f(x?y)?f(x?y)在区域 D上具有连续偏
导数 ?则曲面的面积元素为
上页 下页 铃结束返回首页
曲面的面积公式 ?
讨论 ?
(1)曲面 x?g(y?z)的面积如何求？
(2)曲面 y?h(z?x)的面积如何求？
提示 ?
下页
或 d x d yyzxzA
D
22 )()(1
?
??
?
??? ?? ?
( 1 ) d y d z
z
x
y
xA
yzD
?? ??????? 22 )()(1 ?
其中 Dyz是曲面在 yOz面上的投影区域 ?
( 2 ) d z d x
x
y
z
yA
zxD
?? ??????? 22 )()(1 ?
其中 Dzx是曲面在 zOx面上的投影区域 ?
上页 下页 铃结束返回首页
球面的面积 A为上半球面面积的两倍 ?解
例 1 求半径为 R的球的表面积 ?
222 yxR
x
x
z
??
??
?
? ?
222 yxR
y
y
z
??
??
?
? ?
222 yxR
x
x
z
??
??
?
? ?
222 yxR
y
y
z
??
??
?
? ?
所 以 22 )()(12
222 y
z
x
zA
Ryx ?
??
?
??? ??
??
d x d y
yxR
R
Ryx
222
222
2
??
? ??
??
? ? ?? ? ????20 0 222 R R ddR d x d yyxR R
Ryx
222
222
2
??
? ??
??
? ? ?? ? ????20 0 222 R R ddR
球 心 在 原 点 的 上 半 球 面 的 方 程 为 222 yxRz ??? ? 而
提示 ?
此积分的被积函数是无界的 ?因此这是一种反常积分 ?
下页
上页 下页 铃结束返回首页
球面的面积 A为上半球面面积的两倍 ?解
例 1 求半径为 R的球的表面积 ?
222 yxR
x
x
z
??
??
?
? ?
222 yxR
y
y
z
??
??
?
? ?
222 yxR
x
x
z
??
??
?
? ?
222 yxR
y
y
z
??
??
?
? ?
所 以 22 )()(12
222 y
z
x
zA
Ryx ?
??
?
??? ??
??
d x d y
yxR
R
Ryx
222
222
2
??
? ??
??
? ? ?? ? ????20 0 222 R R ddR
2
0
22 4 4 RRR R ??? ???? ?
d x d y
yxR
R
Ryx
222
222
2
??
? ??
??
? ? ?? ? ????20 0 222 R R ddR
2
0
22 4 4 RRR R ??? ???? ?
球 心 在 原 点 的 上 半 球 面 的 方 程 为 222 yxRz ??? ? 而
首页
上页 下页 铃结束返回首页
分析 ?
在 点 P(x? y)处取一直径很小的小薄
片 ?其面积 (面积元素 )为 d?? 其 质量认为
集中于点 P?其值近似为 ?(x? y)d??
P点对 y轴的静矩为 dMy?x?(x?y)d??
分析
?P点对 y轴的静矩为 dMy?x?(x?y)d??
?设质心的横坐标为 ?x?薄片的质量为 M?
则 ?x?M?My?
?薄片对 y轴的静矩为 ???
D
y dyxxM ?? ),( ?
二、质心
d?
P(x,y)
下页
设一平面薄片占有 xOy面上的闭区域 D? 其面密度 ?(x? y)
是闭区域 D上的连续函数 ?则该平面薄片的质心坐标 为
??
??
??
D
Dy
dyx
dyxx
M
M
x
??
??
),(
),(
?
??
??
??
D
Dx
dyx
dyxy
M
M
y
??
??
),(
),(
?
上页 下页 铃结束返回首页
分析 ?
?P点对 x轴的静矩为 dMx?y?(x?y)d??
?设质心的横坐标为 ?y?薄片的质量为 M?
则 ?y?M?Mx?
?薄片对 x轴的静矩为
二、质心
d?
P(x,y)
下页
设一平面薄片占有 xOy面上的闭区域 D? 其面密度 ?(x? y)
是闭区域 D上的连续函数 ?则该平面薄片的质心坐标 为
??
??
??
D
Dy
dyx
dyxx
M
M
x
??
??
),(
),(
?
??
??
??
D
Dx
dyx
dyxy
M
M
y
??
??
),(
),(
?
??
??
??
D
Dy
dyx
dyxx
M
M
x
??
??
),(
),(
?
??
??
??
D
Dx
dyx
dyxy
M
M
y
??
??
),(
),(
?
???
D
x dyxyM ?? ),( ?
上页 下页 铃结束返回首页
二、质心
设一平面薄片占有 xOy面上的闭区域 D? 其面密度 ?(x? y)
是闭区域 D上的连续函数 ?则该平面薄片的质心坐标 为
??
??
?
D
D
d
xd
x
?
?
?
??
??
?
D
D
d
yd
y
?
?
?
讨论 ? 设一平面薄片占有 xOy面上的闭区域 D? 其面密度 是常
数 ?如何求该平面薄片的质心 (称为形心 )？
提示 ?
??
??
??
D
Dy
dyx
dyxx
M
M
x
??
??
),(
),(
?
??
??
??
D
Dx
dyx
dyxy
M
M
y
??
??
),(
),(
?
??
??
??
D
Dy
dyx
dyxx
M
M
x
??
??
),(
),(
?
??
??
??
D
Dx
dyx
dyxy
M
M
y
??
??
),(
),(
?
下页
上页 下页 铃结束返回首页 下页
二、质心
类似地 ? 设一物体占有空间闭区域 ??其密度 ?(x? y?z)是闭
区域 ?上的连续函数 ?则该 物体的质心坐标为
???
???
?
??
dvzyx
dvzyxx
x
),,(
),,(
?
?
?
???
???
?
??
dvzyx
dvzyxy
y
),,(
),,(
?
?
?
???
???
?
??
dvzyx
dvzyxz
z
),,(
),,(
?
?
?
设一平面薄片占有 xOy面上的闭区域 D? 其面密度 ?(x? y)
是闭区域 D上的连续函数 ?则该平面薄片的质心坐标 为
??
??
??
D
Dy
dyx
dyxx
M
M
x
??
??
),(
),(
?
??
??
??
D
Dx
dyx
dyxy
M
M
y
??
??
),(
),(
?
??
??
??
D
Dy
dyx
dyxx
M
M
x
??
??
),(
),(
?
??
??
??
D
Dx
dyx
dyxy
M
M
y
??
??
),(
),(
?
上页 下页 铃结束返回首页
解
下页
例 2 求两圆 ??2sin?和 ??4sin?之间的均匀薄片的质心 ?
解 由 对 称 性 ? 所以 形 心 ),( yxC 位于 y 轴上 ? 于是 0?x ?
???? 312 22 ???????d
D
?
解 由 对 称 性 ? 所以 形 心 ),( yxC 位于 y 轴上 ? 于是 0?x ?
??? 312 22 ??????? d
D
?
因为 ?????????? ?
?
? 7s ins in s i n4
s i n2
2
0
2 ??? ?????? ddddyd
DD
? 因为 ?????????? ?
?
? 7s ins in s i n4
s i n2
2
0
2 ??? ?????? ddddyd
DD
? 因为 ????????? ?
?
? 7s ins in s i n4
s i n2
2
0
2 ??? ?????? dddyd
DD
? 因为 ????????? ?
?
? 7sinsin sin4
sin2
2
0
2 ??? ?????? ddddyd
DD
?
所以 3737 ?? ??y ?
因 此 所求形心是 )37,0(C ?
上页 下页 铃结束返回首页
提示 ?
取半球体的对称轴为 z轴 ? 原点取在球心上 ?解
例 3 求半径为 a的均匀半球体的质心 ?
显然 ? 质心在 z 轴上 ? 故 0?? yx ?
半球体所占空间闭区可表示为
??{(x?y?z)| x2?y2?z2?a2?z?0}?
因 为
???
???
???
???
?
?
?
? ??
dv
z d v
dv
dvz
z
?
?
8
3 a
? ? 因 为
???
???
???
???
?
?
?
? ??
dv
zdv
dv
dvz
z
?
?
8
3a
? ? 因 为
???
??
???
???
?
?
?
? ??
dv
zdv
dv
dvz
z
?
?
8
3a?
?????? ??
?
a drrrdddvz
0
22
0
2
0
s i nc o s ???? ?
?
422
1 4a??? ? ? ?????? ??
?
a drrrdddvz
0
22
0
2
0
s inc o s ???? ?
?
422
1 4a??? ? ?
提示
? ? 0 ? r ? a ? 20 ?? ?? ? 0 ? ? ? 2 ? ?
?????? ?
?
a drrdddv
0
22
0
2
0
s in ??? ?
?
3
2 3a?? ? ?????? ?
?
a drrdddv
0
22
0
2
0
sin ??? ?
?
3
2 3a?? ?
下页
上页 下页 铃结束返回首页
取半球体的对称轴为 z轴 ? 原点取在球心上 ?解
例 3 求半径为 a的均匀半球体的质心 ?
显然 ? 质心在 z 轴上 ? 故 0?? yx ?
半球体所占空间闭区可表示为
??{(x?y?z)| x2?y2?z2?a2?z?0}?
因 为
???
???
???
???
?
?
?
? ??
dv
z d v
dv
dvz
z
?
?
8
3 a
? ? 因 为
???
???
???
???
?
?
?
? ??
dv
zdv
dv
dvz
z
?
?
8
3a
? ? 因 为
???
??
???
???
?
?
?
? ??
dv
zdv
dv
dvz
z
?
?
8
3a?
所 以 质心为 )83,0,0( a ?
首页
上页 下页 铃结束返回首页
转动惯量元素 ?
在 点 P(x? y)处取一直径很小的小薄
片 ?其面积 (面积元素 )为 d?? 其 质量认为
集中于点 P?其值近似为 ?(x? y)d??
P点对 x轴和对 y轴的转动惯量为
dIx?y2?(x?y)d??dIy?x2?(x?y)d??
三、转动惯量
下页
d?
P(x,y)
?? dyxyI
D
x ),(2??? ? ?? dyxxI
D
y ),(2??? ?
设一平面薄片占有 xOy面上的闭区域 D? 其面密度 ?(x? y)
是 D上的连续函数 ? 则该平面薄片对 x,y轴的转动惯量为
上页 下页 铃结束返回首页
三、转动惯量
类似地 ? 设一物体占有空间闭区域 ?? 其密度 ?(x? y? z)是 ?
上的连续函数 ?则该 物体对于 x,y,z轴的转动惯量为
设一平面薄片占有 xOy面上的闭区域 D? 其面密度 ?(x? y)
是 D上的连续函数 ?
???
?
?? dvzyxzyI x ),,()( 22 ? ?
???
?
?? dvzyxxzI y ),,()( 22 ? ?
???
?
?? dvzyxyxI z ),,()( 22 ? ?
则该平面薄片对 x,y轴的转动惯量为
?? dyxyI
D
x ),(2??? ? ?? dyxxI
D
y ),(2??? ?
下页
上页 下页 铃结束返回首页 下页
所求转动惯量即半圆薄片对于 x轴
的转动惯量 Ix?
例 5 求半径为 a的均匀半圆薄片 (面密度为常量 ?)对于其
直径边的转动惯量 ?
解 取坐标系如图 ?
薄片所占闭区域 D可表示为
D?{(x?y)| x2?y2?a2?y?0}?
???? ???
DD
x dddyI ???????? 222 s in
? ?? ? ????? 0 0 32 s in a dd 24 41241 Maa ??? ?? ?
其中 ?? 221 aM ? 为半圆薄片的质量 ?
???? ???
DD
x dddyI ???????? 222 s in
? ?? ? ????? 0 0 32 sin a dd 24 41241 Maa ??? ?? ? ? ?? ? ????? 0 0 32 sin a dd 24 412 Ma??? ?
上页 下页 铃结束返回首页
例 6 求密度为 ?的均匀球体对于过
球心的一条轴 l的转动惯量 ?
取球心为坐标原点 ?z轴与轴 l重
合 ?又设球的半径为 a?
解
球体所占空间闭区域可表示为
??{(x?y?z)| x2?y2?z2?a2}?
所求转动惯量即球体对于 z轴的转动惯量 Iz?
???
?
?? dvyxI z )( 22 ? ???? dd r dr 34 s in???
?
?
drrdd a? ? ?? ? ? ???? 20 0 0 43 s in ?? 5158 a? Ma 252? ?
其中 ?? 334 aM ? 为球体的质量 ?
???
?
?? dvyxI z )( 22 ? ???? dd r dr 34 s in???
?
?
drrdd a? ? ?? ? ? ???? 20 0 0 43 sin ?? 5158 a? Ma 252? ? drrdd a? ? ?? ? ? ???? 20 0 0 43 sin 158? a 2 ?
首页
上页 下页 铃结束返回首页
四、引力
下页
设物体占有空间有界闭区域 ?? 其密度 ?(x? y? z)为 ?上的
连续函数 ? 求 物体对于物体外一点 P0(x0? y0? z0)处的单位质量
的质点的引力 ?
设在 ?内点 P(x? y? z)处的体积元素为 dv? 则点 P对位于点
P0处的单位质量的质点的引力近似为
其方向为 r?(x?x0?y?y0?z?z0)?r?|r|?
dF?(dFx?dFy?dFz)?
)))(,,(,))(,,(,))(,,(( 3 03 03 0 dvr zzzyxGdvr yyzyxGdvr xxzyxG ???? ??? ?
将 dFx,dFy,dFz在 ?上分别积分 ?即可得 Fx,Fy,Fz? 从
而得 F?(Fx,Fy,Fz)?
上页 下页 铃结束返回首页 结束
例 7 设半径为 R的匀质球占有空间闭区域
??{(x?y?z)|x2?y2?z2?R2)?
求它对于位于点 M(0?0?a)(a>R)处的单位质量的质点的引力 ?
解 设球的密度为 ?0? 由球体的对称性及质量分布的均匀
性知 Fx?Fy?0? 因此只需求引力沿 z轴的分量 ?
dvazyx azGF z 2/32220 ])([ ??? ?? ???
?
?
? ???
??? ???
?? R
R
zRyx azyx
d x dydzazG
2222
2/32220 ])([)(?
?? ? ?? ????
22
0 2/322
2
00 ])([
)( zRR
R az
dddzazG
?
???? ?
220
3 1
3
4
a
MG
a
RG ?????? ?? ( 其中
0
3
3
4 ?? RM ? 为球的质量 )?
220
3 1
3
4
a
MG
a
RG ?????? ?? ( 其中
0
3
3
4 ?? RM ? 为球的质量 ) ?
二、质心
三、转动惯量
四、引力
§ 9.4 重积分的应用
上页 下页 铃结束返回首页
上页 下页 铃结束返回首页
提示 ?
一、曲面的面积
下页元素法
因为点 M处的法向量为 n?(?fx? ?fy? 1)?
设 dA为曲面上点 M处的面积元素 ?
dA在 xOy平面上的投影为小闭区域 d??
点 M在 xOy平面上的投影为点 P(x? y)?
因为 M处的切平面与 xOy面的夹角为 (n?^k)?所以
dA?cos(n?^k)?d??
所以 dA?|n|d??cos(n?^k)?|n|?1?又因为 n?k?|n|cos(n?^k)?1?
?曲面的面积元素
设曲面 S的方程为 z?f(x?y)?f(x?y)在
区域 D上具有连续偏导数 ?
所以
上页 下页 铃结束返回首页
?? dyxfyxfddA yx ),(),(1|| 22 ???? n ?
一、曲面的面积
?曲面的面积元素
设曲面 S的方程为 z?f(x?y)?f(x?y)在
区域 D上具有连续偏导数 ?
设 dA为曲面上点 M处的面积元素 ?
dA在 xOy平面上的投影为小闭区域 d??
点 M在 xOy平面上的投影为点 P(x? y)?
因为点 M处的法向量为 n?(?fx? ?fy? 1)?
所以
下页
?? dyxfyxfddA yx ),(),(1|| 22 ???? n ?
上页 下页 铃结束返回首页 下页
一、曲面的面积
?dyxfyxfdA yx ),(),(1 22 ??? ?
?曲面的面积
设曲面 S的方程为 z?f(x? y)? f(x? y)在区域 D上具有连续偏
导数 ?则曲面 S的面积为
?dyxfyxfA yx
D
),(),(1 22 ??? ?? ?
或 d x d yyzxzA
D
22 )()(1
?
??
?
??? ?? ?
?曲面的面积元素
设曲面 S的方程为 z?f(x?y)?f(x?y)在区域 D上具有连续偏
导数 ?则曲面的面积元素为
上页 下页 铃结束返回首页
曲面的面积公式 ?
讨论 ?
(1)曲面 x?g(y?z)的面积如何求？
(2)曲面 y?h(z?x)的面积如何求？
提示 ?
下页
或 d x d yyzxzA
D
22 )()(1
?
??
?
??? ?? ?
( 1 ) d y d z
z
x
y
xA
yzD
?? ??????? 22 )()(1 ?
其中 Dyz是曲面在 yOz面上的投影区域 ?
( 2 ) d z d x
x
y
z
yA
zxD
?? ??????? 22 )()(1 ?
其中 Dzx是曲面在 zOx面上的投影区域 ?
上页 下页 铃结束返回首页
球面的面积 A为上半球面面积的两倍 ?解
例 1 求半径为 R的球的表面积 ?
222 yxR
x
x
z
??
??
?
? ?
222 yxR
y
y
z
??
??
?
? ?
222 yxR
x
x
z
??
??
?
? ?
222 yxR
y
y
z
??
??
?
? ?
所 以 22 )()(12
222 y
z
x
zA
Ryx ?
??
?
??? ??
??
d x d y
yxR
R
Ryx
222
222
2
??
? ??
??
? ? ?? ? ????20 0 222 R R ddR d x d yyxR R
Ryx
222
222
2
??
? ??
??
? ? ?? ? ????20 0 222 R R ddR
球 心 在 原 点 的 上 半 球 面 的 方 程 为 222 yxRz ??? ? 而
提示 ?
此积分的被积函数是无界的 ?因此这是一种反常积分 ?
下页
上页 下页 铃结束返回首页
球面的面积 A为上半球面面积的两倍 ?解
例 1 求半径为 R的球的表面积 ?
222 yxR
x
x
z
??
??
?
? ?
222 yxR
y
y
z
??
??
?
? ?
222 yxR
x
x
z
??
??
?
? ?
222 yxR
y
y
z
??
??
?
? ?
所 以 22 )()(12
222 y
z
x
zA
Ryx ?
??
?
??? ??
??
d x d y
yxR
R
Ryx
222
222
2
??
? ??
??
? ? ?? ? ????20 0 222 R R ddR
2
0
22 4 4 RRR R ??? ???? ?
d x d y
yxR
R
Ryx
222
222
2
??
? ??
??
? ? ?? ? ????20 0 222 R R ddR
2
0
22 4 4 RRR R ??? ???? ?
球 心 在 原 点 的 上 半 球 面 的 方 程 为 222 yxRz ??? ? 而
首页
上页 下页 铃结束返回首页
分析 ?
在 点 P(x? y)处取一直径很小的小薄
片 ?其面积 (面积元素 )为 d?? 其 质量认为
集中于点 P?其值近似为 ?(x? y)d??
P点对 y轴的静矩为 dMy?x?(x?y)d??
分析
?P点对 y轴的静矩为 dMy?x?(x?y)d??
?设质心的横坐标为 ?x?薄片的质量为 M?
则 ?x?M?My?
?薄片对 y轴的静矩为 ???
D
y dyxxM ?? ),( ?
二、质心
d?
P(x,y)
下页
设一平面薄片占有 xOy面上的闭区域 D? 其面密度 ?(x? y)
是闭区域 D上的连续函数 ?则该平面薄片的质心坐标 为
??
??
??
D
Dy
dyx
dyxx
M
M
x
??
??
),(
),(
?
??
??
??
D
Dx
dyx
dyxy
M
M
y
??
??
),(
),(
?
上页 下页 铃结束返回首页
分析 ?
?P点对 x轴的静矩为 dMx?y?(x?y)d??
?设质心的横坐标为 ?y?薄片的质量为 M?
则 ?y?M?Mx?
?薄片对 x轴的静矩为
二、质心
d?
P(x,y)
下页
设一平面薄片占有 xOy面上的闭区域 D? 其面密度 ?(x? y)
是闭区域 D上的连续函数 ?则该平面薄片的质心坐标 为
??
??
??
D
Dy
dyx
dyxx
M
M
x
??
??
),(
),(
?
??
??
??
D
Dx
dyx
dyxy
M
M
y
??
??
),(
),(
?
??
??
??
D
Dy
dyx
dyxx
M
M
x
??
??
),(
),(
?
??
??
??
D
Dx
dyx
dyxy
M
M
y
??
??
),(
),(
?
???
D
x dyxyM ?? ),( ?
上页 下页 铃结束返回首页
二、质心
设一平面薄片占有 xOy面上的闭区域 D? 其面密度 ?(x? y)
是闭区域 D上的连续函数 ?则该平面薄片的质心坐标 为
??
??
?
D
D
d
xd
x
?
?
?
??
??
?
D
D
d
yd
y
?
?
?
讨论 ? 设一平面薄片占有 xOy面上的闭区域 D? 其面密度 是常
数 ?如何求该平面薄片的质心 (称为形心 )？
提示 ?
??
??
??
D
Dy
dyx
dyxx
M
M
x
??
??
),(
),(
?
??
??
??
D
Dx
dyx
dyxy
M
M
y
??
??
),(
),(
?
??
??
??
D
Dy
dyx
dyxx
M
M
x
??
??
),(
),(
?
??
??
??
D
Dx
dyx
dyxy
M
M
y
??
??
),(
),(
?
下页
上页 下页 铃结束返回首页 下页
二、质心
类似地 ? 设一物体占有空间闭区域 ??其密度 ?(x? y?z)是闭
区域 ?上的连续函数 ?则该 物体的质心坐标为
???
???
?
??
dvzyx
dvzyxx
x
),,(
),,(
?
?
?
???
???
?
??
dvzyx
dvzyxy
y
),,(
),,(
?
?
?
???
???
?
??
dvzyx
dvzyxz
z
),,(
),,(
?
?
?
设一平面薄片占有 xOy面上的闭区域 D? 其面密度 ?(x? y)
是闭区域 D上的连续函数 ?则该平面薄片的质心坐标 为
??
??
??
D
Dy
dyx
dyxx
M
M
x
??
??
),(
),(
?
??
??
??
D
Dx
dyx
dyxy
M
M
y
??
??
),(
),(
?
??
??
??
D
Dy
dyx
dyxx
M
M
x
??
??
),(
),(
?
??
??
??
D
Dx
dyx
dyxy
M
M
y
??
??
),(
),(
?
上页 下页 铃结束返回首页
解
下页
例 2 求两圆 ??2sin?和 ??4sin?之间的均匀薄片的质心 ?
解 由 对 称 性 ? 所以 形 心 ),( yxC 位于 y 轴上 ? 于是 0?x ?
???? 312 22 ???????d
D
?
解 由 对 称 性 ? 所以 形 心 ),( yxC 位于 y 轴上 ? 于是 0?x ?
??? 312 22 ??????? d
D
?
因为 ?????????? ?
?
? 7s ins in s i n4
s i n2
2
0
2 ??? ?????? ddddyd
DD
? 因为 ?????????? ?
?
? 7s ins in s i n4
s i n2
2
0
2 ??? ?????? ddddyd
DD
? 因为 ????????? ?
?
? 7s ins in s i n4
s i n2
2
0
2 ??? ?????? dddyd
DD
? 因为 ????????? ?
?
? 7sinsin sin4
sin2
2
0
2 ??? ?????? ddddyd
DD
?
所以 3737 ?? ??y ?
因 此 所求形心是 )37,0(C ?
上页 下页 铃结束返回首页
提示 ?
取半球体的对称轴为 z轴 ? 原点取在球心上 ?解
例 3 求半径为 a的均匀半球体的质心 ?
显然 ? 质心在 z 轴上 ? 故 0?? yx ?
半球体所占空间闭区可表示为
??{(x?y?z)| x2?y2?z2?a2?z?0}?
因 为
???
???
???
???
?
?
?
? ??
dv
z d v
dv
dvz
z
?
?
8
3 a
? ? 因 为
???
???
???
???
?
?
?
? ??
dv
zdv
dv
dvz
z
?
?
8
3a
? ? 因 为
???
??
???
???
?
?
?
? ??
dv
zdv
dv
dvz
z
?
?
8
3a?
?????? ??
?
a drrrdddvz
0
22
0
2
0
s i nc o s ???? ?
?
422
1 4a??? ? ? ?????? ??
?
a drrrdddvz
0
22
0
2
0
s inc o s ???? ?
?
422
1 4a??? ? ?
提示
? ? 0 ? r ? a ? 20 ?? ?? ? 0 ? ? ? 2 ? ?
?????? ?
?
a drrdddv
0
22
0
2
0
s in ??? ?
?
3
2 3a?? ? ?????? ?
?
a drrdddv
0
22
0
2
0
sin ??? ?
?
3
2 3a?? ?
下页
上页 下页 铃结束返回首页
取半球体的对称轴为 z轴 ? 原点取在球心上 ?解
例 3 求半径为 a的均匀半球体的质心 ?
显然 ? 质心在 z 轴上 ? 故 0?? yx ?
半球体所占空间闭区可表示为
??{(x?y?z)| x2?y2?z2?a2?z?0}?
因 为
???
???
???
???
?
?
?
? ??
dv
z d v
dv
dvz
z
?
?
8
3 a
? ? 因 为
???
???
???
???
?
?
?
? ??
dv
zdv
dv
dvz
z
?
?
8
3a
? ? 因 为
???
??
???
???
?
?
?
? ??
dv
zdv
dv
dvz
z
?
?
8
3a?
所 以 质心为 )83,0,0( a ?
首页
上页 下页 铃结束返回首页
转动惯量元素 ?
在 点 P(x? y)处取一直径很小的小薄
片 ?其面积 (面积元素 )为 d?? 其 质量认为
集中于点 P?其值近似为 ?(x? y)d??
P点对 x轴和对 y轴的转动惯量为
dIx?y2?(x?y)d??dIy?x2?(x?y)d??
三、转动惯量
下页
d?
P(x,y)
?? dyxyI
D
x ),(2??? ? ?? dyxxI
D
y ),(2??? ?
设一平面薄片占有 xOy面上的闭区域 D? 其面密度 ?(x? y)
是 D上的连续函数 ? 则该平面薄片对 x,y轴的转动惯量为
上页 下页 铃结束返回首页
三、转动惯量
类似地 ? 设一物体占有空间闭区域 ?? 其密度 ?(x? y? z)是 ?
上的连续函数 ?则该 物体对于 x,y,z轴的转动惯量为
设一平面薄片占有 xOy面上的闭区域 D? 其面密度 ?(x? y)
是 D上的连续函数 ?
???
?
?? dvzyxzyI x ),,()( 22 ? ?
???
?
?? dvzyxxzI y ),,()( 22 ? ?
???
?
?? dvzyxyxI z ),,()( 22 ? ?
则该平面薄片对 x,y轴的转动惯量为
?? dyxyI
D
x ),(2??? ? ?? dyxxI
D
y ),(2??? ?
下页
上页 下页 铃结束返回首页 下页
所求转动惯量即半圆薄片对于 x轴
的转动惯量 Ix?
例 5 求半径为 a的均匀半圆薄片 (面密度为常量 ?)对于其
直径边的转动惯量 ?
解 取坐标系如图 ?
薄片所占闭区域 D可表示为
D?{(x?y)| x2?y2?a2?y?0}?
???? ???
DD
x dddyI ???????? 222 s in
? ?? ? ????? 0 0 32 s in a dd 24 41241 Maa ??? ?? ?
其中 ?? 221 aM ? 为半圆薄片的质量 ?
???? ???
DD
x dddyI ???????? 222 s in
? ?? ? ????? 0 0 32 sin a dd 24 41241 Maa ??? ?? ? ? ?? ? ????? 0 0 32 sin a dd 24 412 Ma??? ?
上页 下页 铃结束返回首页
例 6 求密度为 ?的均匀球体对于过
球心的一条轴 l的转动惯量 ?
取球心为坐标原点 ?z轴与轴 l重
合 ?又设球的半径为 a?
解
球体所占空间闭区域可表示为
??{(x?y?z)| x2?y2?z2?a2}?
所求转动惯量即球体对于 z轴的转动惯量 Iz?
???
?
?? dvyxI z )( 22 ? ???? dd r dr 34 s in???
?
?
drrdd a? ? ?? ? ? ???? 20 0 0 43 s in ?? 5158 a? Ma 252? ?
其中 ?? 334 aM ? 为球体的质量 ?
???
?
?? dvyxI z )( 22 ? ???? dd r dr 34 s in???
?
?
drrdd a? ? ?? ? ? ???? 20 0 0 43 sin ?? 5158 a? Ma 252? ? drrdd a? ? ?? ? ? ???? 20 0 0 43 sin 158? a 2 ?
首页
上页 下页 铃结束返回首页
四、引力
下页
设物体占有空间有界闭区域 ?? 其密度 ?(x? y? z)为 ?上的
连续函数 ? 求 物体对于物体外一点 P0(x0? y0? z0)处的单位质量
的质点的引力 ?
设在 ?内点 P(x? y? z)处的体积元素为 dv? 则点 P对位于点
P0处的单位质量的质点的引力近似为
其方向为 r?(x?x0?y?y0?z?z0)?r?|r|?
dF?(dFx?dFy?dFz)?
)))(,,(,))(,,(,))(,,(( 3 03 03 0 dvr zzzyxGdvr yyzyxGdvr xxzyxG ???? ??? ?
将 dFx,dFy,dFz在 ?上分别积分 ?即可得 Fx,Fy,Fz? 从
而得 F?(Fx,Fy,Fz)?
上页 下页 铃结束返回首页 结束
例 7 设半径为 R的匀质球占有空间闭区域
??{(x?y?z)|x2?y2?z2?R2)?
求它对于位于点 M(0?0?a)(a>R)处的单位质量的质点的引力 ?
解 设球的密度为 ?0? 由球体的对称性及质量分布的均匀
性知 Fx?Fy?0? 因此只需求引力沿 z轴的分量 ?
dvazyx azGF z 2/32220 ])([ ??? ?? ???
?
?
? ???
??? ???
?? R
R
zRyx azyx
d x dydzazG
2222
2/32220 ])([)(?
?? ? ?? ????
22
0 2/322
2
00 ])([
)( zRR
R az
dddzazG
?
???? ?
220
3 1
3
4
a
MG
a
RG ?????? ?? ( 其中
0
3
3
4 ?? RM ? 为球的质量 )?
220
3 1
3
4
a
MG
a
RG ?????? ?? ( 其中
0
3
3
4 ?? RM ? 为球的质量 ) ?
