一、泰勒级数
二、函数展开成幂级数
§ 11.4 函数展开成幂级数
函数 f(x)是否能在某个区间内, 展开成幂级
数,,就是说,是否能找到这样一个幂级数,它在某
区间内收敛,且其和恰好就是给定的函数 f(x),如果
能找到这样的幂级数,则称函数 f(x)在该区间内能展
开成幂级数,
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一、泰勒级数
?复习
根据泰勒中值定理,如果函数 f(x)在 x0的某邻域内具有各
阶导数,则在该邻域内
等式右端的多项式当其项数趋于无穷时,将成为幂级数,
这个幂级数就称为 f(x)的泰勒级数,
)(!2 )())(()()( 200000 ???????????= xxxfxxxfxfxf
)()(! )( 00)( xRxxn xf nnn ???,?
其 中 10)1( )()!1( )()( ?? ??= nnn xxnfxR ? ( ? 介于 x 与 0x 之间 ),
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一、泰勒级数
?泰勒级数
如果函数 f(x)在点 x0的某邻域内具有各阶导数,则幂级数
称为函数 f(x)的泰勒级数,
?麦克劳林级数
在泰勒级数中取 x0=0,得
此级数称为 f(x)的麦克劳林级数,
)(!3 )()(!2 )())(()( 300200000 ???????????????? xxxfxxxfxxxfxf,
?????????????? ! )0( !2 )0()0()0( )(2 nn xnfxfxff,
下页
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一、泰勒级数
显然,当 x=x0时,f(x)的泰勒级数收敛于 f(x0).
需回答的问题是, 除了 x=x0外,f(x)的泰勒级数是否收敛?
如果收敛,它是否一定收敛于 f(x)?
?????????????? ! )0( !2 )0()0()0( )(2 nn xnfxfxff,.
)(!3 )()(!2 )())(()( 300200000 ???????????????? xxxfxxxfxxxfxf,.
下页
?泰勒级数
?麦克劳林级数
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一、泰勒级数
设函数 f(x)在点 x0的某一邻域 U(x0)内具有各阶导数,则 f(x)
在该邻域内能展开成泰勒级数的充分必要条件是 f(x)的泰勒
公式中的余项 Rn(x)当 n?0时的极限为零,即
?定理
))(( 0)(lim 0xUxxR nn ?=??,?
>>>
定理证明 下页
?????????????? ! )0( !2 )0()0()0( )(2 nn xnfxfxff,.
)(!3 )()(!2 )())(()( 300200000 ???????????????? xxxfxxxfxxxfxf,.
?泰勒级数
?麦克劳林级数
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?展开式的唯一性
如果 f(x)能展开成 x的幂级数,那么这种展式是唯一的,它
一定与 f(x)的麦克劳林级数一致,
这是因为,如果 f(x)在点 x0=0的某邻域 (?R,R)内能展开成 x
的幂级数,即
f(x)=a0?a1x?a2x2?????anxn????,
???,a0=f(0),a1=f?(0),???.
!2
)0(
2
fa ??=,?
!
)0()(
n
fa n
n =,
提示,
f??(x)=2!a2?3?2a3x?4?3a4x2?5?4a5x3????,f ??(0)=2!a2.
f (n)(x)=n!an?(n?1)n(n?1)???2an?1x????,f (n)(0)=n!an.
那么有
f?(x)=a1?2a2x?3a3x2?4a4x3?5a5x4????,f?(0)=a1.
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如果 f(x)能展开成 x的幂级数,那么这个幂级数就是 f(x)的
麦克劳林级数,
但是,如果 f(x)的麦克劳林级数在点 x0=0的某邻域内收敛,
它却不一定收敛于 f(x).
因此,如果 f(x)在点 x0=0处具有各阶导数,则 f(x)的麦克劳
林级数虽然能作出来,但这个级数是否在某个区间内收敛,以
及是否收敛于 f(x)却需要进一步考察,
应注意的问题,
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?展开式的唯一性
如果 f(x)能展开成 x的幂级数,那么这种展式是唯一的,它
一定与 f(x)的麦克劳林级数一致,
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二、函数展开成幂级数
?函数展开成幂级数的步骤
?第一步 求出 f (x)的各阶导数, f?(x),f??(x),???,f (n)(x),???;
?第二步 求函数及其各阶导数在 x=0处的值,
f(0),f?(0),f ??(0),???,f (n)( 0),???;
?第三步 写出幂级数
?第四步 考察在区间 (?R,R)内时是否 Rn(x)?0(n??).
如果 Rn(x)?0(n??),则 f(x)在 (?R,R)内有展开式
! )0( !2 )0()0()0()( )(2 ??????????????= nn xnfxfxffxf ( ? R < x < R ),
! )0( !2 )0()0()0( )(2 ?????????????? nn xnfxfxff,?
并求出收敛半径 R;
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例 1 将函数 f(x)=ex展开成 x的幂级数,
解 显然 f (n)(x)=ex(n=1,2,???),
于是得级数
f(n)(0)=1(n=1,2,???).
?????????? !1 !211 2 nxnxx,?
它的收敛半径 R=??.
对于任何有限的数 x,?(?介于 0与 x之间 ),有
而 0)!1( ||lim 1 =? ??? nx nn,? 所以 0|)(|lim =?? xR nn,? 从而有展开式
!1 !211 2 ??????????= nx xnxxe ( ? ? < x < ? ? ),?
而 0)!1( ||lim 1 =? ??? nx nn,? 所以 0|)(|lim =?? xR nn,? 从而有展开式 而 0)!1( ||lim 1 =? ??? nx nn,? 所以 0|)(|lim =?? xR nn,? 从而有展开式
)!1(
|| |
)!1(| |)(|
1||1
??<?=
??
n
xex
n
exR nxn
n
?,?
)!1(
|| |
)!1(| |)(|
1||1
??<?=
??
n
xex
n
exR nxn?,?
)!1(
|| |
)!1(| |)(|
1||1
??<?
??
n
xex
n
exR nxn
n
?,?
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例 2 将函数 f(x)=sinx展开成 x的幂级数,
解 因为 )2 s i n ()()( ???= nxxf n ( n = 1,2,?? ?????),? 解
所以 f (n)(0)顺序循环地取 0,1,0,?1,??? (n=0,1,2,3,???),
于是得级数
????????????? ?? )!12()1( !5!3 12153 nxxxx nn,
对于任何有限的数 x,?(?介于 0与 x之间 ),有
它的收敛半径为 R=??.
)!1(
|| |
)!1(
]2 )1(sin[
| |)(|
1
1
???
??
=
?
?
n
xx
n
n
xR
n
n
n
??
?0 (n ??).? )!1( || |)!1(
]2 )1(s i n [
| |)(|
1
1
???
??
=
?
?
n
xx
n
n
xR
n
n
n
??
? 0 ( n ? ? ),? )!1( || |)!1(
]2 )1(sin[
| |)(|
1
1
???
??
=
?
?
n
xx
n
n
xR
n
n
n
??
?0 (n ??).? )!1( |||)!1(
]2 )1(s in [
| )(|
1
1 ?
?
??
=
?
?
n
xx
n
n
xR
n
n
n
?
? 0 ( n ? ? ).?
因此得展开式
s i n x = )!12()1( !5!3 12153 ????????????? ?? nxxxx nn ( ? ? < x < ? ? ),
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例 3 将函数 f(x)=(1?x)m(m为任意常数 )展开成 x的幂级数,
所以 f(0)=1,f?(0)=m,f??(0)=m(m?1),???,
f (n)(0)=m(m?1)(m?2)???(m?n?1),???,
于是得幂级数
解 f(x)的各阶导数为
f?(x)=m(1?x)m?1,f??(x)=m(m?1)(1?x)m?2,???,
f (n)(x)=m(m?1)(m?2)???(m?n?1)(1?x)m?n,???,
! )1( )1( !2 )1(1 2 ?????????????????? nxn nmmmxmmmx,
可以证明
! )1( )1( !2 )1(1)1( 2 ??????????????????=? nm xn nmmmxmmmxx
(?1<x<1).
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?求幂级数展开式的间接展开法
例 4 将函数 f(x)=cos x展开成 x的幂级数,
已知解
)!12()1( !5!3s i n 12153 ?????????????= ?? nxxxxx nn ( ? ? < x < ? ? ),?
对上式两边求导得
)!2()1( !4!21c o s 242 ????????????= nxxxx nn ( ? ? < x < ? ? ),?
注,逐项求导所得幂级数与原幂级数有相同的收敛半径,
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直接展开法的缺陷
? 不 易 求 函 数 的 高 阶 导 数
? 讨 论 当 时,余 项
是 否 趋 向 于 零 十 分 地 困 难,
R x
f x
n
x
n
n
n
( )
( )
( ) !
( )
( )
=
?
?
< <
?
?
1
1
1
0 1
?
?
n ? ?
f
n( )
( )0
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例 5 将函数 21 1)( xxf ?= 展开成 x 的幂级数,?
例 5
解 因为 11 1 2 ???????????=? nxxxx ( ? 1< x < 1 ),?
解 已知
把 x换成 ?x2,得
)1( 11 1 2422 ????????????=? nn xxxx ( ? 1< x < 1 ),
提示,
)1( 11 1 2422 ????????????=? nn xxxx (? 1< x< 1 ),
收敛半径的确定, 由 ?1<?x2<1得 ?1<x<1.
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例 6 将函数 f(x)=ln(1?x)展开成 x的幂级数,
f(x)=ln(1?x)解
?? ?=??= xx dxxdxx 00 1 1])1[ ln (
上述展开式对 x=1也成立,这是因为上式右端的幂级数当
x=1时收敛,而 ln(1?x)在 x=1处有定义且连续, 所以展开式成立
的范围是 (?1<x?1).
?? ?=?? xx dxxdxx 00 1 1])1[ ln (
?? ? ?
=
??
= ?
?=?=
0
1
0 0 1)1(])1([ n
nnx
n
nn nxdxx ( ? 1< x ? 1),? ?? ? ?
=
??
= ?
?=?=
0
1
0 0 1)1(])1([ n
nnx
n
nn nxdxx (? 1< x? 1),? ?? ? ?
=
??
= ?
?=?=
0
1
0 0 1)1(])1([ n
nnx
n
nn nxx (? 1< x? 1),?
提示,
11 1 2 ???????????=? nxxxx ( ? 1< x < 1 ),?
提示
?? ?? ?? ?
=
??
=
?
= ?
===
0
1
0 00 00 1
)()(
n
nn
n
x n
n
x
n
nnx xn adxxadxxadxxs,?,
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例 7 将函数 f ( x ) = s i n x 展开成 )4( ??x 的幂级数,?
例 7
解 因为
)]4s i n ()4[ c o s (2 2)]4(4s i n [s i n ???? ???=??= xxxx,?
并且
提示,
)!2()1( !4!21c o s 242 ????????????= nxxxx nn ( ? ? < x < ? ? ),?
提示
)!12()1( !5!3s i n 12153 ?????????????= ?? nxxxx nn ( ? ? < x < ? ? ),?
)( )4(!51)4(!31)4()4s i n ( 53 ??<<???????????=? xxxxx ????,?
)( )4(!41)4(!211)4c o s ( 42 ??<<??????????=? xxxx ???,
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间接展开法的优点
? 避免了求高导与余项是否趋于零的讨论 ;
? 函数展开式与展开式的成立区间同时获得,
避免了求幂级数收敛半径,
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)]4s i n ()4[ c o s (2 2)]4(4s i n [s i n ???? ???=??= xxxx,?
并且
)( )4(!51)4(!31)4()4s i n ( 53 ??<<???????????=? xxxxx ????,?
)( )4(!41)4(!211)4c o s ( 42 ??<<??????????=? xxxx ???,
所以
)( ] )4(!31)4(!21)4(1[2 2s i n 32 ??<<????????????= xxxxx ???,
下页
例 7 将函数 f ( x ) = s i n x 展开成 )4( ??x 的幂级数,?
例 7
解 因为
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例 8 将函数 341)( 2 ??= xxxf 展开成 ( x ? 1) 的幂级数,?
例 8
提示,
解
)4 11(8
1
)2 11(4
1
)3(2
1
)1(2
1)(
?????=???= xxxxxf
)31( )1)(2 12 1()1(
0 322
<<????= ?
?
= ??
xx
n
n
nn
n,?
)4 11(8
1
)2 11(4
1
)3(2
1
)1(2
1)(
?????=???= xxxxxf
)3(2
1
)1(2
1
)3)(1(
1
34
1)(
2 xxxxxxxf ???=??=??=
,
)4 1(8)2 11(4
1
)3(2
1
)1(2
1)(
????=???= xxxxf
提示
)2 11(2)1(21 ??=??=? xxx,)4 11(4)1(43 ??=??=? xxx, )2 11(2)1(21 ??=??=? xxx,)4 11(4)1(43 ??=??=? xxx,
? ??
=
?
=
?????=
0 0 4
)1()1(
8
1
2
)1()1(
4
1
n n n
nn
n
nn xx? ??
=
?
=
?????=
0 0 4
)1()1(
8
1
2
)1()1(
4
1
n n n
nn
n
nn xx
提示
?
?
=
<?<???=?
? 0
)12 11( 2 )1()1(
2
11
1
n
n
n
n xx
x
提示
?
?
=
<?<???=?
? 0
)14 11( 4 )1()1(
4
11
1
n
n
n
n xx
x
)31( )1)(2 12 1()1(
0 322
<<????= ?
?
= ??
xx
n
n
nn
n,?
提示
由 12 11 <?<? x 和 14 11 <?<? x 得 31 <<? x,?
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?幂级数展开式小结
)11( 11 1 2 <<????????????=? xxxxx n,
)( !1 !211 2 ??<<????????????= xxnxxe nx,? ?
)( )!12()1( !5!3s i n 12153 ??<<???????????????= ?? xnxxxxx nn,?
)( )!2()1( !4!21c o s 242 ??<<??????????????= xnxxxx nn,?
)11( 1)1( 432)1l n ( 1432 ?<???????????????=? ? xnxxxxxx nn,?
!2 )1(1)1( 2 ???????=? xmmmxx m
)11( ! )1( )1( <<???????????? xxn nmmm n,
结束