一、对弧长的曲线积分的概念与性质
二、对弧长的曲线积分的计算
§ 10.1 对弧长的曲线积分
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?把曲线弧 L分成 n个小段 ? ?s1??s2??????sn(?si也表示弧长 )?
一,对弧长的曲线积分的概念与性质
?曲线形构件的质量
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设曲线形构件所占的位置在 xOy面内的一段曲线弧 L上 ?
已知曲线形构件在点 (x?y)处的线密度为 ?(x?y)?
?任取 (?i??i)??si? 得第 i小段质量的近似值 ?(?i??i)?si?
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?令 ??max{?s1??s2??????sn}?0?则整个曲线形构件的质量为
iii
n
i
sM ??
?
? ),(
1
??? ? ?整个曲线形构件的质量近似为
下页
一,对弧长的曲线积分的概念与性质
设曲线形构件所占的位置在 xOy面内的一段曲线弧 L上 ?
已知曲线形构件在点 (x?y)处的线密度为 ?(x?y)?
iii
n
i
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??
? ),(lim
10
???
?
?
?曲线形构件的质量
?把曲线弧 L分成 n个小段 ? ?s1??s2??????sn(?si也表示弧长 )?
?任取 (?i??i)??si? 得第 i小段质量的近似值 ?(?i??i)?si?
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将 L任意分成 n个小弧段 ?
?s1??s2??????sn(?si也表示第 i个小弧段的长度 )?
在每个小弧段 ?si上任取一点 (?i??i)?作和
?对弧长的曲线积分
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设 L为 xOy面内的一条光滑曲线弧 ?函数 f(x?y)在 L上有界 ?
iii
n
i
sf ?
?
? ),(
1
?? ?
iii
n
iL
sfdsyxf ??
??
?? ),(lim),(
10
??
?
?
如果当 ??max{?s1? ?s2? ? ? ?? ?sn}?0时 ? 这和的极限总存在 ? 则
称此极限为函数 f(x? y)在曲线弧 L上对弧长的曲线积分 ? 记作
dsyxfL ),(? ? 即
其中 f(x?y)叫做被积函数 ?L叫做积分弧段 ?
>>>光滑曲线
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iii
n
iL
sfdsyxf ??
??
?? ),(lim),(
10
??
?
?
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?对弧长的曲线积分
说明 ?
?当函数 f(x? y)在光滑曲线弧 L上连续时 ? 函数 f(x? y)在曲线弧 L
上对弧长的曲线积分是存在的 ? 以后我们总假定 f(x? y)在 L上
是连续的 ?
?对弧长的曲线积分也称为第一类曲线积分 ?
?曲线形构件的质量就是曲线积分 的值 ?dsyx
L ),(? ?
iiii
n
i
sfdszyxf ??
???
?? ),,(lim),,(
10
???
?
?
?类似地可以定义函数 f(x? y? z)在空间曲线弧 ?上对弧长的曲线
积分 ?
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iii
n
iL
sfdsyxf ??
??
?? ),(lim),(
10
??
?
?
下页
?对弧长的曲线积分
?如果 L(或 ?)是分段光滑的 ? 则规定函数在 L(或 ?)上的曲线积
分等于函数在光滑的各段上的曲线积分的和 ?
例如 ?设 L可分成两段光滑曲线弧 L1及 L2?则规定
dsyxfdsyxfdsyxf LLLL ),(),(),(
2121 ???
??? ?
?函数 f(x?y)在闭曲线 L上对弧长的曲线积分记作 ?dsyxf
L ),(?
说明 ?
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?对弧长的曲线积分的性质
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?性质 1 设 c1,c2为常数 ? 则
dsyxgcdsyxfcdsyxgcyxfc LLL ),(),()],(),([ 2121 ??? ??? ?
?性质 2 若积分弧段 L可分成两段光滑曲线弧 L1和 L2?则
dsyxfdsyxfdsyxf LLL ),(),(),(
21 ???
?? ?
?性质 3 设在 L上 f(x?y)?g(x?y)?则
?? ? LL dsyxgdsyxf ),(),( ?
特别地 ?有
?? ? LL dsyxfdsyxf |),(||),(| ?
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提示 ?
二、对弧长的曲线积分的计算
下页
根据对弧长的曲线积分的定义 ?如果曲线形构件 L的线密
度为 f(x?y)?则曲线形构件 L的质量为
?L dsyxf ),( ?
另一方面 ?如果曲线 L是光滑的 ?其 参数方程为
x??(t)?y?? (t) (??t??)?
则曲线形构件 L的质量为
曲线形构件 L的质量元素为
dtttttfdsyxf )()()]( ),([),( 22 ???? ???? ?
? ????? ???? dtttttf )()()]( ),([ 22 ?
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二、对弧长的曲线积分的计算
根据对弧长的曲线积分的定义 ?如果曲线形构件 L的线密
度为 f(x?y)?则曲线形构件 L的质量为
?L dsyxf ),( ?
? ????? ???? dtttttf )()()]( ),([ 22 ?
于 是 ?? ???? ?? ???? dtttttfdsyxfL )()()]( ),([),( 22 ?
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另一方面 ?如果曲线 L是光滑的 ?其 参数方程为
x??(t)?y?? (t) (??t??)?
则曲线形构件 L的质量为
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则曲线积分 dsyxfL ),(? 存在 ? 并 且
dtttttfdsyxfL )()()](),([),( 22 ?????? ???? ?? ( ? ? ? ) ?
二、对弧长的曲线积分的计算
?定理
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设 f(x?y)在曲线弧 L上有定义且连续 ?L的参数方程为
x??(t)?y??(t) (??t??)?
其中 ?(t),?(t)在 [???]上具有一阶连续导数 ?且 ??2(t)???2(t)?0?
应注意的问题 ?定积分的下限 ?一定要小于上限 ??
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dtttttfdsyxfL )()()](),([),( 22 ?????? ???? ?? ( ? ? ? ) ?
设曲线 L的参数方程为 x??(t)?y??(t) (??t??)?则
讨论 ?
( 1 ) 若曲线 L 的方程为 y ? ? ( x )( a ? x ? b ) ? 则 dsyxfL ),(? ?？
( 2 ) 若曲线 L 的方程为 x ? ? ( y )( c ? y ? d ) ? 则 dsyxfL ),(? ?？
提示 ?
(1)L的参数方程为 x?x?y??(x)(a?x?b)?
dxxxxfdsyxf baL ?? ??? )(1)](,[),( 2?? ?
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dtttttfdsyxfL )()()](),([),( 22 ?????? ???? ?? ( ? ? ? ) ?
设曲线 L的参数方程为 x??(t)?y??(t) (??t??)?则
讨论 ?
( 1 ) 若曲线 L 的方程为 y ? ? ( x )( a ? x ? b ) ? 则 dsyxfL ),(? ?？
( 2 ) 若曲线 L 的方程为 x ? ? ( y )( c ? y ? d ) ? 则 dsyxfL ),(? ?？
提示 ?
(2)L的参数方程为 x??(y)?y?y(c?y?d)?
dyyyyfdsyxf dcL ?? ??? 1)(]),([),( 2?? ?
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dtttttfdsyxfL )()()](),([),( 22 ?????? ???? ?? ( ? ? ? ) ?
设曲线 L的参数方程为 x??(t)?y??(t) (??t??)?则
讨论 ?
(3)若曲线 ?的参数方程为 x??(t)?y??(t)?z??(t)(??t??)?
则 dszyxf ),,(?? ?？
提示 ?
dtttttttfdszyxf )()()()](),(),([),,( 222 ???????? ?????? ??? ?
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dtttttfdsyxfL )()()](),([),( 22 ?????? ???? ?? ( ? ? ? ) ?
设曲线 L的参数方程为 x??(t)?y??(t) (??t??)?则
例 1 计算 dsyL? ? 其中 L 是抛物线 y ? x 2 上点 O (0 ? 0 ) 与点
B(1?1)之间的一段弧 ?
曲线 L的参数方程为 x?x?y?x2 (0?x?1)?因此解
?? ??? 10 222 )(1 dxxxdsyL
? ?? 10 241 dxxx )155(121 ?? ?
? ?? 10 241 dxxx )155(121 ?? ?
?? ??? 10 222 )(1 dxxxdsyL
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例 2 计算半径为 R,中心角为 2?的圆弧 L对于它的对称轴
的转动惯量 I(设线密度为 ??1)?
取坐标系如图所示 ?则曲线 L的参数方程为解
dtttttfdsyxfL )()()](),([),( 22 ?????? ???? ?? ( ? ? ? ) ?
设曲线 L的参数方程为 x??(t)?y??(t) (??t??)?则
x?Rcos??y?Rsin? (??????)?
于是所求转动惯量 I为
?? L dsyI 2
提示 ?
转动惯量的元素为 dI?y2?ds?y2ds?
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例 2 计算半径为 R,中心角为 2?的圆弧 L对于它的对称轴
的转动惯量 I(设线密度为 ??1)?
取坐标系如图所示 ?则曲线 L的参数方程为解
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设曲线 L的参数方程为 x??(t)?y??(t) (??t??)?则
于是所求转动惯量 I为
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)c o ss in(s in 323 ??????? ??? ?? RdR ? )c o ss in(s in 323 ??????? ??? ?? RdR ?
x?Rcos??y?Rsin? (??????)?
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例 3 计算曲线积分 dszyx )( 222 ???? ? 其中 ? 为螺旋线
x?acost,y?asint,z?kt上相应于 t从 0到达 2?的一段弧 ?
解
x2?y2?z2?(acost)2?(asint)2?(kt)2?a2?k2t2?
在曲线 ?上有
并且
dtkadtktatads 22222 )c o s()s i n( ?????? ?
所 以 dszyx )( 222 ???? ? ??? ?20 22222 )( dtkatka
下页
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所 以 dszyx )( 222 ???? ? ??? ?20 22222 )( dtkatka
结束
)43(32 22222 kaka ?? ??? ?
所 以 dszyx )( 222 ???? ? ??? ?20 2222 )( dtkatka
例 3 计算曲线积分 dszyx )( 222 ???? ? 其中 ? 为螺旋线
x?acost,y?asint,z?kt上相应于 t从 0到达 2?的一段弧 ?
解 在曲线 ?上有
并且
x2?y2?z2?(acost)2?(asint)2?(kt)2?a2?k2t2?
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二、对弧长的曲线积分的计算
§ 10.1 对弧长的曲线积分
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?把曲线弧 L分成 n个小段 ? ?s1??s2??????sn(?si也表示弧长 )?
一,对弧长的曲线积分的概念与性质
?曲线形构件的质量
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设曲线形构件所占的位置在 xOy面内的一段曲线弧 L上 ?
已知曲线形构件在点 (x?y)处的线密度为 ?(x?y)?
?任取 (?i??i)??si? 得第 i小段质量的近似值 ?(?i??i)?si?
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?令 ??max{?s1??s2??????sn}?0?则整个曲线形构件的质量为
iii
n
i
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?
? ),(
1
??? ? ?整个曲线形构件的质量近似为
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一,对弧长的曲线积分的概念与性质
设曲线形构件所占的位置在 xOy面内的一段曲线弧 L上 ?
已知曲线形构件在点 (x?y)处的线密度为 ?(x?y)?
iii
n
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? ),(lim
10
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?
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?曲线形构件的质量
?把曲线弧 L分成 n个小段 ? ?s1??s2??????sn(?si也表示弧长 )?
?任取 (?i??i)??si? 得第 i小段质量的近似值 ?(?i??i)?si?
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将 L任意分成 n个小弧段 ?
?s1??s2??????sn(?si也表示第 i个小弧段的长度 )?
在每个小弧段 ?si上任取一点 (?i??i)?作和
?对弧长的曲线积分
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设 L为 xOy面内的一条光滑曲线弧 ?函数 f(x?y)在 L上有界 ?
iii
n
i
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?
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1
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iii
n
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??
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10
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?
?
如果当 ??max{?s1? ?s2? ? ? ?? ?sn}?0时 ? 这和的极限总存在 ? 则
称此极限为函数 f(x? y)在曲线弧 L上对弧长的曲线积分 ? 记作
dsyxfL ),(? ? 即
其中 f(x?y)叫做被积函数 ?L叫做积分弧段 ?
>>>光滑曲线
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iii
n
iL
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10
??
?
?
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?对弧长的曲线积分
说明 ?
?当函数 f(x? y)在光滑曲线弧 L上连续时 ? 函数 f(x? y)在曲线弧 L
上对弧长的曲线积分是存在的 ? 以后我们总假定 f(x? y)在 L上
是连续的 ?
?对弧长的曲线积分也称为第一类曲线积分 ?
?曲线形构件的质量就是曲线积分 的值 ?dsyx
L ),(? ?
iiii
n
i
sfdszyxf ??
???
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10
???
?
?
?类似地可以定义函数 f(x? y? z)在空间曲线弧 ?上对弧长的曲线
积分 ?
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n
iL
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10
??
?
?
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?对弧长的曲线积分
?如果 L(或 ?)是分段光滑的 ? 则规定函数在 L(或 ?)上的曲线积
分等于函数在光滑的各段上的曲线积分的和 ?
例如 ?设 L可分成两段光滑曲线弧 L1及 L2?则规定
dsyxfdsyxfdsyxf LLLL ),(),(),(
2121 ???
??? ?
?函数 f(x?y)在闭曲线 L上对弧长的曲线积分记作 ?dsyxf
L ),(?
说明 ?
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?对弧长的曲线积分的性质
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?性质 1 设 c1,c2为常数 ? 则
dsyxgcdsyxfcdsyxgcyxfc LLL ),(),()],(),([ 2121 ??? ??? ?
?性质 2 若积分弧段 L可分成两段光滑曲线弧 L1和 L2?则
dsyxfdsyxfdsyxf LLL ),(),(),(
21 ???
?? ?
?性质 3 设在 L上 f(x?y)?g(x?y)?则
?? ? LL dsyxgdsyxf ),(),( ?
特别地 ?有
?? ? LL dsyxfdsyxf |),(||),(| ?
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提示 ?
二、对弧长的曲线积分的计算
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根据对弧长的曲线积分的定义 ?如果曲线形构件 L的线密
度为 f(x?y)?则曲线形构件 L的质量为
?L dsyxf ),( ?
另一方面 ?如果曲线 L是光滑的 ?其 参数方程为
x??(t)?y?? (t) (??t??)?
则曲线形构件 L的质量为
曲线形构件 L的质量元素为
dtttttfdsyxf )()()]( ),([),( 22 ???? ???? ?
? ????? ???? dtttttf )()()]( ),([ 22 ?
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二、对弧长的曲线积分的计算
根据对弧长的曲线积分的定义 ?如果曲线形构件 L的线密
度为 f(x?y)?则曲线形构件 L的质量为
?L dsyxf ),( ?
? ????? ???? dtttttf )()()]( ),([ 22 ?
于 是 ?? ???? ?? ???? dtttttfdsyxfL )()()]( ),([),( 22 ?
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另一方面 ?如果曲线 L是光滑的 ?其 参数方程为
x??(t)?y?? (t) (??t??)?
则曲线形构件 L的质量为
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则曲线积分 dsyxfL ),(? 存在 ? 并 且
dtttttfdsyxfL )()()](),([),( 22 ?????? ???? ?? ( ? ? ? ) ?
二、对弧长的曲线积分的计算
?定理
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设 f(x?y)在曲线弧 L上有定义且连续 ?L的参数方程为
x??(t)?y??(t) (??t??)?
其中 ?(t),?(t)在 [???]上具有一阶连续导数 ?且 ??2(t)???2(t)?0?
应注意的问题 ?定积分的下限 ?一定要小于上限 ??
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dtttttfdsyxfL )()()](),([),( 22 ?????? ???? ?? ( ? ? ? ) ?
设曲线 L的参数方程为 x??(t)?y??(t) (??t??)?则
讨论 ?
( 1 ) 若曲线 L 的方程为 y ? ? ( x )( a ? x ? b ) ? 则 dsyxfL ),(? ?？
( 2 ) 若曲线 L 的方程为 x ? ? ( y )( c ? y ? d ) ? 则 dsyxfL ),(? ?？
提示 ?
(1)L的参数方程为 x?x?y??(x)(a?x?b)?
dxxxxfdsyxf baL ?? ??? )(1)](,[),( 2?? ?
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设曲线 L的参数方程为 x??(t)?y??(t) (??t??)?则
讨论 ?
( 1 ) 若曲线 L 的方程为 y ? ? ( x )( a ? x ? b ) ? 则 dsyxfL ),(? ?？
( 2 ) 若曲线 L 的方程为 x ? ? ( y )( c ? y ? d ) ? 则 dsyxfL ),(? ?？
提示 ?
(2)L的参数方程为 x??(y)?y?y(c?y?d)?
dyyyyfdsyxf dcL ?? ??? 1)(]),([),( 2?? ?
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dtttttfdsyxfL )()()](),([),( 22 ?????? ???? ?? ( ? ? ? ) ?
设曲线 L的参数方程为 x??(t)?y??(t) (??t??)?则
讨论 ?
(3)若曲线 ?的参数方程为 x??(t)?y??(t)?z??(t)(??t??)?
则 dszyxf ),,(?? ?？
提示 ?
dtttttttfdszyxf )()()()](),(),([),,( 222 ???????? ?????? ??? ?
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dtttttfdsyxfL )()()](),([),( 22 ?????? ???? ?? ( ? ? ? ) ?
设曲线 L的参数方程为 x??(t)?y??(t) (??t??)?则
例 1 计算 dsyL? ? 其中 L 是抛物线 y ? x 2 上点 O (0 ? 0 ) 与点
B(1?1)之间的一段弧 ?
曲线 L的参数方程为 x?x?y?x2 (0?x?1)?因此解
?? ??? 10 222 )(1 dxxxdsyL
? ?? 10 241 dxxx )155(121 ?? ?
? ?? 10 241 dxxx )155(121 ?? ?
?? ??? 10 222 )(1 dxxxdsyL
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例 2 计算半径为 R,中心角为 2?的圆弧 L对于它的对称轴
的转动惯量 I(设线密度为 ??1)?
取坐标系如图所示 ?则曲线 L的参数方程为解
dtttttfdsyxfL )()()](),([),( 22 ?????? ???? ?? ( ? ? ? ) ?
设曲线 L的参数方程为 x??(t)?y??(t) (??t??)?则
x?Rcos??y?Rsin? (??????)?
于是所求转动惯量 I为
?? L dsyI 2
提示 ?
转动惯量的元素为 dI?y2?ds?y2ds?
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例 2 计算半径为 R,中心角为 2?的圆弧 L对于它的对称轴
的转动惯量 I(设线密度为 ??1)?
取坐标系如图所示 ?则曲线 L的参数方程为解
dtttttfdsyxfL )()()](),([),( 22 ?????? ???? ?? ( ? ? ? ) ?
设曲线 L的参数方程为 x??(t)?y??(t) (??t??)?则
于是所求转动惯量 I为
?? L dsyI 2
?? ??? ?? ???? dRRR 2222 )c o s()s i n(s i n
)c o ss in(s in 323 ??????? ??? ?? RdR ? )c o ss in(s in 323 ??????? ??? ?? RdR ?
x?Rcos??y?Rsin? (??????)?
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例 3 计算曲线积分 dszyx )( 222 ???? ? 其中 ? 为螺旋线
x?acost,y?asint,z?kt上相应于 t从 0到达 2?的一段弧 ?
解
x2?y2?z2?(acost)2?(asint)2?(kt)2?a2?k2t2?
在曲线 ?上有
并且
dtkadtktatads 22222 )c o s()s i n( ?????? ?
所 以 dszyx )( 222 ???? ? ??? ?20 22222 )( dtkatka
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所 以 dszyx )( 222 ???? ? ??? ?20 22222 )( dtkatka
结束
)43(32 22222 kaka ?? ??? ?
所 以 dszyx )( 222 ???? ? ??? ?20 2222 )( dtkatka
例 3 计算曲线积分 dszyx )( 222 ???? ? 其中 ? 为螺旋线
x?acost,y?asint,z?kt上相应于 t从 0到达 2?的一段弧 ?
解 在曲线 ?上有
并且
x2?y2?z2?(acost)2?(asint)2?(kt)2?a2?k2t2?
dtkadtktatads 22222 )c o s()s i n( ?????? ?
